【高中數(shù)學(xué)】函數(shù)的應(yīng)用（二）同步練習(xí) 2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

1.設(shè)函數(shù)y=f(x)有5個(gè)零點(diǎn)不，9，鼻,相，三，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x均滿足

f(x+4)+/(-x)=0,則%+%+鼻+兀+%=()

A.8B.10C.16D.20

2.方程2'+3x-4=0的實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間為().

B.(-1,0)C.(0,；［D.［；］

3.3表示不超過x的最大整數(shù)，例如［3.5］=3,［-0.5］=-1.已知是方程

lnx+3x_15=0的根，則區(qū)］=()

A.2B.3C.4D.5

知識(shí)點(diǎn)2用二分法求方程的近似解

4.某同學(xué)用二分法求方程3'+3x-8=O在xe(l,2)內(nèi)近似解的過程中，設(shè)

/(x)=3*+3x-8,且計(jì)算了⑴<0,〃2)>0,/(1.5)>0,則該同學(xué)在第二次應(yīng)計(jì)

算的函數(shù)值為()

A./(0.5)B./(1.125)C./0.25)D./(1.75)

5.已知函數(shù)f(x)在(10,12)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值的精確度為0.001,

若只從二等分區(qū)間的角度來考慮，則對(duì)區(qū)間(10,12)至少需要二等分()

A.8次B.9次C.10次D.11次

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)模型的應(yīng)用

6.一般來說，事物總是經(jīng)過發(fā)生、發(fā)展、成熟三個(gè)階段，每個(gè)階段的發(fā)展速度

各不相同，通常在發(fā)生階段變化速度較為緩慢、在發(fā)展階段變化速度加快、在

成熟階段變化速度又趨于緩慢，按照上述三個(gè)階段發(fā)展規(guī)律得到的變化曲線稱

為生長曲線.美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德?皮爾提出一種能較好地描述

生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析

式為了(幻=K>0,a>0,Z?>0),xe［0,+oo),該函數(shù)也可以簡(jiǎn)化為

K\f)

/U)=-—~西(K>0,a>\,Z<0)的形式.已知描述的

1+a1+3

是一種果樹的高度隨著時(shí)間x(單位：年)的變化規(guī)律，若剛栽種時(shí)該果樹的高為

1m,經(jīng)過一年，該果樹的高為2.5m,則該果樹的高度超過8m,至少需要()

A.4年B.3年C.5年D.2年

7.由于某地人們健康水平的不斷提高，某種疾病的患病率正以每年20%的比例

降低.若要求患病率低于當(dāng)前患病率的g，則至少需要經(jīng)過__________時(shí)間.(參

考數(shù)據(jù)：lg2“0.3,1g3?0.48)()

A.4年B.5年C.6年D.7年

8.某校學(xué)生在研究折紙實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對(duì)折后紙張達(dá)到一定的厚度時(shí)，便不能

繼續(xù)對(duì)折了.在理想情況下，對(duì)折次數(shù)〃與紙的長邊單位：cm)和厚度x(單

位:cm)滿足“wMog,紇根據(jù)以上信息，當(dāng)某張紙對(duì)折完4次時(shí)，色的最小值為

3xx

.現(xiàn)有一張長邊為30cm,厚度為0.01cm的矩形紙，該矩形紙最多能

對(duì)折次.(參考數(shù)值：1g2ao.3,lg3ao.48)

【提升能力】

9.隨著智能手機(jī)的普及，抖音、快手、火山視頻等短視頻APP迅速竄紅.針對(duì)這

種現(xiàn)狀，某文化傳媒有限公司決定逐年加大短視頻制作的資金投入，若該公司

2019年投入短視頻制作的資金為5000萬元人民幣，在此基礎(chǔ)上，若以后每年

的資金投入均比上一年增長8%,則該公司投入短視頻制作的資金開始超過

6900萬元人民幣的年份是()?(參考數(shù)據(jù)：lgl.08=0.03，1g5ao.70，lg6.9=0.84)

A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年

10.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(x),當(dāng)04x41時(shí),

=,則方程f(x)=—/在區(qū)間［-3,5］上所有解的和為().

(x-1)

A.8B.7C.6D.5

11.(多選)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值可以

為()

A.OB.2近C.3D.4

12.(多選)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(x)有4個(gè)零點(diǎn)演，x2,X],

2

x4(x,<x2<x3<x4),并且當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=x-ax+1,則下列說法中正確的是

()

A.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(YO,-2)u(2,+00)

B.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2+ax+\

C.西/吃％=1

D.%1+2X2+3芻+4X4的取值范圍是[2G,+OO)

13.已知函數(shù)/(x)=|行,則函數(shù)y=/(x)-3的零點(diǎn)為______.

[x+log2x,x>0

14.某種干細(xì)胞在培養(yǎng)過程中，每30分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè))，這

種干細(xì)胞由1個(gè)培養(yǎng)成1024個(gè)需經(jīng)過________小時(shí).

【綜合素養(yǎng)】

15.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)+/(-x)=0,且當(dāng)xWO時(shí),

f(l+x)=f(x),當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f(x)=x2,則函數(shù)尸(x)=(x—l)/(x)—1在[-4,5]

上有個(gè)零點(diǎn).

16.“半斤不臉紅，一斤不心跳，二斤倒不了！”酒駕者都有超乎尋常的“自

信”，顯然他們已經(jīng)忘記了酒精會(huì)使人神經(jīng)麻痹、遲鈍的真理.世界衛(wèi)生組織的

事故調(diào)查顯示，在中國，每年由于酒后駕車引發(fā)的交通事故達(dá)數(shù)萬起，而造成

死亡的事故中50%以上都與酒后駕車有關(guān)，酒后駕車的危害觸目驚心，已經(jīng)成

為交通事故的第一大“殺手”.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝一瓶紅酒后

酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如圖所示，且該圖表示的函數(shù)模型

30log”fxH—1+8,04x4-

為了(、)=22.

80X2-°-5V+10,X>-

2

酒精含量f(z)[mg/100inL

80

68.............，

60：?e

??

40*：■■

??

■

20?：°.

??

°132345678時(shí)間”(h)

2

（1）求。的值；

（2）當(dāng)酒精含量大于20mg/100mL是酒后駕車，則喝完一瓶紅酒最少要經(jīng)過

多長時(shí)間才可以安全駕車？（時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算）

答案以及解析

1.答案：B

解析：對(duì)于任意XGR,函數(shù)f(x)滿足f(x+4)+f(-x)=0,.?.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)

(2,0)對(duì)稱，函數(shù)/(%)的零點(diǎn)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，函數(shù)/(x)的5個(gè)零點(diǎn)中有2

對(duì)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，中間的零點(diǎn)是2,.?.%+々+&+玉+%=2x4+2=10.故選

B.

2.答案：A

解析：設(shè)f(x)=2*+3x-4,則/(￡j=23+3x；-4=0-

/(1)=2'+3-4=1>0,因?yàn)樗允欠匠?、+3x-4=0的實(shí)數(shù)根

所在的一個(gè)區(qū)間.又f(x)=2，+3x-4在R上單調(diào)遞增，故方程2，+3x-4=0有唯一

的實(shí)數(shù)根.故選A.

3.答案：C

解析：令/(x)=lnx+3尤一15,

當(dāng)x=4時(shí),/(4)=ln4+3x4-15<0,

當(dāng)x=5時(shí)，/(5)=ln5+3x5-15>0,

即八4)〃5)<0,又"X)單調(diào)遞增，其圖象是連續(xù)不斷的，所以"X)的零點(diǎn)所在

區(qū)間為(4,5),所以為］=4,故選C.

4.答案：C

解析:Q/⑴<0,/(2)>0"(1.5)>0,.,.在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)函數(shù)f(x)=3'+3x-8存在

一個(gè)零點(diǎn)，該同學(xué)在第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為/［笥)="1.25).故選C.

5.答案：D

解析：本題考查二分法求方程近似值的過程.設(shè)對(duì)區(qū)間(10,12)至少二等分n次，

此時(shí)區(qū)間長度為2,則第〃次二等分后區(qū)間長為工，依題意得工<0.001,

n>log22000,10<log22000<11,所以〃Nil.

6.答案：A

解析：由題可得y⑼=L則y+3：：io,解得人=2,左=_1,所以

1/(1)=2.5,[1+3=4，

/(幻=罟=，由函數(shù)解析式可知，/(X)在[0,+00)上單調(diào)遞增，且

/(3)=—31=雙=7.5<8,f(4)=—匕=9>8,故該果樹的高度超過8m,

1+3-'41+3-

至少需要4年.故選A.

7.答案：B

解析：假設(shè)至少需要經(jīng)過的時(shí)間為x(單位：年)，由題意得兩邊同時(shí)

取以士為底的對(duì)數(shù)得log/^T>log,1,?1

?^>>og4-

5W15Jm353

因?yàn)閘og」=」^_=Tg3上一=4.8,所以x>4.8,即x=5.故選

53Ig4-lg521g2-(l-lg2)31g2-l

B.

8.答案：64,7

解析:Sn<—log2—>得2log,q24,log2—>6>

3"x3"xx

.-.^>64,即絲的最小值為64.

XX

小回而音上口230_22nnn_2lg3+320.48+3

IlI忌、為口〃4—log。---二—l°g)3000=—x---------4一x-----------h7.7,

3*0.013231g230.3

故該矩形紙最多能對(duì)折7次.

9答案:B

解析：當(dāng)年份為〃時(shí)，短視頻制作的資金為5000x(l+8%)e9(萬元)，〃eN*,

“22019,由5000x(1+8%尸39>6900,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)并整理得

(?-2019)lgl.08>lg6.9-lg5,

解得n>S84-Q70+2oi9?4.7+2019=2023.7,從而得〃22024,

0.03

所以資金投入開始超過6900萬元的年份是2024年.故選B.

10.答案：A

解析：因?yàn)?(x)滿足/(2-x)=/(x),所以f(l-x)=/(l+x),所以f(x)的圖象關(guān)于

直線X=1對(duì)稱，

令//(x)=―二，則Mx)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，作出函數(shù)/(X)與〃(x)=——X

(x-1)-(x-1)

在［-3,5］上的圖象，如圖所示.

由圖知〃(x)與f(x)的圖象在區(qū)間［-3,5］上共有8個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線x=l對(duì)

11.答案：CD

解析:當(dāng)X40時(shí),f(x)<0恒成立,即仇x)在區(qū)間(ro,O］上無零點(diǎn),所以當(dāng)x>0

時(shí)，x|x-a|=2有三個(gè)正根，解得a=或a=x+2.當(dāng)x>0時(shí)，y=x-2單調(diào)遞

XXX

增，且x二eR,則方程a=有一個(gè)根，則方程a=x+2要有兩個(gè)根，即

XXX

V—6+2=0有兩個(gè)正數(shù)解，則卜="‘—〉。，解得心2立，故C、D項(xiàng)正確.

［xi+x2=a>0

12.答案：BC

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)且有4個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)x>0時(shí)/(x)有2

△=/—4>0,

個(gè)零點(diǎn)，故《-a=>。>2,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x<0時(shí),

——>0

2

-x>0,故/⑺=/(-幻=/+辦+1,故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由函數(shù)/(幻是偶函

數(shù)，%<毛<%3<%4可知X3%4=1，且芯=一%，X2=~X39故XRW/=(專%4)~=1，故C

正確；對(duì)于D選項(xiàng)，玉+2%+3毛+4兒=43+3Z=—+3兒，由工4>&>0，曰%4=1可

知國＞1,函數(shù)y='+3x在(1,+co)上單調(diào)遞增，故工+3%w(4,+8),故D錯(cuò)誤.故

xx4

選BC.

13.答案：-8和2

解析：令y=/(x)-3=0,得/(x)=3.

當(dāng)時(shí)，令J-x=3,得％=—8；當(dāng)x〉O時(shí)，/(x)=x+log2x,易知/(x)

在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，又/(2)=3,所以x=2.

故函數(shù)y=/(幻-3的零點(diǎn)為-8和2.

14.