數學文化 課件 2-中國古代數學與九章算術

數學文化第2章中國古代數學與《九章算術》章節(jié)目錄2.1中國古代文化中的數學2.2

《九章算術》及其對中國古代數學的影響*2.3

中西數學文化的比較與思考*2.4

關于數學文化史

原始社會末期，私有制和貨物交換產生以后，數與形的概念有了新的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器上面已刻有表示1，2，3，4的符號。到原始社會末期，已開始用文字符號取代結繩記事了。2.1中國古代文化中的數學2.1.1中國古代數學的萌芽

數學是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發(fā)展的特點，可以將其分為：萌芽、體系的形成、發(fā)展、繁榮和中西方數學的融合。

西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。

為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。

西安半坡遺址出土文物

商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；

與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；

在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。

公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。

《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為“六藝”之一的數已經開始成為專門的課程。

春秋戰(zhàn)國時期，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發(fā)展具有劃時代的意義。這個時期的測量數學在生產上已經有了廣泛應用。中國的《周髀算經》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經》（西周，前1100年）《周髀算經》中關于勾股定理的記載（上海圖書館藏）

戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數學的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題；而墨家則認為名來源于物，名詞可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義，例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。

秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數學體系正是形成于這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及《九章算術》為代表的數學著作的出現。

2.1.2中國古代數學的形成

《九章算術》封面

《九章算術》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數學發(fā)展的總結。就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術、開平方與開立方、盈不足術、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法等，在當時已經達到很高的水平，其中方程組解法和正負數加減法在世界數學發(fā)展史上遙遙領先的；就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。

《九章算術》顯著特點：采用按類分章的數學問題集形式；算式都是從籌算記數法發(fā)展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用。這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。最后成書于東漢初年，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法，這與當時社會的發(fā)展情況是完全一致的。

《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發(fā)展。

魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數學從理論上加以提高。

吳國趙爽撰《周髀算經注》

漢末魏初徐岳撰《九章算術注》

魏末晉初劉徽撰《九章算術注》

《九章重差圖》趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。2.1.3中國古代數學的發(fā)展

趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。他在《周髀算經》書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數學文獻。在“勾股圓方圖及注”中，他提出用舷圖證明勾股定理和解勾股形的5個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式。趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數學發(fā)展中占有重要地位。

劉徽約與趙爽同時代，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行“析理”，才能使數學著作簡明嚴密。他的《九章算術注》不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽

劉徽創(chuàng)造了割圓術，已經有了極限的初步思想，并首次算得圓周率為157/50和

3927/1250。劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。割圓術

東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以后，南方數學發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽《九章算術注》的基礎上，把傳統(tǒng)數學大大向前推進了一步。他們的數學工作主要有：

計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間（即約率22/7和密率355/113）；

提出祖暅原理（即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等）；

提出二次與三次方程的解法等。祖沖之（公元429-500年）

隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數學的發(fā)展。

唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數學的情況。王孝通在不用數學符號的情況下，列出數字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為后來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數字三次方程解決的。唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的《算經十書》，對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學家創(chuàng)立了二次函數的內插法，豐富了中國古代數學的內容。

算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點，又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點，優(yōu)越性十分明顯。但由于當時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。中國古代算籌唐中期以后，商業(yè)繁榮，數字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用于籌算，也適用于珠算。

公元960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學技術突飛猛進，火藥、指南針、印刷術三大發(fā)明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。

1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑搟之又進行翻刻。這些都為數學發(fā)展創(chuàng)造了良好條件。2.1.4中國古代數學的繁榮

從11～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現二項系數表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法的是劉益?！稐钶x算法》中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。

秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，秦九韶把常數項規(guī)定為負數，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母，常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽《九章算術注》處理無理數方法的發(fā)展。在求根的第二位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早600多年。

秦九韶(南宋,約1202-1261年)《數書九章》(1247)秦九韶字道古，杭州市道古橋便是以他的字命名的元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在“綴術推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數”題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世杰得到一個四次函數的內插公式。

用天元(相當于今天的未知數x)作為未知數符號，列出高次方程，古代稱為“天元術”，這是中國數學史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題?，F存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。

李冶(金、元1192-1279年)

《測圓海鏡》(1248)天元術（一元高次方程）從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數學家的又一項杰出的創(chuàng)造。對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術的基礎上發(fā)展起來的，他把常數放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然后應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。

勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決此問題。中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應該說它最后完成于元代。從明初到明中葉，商品經濟有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》和《魯班木經》的出現，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，后者把算盤作為家庭必須用品列入一般的木器家具手冊中。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨于完善。王文素、程大位、徐心魯等數學家增加了起一口訣，加、減口訣并在除法中廣泛應用歸除，從而實現了珠算四則運算的全部口訣化。

如果說《幾何原本》集中地體現了古希臘的數學傳統(tǒng)，那么，中國古代特有的數學傳統(tǒng)就在《九章算術》中有著典型的表現?！毒耪滤阈g》的確切寫作起始年代已不可考。作為中國古代數學的集大成者，這一著作應當說許多不同年代的修改與補充，才逐漸成為一種模式。2.2.1

《九章算術》2.《九章算術》及其對中國古代數學影響

《九章算術》采用問題集的形式,收集有246個與生產、生活實踐有聯(lián)系的應用問題,按不同內容列為九章,是為《九章算術》書名之由來。以方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股共9個類型的實踐應用性問題共分為9章。每道題有問(題目)、答(答案)、術(解題步驟和方法)。有的是一題一術,有的是多題一術,有的是一題多術?！靶g”實際是可應用的算法,以算籌為工具,是布列算籌的算法。全書共計246個問題，共給出202個具體的算法——“術”。

公元前221年，秦始皇結束了長達5個多世紀兼并征戰(zhàn)的局面，建立起我國第一個中央集權的國家，獎勵耕織、興修水利、重視冶煉、建筑長城，在生產推動下，科學技術有了很大的發(fā)展。至西漢前期，生產、科學技術有了更進一步發(fā)展，《九章算術》是在這種歷史條件下成書的，是我國著名的《算經十書》中最重要的一部。

《九章算術》成書于宋代，實際上除了個別片段外，它的基本內容應完成于公元前200年或更早些。由于秦朝的焚書，導致無一完整的數學書籍流傳下來，但由于先秦和西漢生產、科技的發(fā)展，使之積累了大量的數學知識，后經西漢的張蒼、耿秦昌將秦火殘卷片和積累的數學知識收集、加工、刪補整理編成《九章算術》?！毒耪滤阈g》是從先秦“九數”發(fā)展來的。原書有插圖，作者名氏不詳?，F傳本無插圖，書分九章，包括魏晉時劉徽和唐時李淳風等的注釋，北宋賈憲的細草，南宋楊輝的詳解，是世界數學經典名著。

《九章算術》的主要內容如下：

第一章：方田(土地測量，共36題)。主要講各種形狀的田畝面積的計算,同時系統(tǒng)地敘述了分數的加、減、乘、除的運算法則及分數的簡化。其中重要的術是“割圓術”。

第二章：粟米(糧食交易,共46題)。專講各種谷物之間的兌換問題。主要涉及比例運算問題,求第四比例項的算法,稱之為“今有術”。

第三章：衰分(比例分配,共2O題)。專講配分比例算法問題。其中重要的術是“衰分術”。

第四章：少廣(計算寬度,共24題)。已知面積和體積,求其一邊長和徑長等,專講開平方、開立方問題。其中重要的術是“開方術”，它開啟了中國古代解一元高次方程的先河。

第五章：商工(土方工程計算,共28題)。專講各種土木工程中提出的各種數學問題。主要是各種立體圖形體積的計算。其中重要的術是“陽馬術”，它開創(chuàng)了中國古代數學獨特的證明方法。第六章：均輸(公平的征稅,共28題)。專講如何按人口、路途遠近等合理運輸問題,以及按等級分物問題,合理攤派捐稅徭役的計算問題。（古時有“均輸平準”政策—當時按個地區(qū)人口多少、路途遠近、生產的糧食種類、繳納實物或攤牌徭役的計算方法）其中重要的術是“均輸術”。第七章：盈不足(過剩與不足,共2O題)。介紹一種叫做“盈不足術”的重要數學方法。問題涉及的內容多與商業(yè)有關。其中重要的術是“盈不足術術”。第八章：方程(列表計算法,共18題)。主要講一次聯(lián)立方程組的解法,也就是介紹利用線性方程組和增廣矩陣求解線性方程的一種方法,其中又提出了正負數的概念及其加減運算法則。其中重要的術是“方程術”，它相當于現在利用線性方程組的系數增廣矩陣變換的方法。第九章：勾股(直角三角形,共24題)。主要講勾股定理的各種應用問題,還提出了一般二次方程的解法。其中重要的術是“勾股術”。

從結構上看:

《九章算術》是按問題的性質和解法把全部內容分類編排；

《幾何原本》則是以形式邏輯方法把全部內容貫穿起來。從內容上看:

《九章算術》是以解應用題為主,包括了算術、代數、幾何等我國數學的全部內容。其中代數是為中國所創(chuàng)，而幾何中一些復雜的體積(楔形)計算水平之高是為《幾何原本》所沒有的；

《幾何原本》以數理邏輯內容取勝。從產生背景看:

《九章算術》產生于百家爭鳴形成眾多流派的春秋戰(zhàn)國和秦漢時期，當時生產技術的發(fā)展需要應用數學解決大量的實際問題，有力地推動應用數學的普及和發(fā)展，直接體現出數學的應用；

《幾何原本》成書于希臘形式邏輯的發(fā)展時期，寫書的目的是抽象出幾何規(guī)律，未直接體現出應用。

中國古代數學的獨特現象之一是數字最終演化為以“籌”（竹棍）的形式來表示，并以此為工具進行數學的運演操作。這是一種與古希臘數學符號運演相異的手工操作運演形式。（1）開放的歸納體系

中國古代數學發(fā)展與社會的生產實踐緊密結合，以解決現實生活中的實際問題為直接功利目的?！毒耪滤阈g》包括246個應用題及答案。它通常是先給出一些問題，從中歸納出某一類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領域各種問題的方法；再對這些不同方法進行歸納，提煉出數學模型，然后以各模型立章，編成《九章算術》。因此，《九章算術》具有濃厚的人文色彩、鮮明的社會性和突出的數學應用，是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放體系。2.2.2

《九章算術》的主要特征（2）算法化的概括《九章算術》按問題性質和解法分為九大類,每一大類為一卷；每一卷又分幾小類，每一小類都有一般解題步驟。這種步驟相當于現代數學的公式。大部分題都可套用解題步驟(公式)求得解答。即用一個固定的模式解決問題，形成所渭算法傾向?！毒耪滤阈g》的這種“以解題為中心，在解題中給出算法，根據算法組建理論體系”，是中國古代數學理論體系的典型代表。

(3)模型化的方法

《九章算術》各章都是先從相應的社會實踐中選擇具有典型意義的現實模型,并把它們表述成問題,然后通過“術”使其轉化為數學模型,或由數學模型轉化為對原型的應用。這正與現代數學教學中的“數學建?！毕嘁恢?。（4）獨特的籌算運演方式籌算的方法，即用竹棍作為數學符號、作為運演操作的工具是中國古代文化對人類數學的一個獨特貢獻。這種籌算的操作方式和運演程序表現了中國古代數學的極大創(chuàng)造性。這種運演操作不僅可以進行加、減、乘、除、開方、開立方的運算，而且在方程的運算方面更達到了令人驚奇的地步。

綜上，我們可以得出中國古代數學的基本特征為：

（1）以應用為目的的實用數學模式；

（2）以“籌算”為工具的數學表示形式與運演方式；

（3）以“算法”為核心的數學方法論與數學體系。2.2.3中國古代數學的特征

中國古代數學技藝性的文化價值觀，以及它保留、傳播和應用的極少數仕大夫群體和少數的社會實用技藝群體，使中國籌算的發(fā)展形成了兩種獨特的發(fā)展趨勢。

（1）任何一種數學傳統(tǒng)一旦得以形成，特別是具有了確定的方法和構造模式，就獲得了一定的自主性或獨立性，即其自身會在一定程度上產生引導數學家前進的動力。特別是，數學作為概念、方法和理論所存在的有待于進一步研究和解決的問題就會促使數學家深入地去進行研究。比如中國古代籌算會發(fā)展自己的概念、方法、構造形式和解決問題的難度。

（2）籌算作為中國文化系統(tǒng)中的技藝應用系統(tǒng)，必然最終演化為一種計量應用的實用工具。這就是說，籌算的竹棍排擺運演形式必然會在社會實踐應用的壓力和文化價值的經世致用的技藝價值觀念引導下，發(fā)展成為一種更方便、更實用的算法，這就是珠算。*2.3

中西數學文化的比較與思考

關于中西數學文化的比較研究，應當注意以下三個層面的問題：

第一，如何正確地揭示數學價值觀的差異對數學的形成發(fā)展、以及由此演化而成的數學構造體系的重要影響？

第二，如何從上述角度去認識《九章算術》與《幾何原本》的差異并作出評價？

第三，除去兩者的差異外，什么又是兩者乃至整個古代人類數學的共同特征？

《幾何原本》與《九章算術》是在不同的數學價值觀指導下，并在文化系統(tǒng)的不同層面上得到發(fā)展和建構的。具體地說，《幾何原本》是在數學作為表現世界、構造世界的基本形式這一價值觀念下展開它的理性意義上建構的，這就使得《幾何原本》建立在一種理性論證的基礎上，以適應當時文化理性思辨的具體要求，也就應當是幾何的、三段論式的，并表現為完全脫離具體問題的一種邏輯演繹建構。

第一個問題的回答：

《九章算術》是在中國文化實用技藝的價值觀念下展開構成的。作為實用的技藝，就應對現存的社會問題給出具體的、可應用的方法就是《九章算術》的惟一追求。非邏輯為主并且運用直觀、類比、歸納等思維方式，表現具體問題并以實用的方法進行分類，數學的概念與運演方法——“術”緊密地聯(lián)系在一起，這些就是《九章算術》的主要特征。

如果承認不同的民族文化會對古代的數學創(chuàng)造和發(fā)展造成重要影響的話，那么，一個必然的結論就是：我們同時也應承認不同的民族文化在古代數學創(chuàng)造中形成的各種不同的數學形式、方法和構造等都有其內在的合理性。從這樣的角度去分析，我們就不應把某種特定文化中的數學模式人為地界定為人類古代數學的標準模式，而應明確承認不同文化對古代數學的貢獻，并依據這樣的立場去進行比較和評價。

第二個問題的回答：（1）《幾何原本》從公理、公設及概念出發(fā)展開理性論證；

《九章算術》從實踐應用問題出發(fā)展開其實際應用。（2）《幾何原本》的運演過程明確地表現為邏輯三段論式的形式；

《九章算術》的籌算運演則表現為確定的手工操作程序。（3）《幾何原本》以概念、公設、公理為基礎，通過邏輯論證獲得數學結果——命題；

《九章算術》以具體問題為基礎，以“術”——籌算規(guī)律獲得問題的解決?！毒耪滤阈g》與《幾何原本》有以下幾個方面的差異（4）《幾何原本》的命題運演過程明確表現在文字符號的書寫過程之中；

《九章算術》的籌算運演只保留結果，相應的運演過程在手工操作后都不復存在。（5）歐幾里得按當時的理性要求分類規(guī)劃了《幾何原本》的結構，并以5種正多面體的論證作為全書的結尾；

《九章算術》按解決具體問題的要求分類劃分，其目標為實用，而不是要在理性或抽象數學的意義上進行邏輯形式的建構。

作為《九章算術》與《幾何原本》的比較，除去上述的差異以外，我們也應注意兩者的共同點。我們認為，兩者共同的特征表現為5個方面：

（1）概念方面。數學應當形成脫離具體事物屬性、也即具有一定抽象意義的概念，后者并應具有一般意義的指稱（如“率”、“衰分”、“盈不足”