2024屆錦州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆錦州市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［上的大致圖象如圖所示，則/(尤)可能是()

A./(x)=ln|sinx|

B./(x)=In(cos%)

C./(x)=-sin|tanx|

D./(x)=-tan|cosx|

2.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,?？梢詤⒓?，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參

加同一個(gè)小組的概率為()

3.設(shè)-4'尤”°,則/(/(—2))=(

2\%<0

3

A.-1

2

2x,x<0

已知函數(shù)〃力=，則/

log3x,x>0

V2，

C.-log32log

5.設(shè)4，吊是雙曲線。：，一與=1(。>04>0)的左，右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)工作C的一條漸近線的垂

線，垂足為尸.若歸耳則c的離心率為（）

A.V2B.若C.2D.3

'2x-y>0

6.不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镼,貝?。ǎ?/p>

x+y-3<0

A.V（x,y）￡。,x+2y>3B.3（x,y）eQ,x+2y>5

C.V（x,y）eQ,y+2〉3D.3（x,y）eQ,>5

x1x1

7.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）

A.12萬B.167r

C.24?D.48〃

函數(shù)〃—。）〉當(dāng)時(shí)，/（九）的值域?yàn)椤獎(jiǎng)t的范圍為

8.x）=sin[tyx（（y0）,xe[O,?],1,0（）

2I

9.如圖，在AA5C中，AN=-NC,尸是BN上一點(diǎn)，^AP=tAB+-AC,則實(shí)數(shù)f的值為（）

33

2￡

B.C.D.2

564

10.設(shè)函數(shù)/（x）=sin[0x+g]（0〉O）,若/（X）在[0,2用上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

~1229、（1229]「1229、「1229~

A.—,—B.—,—C.—，—D.—,—

L510J（510」U10J1510」

11.正四棱錐尸-A5CD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長為后，側(cè)棱長為26，則它的外接球的表面積

為（）

A.4萬B.8"C.16%D.20萬

x+y<2

12.設(shè)變量x,y滿足約束條件（2x-3yV9,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是（）

x>0

A.7B.5C.3D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

xy<2

13.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足0Vx<2,則點(diǎn)P（x,y）表示的區(qū)域面積為.

0<y<2%

14.已知向量￡=（1,1）,b=（-l,k）,alb>則1+*.

15.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是則,"=,該幾何體的表面積為

3

什々封什21

x+y>a

16.設(shè)％、V滿足約束條件｛,，且z=x+qy的最小值為7,則。=__________.

[x-y<-\

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為x和F,求x和y的分布列;

（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種

設(shè)備？請說明理由.

18.（12分）如圖，在四棱錐尸—A3CD中，。是邊長為4的正方形ABC。的中心，尸OJL平面ABC。，E為8C的

中點(diǎn).

（I）求證：平面PAC_L平面PBD；

（II）若PE=3,求二面角。―正―5的余弦值.

19.（12分）為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

SI0II6

60133458

712367778

8I12459

900123、

（I）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

（II）從圖中考核成績滿足Xe［80,89］的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

（85、

（III）記尸（a表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間［a,句的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P——<120.5時(shí)

培訓(xùn)有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說明理由.

20.（12分）如圖，在四棱錐尸-A5CZ）中，底面是矩形，如，平面且E,尸分別是棱A5,

PC的中點(diǎn).求證:

(1)E尸〃平面RW；

(2)平面PCE_L平面PCD.

21.(12分)已知函數(shù)才(無)=".

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若對任意的meR,當(dāng)x>0時(shí)，都有m212/(%)+：］>201機(jī)-1恒成立，求最大的整數(shù)七

(參考數(shù)據(jù)：el1.78)

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(%)=a/nx+d-(a+2)8其中

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/⑵)處切線的傾斜角為:，求。的值；

(II)已知導(dǎo)函數(shù)/'(力在區(qū)間。，e)上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)尤e(Le)時(shí)，f(x)>-e2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;

【題目詳解】

解：當(dāng)尤=0時(shí),sin0=0,Wsin0|無意義，故排除A；

又cosO=l,貝!|/(0)=—tan|cos0|=-tanlw0,故排除D；

對于C,當(dāng)時(shí)，卜anx|>0,所以/(%)=—sin|tanx|不單調(diào)，故排除C；

故選：B

【題目點(diǎn)撥】

本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.

2,A

31

【解題分析】依題意，基本事件的總數(shù)有3x3=9種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有3種，故概率為‘=上.

93

3、C

【解題分析】

試題分析：/(-2)=2-2=1,====故C正確.

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求值.

4、A

【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得/日的值，再求得的值.

【題目詳解】

故選:A

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解題分析】

j2f2j、

設(shè)過點(diǎn)E(c,o)作y=2x的垂線，其方程為y=—@(x—c),聯(lián)立方程，求得x=￡,y=—,即P—,由

abcc\cc)

|P^|=V6|OP|,列出相應(yīng)方程，求出離心率.

【題目詳解】

解：不妨設(shè)過點(diǎn)與(。,0)作丁=^^的垂線，其方程為丁=—藍(lán)(x—c),

b

y=~X27(2r\

由＜解得X=—,y=一，即尸一,——,

a(cc{cc

y=-g(x-c)、、7

.Ii后icM由t、i七。2/(a2丫(a4a2b2

由|DP/K?|=J6|OP|,所以有「一+—+c=6—+^~、

cc/cCj

化簡得3/=02,所以離心率e=￡=者.

a

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

6、D

【解題分析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)Z1=x+2y,Z2=?邛，分析Z1,z,的幾何意義,

x-1

可得馬,z2的最小值，據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.

其表示的平面區(qū)域如圖所示,

其中4(2,1),3(1,2),

設(shè)Z=x+2y,則y=—＞年，Z］的幾何意義為直線y=在y軸上的截距的2倍，

由圖可得：當(dāng)丁=—＞］過點(diǎn)3。,2)時(shí)，直線馬=》+2＞在y軸上的截距最大，即x+2y＜5,

當(dāng)V=—f+^過點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，直線1EV在y軸上的截距最小，即x+2y20,

故AB錯(cuò)誤；

設(shè)Z2=上土2,則Z2的幾何意義為點(diǎn)(羽y)與點(diǎn)(1,-2)連線的斜率，

x—1

由圖可得Z2最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯(cuò)誤，D正確；

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解題分析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代

入求得表面積公式計(jì)算.

【題目詳解】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2,

底面為等腰直角三角形,斜邊長為2點(diǎn)，如圖:

C

.?.AA3C的外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)。，ODLAC,且。。u平面5AC,

?.&4=AC=2,

二SC的中點(diǎn)。為外接球的球心,

半徑尺=6，

外接球表面積S=4萬X3=12萬.

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)

求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

8,B

【解題分析】

首先由可得。的范圍，結(jié)合函數(shù)/(%)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，解

不等式即可求得范圍.

【題目詳解】

因?yàn)閤e[O,乃],所以—'若值域?yàn)椋?/p>

所以只需工40乃—加，

23363

故選：B

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

9、C

【解題分析】

__2

由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到AP=AC+(1-m)AB，從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于，的方程，求出

，的值.

【題目詳解】

由題意及圖，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m^AN—AB)=mAN+(1—m)AB,

.2—-2—-—?2—

又，AN=-NCf所以AN二AAP=-mAC+(1-帆)AB>

l—m=t

又所以21，解得機(jī)=3,t=y,

3—m=—66

[53

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解題分析】

TT

由0WxW2萬求出。尤范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征，建立。不等量關(guān)系，即可求解.

【題目詳解】

當(dāng)xl［0,2%］時(shí)，CDX+—G—,2TT69+—,

???〃x)在［0,2句上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，

uc冗,12,29

**?57r<2xD7iH—<67r,??—<g<—.

5510

故選:A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解題分析】

如圖所示，在平面ABC。的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上，計(jì)算長度，設(shè)球半徑為R,則

(PE-R^+BE-=R-,解得R=2,得到答案.

【題目詳解】

如圖所示：P在平面ABCD的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上，

BD=yfiAB=26故BE=gBD=5PE=《PB?-BE?=3,

設(shè)球半徑為R,貝！J(PE—R)2+BE2=R2,解得R=2,故S=4萬R2=I6?.

故選：C.

AB

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

12、B

【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把

最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.

【題目詳解】

x+y<2

畫出約束條件2x-3yW9,表示的可行域，如圖,

x>0

x+y-2=0x=3

由可得?

2x-3y-9=0U=T

將z=2x+y變形為y=-2x+z,

平移直線y=—2x+z,

由圖可知當(dāng)直y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)(3,-1)時(shí)，

直線在丁軸上的截距最大，

z最大值為z=2x3—l=5,故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線)；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變

形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、l+21n2

【解題分析】

先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分即可求解.

【題目詳解】

xy<2

畫出實(shí)數(shù)x,y滿足<0Wx<2表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）:

0<y<2%

1/2

則陰影部分的面積S=—X1X2+J—公=l+2Inx|；=l+2（In2—Inl）=l+2In2,

故答案為：l+21n2

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

14、2

【解題分析】

由得a為=0,算出左=1,再代入算出卜+0即可.

【題目詳解】

a=（1,1）,b=（-1,k）,aLb,r.a=-1+左=0，解得：k=1,

a+Z?=（0,2）,則,+0=2.

故答案為：2

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的性質(zhì)，向量的模的計(jì)算.

15、1；3-出

【解題分析】

試題分析:如圖：此幾何體是四棱錐,底面是邊長為二的正方形,平面-,.13_平面」C］，并且之翳噴=鋤;，

所以體積是咨=」>*&產(chǎn)::將=之，解得==1，四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以計(jì)算出邊長，表面積是

考點(diǎn)：1.三視圖；2.幾何體的表面積.

16、3

【解題分析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=-^x+^z,對參數(shù)。分類討論，當(dāng)a=0時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)

aa

心1時(shí)，直線y=-+經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當(dāng)0<a<l

aa

時(shí)，y=—+的截距沒有最小值，即Z沒有最小值；當(dāng)。<0時(shí)，y=-Lx+^z的截距沒有最大值，即Z沒有

aaaa

最小值，綜上可得出結(jié)果.

【題目詳解】

x+y=aJa-la+

根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由｛,可得出交點(diǎn)A——,

x-y=-l122J

由2二%+做可得y=x-\—Z,當(dāng)a=0時(shí)顯然不滿足題意；

aa

當(dāng)aNl即-1W-工<0時(shí)，由可行域可知當(dāng)直線y=-^x+^z經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，

aaa

即巴士+心”1=7,解得0=3或一5（舍）；

22

當(dāng)0<。<1即-1<-1時(shí)，由可行域可知y=-^x+^z的截距沒有最小值，即z沒有最小值；

aaa

當(dāng)a<0即-L>o時(shí)，根據(jù)可行域可知丁=-^x+^z的截距沒有最大值，即z沒有最小值.

aaa

綜上可知滿足條件時(shí)Q=3.

故答案為：3.

本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對參數(shù)進(jìn)行討論.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)X分布列見解析，F(xiàn)分布列見解析；(2)甲設(shè)備，理由見解析

【解題分析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,F的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列;

(2)計(jì)算期望，得至lJE(X)=E(y)=108。。，設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為4，",計(jì)算分布列，計(jì)算

數(shù)學(xué)期望得到答案.

【題目詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=,P(X=11000)=—=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

p

To5io

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

P(Y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

r

10101010

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為自，7

J的可能取值為2,3,4,5

C、51八公101八303八51

PG=2)=—=—,P記=3)=—=—,P(自=4)=—=—,P(J=5)=—=—

50105055055010

則J的分布列為

J2345

1131

p

io55io

1131

E(a=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

P(7=3)=A=±,p⑺=4)=竺=3，p⑺=5)=竺=』，p(7=6)=—=—

5010501050105010

則〃的分布列為

73456

1333

p

1010K)10

1333

￡(n)=3x—+4x—+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=EC),E?<ES),因此需購買甲設(shè)備

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

18、(I)詳見解析；(II)—上叵.

29

【解題分析】

(I)由正方形的性質(zhì)得出AC，5。，由尸0,平面ABC。得出AC，。。，進(jìn)而可推導(dǎo)出AC,平面P3D,再利

用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

(II)取A6的中點(diǎn)"，連接OM、OE,以。暇、OE、O尸所在直線分別為％、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量法能求出二面角D-PE-B的余弦值.

【題目詳解】

(I)是正方形，.?.ACLBD,

POL平面ABC。，ACu平面ABC。，.?.尸OLAC.

OP.5r)u平面BBD,且0Pc5￡>=0,，AC_L平面PBD,

又ACu平面PAC,；.平面B4C_L平面尸3￡)；

(II)取AB的中點(diǎn)"，連接。"、OE,

MCD是正方形，易知OM、OE、O尸兩兩垂直，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M、OE、O尸所在直線分別為工、八

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

在HfAPOE中，OE=2,PE=3,:.P0=?

.?.8（2,2,0）、。（―2,—2,0）、。（0,0,君）、￡（0,2,0）,

設(shè)平面P3E的一個(gè)法向量加=（%,%,zj,BE=（-2,0,0）,PE=（0,2,—J?）,

m.BE=0Xj—0._/?—\

由〈，得1r令y=?,則玉=。，Z]=2,.,.加=0,J5,2.

v7

m-PE-0[2^-y/5z}=0

設(shè)平面POE的一個(gè)法向量〃=（9,%，Z2），DE=（2,4,0）,PE=（0,2,一研

I%+"—0o,?。?行，得Z2=2,得,二（—2石，石,21

m-n3y/29

cos<m,n'>—-；—,―；~~r=-------

|m|.|n|29

二面角O—PE—5為鈍二面角，二二面角D-PE-B的余弦值為-史耍

29

【題目點(diǎn)撥】

本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

73

i9>(I)—di)-cm)見解析

305

【解題分析】

(I)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

(II)結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可;

(III)求出滿足-^―<1的成績有16個(gè)，求出滿足條件的概率即可.

【題目詳解】

解：(I)設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件4,

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，

7

所以所求概率P(A)約為茄

(II)設(shè)從圖中考核成績滿足Xe［80,89］的學(xué)生中任取2人，

至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件B,

因?yàn)楸碇谐煽冊冢?0,89］的6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，

所以基本事件空間Q包含15個(gè)基本事件，事件3包含9個(gè)基本事件，

93

所以尸(3)=m

x-85

(in)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足<1的成績有16個(gè)，

x-85、16

所以P<1=—>0,5

103015

所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題.

20、(1)見解析；(2)見解析

【解題分析】

(1)取的中點(diǎn)G構(gòu)造平行四邊形但G,得到跳V/AG,從而證出所//平面R4D；

(2)先證平面PC。，再利用面面垂直的判定定理得到平面PC。，平面PCE.

【題目詳解】

證明：(1)如圖，取PD的中點(diǎn)G,連接AG,FG,

E是棱A5的中點(diǎn)，底面ABC。是矩形，

:.AE//CD,且

2

又F,G分別是棱PC,PD的中點(diǎn)，

：.FG//CD,且PG=」AC,

2

.-.AE//FG,且AE=FG,

四邊形AEFG為平行四邊形，

:.EFHAG,

又EF仁平面R4￡),AGu平面上4。，

.?.￡7?//平面上4￡)；

(2)PA=AD,點(diǎn)G是棱P。的中點(diǎn)，

-.AG±PD,

又EF//AG,:.EF±PD,

平面ABC。，COu平面ABC。，

:.PA±CD,

底面ABC。是矩形，.?.A。，CD,

PAu平面ABCD,ADu平面ABCD,且取AD=A,

\CDA平面PAD,

又一AGu平面PAD,二CD_LAG,

FEUAG,CDLEF,

又CDu平面PC。，平面PC。，且CD「］PD=D,

.?.EFL平面PCD,

又EFu平面PCE,

???平面PC。，平面PCE.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題.

21、(1)丁=夕(2)2

【解題分析】

(1)先求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.

⑵對加分成，加=0,加,0兩種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)771WO時(shí)，將不等式/(2/(為+口〉2屬加-1轉(zhuǎn)化為

2于(琦+上)2叵m—1,構(gòu)造函數(shù)/Z(X)=2/(X)+L利用導(dǎo)數(shù)求得力⑴的最小值(設(shè)為。)的取值范圍，由

xm冗