新人教版一元二次方程知識點及典型題目總結

一元二次方程知識題型總結

九年級二班數(shù)學課件

一、知識與技能的總結

〔一〕概念

一元二次方程一“整式方程”；“只含一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”.

一元二次方程的一般形式----ax2+bx+c=0(a0),按未知數(shù)x降福排列

方程的根〔解〕——是使方程成立的未知數(shù)的取值，了解一元二次方程的根的個數(shù).

〔二〕一元二次方程的解法一把一元二次方程降次為一元一次方程求解

1.直接開平方法——適用于的方程.

2.配方法一適用于所有的一元二次方程；

〔1〕“移項-使得_____________________________________________

[2〕“系數(shù)化仔’——使得_______________________________________

〔3〕“配方-使得_____________________________________________

〔4〕“求解”——利用解方程

3.公式法——適用于的方程.反映了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，

〔1〕一元二次方程首先必須要把方程化為一般形式，準確找出各項系數(shù)2、氏c;

〔2〕先求出A=62—4ac的值，假設八=廿—4呢20,那么代入公式.

彳鼠設A=Z72-4tzc<0,再|5么;

4.因式分解法--適用于的方程.

用因式分解法解一元二次方程的依據(jù)是：AB=Oo.

通過將二次三項式化為兩個一次式的乘積，從而到達降次的目的，將一元二次方程轉化為求兩個

方程的解.

〔三〕其它知識方法

1.根的判別式：A^b2-4ac,〔1〕假設A=/—4ac>0,那么方程有解；

〔2〕假設A=—4ac=0,那么方程有解；〔3〕小文設A=/一4。。<0,那么方程有解；

2,換元法

〔1〕(2X+1)2-3(2X+1)-4=0;〔2〕2(x+1)2+3(x+l)(x-2)-2(x-2)2=0

〔3〕.工x-15

+——

x-1X2

3.可化為一元二次方程的分式方程

6三

解方程=1

(x+l)(x-l)

二、典型題型的總結

(―)一元二次方程的概念

1.〔一元二次方程的項與各項系數(shù)〕把以下方程化為一元二次方程的一般形式：

[1]5%2—2=3%；_____________________________

〔2〕V2—6x~—15x=0；

〔3〕3y(y+l)=7(y+2)-5;_____________________________

[4](m+-Jm)+(m-2)2=7-5m；

〔5〕(5a-1)2=4(a-3)2;_____________________________

2.〔應用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值〕

(1)m=時，關于x的方程(加一—(加+3)x=4加是一元二次方程。

尤2—7%一8

(2)假設分式一n------=0,那么％=__________

兇-1

3.〔由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值〕

⑴關于九的'一^元二次方程(?！狪)%2+%+。2—1=0有'一個根為0,那么Q=

(2)關于九的一元二次方程。/+bx+c=0(〃w0)有一個根為1,一個根為一1,

那么a+Z?+c=,a-b+c=

3o

(3)2是關于x的方程-2〃=0的一個根，那么2?！?的值是

(4)c為實數(shù)，并且關于％的一元二次方程一—3%+。=0的一個才艮的相反數(shù)是方程％?+3%—。=0的一

個根，那么方程/+3%-。=0的根為,c=

〔二〕一元二次方程的解法

4.開平方法解以下方程：

〔1〕5——125=0⑵1690—3)2=289

〔3〕y2+361=0〔4〕(1-^3)m2=0

〔5〕/-0.01=0;〔6〕0.5/_g=0；

⑻空聯(lián)=8

〔7〕(3X+1)2-9=0.

5.用配方法解以下各方程:

〔1〕%2—2x—8=0;〔2〕y2+5y+l=0;

〔3〕2y2—4y——3〔4〕3X2-2=4X

[5]2無2+0龍-30=0;〔6〕x2+-x--^0.

63

6.用公式法解以下各方程：

⑴x2-2x—2=0;〔2〕2x2+2x=7;

3

〔3〕4y=l——y2;〔4]3x(3x-2)=—l.

⑸3x2=6x-2〔6〕p2+3=2y[3p

〔7〕7y2=lly〔8〕9n2=5n—2

〔9〕％+2=(x—2)(2x—1)—3

7.用因式分解法解以下各方程：

19

⑴-X2-9=0;⑵：-yf5x=0

4

〔3〕T7X2-V21X=0〔4〕y2+4y-45=0

2

⑸8%+10x—3=0〔6〕(九一5)2=2(X-5)-1

2

⑺(x+1)—2(%+1)=3;⑻4(X+3)2=25(X—2)2.

〔9〕7x(x-3)=3x-9〔10〕6%之—3y/~3x-2*\/2x—

〔11〕(/+3x)2—2(/+3)—8=0

8.用適當方法解以下方程〔解法的靈活運用〕:

〔1〕V2(2x-7)2=V128〔2〕2m—m2+1=2(m2-2m)2

/3X3-2X3-1)

〔3〕6x(x-2)=(x-2)(x+3)〔4〕±=J)+Z

323

⑸81(2x-5)2=144(x-3)2

9.解關于x的方程〔含有字母系數(shù)的方程〕:

〔1〕x2-2mx+m~-n2=Q〔2〕+3a2=4ax—2a+1

(3)(m+n)x2+2nx=m-n〔加+〃片0〕(4)a2(彳2_x+1)_<2(x_1)=(q-_1)%

〔三〕一元二次方程的根的判別式

10.不解方程，判別方程根的情況:

[1〕4尤2_%+3=7%-------------------------------------------------------

⑵3(%2+2)=4x——_________________________________

〔3〕4x2+5=4^/5%-------------------------------------------------------

11.左為何值時，關于X的二次方程叱-6x+9=0

〔1〕左滿足時，方程有兩個不等的實數(shù)根

[2]左滿足時，方程有兩個相等的實數(shù)根

〔3〕k滿足時，方程無實數(shù)根

12.關于x的方程ax?-3%+4=。，如果加<0,那么此方程的根的情況是〔〕.

A.有兩個不相等的實根B.有兩個相等的實根C.沒有實根D.不能確定

13.關于x的方程x?-履+左一2=。的根的情況是〔〕.

A.有兩個不相等的實根B.有兩個相等的實根C.沒有實根D.不能確定

14.關于x的方程(〃?-2)*2+2TOC+:〃+3=0有實根，那么的取值范圍是〔〕.

A.m^2B.切46且，C.m<6D.m<6

15.k>0,且方程3日？+12x+左=一1有兩個相等實根，那么左的值等于〔〕.

A.2百B.±2百C.3或TD.3

16.假設關于x的方程Ax?-4x+3=0有實根，那么左的非負整數(shù)值是〔〕.

A.0,1B.0,1,2C.1D.1,2,3

17.關于x的方程4/-(〃7+2)x=l-根有兩個相等的實數(shù)根.求m的值和這個方程的根.

18.方程%2+2(a+l)x+ci~+4a—5=0有實數(shù)根，求正整數(shù)a.

19.對任意實數(shù)m,求證：關于X的方程（加2+1）%2—2MX+加2+4=0無實數(shù)根.

20.設加為整數(shù)，且4＜加＜40時，方程一一2（2加-3）%+4根2-14加+8=0有兩個相異整數(shù)根,

求用的值及方程的根。

21.左為何值時，方程（左—1）——（2左+3）%+（4+3）=0有實數(shù)根.

〔四〕一元二次方程的應用

22.直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積.

23.一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小

4,求這個兩位數(shù).

24.一個兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)字之和為6,兩個數(shù)之積等于這個數(shù)的三分之一，求這個兩位數(shù).

25.:如圖，在一塊長80cm,寬60s的白鐵片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起

來，做成底面積是1500c病的沒有蓋的長方體盒子，問截去的小正方形邊長是

多少?

26.某林場準備修一條長1000米，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.4萬平方米，上口寬比渠面深

多2.3米，渠底寬比渠深多0.3米.

〔1〕渠道的上口與渠底寬各是多少？

〔2〕如果方案每天挖土70立方米，需要多少天才能把這條渠道的土挖完？

27.據(jù)有關資料顯示，我國農(nóng)產(chǎn)品出口總量中，初級產(chǎn)品占五分之四，深加工產(chǎn)品占五分之一.由于在

國際市場上，初級產(chǎn)品的價格較低，不利于出口創(chuàng)匯，所以參加WTO后，必須盡快改變這種出口結構.假

設我國每年農(nóng)產(chǎn)品出口總量不變，兩年后將深加工產(chǎn)品的出口比重提高到十分之三，問平均每年比上年

提高的百分數(shù)是多少？〔結果精確到0.1%,以下數(shù)據(jù)可供選用：A/2^1,414,6=1.732,占72.236〕

28.舊車交易市場有一輛原價為12萬元的轎車，但已使用3年.如果第一年的折舊率為20%,以后折

舊率有所變化；現(xiàn)知第三年末這輛轎車值7.776萬元，求這輛車第二年、第三年平均每年的折舊率.

29.某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以后

兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？

30.某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出300元，將剩余局部〔包括利息〕繼續(xù)存入銀行，定

期還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？〔不計利息稅〕

31.某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定

兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對路，使公司在兩年到期時除

還清貸款的本金和利息外,還盈余72萬元,假設該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分數(shù)相同,

試求這個百分數(shù).

32.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售增加盈利，盡

快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場每天可多售

出2件，假設商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？

33.甲乙兩人分別從正方形廣場ABCD的頂點B、C同時出發(fā)，甲由C向D運動，乙由B向C運動，

甲的速度為每分鐘1千米，乙的速度每分鐘2千米，假設正方形廣場周長為40千米，問幾分鐘后，兩

人相距2，記千米？

34.如圖，東西和南北向兩條街道交于。點，甲沿東西道由西向東走,

速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，當乙通

過O點又繼續(xù)前進50米時，甲剛好通過。點，求這兩人在相距85米

A

時，每個人的位置。

35.關于x的方程(〃一1)/+MX+1=0①有兩個相等的實數(shù)根.

⑴求證：關于y的方程根2y2-2my-m1-2/+3=0②必有兩個相等的實數(shù)根。

(2)假設方程①的一根的相反數(shù)恰好是方程②的一個根，求代數(shù)式"2"+12”的值。

36.一次函數(shù)y=-x+6和反比例函數(shù)y=—，〔1〕k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一坐標系中的

圖象有兩個交點？〔2〕設〔1〕中的兩個公共點為A、B,NAO6是銳角還是鈍角？

37.閱讀下題的解答過程，請判斷其是否有錯；假設有錯，請你寫出正確答案.

m是關于x的方程-2x+m=0的一個根，求相的值.

〔1〕將％=機代入原方程，化簡，得病=m.

〔2〕兩邊同除以機，得加2=1,所以根=1.

〔3〕把根=1代入原方程檢驗，可知切=1符合題意，所以根=1.

38.要使關于x的方程f+陵+1=。與%2一%一力=。有且只有一個公共根，求人的值.

九2-Qy-io

39.是否存在使函數(shù)丁=---------的函數(shù)值為0的x值，假設存在，就把它求出來；假設不存在，請

x+2

說明理由.

40.*解以下分式方程:

11-x

〔1〕x-3=----;⑵-3x

x—1x-22-x

lx11I3x—九2

〔3〕-o---------1--------------〔4〕：—+-T^=2;

x—42-x31—XX—1

-6x3x+3「、，x丫5x,八

〔5〕-----------=7;[6〕-------------F6=0.

x+1X<x+lJx+1

〔五〕*根系關系

彳艮設Qx?+法+。=0（〃wo）中，有A20,那么有：

xx-x