2024年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試模擬試卷試題及答案

2024年高中數(shù)學聯(lián)賽模擬練習（一試）含答案

本試卷共2頁，滿分120分，答題時間80分鐘。

姓名：成績：

一填空題（每小題8分，滿分64分）

1設集合Ac{1,2,...,9）滿足VaGA，10-aEA，則這樣的A的個數(shù)為

2在銳角三角形ABC中，邊BC=2,NB=2乙4,則邊AC的取值范圍是

3設aCR,函數(shù)/（%）-ax+b滿足|f（x）|<1對任意%6[0,1]都成立，則

ab的最大值為.

22

4P為雙曲線三一j=l右支上一點，點M、N分別在曲線%2+10x+y2+

916J

21=0和/一io%+y2+24=0上，貝lj\PM\-\PN\的最大值為.

5已知向量|a|=1,網(wǎng)=2,且a和b的夾角為|兀，若a+tb與ta+b

的夾角為鈍角，則t的取值范圍為.

6甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第奇數(shù)局，甲贏的概率為:；第偶數(shù)局，乙贏的概

率為I.每一局沒有平局.規(guī)定：當其中一人贏的局數(shù)比另一人贏的局數(shù)多兩次時

游戲結束.則游戲結束時，甲、乙兩人玩的局數(shù)的數(shù)學期望為.

7若X是棱長為V2的正四面體ABCD內(nèi)一點，以X在四面體ABCD的四個面

上的射影為頂點的新四面體的體積的最大值為.

8一個平臺的俯視圖為一個3義3的方格表，初始時在中心的方格。處有一只電子瓢

蟲，每過一秒鐘，該瓢蟲都會隨機選擇平行于平臺邊界的四個方向之一移動一個單

位.如果瓢蟲跌落平臺就會“死亡”，那么在2023秒后，該瓢蟲仍然“存活”的概

率是.

二解答題（滿分56分）

9（本題滿分16分）

已知復數(shù)列｛z"滿足：

V3

Z1=—>Zn+1=zn（l+zni）（其中n>1）

求Z2024-

10（本題滿分20分）

設非負實數(shù)x,y,z滿足a2+b2+c2=10.求

y/6—X2+,6_y2+.6―z2

的最大值和最小值.

11（本題滿分20分）

已知點（m>0）,N、P兩點分別在y軸、無軸上運動，且滿足MN-

而=Q,而=.

（1）求Q的軌跡方程；

（2）若一正方形的三個頂點在點Q的軌跡上，求其面積的最小值.

參考答案

填空題

1.302.(2V2,2V3)3.14.9

5.（手?。?,手）6詈7.—8.1

16221°11

二解答題

9^2024=y+（|+222023）i,解答如下：

設zn=an+bni,其中an,bnER,則有的=乎，瓦=。，當幾21時,

a

n+i+bn+1i=(an-hni)(l-bn+ani)

整理，

『n+l=+CLnbn=an

Ibn+1=al+b^-bn

所以

得

故z2024=a2024+^20241=y+(|+22M3)i-

10.最大值為2乃，最小值為V2+V6,解答如下:

令a=yj6—x2+yj6—y2+V6—z2

先考慮最大值：由柯西不等式，

u<5/3[(6—%2)+(6—y2)+(6—z2)]=2V6

當％=y=z=苧時不等式取等號.

接著考慮最小值：不妨設X2>y2>Z2，則04z2〈/，

因為對非負實數(shù)a,b有VH+Vb>,所以

u>7(6—%2)(6—y2)+6—z2-y/2+z2+6—z2

令f(n)=V2+n2+V6-n2,nG[o,y],f'(n)=n(^=-^=)>0

所以/(z2)>/(O)=V2+V6,當％=V6,y=2,Z=0時取等號.

11.(1)y2=4mx,(2)32m2,解答如下：

(1)設點Q(x,y),因為NP=^PQ,且點N在y軸上，所以N(O,—￡),

又0）,貝I」MN=（3m,,而=（%,巧，由麗?而=3小久一”=

0ny2=4m%，故點Q在y2=4mx上運動.

（2）設該正方形為ABCD其在y2=4mx上的三個頂點為4（%。%）、^（右,力）、

。（%3，、3）,不妨設A，B在X軸的下方（包括X軸），且之。之、2之九，則

14租'/4租'34m

設直線AB的斜率為k,則

y2-yi=k(X2-%1)

1

為一=一}(%3-12)

代入A,B,C，得力=半一、2'%=4mk-y29又\AB\=\BC\,所以

11+Q。2-7i)-Jl+：2(如-y2)=>-%=~k(y3-y2)

將當，丫3用y-i表示，得

j2,4m

4m4Am/c+-r-

%-工+先=-k(-4mk-2y2)=丫2=2(_,+])

I-----也2+1)

故\AB\="+修(乃-丫2)=4m_k(—k+l)

易知，022,噫/，所以

-k-k+12