《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》課件與同步練習(xí)

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第一課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示思考1：1、如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置？2、在空間中給一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)定方向(向量),能確定一條直線在空間的位置嗎？3、給一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向(向量),能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？4、給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向(向量),能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？復(fù)習(xí)引入OP一、點(diǎn)的位置向量學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知二、直線的向量參數(shù)方程用向量表示直線l,就是要利用點(diǎn)A和直線l的方向向量表示直線上的任意一點(diǎn).如圖,是直線l的方向向量，在直線l上取,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，由向量共線的條件可知，點(diǎn)P在直線l的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得如圖,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使,①

將代入①式，得②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式，由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.例題講評(píng)鞏固練習(xí)學(xué)習(xí)新知三、平面的向量表示式一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？平面α可以由α內(nèi)兩條相交直線確定.如圖1,設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O,它們的方向向量分別為和,P為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得.這樣，點(diǎn)O與向量不僅可以確定平面α,還可以具體表示出α內(nèi)的任意一點(diǎn).學(xué)習(xí)新知四、平面的法向量進(jìn)一步地，一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？如果能確定，如何用向量表示這個(gè)平面？給定空間一點(diǎn)A和一條直線l,則過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線l的平面是唯一確定的A

給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量,那么過(guò)點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有l(wèi)學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知例題講評(píng)例題講評(píng)例3如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中點(diǎn).以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量.例題講評(píng)解∵AD、AB、AS是三條兩兩垂直的線段，設(shè)平面SCD的法向量＝(1，λ，u)，鞏固練習(xí)1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為(

)A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)A2.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是()A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)D鞏固練習(xí)3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證是平面ACD1的一個(gè)法向量.鞏固練習(xí)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),課堂小結(jié)1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第二課時(shí)空間中直線與平面的平行OP一、點(diǎn)的位置向量復(fù)習(xí)引入二、直線的向量參數(shù)方程如圖,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使,①

將代入①式，得②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式，由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.復(fù)習(xí)引入三、平面的向量表示式和法向量l復(fù)習(xí)引入

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.你能用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角嗎？你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小嗎？學(xué)習(xí)新知平行關(guān)系：圖示圖示圖示學(xué)習(xí)新知例1證明“平面與平面平行的判定定理”:若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.例題講評(píng)例題講評(píng)例2如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.線段B1C上是否存在點(diǎn)P,使得A1P//平面ACD1?例題講評(píng)例2如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.線段B1C上是否存在點(diǎn)P,使得A1P//平面ACD1?用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.鞏固練習(xí)解：已知直線l,m和平面α,其中,,且l//m,求證：

l//α.設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α的法向量為u.因?yàn)閘//m,所以.又因?yàn)閡是平面α的法向量,,所以,所以u(píng)·b=0,u·a=u·kb=0.所以l

//α.解：已知直線l,m和平面α,其中,,且l//m,求證：

l//α.設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α的法向量為u.鞏固練習(xí).如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是面AB1,面A1C1的中心，求證：EF//平面ACD1.如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，直線AD上是否存在點(diǎn)F,使得AE//CF?鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)如圖，在正方體AC1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是棱CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ//平面PAO?課堂小結(jié)

空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則利用空間向量解決平行問(wèn)題時(shí)，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；第二，通過(guò)向量的運(yùn)算，研究平行問(wèn)題；第三，把向量問(wèn)題再轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的立體幾何問(wèn)題，從而得出結(jié)論.lml1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第三課時(shí)空間中直線與平面的垂直復(fù)習(xí)引入平行關(guān)系：圖示圖示圖示復(fù)習(xí)引入垂直關(guān)系圖示圖示圖示學(xué)習(xí)新知1.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行鞏固練習(xí)1.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交鞏固練習(xí)

例1、用向量法證明：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。已知：直線m，n是平面內(nèi)的任意兩條相交直線，且求證：例題講評(píng)例題講評(píng)例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.例題講評(píng)例3證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直1、設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α//β

，則k=

；若α⊥β則k=

。2、若l的方向向量為(2,1,m),平面α的法向量為(1,1/2,2),且l⊥

α

，則m=

.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC＝CD,∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.課堂小結(jié)

空間中平行與垂直關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則利用空間向