2024屆池州市一中高三數(shù)學上學期模擬試題卷二附答案解析

2024屆池州市一中高三數(shù)學上學期模擬試題卷（2）

（考試時間120分鐘，試卷滿分150分）2024.1

一"單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合"=區(qū)，集合'=卜，-2x-3<0｝,集合8=｛x|y=ln（x+l）｝,則（）

A.口釬BqBc.（5Z）U8=UD.ADB=U

2.已知函數(shù)”尤）是定義在尺上的奇函數(shù)，當》<0時，"x）=log2（f）+7",,則實數(shù)加（）

V2_V1__

A.2B.2c,8+lD.-V2+1

3.“基礎(chǔ)學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應(yīng)“錢學森之問”而推出的一項

人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學術(shù)大師.已知浙江大學、復(fù)旦大學、武漢大學、中山大學均有開

設(shè)數(shù)學學科拔尖學生培養(yǎng)基地，某班級有5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，則每所學校至少有

一位同學選擇的不同方法數(shù)共有（）

A.120種B.180種C.240種D.300種

4.記5,為等比數(shù)列｛""｝的前n項和，若S4=一5,5=21邑，則以=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

5.如圖，在長方形NBC。中，AB=2,BC=1,從疝?上的一點4發(fā)出的一束光沿著與N8夾角為夕的方

向射到3C上的々點后，依次反射到。、D4上的鳥、4點，最后回到片點，貝pan?等于（）

A.7B.3c.5D.4

6.函數(shù)〃x）=x3一”一加+/在x=l處有極值為10,貝崎的值為（）

A.3B.-4C.-3D.-4或3

/3=種萬4。，，%2

7.已知函數(shù)/x<0,若存在實數(shù)%（，=1,2,3,4,5）.當王<%?=1,2,3,4）時，滿足

5

/（%）=/（工2）=/（七）=/（匕）=/（毛）.則2%*"）的取值范圍為（）

C.（一砌.-上

A.B.-2°D

c：5+y1_

記=1（〃〉6〉”的左焦點為￡,

8.如圖，橢圓a右頂點為A,點Q在y軸上，點P在橢圓上，且

N(O,~b、

14

滿足尸°，了軸，四邊形片/尸。是等腰梯形，直線片尸與y軸交于點人則橢圓的離心率為（）.

J_@變1

A.4B.2c.2D.5

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若復(fù)數(shù)4=2+3i,%=-l+i,其中i是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）

五eR

A.z2

B.Z1??2=Z1?Z2

C.若4+皿（加eR）是純虛數(shù)，那么機=-2

|UUT|

——__?___\Am=5

D.若馬，Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為CM,OB（O為坐標原點），貝I

10.如圖，AC為圓錐SO底面圓。的直徑，點B是圓O上異于A,C的點，SO=OC=2,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.圓錐SO的側(cè)面積為8近萬

8

B.三棱錐S-ABC體積的最大值為三

C.NSAB的取值范圍是

D.若AB=BC,E為線段AB上的動點，貝1JSE+CE的最小值為2（6+D

11.某商場設(shè)有電子盲盒機，每個盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個玩家只能用一個賬號登陸，且每次只能

2

隨機選擇一個開啟.已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為亍，從第二次抽盲盒開始，若前一次沒

￡1

抽中獎品，則這次抽中的概率為5,若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為記玩家第”次抽盲盒,

抽中獎品的概率為月，則（）

已』m尸＜匕

2

A.42B.數(shù)列〔7J為等比數(shù)列c."42D.當"22時，〃越大，月越小

12.已知點廠為拋物線C：'=2py（p＞0）的焦點，直線/過點。（°，加）（加＞°）交拋物線c于/&，乂），

8（々，力）兩點，/弘|=設(shè)。為坐標原點，尸〔2'直線尸4形與X軸分別交于MN兩點，

則以下選項正確的是（）

A.P=2

B,若m=1,則。403=0

C.若加=0,則AO/8面積的最小值為4后

D."，NJ，尸四點共圓

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量1=（4-2）,坂=（-2㈤,且I與B共線,則用+2一=

14.筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已

有1000多年的歷史.如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向做每6分鐘

轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心。距離水面8c的高度為1.5米，設(shè)筒車上的某個盛水筒尸的初始位

置為點。（水面與筒車右側(cè)的交點），從此處開始計時，t分鐘時，該盛水筒距水面距離為

H=/?)=/sin(a+9)+。(/>0,a)>0,，卜>0

則/'（2023）=

I)

圖1圖2

15.已知圓E：-2x=0,若A為直線/：x+y+，"=°上的點，過點A可作兩條直線與圓E分別切

于點8,C,且為等邊三角形，則實數(shù)制的取值范圍是

16.如圖，某校學生在開展數(shù)學建?；顒訒r，用一塊邊長為12dm的正方形鋁板制作一個無底面的正〃棱

錐(側(cè)面為等腰三角形，底面為正〃邊形)道具，他們以正方形的兒何中心為田心，6dm為半徑畫圓，

仿照我國古代數(shù)學家劉徽的割圓術(shù)裁剪出加份，再從中取〃份，并以O(shè)為正〃('此3)棱錐的頂點，且。落

2乃

,/4。4=/AA-zv

在底面的射影為正〃邊形的幾何中心一〃，側(cè)面等腰三角形的頂角為當

V_

cos/4a4=2cosa-l時，設(shè)正棱錐的體積為％則〃的最大值為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

b_a-c

17.在“3C中，a,b,c分別是“8c的內(nèi)角A,B,C所對的邊，且sin/+sinCsin5-sinC.

(1)求角A的大??；

—1—研

BM=-MCJ——L

(2)記/BC的面積為s,若2,求S的最小值.

Q為奇數(shù)

18.已知數(shù)列4滿足4>°,"+1/吃〃為偶數(shù)

(1)判斷數(shù)列｛02"-｝是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；

b_______J_______7

⑵若數(shù)列｛""｝的前10項和為361,記"=(1幅出"+)。2"+2,數(shù)列抄/的前n項和為4,求證：7"<16.

19.如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和4個圓柱拼接而成，點G為弧CQ的中點，且C,E,D,G

四點共面.

⑴證明：平面平面BCG；

V15

(2)若平面2。下與平面”8G所成二面角的余弦值為5,且線段長度為2,求點G到直線。尸的距離.

20.第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)

勝法國隊獲得冠軍.

FIFAWORLDCUP

GWR

(i)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門

2

將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有§的可能

性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)x的分布列和期望;

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開

始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如

此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知口=1，%=°.

①試證明：〔"3J為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較plO與qlO的大小.

21.已知雙曲線C：/一瓦一乂">°'>°)的離心率為行，過點"I⑼的直線1與C左右兩支分別交于

M,N兩個不同的點(異于頂點).

(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積(O為坐標原點)；

⑵若A,B為雙曲線的左右頂點，且1ABl二支試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若

是，求出該定直線，若不是，請說明理由

22.已知/(x)=s"x,g(x)=lnx+機d加為正整數(shù)，.

⑴當”=1時，設(shè)函數(shù)〃3=/一1一2〃x),兀)，證明：”x)有且僅有1個零點；

小)+g(x)<(.x+m)ex-1

(2)當〃=2時，證明:2

1.c

【分析】解集合A中的不等式和集合B中函數(shù)的定義域，得到集合A、B,由集合的運算和集合間的關(guān)

系驗證各選項.

【詳解】不等式，-2x_3<0解得-l<x<3,函數(shù)kin（x+l）有意義，貝P>-1,

,.?Z={x|-1vx<3},B={x\x>-1},

=或XN3},^5={x|x<-l}

對于A,/三電8不正確；

對于B,藥/勺3不正確；

對于C,（電小8=。，正確；

對于D,4uB=U,不正確

故選：C.

2.D

【解析】由奇函數(shù)性質(zhì)得[2>,再代入解析式求解即可.

【詳解】解：因為函數(shù)/（力是定義在R上的奇函數(shù),

由于當x<0時,/（x）=log2（-x）+m,

/[--|=log2—=-\+m=-&

所以I2J2,解得加=—J2+1.

故選：D.

3.C

【分析】按照分組分配的方法，列式求解.

【詳解】將5位同學分為2,1,1,1的分組，再分配到4所學校，

共有C；A：=24。種方法.

故選：C

4.C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)國的關(guān)系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解.

6

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛“"｝的公比為外首項為為,

若4=T,則$4=°-5,與題意不符，所以4、-1；

若4=1,貝］jS6=6%=3x2q=3S2wO,與題意不符，所以

%(1-衣)

?=21x

由$4=-5,$6=2電可得，\-q,\-q\-q①,

由①可得，1+?2+/=21,解得：d=4,

a,^l~q^x(l+g4)=-5x(l+16)=-85

所以項=Jq

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列上｝的公比為以

因為邑=-5,凡=2電，所以"！否則$4=0,

從而，$2凡-$2鳳-

所以有，(一5-$2)2=$2出$2+5),解得：5=T或'I

當邑=T時,S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6即為一1，一4,一16,$8+21,

易知，5+21=-64,即工=-85；

2

當》—a時S4=al+a2+a3+a4=(%+a2)(1+q)=(1+42s2＞。

與其二-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握邑，工的

關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算.

5.C

【分析】記設(shè)。心=m,由幾何關(guān)系用6⑷逐個三角形推出^+

再由RtA6/［中,??々，+砧=2,'tang(機"機”,最終求出結(jié)果.

【詳解】記根據(jù)對稱性得到，陶學為月以口月用/7，

7

設(shè)RB=m,0<m<2f

在RM《即中PXB=mtanqPXC=l-mtan(?

PC-丁。---—_mPD=2-PC-2~—-—+m

在Rtz^C?中,2tanqtan7,22tan7

PD=PI>tanqtan7=(m+2)tanq-1

在鳥中,32粉tan7

月/二1一P3D=2一(加+2)tang

DA_P3A_2

在中,

2

%+2)+??=2tan^=—

?：PA+PB=2

Q0tan(7，得2

故選：C.

6.B

f/w=o

【分析】首先對/(X)求導(dǎo)，然后由題設(shè)在x=l時有極值10可得［“1)=1°解之即可求出。和6的值.

【詳解】解：對函數(shù)，(x)求導(dǎo)得/'@)=34-2"一方,

又???在x=l時/(x)有極值io,

f'^=3-2a-b=0

/(l)=l-o-Z)+a2=10

fa=-4Ji=3

解得1=11或1=一

當a=36=-3時/(x)=x3-3x2+3x+9/'(x)=3x2-6x+3=3(x-l)2>0

\a=-4

故在x=l無極值，故1'=11

故選：B.

【點睛】本題掌握函數(shù)極值存在的條件，考查利用函數(shù)的極值存在的條件求參數(shù)的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

8

5

【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，％+三=1,Z+%=3,再<0,所以白一"+4)/(M)-(匹+。

令g(x)=(x+4)e%x<0),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g(x)的單調(diào)性和極值，求出gOO在x<0時的值域，從而

5

2v(%)

得到T的取值范圍.

【詳解】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，％+三=1,匕+毛=3,再<0

5

?，(xj=(西+毛+W+網(wǎng)+石)A玉)=(占M);(⑷=(西M)ef'

Z=1

令g(x)=(x+4)e，(x<0),則g〈x)=(x+5)e*,

當x?-e,-5)時,gC(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當xe(-5,0)時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

又???當％<-4時，g(%)<0,且g(°)=4

gOOmin=g(-5)=--y

，入3<4

5"

■-?SvU)

I的取值范圍為L

故選：D.

8.D

【分析】做PWx軸于點"，得到點尸的縱坐標，從而得到然后根據(jù),列出方

因為四邊形片是等腰梯形，則片O=/"=c,OM=a-c

Z￡_4〉6〉0)

則點尸的橫坐標為°-c,代入橢圓方程ca1+b2

9

11

yn=-yjlac-cPM=—^lac-c

可得。，即a,

NO,？ON=—b

因為l人則4,

出

Ffl_ONc_彳。

RMPM=a/22

由A《N0~AGPM,則嚴,

化簡可得，3iz4-32ac3+16c4=0,同時除。4可得，16e4-32e3+3=0

對于/(e)=8e3-12/-6e-3

當e=l時，〃1)=-13<0,當e=2時，/(2)=1>°,

左c￡(1,2)1七壬口(2e—1}(8e3—\2e2—6^—3)=0后+日

在'J時，萬程'八)有根，

且ee(°，l),故應(yīng)舍，所以"5.

故選:D

【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于得到點尸的縱坐標，然后根據(jù)三角形相似列出方程，得到“°的關(guān)系式.

9.BC

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則和幾何意義即可進行判斷.

._2+3i_(2+3i)(T_i)」_5i_1.

［詳解］對于A,z?T+i(-l+i)(-l-i)222,A錯誤；

對于B,Z1，z2=(2+3i)(T+i)=_5—i,...4%=-5+i；

又z?=(2-3i)(-l-i)=-5+i,...Z「Z2=Z「22,B正確;

對于C,..?4+〃?=2+%+3i為純虛數(shù)，，〃z+2=0,解得：m=-2,c正確；

對于D,由題意得：方=(2,-3),赤=(-1,-1—=礪-況=(-3,2),

.」麗=屈=內(nèi)D錯誤.

故選：BC

10.BD

【分析】根據(jù)已知條件求出圓錐的側(cè)面積，棱錐的體積判斷AB,利用求得/S/8后可得其范圍判斷

C,把棱錐的兩個面△"8和攤平，利用平面上的性質(zhì)求SE+EC的最小值判斷D.

10

【詳解］由已知SC=2夜，圓錐側(cè)面積為S="xOCxSC="x2x2后=4后r,A錯;

-BC)=-x4x2=4噎x=—x4x2=_

B在圓周上，易得'△"口2[33.B正確;

-AB

ABV2

cosZ.SAB=-------廣0<cosZSAB<——

SA,又中，0</8<4,所以2,

-<NSAB<-

所以42.c錯;

時，把△雙3和攤平，如圖,

SE+CE的最小值是SC,此時，AB=BC=2柩=SA=SB,ABJ.BC,Z5BC=150°,

22

SC=y^SB+BC-2SB-BCcosZSBC=J8+8-2xgx2/^cosl50。=2L3+1,D正確

故選：BD.

11.ABC

2］

【分析】記玩家第4eN*）次抽盲盒并抽中獎品為事件4,依題意，P'~l,尸（4Mi）-3,

P（i1-）1p=_Lp1

'A"I/=2,利用全概率公式可判斷A選項；利用全概率公式推出"6+2,結(jié)合等比數(shù)列的

定義可判斷B選項；求出數(shù)列｛月｝的通項公式，可判斷C選項；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項.

【詳解】記玩家第^N*）次抽盲盒并抽中獎品為事件4,

片二一

依題意，7

心=尸（4）=尸（⑷.闋⑷+用飛4/艮）=|T｛1曰T塔

對于A選項,A對;

對于B選項，尸（4）"卬）尸⑷斌+尸（如尸（4匹）

1p“v

+—

所以,2,所以,

4=一月—--^0

又因為7,則77

［尸-4_1」

所以，數(shù)列〔”7J是首項為7,公比為6的等比數(shù)列，B對;

11

Pp=2_1C1^

對于C選項，由B選項可知，”7716J,則”7716J,

當“為奇數(shù)時，776一742,

尸二+—^p<p「￡

當”為偶數(shù)時，"77.6-1,則只隨著〃的增大而減小，所以，"242.

P<—

綜上所述，對任意的〃cN*,"42,c對；

對于D選項，因為“7716),則數(shù)列｛只｝為擺動數(shù)列，D錯.

故選：ABC.

【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法：

(1)當出現(xiàn)+加時，構(gòu)造等差數(shù)列;

(2)當出現(xiàn)°"=刈7+〉時，構(gòu)造等比數(shù)列；

(3)當出現(xiàn)時，用累加法求解；

詈=/(")

(4)當出現(xiàn)“I時，用累乘法求解.

12.ACD

【分析】由拋物線焦半徑公式可直接構(gòu)造方程求得。=2,知A正確；設(shè)/：了=丘+加，與拋物線方程聯(lián)

SCAR=—|(9Z)|,lx.—x212J%2,(-X)

立可得網(wǎng)/，乂%，由向量數(shù)量積的坐標運算可知B錯誤；由21/'\'可知C正

確；表示出直線尸N方程后，可求得/點坐標，進而得至IJ如,七/二一1,知/尸_L〃F,同理可得BP'NF,

由此可知D正確.

二必+與=必+1°

對于A,由拋物線焦半徑公式得：11-2-,解得：P=2,A正確;

對于B,由題意知：直線/斜率存在，設(shè)/：了=壯+優(yōu)，

\x2=2py=4y

2

由［＞=米+加得：x-4kx-4m=09?.?再/=—4加；

12

一.4乂％=包豈=1

由777=1得：x七——4,則-16

OAOB=x}x2+V,v2=-3,B錯誤;

對于C,若幽=P=2,則4與=-8＜0,不妨設(shè)看＜°＜》2,

V=；回…1=*2義仁一62&-（f）=4近（當且僅當-…=27時取等號），即

I,3OAB

則

A04B面積的最小值為4V2,c正確；

X；XxX2

k二必+加二_一_“二/

PA再+xx-x2

x2,------x------2-------------

對于D,直線尸4的斜率為22,

二直線尸/的方程為/一無='（"—玉），令廣0得：一必=寸（"一芯）=力,

X=血土,01

二點河的橫坐標為2,即（2人

,1-02

^MF=~二

0.土石_

則直線必7的斜率2,-kAP，kMF=-1,/.AP1MF,

同理可得：BPLNF,尸,尸四點共圓，口正確.

故選：ACD.

【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用的問題，本題D選項中，證明四點共圓的基本思路

是能夠通過說明兩條直線斜率乘積為T,得到兩條直線互相垂直，進而得到四邊形對角互補，得到四點

共圓.

13.4^5

【分析】由向量垂直的條件求出［（一2/），再得出"+2彼=3（4L2）+2卜2,1）=（814）,最后求出模長即

可.

【詳解】因為］與B共線，

所以4，-卜2）‘卜2）=0PL1,

所以很=（-21），

所以3尹2入3（4,-2）+2卜2,1）=（8,-4）,

13

所以附+2+和百=4石

故答案為：4下.

14.3

2兀兀71

【分析】由題意得7=6,T3,/=3,6=1.5,又f=°時，"=0,代入求值，得到6,求

出函數(shù)解析式，求出答案.

3—2兀——兀

【詳解】由題意得7=6,又。＞0,故T3,

且Z+6=4.5,—4+Z)=—1.5角畢得4=3,6=1.5

H=f(r)=3sin—t+0+1.5

故13；

c?1L八sin(7?=——

當f=0時，H=0,即3sme+l.5=0,丫2,

〃=/0=3sin的一口+1.5

故(36)

「/(2023)=3sin-^+1.5=3sin174兀+胃+1.5

jr

=3sin—I-1.5=3

6

故答案為：3

【分析】求出圓心和半徑，由已知條件可得以同=2,利用圓心￡(i，°)到直線/：x+v+〃?=°的距離

亞,解不等式即可求解.

【詳解】由x2+/-2x=0可得(1)2+/=1,所以圓心儀1，°),半徑r=l,

過點A可作兩條直線與圓E分別切于點3,C,且2BC為等邊三角形，

「=1=疝30。=1

所以即附2,所以圈=2,

14

+m\

d—??<\AE\=2

圓心E(L°)到直線/：x+y+m=O的距離亞一

角畢得：-2A/2-\<m<2V2-1,

故答案為：［"ET.

16.9V2

v_

【分析】設(shè)4a=6,首先求得〃的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得n的最大值.

b2+b2-262COS—=62+62-2x62coso^b1fl-cos—L62x(-cosa)

【詳解】設(shè)4a由題意，ni

bsin-=6sin4(X)，匕=xsin-x-\/62-b2(#)

得n2'J〃32n

.2a____________

V11,2.2〃萬―7?0Sm271I.2兀,2a

—=—x—xbxsin——xv6-b=72x-------xcos—xsin----sin——

〃幾幾

32nsi?n2—%'2

將(X)代入(#),可得〃

2%

因為cos/qqa=2cosa_1,所以c°s丁=2cosc-1

Vr,cosa-cos2cr_,

—=36A-----------------=365+5

n\222

V_

〃取得最大值9a.

故答案為：90

T-V3

17.(1)3(2)9

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理先將邊角化統(tǒng)一，然后由余弦定理即可得到結(jié)果；

AM=-AC+-AB\AM\

(2)根據(jù)題意可得，33,然后得到II,再由三角形的面積公式可得S,最后結(jié)合基

本不等式即可得到結(jié)果.

b_a-csin5—sinC_。一c

【詳解】(1)因為sin4+sinCsinsinC,即sinZ+sinCb

b-c_a-c

由正弦定理可得，b,化簡可得。2=62+02-左，

15

,1

cosA—_

且由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,所以2,

Tt

且，￡（o,兀）,所以=3

(2)

—?1―?—?1—?2―?

BM=-MCAM=-AC+-AB

因為2則可得33

所J商卜［%+：萬］得?+三狗.畫cos/

=^+^+hc

999

S--besin/=——be

且24

-bc+-bc

4

當且僅當一§c,即6=2。時，等號成立.

(---->2、

AM

S

所以IJmin

18.（1）是，證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）由題意求出數(shù)列｛%，/的遞推關(guān)系式％再由等比數(shù)列的定義可證；

（2）由條件品=361,得341%+510g24+20=361,再由函數(shù)/（xXSRx+SlogzX+ZO在（0,+的上單調(diào)

b」-L<1

遞增，，（1）=361=〃％）,求出生=1,從而“行，而利用4"一4（1）”411可得證.

【詳解】（1）數(shù)列｛%-｝成等比數(shù)列.

_flog2an,當〃為奇數(shù)時，

相毋.=12%+2,當〃為偶數(shù)時.

16

=2%+2=2sg2%-i+2=22tz?_=4。

得a2n+l212n-l.

。2"+1=4

6>0,-a2n-l>0,a2n-l

即數(shù)列｛%T｝成等比數(shù)列.

（2）由（1）得，%=1嗎%-1=1暇4+2（〃-1）,

故品=%(40+4]+42+43+44)+51og2%+2(0+1+2+3+4)=341%+510g2q+20

由510=361得341al+51og26+20=361

顯然，/(x)=341x+51og2x+20,%>0單調(diào)遞增，且/⑴=361=/(%)

I

故4=1,%“+=4〃=22",a2n+2=\og2a^2n=2n

zi\->I2、、=—<—)、+，=—<—

aT=bT=b

(log2^2n+l)'2n+24〃，44,1616

b」<1」

當心3時，"4?24(〃一1)〃4

1777

:.Tn=bx+b2+--+bn<-1+詼—-T<--

4416綜上，知“16

b=—7

【點睛】本題的關(guān)鍵是4/的適當放縮，從而利用裂項相消法求前〃項的和.

46

19.（1）證明見解析（2）2

【分析】（1）過G作GHHCB,交底面弧于石，連接"3,有HBCG為平行四邊形，根據(jù)題設(shè)可得FB1HB,

即用,CG,再由線面垂直的性質(zhì)可得磔,必，最后根據(jù)線面、面面垂直的判定即可證結(jié)論.

（2）構(gòu)建如下圖示空間直角坐標系"一個，令半圓柱半徑為「，高為力,確定相關(guān)點坐標，進而求平面

BDF、平面/3G的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及已知條件可得〃=2.，即可求出點G到直

線。尸的距離.

【詳解】（1）過G作G〃〃C8,交底面弧于連接的，易知：/仍CG為平行四邊形，

所以HB//CG,又G為弧C0的中點，則以是弧的中點,

17

所以4ffi/=45。，而由題設(shè)知：乙43尸=45°,則ZHBF=ZHBA+ZABF=9Q°,

所以用_LH3,即用_LCG,由CB_L底面月8尸,FBu平面尸，則CBLFB,又CBcCG=C,CB,CGu

平面BCG,

所以平面8CG,又FSu平面廠，所以平面的加，平面BCG.

（2）由題意，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標系"一中z,

令半圓柱半徑為廠，高為〃，貝心（°，2廠，0）,“（2廠,0,0）,0（0,0,〃），G（-r/,〃），

所以麗=（一2廠,0,〃）麗=（O,-2r,h）A8=（0,2r,0）就=（4“,〃）

m-FD=-2rx+hz=0

一《一.

若加=（x/,z）是面go尸的一個法向量，則［應(yīng).助=—2少+辰=0,令z=2小則加=（〃，人2）,

n-AB=2rb=0

<

若1（a,6,c）是面.G的一個法向量，則向就=-："+仍+法=0,令C”，則［小,0,廠），

I/__\|m-nh2+2r2y/15

所以k°s小，"）卜麗=72/+4晨折+〃2=K

整理可得（"j戶）伊+2戶）=0,則〃=2-，又48=2,

由題設(shè)可知，止匕時點G（T1,2）,。（。,。,2）「（2,。,0）,

貝裨=（2,0廠2）,詼=（-1,1,0）,

----?---->2

DGDF

d='DG-V6

所以點G到直線。尸的距離'2

20.⑴分布列見解析；期望為3（2）①證明見解析；②四。<蟲。

【分析】（1）方法一：先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學期望;

y-5|3,-1

方法二：判斷I9人結(jié)合二項分布的分布列和期望公式確定結(jié)論;

18

(2)①記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為外，則當〃22時，第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率

為P”T,由條件確定4Ml的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義完成證明;

②由①求出口。國%比較其大小即可.

【詳解】(1)方法一：X的所有可能取值為0』，2,3,

?1111

P—_x_x—V3—_

在一次撲球中，撲到點球的概率一333-9,

192

729

P（X=2）=C>

所以X的分布列如下:

X0123

512192241

P

729729729729

E(X)?xl+巨X2+-3.生」

7297297297293方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為