數(shù)學(xué)文化 課件 4-現(xiàn)、當(dāng)代中國數(shù)學(xué)文化史;5-解析幾何的思想方法與意義;6-微積分的思想方法與意義

數(shù)學(xué)文化第4章

現(xiàn)、當(dāng)代中國數(shù)學(xué)文化史章節(jié)目錄4.1現(xiàn)代中國數(shù)學(xué)史簡介4.2

當(dāng)代中國幾項(xiàng)數(shù)學(xué)成果及其代表人物

中國古代數(shù)學(xué)以其“實(shí)用化”、“模式化”、“程序化”在世界數(shù)學(xué)之林中獨(dú)樹一幟。但是在經(jīng)歷了長期封建社會閉關(guān)鎖國的政策之后，中國的科技落后了，數(shù)學(xué)落后了。

到了近現(xiàn)代，特別是中華人民共和國成立之后，覺醒的中國人奮起直追，中國的數(shù)學(xué)有了長足的進(jìn)步。著名華人數(shù)學(xué)家陳省身先生說，中國現(xiàn)在已經(jīng)是一個“數(shù)學(xué)大國”，但我們還不是數(shù)學(xué)強(qiáng)國。讓我們來尋覓一下現(xiàn)當(dāng)代中國數(shù)學(xué)發(fā)展的足跡。

由于長期的封建社會閉關(guān)鎖國的影響及其它原因，我國數(shù)學(xué)與其它科學(xué)一樣，也逐漸落后于世界。

1606年，徐光啟與意大利傳教士利瑪篤開始合作翻譯《幾何原本》，雖然這是利瑪篤本人提議的，但這卻是中國數(shù)學(xué)接觸世界數(shù)學(xué)的發(fā)軔。4.1.1現(xiàn)代中國數(shù)學(xué)史簡述

4.1現(xiàn)代中國數(shù)學(xué)史簡介

據(jù)傳，利瑪篤來中國傳授西方文化，開始幾年幾乎沒有進(jìn)展。為此，利瑪篤向意大利的教皇與政府提議，應(yīng)當(dāng)先用科學(xué)知識向中國滲透。不管利瑪篤的目的為何，《幾何原本》的翻譯確是中國開始接觸世界數(shù)學(xué)的開始?？上У氖牵瑑H僅翻譯了前六卷，工作就停了下來。直到250年后的1858年，李善蘭與英國傳教士偉列亞力才完成后七卷的翻譯工作。

20世紀(jì)初期，利用“庚子”賠款的返還，我國部分青年學(xué)子走出國門，到歐美一些先進(jìn)國家留學(xué)。這些學(xué)成回國的數(shù)學(xué)學(xué)子是中國近代數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)教育的主要力量，他們促進(jìn)了中國數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步。

一般的說法，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)始于清末民初。大批知識分子懷著“科技救國”的抱負(fù)，遠(yuǎn)涉重洋，赴歐美和日本等地留學(xué)，其中包含一批數(shù)學(xué)愛好者。他們中的多數(shù)回國后紛紛在全國各地創(chuàng)辦起大學(xué)數(shù)學(xué)系，并成為著名的數(shù)學(xué)教育家。留日歸來的馮祖荀在北京大學(xué)創(chuàng)建了數(shù)學(xué)系；1920年，從美國哈佛大學(xué)留學(xué)歸來的姜立夫在天津南開大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系；法國歸來的熊慶來先后在東南大學(xué)（現(xiàn)南京大學(xué)）和清華大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系；1917年，取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位的我國第一位數(shù)學(xué)博士胡明復(fù)和他的哥哥胡敦復(fù)回上海辦大同大學(xué)；從日本歸來的陳建功和蘇步青先后到浙江大學(xué)創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系。

到1932年，全國已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。

1930年熊慶來在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究生部，開始招收研究生。陳省身、吳大任成為我國最早的兩位數(shù)學(xué)研究生，而陳省身是中國人自己培養(yǎng)的第一位數(shù)學(xué)碩士。

20世紀(jì)30年代出國留學(xué)的還有江澤涵、陳省身、華羅庚、許寶睽等人，他們都成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。 與此同時(shí)，也有少數(shù)外國數(shù)學(xué)家開始來華講學(xué)。如英國的羅素(B.Russell，1920)、美國的伯克霍夫(G.D.Birkhoff，1934)、奧斯古德(C.E.Osgood，1934)、維納(N.Wiener，1935)，法國的阿達(dá)瑪(J.S.Hadamard，1931)等，他們開始了中外的數(shù)學(xué)交流活動。

這一時(shí)期我國數(shù)學(xué)研究的主要突破：在分析學(xué)方面，陳建功的三角級數(shù)論、熊慶來的亞純函數(shù)與整函數(shù)論的研究是這一領(lǐng)域的代表作；另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果。在數(shù)論和代數(shù)方面，華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)取得了舉世矚目的成果。在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面，蘇步青的微分幾何學(xué)，江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，陳省身的纖維叢理論和示性理論等研究做了開創(chuàng)性的工作。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，許寶睽在一元和多元分析方面得到許多基本定理。

此外，李儼和錢寶琮開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。 我國的數(shù)學(xué)研究在建國后取得了長足的進(jìn)步。

1953年出版了華羅庚的《堆壘素?cái)?shù)論》；

1954年出版了蘇步青的《射影曲線概論》與陳建功的《三角函數(shù)的級數(shù)和》；

1954-1955年出版了李儼的《中算史論叢》5集等專著； 到1966年，共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬余篇。 這一時(shí)期，我國在數(shù)學(xué)的許多方向都有所突破，有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平。 1956年，華羅庚的“典型域的多元復(fù)變函數(shù)論”，吳文俊的“示性類及示嵌類的研究”獲國家自然科學(xué)獎一等獎；

蘇步青的“K展空間和一般度量空間”獲二等獎。這些成果標(biāo)志著我國的數(shù)學(xué)已經(jīng)開始向世界數(shù)學(xué)前沿進(jìn)軍了。

老一輩的數(shù)學(xué)家成了我國數(shù)學(xué)研究的帶頭人和辛勤的教育家，他們從無到有開創(chuàng)了我國數(shù)學(xué)的許多分支和研究方向，培養(yǎng)了大批數(shù)學(xué)人才，一支生氣勃勃的科研、教師隊(duì)伍逐步形成。 這一時(shí)期，特別值得一提的是形成了中國數(shù)學(xué)的四大流派:

(1)以陳建功、熊慶來為代表的函數(shù)論流派； (2)以華羅庚、柯召為代表的中國數(shù)論流派； (3)以蘇步青、嚴(yán)志達(dá)為代表的微分幾何流派； (4)以江澤涵、吳文俊為代表的拓?fù)鋵W(xué)流派。

可惜的是，十年“文化大革命”使得我國數(shù)學(xué)和國際水平的差距又拉大了。當(dāng)然，在這十年內(nèi)，仍有少數(shù)人堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)研究，并取得了世界一流的成績，陳景潤就是一個突出的例子。這一時(shí)期，中國數(shù)學(xué)家在理論數(shù)學(xué)方面的主要工作有：（1）1973年陳景潤在《中國科學(xué)》上發(fā)表了《大偶數(shù)表示為一個素?cái)?shù)及一個不超過二個素?cái)?shù)的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的結(jié)果，并取得1978年的中國科學(xué)成果一等獎；

（2）在函數(shù)值分布論方面，楊樂和張廣厚取得了一系列具有國際水平的成果；（3）侯振挺在齊次可列馬爾可夫過程提出的“非保守Q過程唯一性準(zhǔn)則”被國際上譽(yù)為“侯氏定理”，并榮獲1978年度戴維遜獎；（4）馮康從事的有限元方法研究在國際上居領(lǐng)先地位；

（5）包頭市第九中學(xué)物理教師陸家羲徹底解決了組合數(shù)學(xué)中的“柯克曼(Kirkman)序列”和“斯坦納(Stana)序列”兩大世界難題；

（6）在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，以華羅庚為首的數(shù)學(xué)工作者在全國積極推廣“統(tǒng)籌法”和“優(yōu)選法”；以蘇步青為首的數(shù)學(xué)工作者在上海江南造船廠結(jié)合船體放樣，開展了曲線奇點(diǎn)和拐點(diǎn)的理論及計(jì)算幾何的研究都取得了顯著的成績。此外，關(guān)肇直、秦元勛、周毓麟、李德元等在國防建設(shè)方面均作出了重大貢獻(xiàn)。

1977年，我國制定了新的數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)劃，恢復(fù)了全國數(shù)學(xué)學(xué)會和各地?cái)?shù)學(xué)分會。

1978年11月中國數(shù)學(xué)會召開第二次全國代表大會。不久，我國不少大學(xué)數(shù)學(xué)系開始招收研究生與博士生。

1986年，中國在國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(IMU)的代表權(quán)問題獲得解決。當(dāng)年在伯克利的會議上，吳文俊應(yīng)邀作了題為“中國數(shù)學(xué)史的新研究”的45分鐘報(bào)告。

1990年京都會議上，我國旅美數(shù)學(xué)家田剛、林芳華各做了45分鐘報(bào)告。直至2002年在北京舉行的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會前，中國內(nèi)地?cái)?shù)學(xué)家正式在大會上做過45分鐘報(bào)告的有馮康、吳文俊、張恭慶、馬志明等。2002年第24屆國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開，這標(biāo)志著我國在國際數(shù)學(xué)界地位的提高，我國數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展已經(jīng)受到國際數(shù)學(xué)界的認(rèn)可和重視。

華羅庚為中國數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了舉世矚目的貢獻(xiàn)。美國著名數(shù)學(xué)家貝特曼(Bateman)稱華羅庚“一直是中華人民共和國第一流的科學(xué)巨人之一……，像愛因斯坦在美國一樣，最后成為本國傳奇式的科學(xué)家”，“足夠成為全世界所有著名科學(xué)院院士”。他被芝加哥科學(xué)技術(shù)博物館列為當(dāng)今世界88位數(shù)學(xué)偉人之一，國際數(shù)學(xué)界公認(rèn)他是“絕對第一流的數(shù)學(xué)家”。1.

華羅庚（1910-1985）4.1.2近代中國主要數(shù)學(xué)代表人物及其主要成果

1910年11月12日出生于江蘇金壇金城鎮(zhèn)1924年金壇中學(xué)初中畢業(yè)后開始刻苦自學(xué)數(shù)學(xué)1930年在上?！犊茖W(xué)》上發(fā)表《蘇家駒之代數(shù)的五次方程式解法不能成立理由》，被清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任熊慶來推薦擔(dān)任清華大學(xué)圖書館助理員，后擔(dān)任助教、講師

1936經(jīng)清華大學(xué)推薦赴劍橋大學(xué)留學(xué)

1938年回國擔(dān)任西南聯(lián)合大學(xué)教授

1946年赴美國任普林斯頓數(shù)學(xué)研究所研究員

1949年攜全家返回祖國，歷任清華大學(xué)教授，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所所長，中國數(shù)學(xué)會理事長

他潛心為新中國培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才，王元、陸啟鏗、龔升、陳景潤、萬哲先等在他的培養(yǎng)下成為著名數(shù)學(xué)家。他的科學(xué)成果蜚聲國內(nèi)外，在國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果就有“華氏定理”、“懷依-華不等式”、“華氏不等式”、“普勞威爾-嘉當(dāng)-華定理”、“華氏算子”、“華-王方法”等。1984年美國科學(xué)院授予他外籍院士，他是第一位獲此殊榮的中國人。1985年被選為全國政協(xié)副主席。他是第一至第六屆全國人大常委委員。1952年加入民盟，1979年當(dāng)選為民盟中央副主席。1958年申請加入中國共產(chǎn)黨，1979年被批準(zhǔn)加入中國共產(chǎn)黨。華羅庚的主要學(xué)術(shù)著作有《堆壘素?cái)?shù)論》、《數(shù)學(xué)引論》、《典型群》、《高等數(shù)學(xué)引論》(第1卷)、《數(shù)論導(dǎo)引》、《優(yōu)選法》、《統(tǒng)籌方法平話》、《數(shù)學(xué)歸納法》等。發(fā)表論文約200篇，專著數(shù)十本，其中有8本被國外翻譯出版，有些被列入20世紀(jì)經(jīng)典著作之列。

1985年6月12日，華羅庚應(yīng)日本數(shù)學(xué)界的邀請?jiān)跂|京大學(xué)講臺上作《在中國普及數(shù)學(xué)方法的若干個人體會》的學(xué)術(shù)演講，突然昏倒在地上——急性心肌梗死，在場醫(yī)生立即進(jìn)行搶救，然而一切努力都無濟(jì)于事，華老離開了人世，享年75歲。

1902年9月出生在浙江平陽縣。

1919年蘇步青赴日本留學(xué)； 1931年畢業(yè)于日本東京帝國大學(xué)數(shù)學(xué)系，獲理學(xué)博士學(xué)位。1931年3月應(yīng)著名數(shù)學(xué)家陳建功之約，受聘于國立浙江大學(xué)，先后任數(shù)學(xué)系副教授、教授、系主任、訓(xùn)導(dǎo)長和教務(wù)長。其間，與陳建功一起創(chuàng)立了“微分幾何學(xué)派”。

2.蘇步青（1902-2003）

1952年10月，到復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系任教授、系主任，后任復(fù)旦大學(xué)教務(wù)長、副校長和校長。他曾任多屆全國政協(xié)委員、全國人大代表，以及第七、第八屆全國政協(xié)副主席和民盟中央副主席等職。

2003年3月17日在上海逝世，享年101歲。

蘇步青在做研究生時(shí)發(fā)現(xiàn)了四次（三階）代數(shù)錐面，被學(xué)術(shù)界譽(yù)稱為“蘇錐面”，后在“射影曲線論”、“射影曲面論”、“高維射影空間共軛網(wǎng)理論”、“一般空間微分幾何學(xué)”和“計(jì)算幾何”等方面都取得了世界公認(rèn)的成就，特別在著名的戈德序列中的第二個伴隨二次曲面被國內(nèi)外同行稱為“蘇二次曲面”。他還證明了閉拉普拉斯序列和構(gòu)造（T4），被世界學(xué)術(shù)界譽(yù)稱為“蘇鏈”。

蘇步青一生共發(fā)表論文168篇，出版了《蘇步青論文選集》、《射影曲線概論》、《射影曲面論》、《一般空間微分幾何學(xué)》、《計(jì)算幾何》等專著，有的已在國外翻譯出版。

德國著名數(shù)學(xué)家布拉須凱稱蘇步青是“東方第一個幾何學(xué)家”，歐美、日本的數(shù)學(xué)家稱他和同事們?yōu)椤罢愦髮W(xué)派”。他的研究成果“船體放樣項(xiàng)目”、“曲面法船體線型生產(chǎn)程序”分別榮獲全國科學(xué)大會獎和國家科技進(jìn)步二等獎。

蘇步青先后培養(yǎng)了近100名研究生，有8人被選為中國科學(xué)院院士。在復(fù)旦數(shù)學(xué)研究所，蘇步青更有谷超豪、胡和生和李大潛3位院士高足，形成三代四院士共事的可喜現(xiàn)象。

陳建功是我國著名數(shù)學(xué)家，中國函數(shù)論學(xué)科的奠基人。1893年出生在浙江紹興，1913年畢業(yè)于杭州高級師范學(xué)校，曾于1913年、1920年、1926年三次赴日求學(xué)，1929年獲得理學(xué)博士學(xué)位，不久即回國出任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。

1930年陳建功以日文發(fā)表了名著《三角級數(shù)論》，創(chuàng)造了許多日文數(shù)學(xué)名詞，日本人至今還在使用。

陳建功與哈代、李特爾伍德共同發(fā)現(xiàn)三角級數(shù)在區(qū)間上絕對收斂的充要條件，被國際上譽(yù)為“陳-哈代-李特爾伍德定理”。3.陳建功（1893-1971）

抗戰(zhàn)期間，陳建功在大西南十分艱苦的條件下，與蘇步青共同創(chuàng)建了浙江大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，專門從事函數(shù)論方面的理論研究。

抗戰(zhàn)勝利后，陳建功參與接收臺灣大學(xué)，1946年辭去臺灣大學(xué)代理校長的職務(wù)，又回浙江大學(xué)任教，同時(shí)兼任中央數(shù)學(xué)研究所研究員。

期間，陳建功在傅里葉級數(shù)研究上取得了新進(jìn)展。1952年調(diào)上海復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系任教授。 1955年當(dāng)選為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員。 1956年被評為一級教授。 1959年調(diào)任杭州大學(xué)副校長。

曾任中國數(shù)學(xué)學(xué)會理事長等職。

主要著作有《三角級數(shù)論》、《直交函數(shù)級數(shù)的和》、《實(shí)函數(shù)論》等。他對函數(shù)論，特別是對其中的直交函數(shù)級數(shù)論、三角級數(shù)論、單葉函數(shù)論和函數(shù)逼近論等方面都作出了重大貢獻(xiàn)。

1911年10月28日生于浙江嘉興秀水縣，美籍華人，20世紀(jì)世界級的幾何學(xué)家。

1930年從南開大學(xué)畢業(yè)，到清華大學(xué)任助教并就讀清華大學(xué)研究生，隨孫光遠(yuǎn)先生攻讀射影微分幾何；

1932年在《清華大學(xué)理科報(bào)告》上發(fā)表第一篇學(xué)術(shù)論文《具有一一對應(yīng)的平面曲線對》；

1934年夏畢業(yè)于清華大學(xué)研究生院，隨后去德國漢堡師從著名數(shù)學(xué)家嘉當(dāng)讀博士。4.

陳省身（1911-2004）

1935年10月完成博士論文《關(guān)于網(wǎng)的計(jì)算》和《２ｎ維空間中ｎ維流形三重網(wǎng)的不變理論》。

1936年9月到巴黎大學(xué)做學(xué)術(shù)訪問。

1937年受聘為清華大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。

1943年7月在美國普林斯頓大學(xué)做大范圍微分幾何研究，先后完成了兩項(xiàng)劃時(shí)代的重要工作，其一為黎曼流形的高斯-博內(nèi)一般公式的證明，另一為構(gòu)造了埃爾米特流形的示性類。

在這兩篇論文中，他首創(chuàng)應(yīng)用纖維叢概念于微分幾何的研究，引進(jìn)了后來通稱的陳示性類，為大范圍微分幾何的研究提供了不可缺少的工具，成為整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要構(gòu)成部分。陳省身的代表性工作還有復(fù)變函數(shù)值分布的復(fù)幾何化中的陳-博特定理、復(fù)流形上的實(shí)超曲面的陳-莫澤理論、量子力學(xué)的“陳-西蒙斯微分公式”、與南京大學(xué)教授嚴(yán)志達(dá)合作建立的高維歐氏空間。

積分幾何運(yùn)動的基本公式——“陳-嚴(yán)公式”，成為積分幾何的經(jīng)典。他開創(chuàng)并領(lǐng)導(dǎo)著整體微分幾何、纖維叢微分幾何、“陳省身示性類”等領(lǐng)域的研究，在國際數(shù)學(xué)界享有崇高的威望。1948年中華民國中央數(shù)學(xué)研究所正式成立，陳省身任代理所長，主持?jǐn)?shù)學(xué)所一切工作，并入選中央研究院第一屆院士。

1949年陳省身到達(dá)芝加哥，擔(dān)任芝加哥大學(xué)的幾何學(xué)教授，在十年中形成了美國的微分幾何學(xué)派。

1960年遷往柏克利，一直工作到退休。

1961年被美國科學(xué)院推舉為院士，并入美國國籍。

1972年9月首次偕夫人回國。

1981年，擔(dān)任美國數(shù)學(xué)科學(xué)所第一任所長，任期三年，后任名譽(yù)所長。

1984年5月陳省身獲得世界數(shù)學(xué)最高獎項(xiàng)－－沃爾夫獎。 1995年當(dāng)選為首批中國科學(xué)院外籍院士。 2000年定居南開大學(xué)。 2004年9月獲得首屆邵逸夫獎。 他在整體微分幾何上的卓越貢獻(xiàn)，影響了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展，被楊振寧譽(yù)為繼歐幾里德、高斯、黎曼、嘉當(dāng)之后又一里程碑式的人物。

1972年秋天，陳省身偕妻子女兒來到闊別23年的故土。

1972年到1982年，陳省身先后七次回國，其中有四次回到天津。

從1978年開始，陳省身在和吳大任、吳文俊、胡國定交流時(shí)，便不斷流露出想建立南開數(shù)學(xué)所的意愿。

1984年中華人民共和國教育部聘請陳省身擔(dān)任南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長。

2002年8月20日，國際數(shù)學(xué)家大會在陳省身的倡議和努力下首次在中國召開。全球4000余位數(shù)學(xué)家云集人民大會堂，共同分享數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域的前沿成果與重大進(jìn)展，探討新世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢。

在開幕式上，陳省身作為大會名譽(yù)主席致辭，他說：“2002年國際數(shù)學(xué)家大會很有希望成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個里程碑?！?2004年12月3日，一代數(shù)學(xué)名師陳省身因病逝世，享年94歲。1911年進(jìn)入云南省高等學(xué)堂學(xué)習(xí)

1913年赴比利時(shí)學(xué)習(xí)采礦1915-1920先后就讀于發(fā)國格倫諾布爾大學(xué)和蒙彼利埃大學(xué)1921年回國，先后任南京東南大學(xué)、南京高等師范大學(xué)、清華大學(xué)教授

1931年再次赴法學(xué)習(xí)，專攻函數(shù)論，獲博士學(xué)位

1934年回國清華大學(xué)任教

1937年任云南大學(xué)校長

1949年赴法國從事數(shù)學(xué)研究

1957年回國在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作

5.

熊慶來（1893-1969）

熊慶來熱愛教育事業(yè)，為培養(yǎng)中國的數(shù)學(xué)與科學(xué)人才作出了卓越的貢獻(xiàn)。1930年他在清華大學(xué)當(dāng)數(shù)學(xué)系主任的時(shí)候，從學(xué)術(shù)雜志上發(fā)現(xiàn)了華羅庚，了解到華羅庚的自學(xué)經(jīng)歷和數(shù)學(xué)方面的才華后，毅然打破常規(guī)，讓只有初中文化的華羅庚進(jìn)入清華大學(xué)，為華羅庚的成長奠定了良好的基礎(chǔ)。我國許多著名科學(xué)家，如數(shù)學(xué)家陳省身、吳大任、徐寶祿、段學(xué)復(fù)、莊圻泰，物理學(xué)家嚴(yán)濟(jì)慈、趙忠堯、錢偉長、彭恒五、錢三強(qiáng)、趙九章，化學(xué)家柳大綱等均是他的學(xué)生。20世紀(jì)60年代，他已70多歲，還抱病指導(dǎo)后來也成為了著名數(shù)學(xué)家的楊樂和張廣厚。

早在1921年，他在東南大學(xué)（南京大學(xué)前身）當(dāng)教授時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個叫劉光的學(xué)生很有才華，經(jīng)常指點(diǎn)他讀書、研究。后來又和一位教過劉光的教授，共同資助家境貧寒的劉光出國深造，并且按時(shí)給他寄生活費(fèi)。有一次，熊慶來甚至賣掉自己身上的皮袍子，給劉光寄錢。劉光成為著名的物理學(xué)家后，經(jīng)常滿懷深情地提起這段往事，他說：“教授為我賣掉皮袍子的事，10年之后才聽到，當(dāng)時(shí)，我感動地?zé)釡I盈眶。這件事對我是刻骨銘心的，永生不能忘懷。他對我們這一代多么關(guān)心，付了多么巨大的熱情和摯愛呀！” 吳文俊(WentsunWU)，男，1919年5月12日生于上海，1940年畢業(yè)于交通大學(xué)（現(xiàn)西安交通大學(xué)與上海交通大學(xué)），1949年獲法國國家博士學(xué)位。世界著名數(shù)學(xué)家，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院系統(tǒng)科學(xué)研究所研究員、名譽(yù)所長，中國數(shù)學(xué)會名譽(yù)理事長。中國數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的創(chuàng)始人之一，現(xiàn)任中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所名譽(yù)所長、研究員，中國科學(xué)院院士，第三世界科學(xué)院院士；曾任中國數(shù)學(xué)會理事長（1985-1987），中國科學(xué)院數(shù)理學(xué)部主任（1992-1994），全國政協(xié)委員、常委（1979-1998）。4.2.1吳文俊與機(jī)器證明4.2

當(dāng)代中國幾項(xiàng)數(shù)學(xué)成果及其代表人物

吳文俊院士對“機(jī)器證明”的研究，他所創(chuàng)立的方法被國際上稱為“吳方法”，后經(jīng)張景中、周咸青等將其方法完善，如今“機(jī)器證明”在國內(nèi)已形成了以吳文俊院士為首的中國“機(jī)器證明”的學(xué)派，在國際上居領(lǐng)先地位。所謂機(jī)器證明，是指用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理。機(jī)器證明的研究包括試探法、判定法、證明算法、機(jī)器輔助法等途徑。用計(jì)算機(jī)證明定理主要還是在推理上，推理的過程包括一些邏輯處理的過程和模擬人的思維推理過程。 一般來講，定理的機(jī)器證明，就是對一類定理(可以是成千上萬)提供一種統(tǒng)一的算法,使得該類定理中的每個定理，都可依此方法給出證明。從而實(shí)現(xiàn)從“一理一證”到“一類一證”的飛躍。它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一種新興的邊緣性學(xué)科，是現(xiàn)代人工智能發(fā)展的一個重要方向。

數(shù)學(xué)命題機(jī)器證明的出現(xiàn)不是偶然的，而是有其客觀必然性，它既是電子計(jì)算機(jī)和人工智能的產(chǎn)物，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)命題(尤其是現(xiàn)代數(shù)學(xué)命題)的證明是一種極其復(fù)雜而又富有創(chuàng)造性的思維活動。如果我們把定理的證明交由計(jì)算機(jī)去完成，就可把數(shù)學(xué)家從繁難冗長的邏輯推理中解放出來，從而把聰明才智投到更多的富有創(chuàng)造性的工作中，諸如建立新的數(shù)學(xué)概念、提出新的數(shù)學(xué)猜想、構(gòu)造新的數(shù)學(xué)命題、創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法、開辟新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域等等，由此可更能提高數(shù)學(xué)創(chuàng)造的效率。

前面我們曾多次提到中國古代數(shù)學(xué)基本上是一種機(jī)械化的數(shù)學(xué)。秦漢時(shí)期的《九章算術(shù)》，其中對四則運(yùn)算、開方的機(jī)械化算法過程有詳細(xì)說明；在魏晉時(shí)期劉徽所寫《九章算術(shù)注》中對于線性方程組的解法就已經(jīng)說明了幾種機(jī)械化的消去法及其詳細(xì)的機(jī)械算法過程，其方法到宋代更發(fā)展到了高次代數(shù)方程求數(shù)值解的機(jī)械化算法。對于求解同余式的問題，秦九韶在其《數(shù)書九章》中曾給出了“大衍求一術(shù)”的算法，其機(jī)械化程度非常之高。

歷史上一些大師級的數(shù)學(xué)家，曾在幾何定理的機(jī)器證明這條道路上艱辛地探索過。

萊布尼滋，曾有過“推理機(jī)器”的機(jī)械化證明的設(shè)想。

希爾伯特以及后來的建立的數(shù)理邏輯，才使這一問題具有明確的數(shù)學(xué)形式。

1950年，波蘭數(shù)理邏輯學(xué)家塔爾斯基證明了一個值得稱道的塔爾斯基定理：一切初等幾何和初等代數(shù)的命題，都可以機(jī)器證明。

1959年美籍華人數(shù)理邏輯學(xué)家王浩只用9分鐘機(jī)器時(shí)間，就在計(jì)算機(jī)上證明了羅素和懷特海《數(shù)學(xué)原理》一書中的一階邏輯部分的全部350多條定理。

1975年，考林斯(Collins)提出了“柱面代數(shù)分解方法”,比塔爾斯基的方法提高了許多，但在計(jì)算機(jī)上仍然只能解決個別稍難點(diǎn)的幾何問題。另一條路線是把解決幾何問題的傳統(tǒng)綜合方法機(jī)械化。這是格蘭特(Gelemter)在1959年發(fā)表的一篇論文中提出來的。它實(shí)際上是一種后推搜索法。

1976年，阿佩爾和哈肯在高速電子計(jì)算機(jī)上用1200小時(shí)的計(jì)算時(shí)間證明了“四色定理”。

自20世紀(jì)70年代起，受中國古代數(shù)學(xué)算法化思想和計(jì)算機(jī)技術(shù)的啟發(fā)，吳文俊開始進(jìn)行幾何定理機(jī)器證明的研究。1977年吳文俊在《中國科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為“初等幾何判定問題和機(jī)械化證明”的論文，提出了一個證明初等幾何定理的新的代數(shù)方法——“吳方法”。

“吳方法”可分成下面三個主要步驟證明幾何問題: 第一步：從幾何的公理系統(tǒng)出發(fā),引進(jìn)數(shù)學(xué)系統(tǒng)與坐標(biāo)系統(tǒng),使任意幾何定理的證明問題化為純代數(shù)問題。 第二步：將幾何定理假設(shè)部分的代數(shù)關(guān)系式進(jìn)行整理，然后依確定步驟驗(yàn)證定理終結(jié)部分的代數(shù)關(guān)系式是否可以從假設(shè)部分已整理成序的代數(shù)關(guān)系式中推出。第三步：依據(jù)第二步中確定步驟編成程序，并在計(jì)算機(jī)上實(shí)施,以得出定理是否成立的最后結(jié)論。(1)拓廣了數(shù)學(xué)研究的方法(2)促使了數(shù)學(xué)新理論的產(chǎn)生(3)拓廣了數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域(4)對科學(xué)生產(chǎn)力的一次大解放(5)機(jī)器證明具有重要的文化意義(6)進(jìn)一步的研究課題機(jī)器證明的影響

將在第10講中詳細(xì)介紹。4.2.2陳景潤與“哥德巴赫猜想”

在20世紀(jì)80年代末90年代初，我國花巨資引進(jìn)的外國照排系統(tǒng)均告失敗，質(zhì)疑漢字是否可以生存于信息時(shí)代的聲音此起彼伏。如果外國公司突破了漢字處理技術(shù)，中國將面臨全國印刷市場的全面崩潰，不但要承擔(dān)巨額支出，而且還會面臨無密可保的境地。這時(shí)，王選領(lǐng)導(dǎo)的科研集體研制出的漢字激光照排系統(tǒng)，跨越了當(dāng)時(shí)日本的光機(jī)式二代機(jī)和歐美的陰極射線管式三代機(jī)階段，開創(chuàng)性地研制出當(dāng)時(shí)國外尚無商品的第四代激光照排系統(tǒng)。4.2.3王選與漢字印刷術(shù)的第二次發(fā)明 針對漢字印刷的特點(diǎn)和難點(diǎn)，發(fā)明了高分辨率字形的高倍信息壓縮技術(shù)和高速復(fù)原方法，率先設(shè)計(jì)出相應(yīng)的專用芯片，在世界上首次使用控制信息(參數(shù))描述筆畫特征的方法，這些成果的產(chǎn)業(yè)化和應(yīng)用，廢除了我國沿用上百年的鉛字印刷，推動了我國報(bào)業(yè)和印刷出版業(yè)的技術(shù)革命。

其后，又相繼提出并領(lǐng)導(dǎo)研制了大屏幕中文報(bào)紙編排系統(tǒng)、彩色中文激光照排系統(tǒng)、遠(yuǎn)程排版技術(shù)和新聞采編流程管理系統(tǒng)等。這些成果達(dá)到國際先進(jìn)水平，在國內(nèi)外出版、印刷領(lǐng)域得到迅速推廣應(yīng)用，使中國報(bào)業(yè)技術(shù)和應(yīng)用技術(shù)、應(yīng)用水平一躍為世界最前列。

之后，王選致力于研究成果的商品化、產(chǎn)業(yè)化工作，成功地闖出了一條產(chǎn)、學(xué)、研緊密結(jié)合的市場化道路，使得漢字照排系統(tǒng)占領(lǐng)國內(nèi)報(bào)業(yè)99%和書刊(黑白)出版業(yè)90%的市場，以及80%的海外華文報(bào)業(yè)市場，創(chuàng)造了巨大的經(jīng)濟(jì)和社會效益，王選被譽(yù)為“當(dāng)代畢異”。 由于所取得的一系列杰出成果，王選獲得了多項(xiàng)大獎——國家科技進(jìn)步一等獎、聯(lián)合國教科文組織科學(xué)獎、何梁何利科學(xué)與技術(shù)進(jìn)步獎、2001年國家最高科學(xué)技術(shù)獎。

陳省身和丘成桐,這兩位獲得世界數(shù)學(xué)的最高獎——沃爾夫獎和菲爾茲獎的華人數(shù)學(xué)家擁有一段長達(dá)35年的師生緣。

22歲時(shí)，年輕的丘成桐就獲得了美國加州大學(xué)伯克利分校的博士學(xué)位，27歲攻克了著名的卡拉比(Kahlabi)猜想。

他用幾何方法構(gòu)造了好幾個“卡拉比-丘流形”，這些奇妙、美麗的圖形讓他站在了微分幾何的最前端，并由此又連克一系列世界數(shù)學(xué)難題，從此奠定了他在微分幾何領(lǐng)域大師的地位。4.2.4新一代的華人數(shù)學(xué)家代表——丘成桐

1983年,只有34歲的丘成桐獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎——菲爾茲獎。丘成桐的數(shù)學(xué)成果已經(jīng)在其他科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

1979年，丘成桐提出的100個猜想，重新構(gòu)建了微分幾何整個結(jié)構(gòu)體系。

在丘成桐的大力推動下，1994年香港中文大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)所，1996年中科院建立晨興數(shù)學(xué)中心，2002年浙江大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)研究中心。2009年清華大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)研究中心。

這些研究中心是在中國專門培養(yǎng)有氣質(zhì)、有眼光的數(shù)學(xué)家的土壤，為他們接近國際數(shù)學(xué)研究前沿創(chuàng)造條件。中心邀請國際一流數(shù)學(xué)家或相關(guān)學(xué)科的大師來與青年數(shù)學(xué)家們對話。而丘成桐在這些研究中心講課、教學(xué)、工作,不收取任何報(bào)酬。和他的老師陳省身先生一樣，他此生最大的愿望是讓中國成為一個數(shù)學(xué)強(qiáng)國。 在破解千禧年“七大數(shù)學(xué)難題”之一的“龐加萊猜想”中,我國數(shù)學(xué)家朱熹平和曹懷東作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。 所謂“龐加萊猜想”指法國著名數(shù)學(xué)家亨利-龐加萊(Jules-HenriPoincare)在1904年發(fā)表的一組論文中,提出了這樣的猜想:“單連通的三維閉流形可簡單地理解為一種曲面同胚(“同胚”是一種保持“連續(xù)性”的等價(jià)關(guān)系，在拓?fù)鋵W(xué)中,同胚圖形就視為“一樣的”圖形)于三維球面?！焙笥直煌茝V為:“任何與n維球面同倫的n維閉流形必定同胚于n維球面。4.2.5朱熹平、曹懷東與“龐加萊猜想”

對于“龐加萊猜想”，不妨作一個下面的比喻:“如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點(diǎn)。另外，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆椒ū簧炜s在一個輪胎面上，則不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一個點(diǎn)的。

我們說蘋果表面是‘單連通的’,而輪胎面不是”。這一猜想的高維推論已得到解決，唯獨(dú)三維的情形仍向全世界的數(shù)學(xué)家發(fā)出挑戰(zhàn)。三維龐加萊猜想也可以這樣通俗地不太嚴(yán)格地表述:“任何一個封閉的龐加萊三維曲面，只要它上面的所有封閉曲線可以收縮于一點(diǎn)，這個曲面就是一個三維球面?！?/p>

1994年，朱熹平(中山大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)院院長，廣東省數(shù)學(xué)學(xué)會理事長)首次在香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的討論班上遇見丘成桐。 1997年，丘成桐建議朱熹平集中精力到龐加萊猜想的證明上。

之后，丘成桐每年邀請朱熹平到香港中文大學(xué)工作半年，期間他們有許多關(guān)于龐加萊猜想的討論。

就在佩雷爾曼公布其研究時(shí)，朱熹平對龐加萊猜想的研究也有了部分結(jié)果。不久后，佩雷爾曼的證明開始接受專家的評審。誰來完成龐加萊猜想的證明，競爭非常激烈。這時(shí)丘成桐讓曹懷東在2003年夏天開始和朱熹平合作。2005年，二人解決了最后的問題。謝謝數(shù)學(xué)文化第5章解析幾何的思想方法與意義

17世紀(jì)前半葉，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了一個全新的分支——解析幾何。它的創(chuàng)始人是法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬與笛卡爾。費(fèi)馬(Fermat，1601—1665)笛卡爾(Descartes,1596—1650)雖然歐氏幾何提供了一種理性的思維方式，給出了一種數(shù)學(xué)模式，但它也有一定的局限性：過于抽象，過多地依賴于圖形；同樣，當(dāng)時(shí)的代數(shù)過多地受法則與公式的約束，比較抽象，不利于思維的發(fā)展。笛卡爾與費(fèi)馬都認(rèn)識到，如果把代數(shù)與幾何中一切精華的東西結(jié)合起來，幾何學(xué)就可以為代數(shù)提供直觀的圖形，而代數(shù)學(xué)又能用來對抽象的未知量進(jìn)行推理，互相取長補(bǔ)短。由此，一門新的學(xué)科解析幾何誕生了。

章節(jié)目錄5.1解析幾何產(chǎn)生的背景5.2

解析幾何的建立5.3

解析幾何的基本思想

16世紀(jì)以后，文藝復(fù)興后的歐洲進(jìn)入了一個生產(chǎn)迅速發(fā)展、思想普遍活躍的時(shí)代。機(jī)械的廣泛使用，促使人們對機(jī)械性能開始研究，而這需要運(yùn)動學(xué)知識和相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論；建筑的興盛、河道與堤壩的修建又提出了有關(guān)固體力學(xué)和流體力學(xué)的問題，而這些問題的解決需要正確的數(shù)學(xué)計(jì)算；航海事業(yè)的發(fā)展，向天文學(xué)實(shí)際上也是向數(shù)學(xué)提出了如何精確測定經(jīng)、緯度，計(jì)算各種不同形狀物體的面積、體積以及確定重心的方法；望遠(yuǎn)鏡與顯微鏡的發(fā)明，提出了研究凹凸鏡的曲面形狀問題。5.1解析幾何產(chǎn)生的背景德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處于這個橢圓的一個焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是做拋物線運(yùn)動的。要解決這些比較復(fù)雜的曲線和解決在天文、力學(xué)、建筑、河道、航海等方面的數(shù)學(xué)問題，顯然已有的初等幾何和初等代數(shù)這種常數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)是無能為力、難以解決的。于是人們試圖創(chuàng)設(shè)變量數(shù)學(xué)，這就導(dǎo)致了解析幾何的產(chǎn)生。從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展看，笛卡爾和費(fèi)馬都認(rèn)為歐幾里德的《幾何原本》雖然建立起了幾何學(xué)的完整體系，但這樣的幾何過于抽象，過多地依賴圖形。而另一位古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯所寫的另一著作《圓錐曲線論》，雖然將圓錐曲線的性質(zhì)幾乎網(wǎng)羅殆盡，但阿波羅尼奧斯的幾何卻是一種靜態(tài)的幾何，它既不把曲線看做是一種動點(diǎn)的軌跡，更沒有給它以一般處理方法。

17世紀(jì)的生產(chǎn)和科技的發(fā)展，都向幾何學(xué)提出了用運(yùn)動的觀點(diǎn)來認(rèn)識和處理圓錐曲線及其他幾何曲線的課題，即必須創(chuàng)立一種建立在運(yùn)動觀點(diǎn)上的幾何學(xué)。雖然當(dāng)時(shí)的代數(shù)過于受法則和公式的約束，缺乏直觀，但代數(shù)符號化的建立恰好為解析幾何的誕生創(chuàng)造了條件。代數(shù)學(xué)是一門潛在的方法科學(xué)，因此把幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中的精華部分結(jié)合起來取長補(bǔ)短，就創(chuàng)造出一門新的學(xué)科，解析幾何誕生了！費(fèi)馬(Fermat，1601—1665)是十七世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家之一。他出身于商人家庭，在都魯斯學(xué)過法律，并以當(dāng)律師謀生。作為業(yè)余愛好，他對數(shù)學(xué)作出了巨大的貢獻(xiàn)。

費(fèi)馬關(guān)于曲線的研究是從阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》開始的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌跡引論》，書中說他找到了一個研究曲線問題的普遍方法。

5.2

解析幾何的建立5.2.1費(fèi)馬的工作

費(fèi)馬的坐標(biāo)能把阿波羅尼奧斯的結(jié)果直接翻譯成代數(shù)形式。他所建立的坐標(biāo)是我們現(xiàn)在的斜坐標(biāo)。費(fèi)馬把他的一般原理敘述為：“只要在最后的議程里出現(xiàn)兩個未知量，我們就可以得到一個軌跡，用這兩個量可描繪出一條直線或者曲線?！辈⑶矣山o出的方程便可知道其所代表的是直線還是曲線。如：代表一條直線；也代表一條直線；代表一個圓；代表一條拋物線。費(fèi)馬還領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)，因而可以把一個復(fù)雜的二次方程，簡化到簡單的形式。笛卡爾1596年3月31日生于土倫的拉哈耶，父親是個相當(dāng)富有的律師。笛卡爾20歲畢業(yè)于普瓦界大學(xué)，去巴黎當(dāng)了律師。在巴黎他認(rèn)識了米道奇(Mydorge，1585—1647)和梅森(MarinMersenne，1588—1648)，花了一年時(shí)間和他們一起研究數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)有一種風(fēng)氣，即有志之士不是致力于宗教就是獻(xiàn)身于軍事。因此，笛卡爾趕了時(shí)髦，應(yīng)征入伍，遍歷歐洲。5.2.2笛卡爾的工作

笛卡爾獻(xiàn)身數(shù)學(xué)，完全出于一個偶然的機(jī)會。1617年服役期間，在荷蘭布萊達(dá)遇到一張數(shù)學(xué)難題招貼，他看不懂上面的佛來米語，一位中年人熱心地給他作了翻譯，第二天他把解答交給那個中年人。中年人對笛卡爾的解答非常吃驚，巧妙的解題方法，準(zhǔn)確無誤的計(jì)算，說明了這位年輕士兵的數(shù)學(xué)造詣不淺。原來這位中年人就是當(dāng)時(shí)有名的荷蘭數(shù)學(xué)家別克曼(IsaacBeeckeman，1588—1637)教授。這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從此開始在別克曼教授指導(dǎo)下認(rèn)真地鉆研數(shù)學(xué)。笛卡爾在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，對當(dāng)時(shí)的幾何、代數(shù)感到不甚滿意，他意識到代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。他憑借對方法的普遍興趣和對代數(shù)這門知識的掌握，形成了用代數(shù)方法來研究幾何的思想，并進(jìn)行了探討，于是他的著作《幾何學(xué)》便應(yīng)運(yùn)而生?！稁缀螌W(xué)》是他的一本文學(xué)和哲學(xué)著作《方法論》之后的三個附錄之一。

《幾何學(xué)》共分三卷。在第一卷中，笛卡爾對代數(shù)式的幾何意義作出了解釋，并且比希臘人前進(jìn)了一步。希臘人將一個變量表示成某個線段的長度，則表示一個矩形的面積，表示表示某個長方體的體積，而面對3個以上的乘積，希臘人就沒法處理了。笛卡爾認(rèn)為，與其把看做面積，不如把它看做比例式中的第四項(xiàng)。這樣，只要給出一個單位線段，我們就能用給出線段的長度來表示一個變量的任何次冪或多個變量的乘積，在這一部分中，笛卡爾把幾何算術(shù)化了。在第二卷中，笛卡爾根據(jù)代數(shù)方程的次數(shù)對曲線分了類：含x和y的一次和二次曲線是第一類；三次和四次方程對應(yīng)的曲線是第二類；五次和六次方程對應(yīng)的曲線是第三類；等等。

在第三卷中又回到了作圖問題上，并且涉及了高于二次方程的解法。

盡管在《幾何學(xué)》一書中，笛卡爾表達(dá)了方程與曲線相結(jié)合這一顯著思想，但他只是把它作為解決作圖問題的一個手段。笛卡爾對作圖的過分強(qiáng)調(diào)，反而掩蓋了曲線和方程的主要思想。不過瑕不掩瑜，笛卡爾的《幾何學(xué)》一書仍被后世人認(rèn)為是解析幾何的一部經(jīng)典之作。（1）通過計(jì)算來解決作圖問題；（2）求具有某種幾何性質(zhì)的曲線方程；（3）用代數(shù)方法證明新的幾何定理；（4）用幾何方法解代數(shù)方程。

5.3

解析幾何的基本思想5.3.1解析幾何要解決的問題

在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。如圖所示，取兩條相互垂直且有一定方向和度量單位的直線，叫做平面直角坐標(biāo)系Oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的任一點(diǎn)P和一對有序?qū)崝?shù)（a,b）建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，（a,b）稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)。5.3.2解析幾何思想方法舉例

除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等。坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和方程之間建立了密切的聯(lián)系：把含有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線（或直線），即把方程F(x,y)=0看成是一條平面曲線（或直線），這樣就可以吧對平面圖形的研究歸結(jié)為比較成熟且容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究。例平面的點(diǎn)法式方程若一非零向量垂直于一平面，則稱此向量是該平面的法向量。顯然平面上的任一向量均與平面的法向量垂直。由于過空間一點(diǎn)可以作而且只能作一個平面垂直于一已知直線。因此，當(dāng)平面

上一點(diǎn)和它的一個法向量

給定之后，平面的位置就確定下來了。下面我們來建立這種平面方程。設(shè)平面

過定點(diǎn)M0(x0,

y0,z0),且有法向量

yxzM0MnO而M0M=(x

x0,y

y0,z

z0),得:A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0對于平面上任一點(diǎn)M(x,

y,z),向量M0M與

垂直.

M0M=0

用代數(shù)的方法研究幾何問題的思想是解析幾何的基本思想。

坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法。以坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，把數(shù)看成是點(diǎn)，反之也能把點(diǎn)看成是數(shù)的數(shù)與點(diǎn)相對應(yīng)的觀念是解析幾何的第一個基本觀念。以坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，把方程與曲線統(tǒng)一起來，把方程看成是曲線，曲線也可以看成是方程的曲線與方程相對應(yīng)的觀念是解析幾何的第二個基本觀念。5.3.3解析幾何的思想、方法與基本觀念（1）方法的革新（2）變量數(shù)學(xué)的誕生（3）促進(jìn)了思想解放（4）廣泛的應(yīng)用性5.3.4解析幾何的思想文化意義（1）只承認(rèn)完全清楚、不容懷疑的事實(shí)為真實(shí)；（2）分析困難對象到足夠求解的小單位；（3）從最簡單、最易懂的對象開始，依照先后次序、一步一步地到達(dá)更為復(fù)雜的對象；

（4）列舉一切可能，一個都不放過。5.3.5笛卡爾的方法論及其意義謝謝數(shù)學(xué)文化第6章微積分的思想方法與意義

(1)古希臘時(shí)期歐多克斯窮竭法

(2)阿基米德窮竭法求弓形面積

(3)中國劉徽割圓術(shù)微積分的發(fā)展歷程萌芽階段---極限思想

(1)開普勒行星三大定律

(2)卡瓦列里《不可分量幾何學(xué)》醞釀階段

(1)牛頓物理學(xué)“流數(shù)術(shù)”

(2)萊布尼茨幾何學(xué)“微分三角形”微積分的發(fā)展歷程創(chuàng)立階段

歐拉、柯西、魏爾斯特拉斯嚴(yán)格的極限理論完善階段

(1)勒貝格積分

(2)非標(biāo)準(zhǔn)分析發(fā)展階段---20世紀(jì)章節(jié)目錄6.1微積分產(chǎn)生的背景6.2微積分學(xué)的早期史

6.3微積分的誕生6.4微積分學(xué)的發(fā)展6.5微積分思想方法舉例6.6微積分的思想文化意義1608年伽利略(Galileo)第一架望遠(yuǎn)鏡的制成，不僅引起了人們對天文學(xué)研究的高潮，

還推動了光學(xué)的研究。6.1微積分產(chǎn)生的背景自然科學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)重大事件開普勒(J.Kepler)通過觀測歸納出三條行星運(yùn)動定律:1)行星運(yùn)動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點(diǎn)；

2)由太陽到行星的焦半徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等（圖6-1）；

3)行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。圖6-11638年伽利略《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》出版,為動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)，促使人們對動力學(xué)概念與定理作精確的數(shù)學(xué)描述。微積分創(chuàng)立處理的幾類問題1）已知物體運(yùn)動的路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反之，知物體運(yùn)動的加速度與速度，求物體任意時(shí)刻的速度與路程。

2)求曲線的切線，這是一個純幾何問題，但對于科學(xué)應(yīng)用具有重大意義，如透鏡的設(shè)計(jì)、運(yùn)動物體在它運(yùn)動軌跡上任一點(diǎn)處的運(yùn)動方向，就是過該點(diǎn)切線的方向。“‘【3)求函數(shù)的最大值與最小值，前面提到的彈道射程問題，行星和太陽的近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)問題。

4)求積問題，包括求曲線長、曲線所圍面積、曲面所圍體積等。微積分創(chuàng)立處理的幾類問題而這些問題的解決，原有的研究常量、靜止的數(shù)學(xué)工具是無能為力的，只有當(dāng)變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，能描述運(yùn)動過程的新數(shù)學(xué)工具——微積分創(chuàng)立后，上面的這些難題才得以解決。而其中最重要的是速度和距離以及曲線的切線和曲線下的面積這兩類問題。而正是為了解決這兩類問題，才導(dǎo)致了牛頓和萊布尼茨兩人各自分別創(chuàng)立了微積分。6.2.1古代中國的樸素積分思想6.2微積分學(xué)的早期史

劉徽割圓術(shù)；祖暅祖暅原理6.2.2歐多克斯的“窮竭法”及阿基米德對“窮竭思想”的重大貢獻(xiàn)古希臘的智者認(rèn)為圓的面積可以取作邊數(shù)不斷增加時(shí)它的內(nèi)接和外切正多邊形的面積的平均值。對這一思想作出重大發(fā)展的是歐多克斯(EudOxus)，相應(yīng)的方法叫“窮竭法”。這一方法被歐幾里得記述在《幾何原本》笫12卷屮。而繼歐多克索斯和歐幾里得之后，阿基米德對“窮竭法”作出了重要的貢獻(xiàn)。這位“數(shù)學(xué)之神”將“窮竭法”巧妙地用之于求弓形面積和球的體積。6.2.3開普勒的求面積新法1615年德國天文學(xué)家開普勒(J.Kepler)出版了《葡萄酒桶的新立體幾何》,書中介紹了他獨(dú)創(chuàng)的求面積和體積的新方法。如求圓面積是把圓分割成無窮多個小扇形。因?yàn)樘×?，所以小扇形又可以用小等腰三角形來代替，這樣:6.2.4卡瓦里的“不可分量法”卡瓦列里計(jì)算平面面積和立體體積是基于以下原理：如果兩個平面片(立體)處于兩條平行線(兩個平行平面)之間，并且平行于這兩條平行線(兩個平行平面)的任何直線（平面）與這兩個平面片(立體)相交，所截兩線段長度（所得二截面積)相等，則這兩個平面片(立體)的面積(體積)相等(圖6-2)。圖6-26.2.5費(fèi)馬的工作費(fèi)馬(PierredeFermat)對微積分的主要貢獻(xiàn)有:1)求函數(shù)極大、極小值的方法。設(shè)

是一個很小的量，由

與

值幾乎相等，可先假定

，然后讓

，消去

，得一方程，這個方程的根即是

的極大值或極小值。

圖6-32）求切線的方法。設(shè)曲線的方程為F(x,y)=0，現(xiàn)要求該曲線上過點(diǎn)P(x,y)的切線。設(shè)PT是過點(diǎn)P的切線與x軸相交于T，得P在x軸上的射影Q。費(fèi)馬稱TQ為次切線，因此，只要求出TQ之長確定T的位置后，則切線PT便可作出了(圖6-3)。設(shè)是切線PT上點(diǎn)P鄰近的一點(diǎn),在x軸上的投影為，則可看成TQ的增量，設(shè)其長度為e，因?yàn)?，從而有設(shè)與曲線相交于，他認(rèn)為當(dāng)e很小時(shí),與幾乎相等，因此有當(dāng)曲線是時(shí)，

巴羅是從

出發(fā)(圖6-3),并稱此三角形為微分三角形(特征三角形)。巴羅認(rèn)為當(dāng)夾在

間的弧足夠小時(shí),可以放心地將它與過P點(diǎn)的切線等同起來。巴羅應(yīng)用微分三角形技術(shù)求切線實(shí)質(zhì)上已經(jīng)是在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是他沒有認(rèn)識到這一點(diǎn)。用今天的語言來描述，牛頓從巴羅的工作認(rèn)識到了巴羅工作的實(shí)質(zhì)是兩個變量增量的比，它的極限就是曲線切線的斜率。6.2.6巴羅的工作隨著費(fèi)馬、巴羅工作的結(jié)束，微積分的誕生已經(jīng)水到渠成。17世紀(jì)的后半期，英國的牛頓和德國的萊布尼茨認(rèn)識到了求積問題和作曲線切線問題的互逆關(guān)系，共同建立起了微積分基本定理——牛頓-萊布尼茨公式及一套系統(tǒng)的無窮小算法，成為微積分奠基人。6.3

微積分的誕生

1642年，出生在英國的一個偏僻的小村莊的農(nóng)場里

1661年6月以“減費(fèi)生”的身份考入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，老師為巴羅

1665年英國發(fā)生大瘟疫，牛頓(23歲)回到了老家，但開始了科學(xué)研究

1665年至1667年：發(fā)現(xiàn)萬有引力定律及其證明通過分解

太陽光，揭開了光的顏色秘密

創(chuàng)立微積分

倫敦鼠疫結(jié)束后，回到劍橋大學(xué)攻讀碩士學(xué)位27歲，巴羅辭職，牛頓接替成為教授1672年，發(fā)表關(guān)于太陽光組成的文章，附帶談了一下自然哲學(xué)的思想1684年，發(fā)表了關(guān)于彗星軌跡的研究論文1687年，集牛頓研究成果之大成的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》出版6.3.1牛頓的工作1665年1月，建立“正流數(shù)術(shù)”，討論了微分方法；

1665年5月，建立“反流數(shù)術(shù)”，討論了積分方法；10月將其研究成果寫成“流數(shù)簡論”，雖未發(fā)表，但已在同事間傳閱，是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。

1669年，寫成《運(yùn)用無限項(xiàng)方程的分析》（簡稱《分析學(xué)》，由此后人稱以微積分為主要內(nèi)容的相關(guān)學(xué)科為“數(shù)學(xué)分析”）。

1671年，寫成《流數(shù)法與無窮級數(shù)》（簡稱“流數(shù)法”）。

1687年，寫成《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（簡稱《原理》）。這本巨著使牛頓成為當(dāng)之無虧的數(shù)學(xué)領(lǐng)袖。

1691年，寫成《曲線求積術(shù)》（簡稱《求積術(shù)》）。從1665年開始到1691年，牛頓對微積分的創(chuàng)造性成果主要有：

牛頓把那些“無限增加的量”稱為“流量”，用字母x，y，z……等來表示；把方程中“已知的確定的量”用字母a，b，c……等來表示；把每個流量由于產(chǎn)生它的運(yùn)動而獲得增加速度，叫做“流數(shù)”(或直接稱之為速度)，用帶點(diǎn)的字母來表示。牛頓在“流數(shù)簡論”中提出了以下兩類微積分基本問題:1)己知各流數(shù)間的關(guān)系，試確定它們流數(shù)之比；

2)己知一個包含一些流量的流數(shù)的方程，試求這些流量間的關(guān)系，這顯然是兩個互逆問題。牛頓主要是從運(yùn)動學(xué)來研究和建立微積分的。牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，運(yùn)用他創(chuàng)立的微積分這一銳利的數(shù)學(xué)工具建立了經(jīng)典力學(xué)的完整而嚴(yán)密的體系，把天體力學(xué)和地面上的力學(xué)統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)了物理學(xué)的第一次大的綜合，成為整個物理和天文學(xué)的基礎(chǔ)。6.3.2萊布尼茨的工作萊布尼茨(G.W.Leibniz，1646.7.1.—1716.11.14.）德國最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。1661年，15歲進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律1663年，獲學(xué)士學(xué)位1664年，獲哲學(xué)碩士學(xué)位1665年，向萊比錫大學(xué)提交博士論文1666年，因?yàn)樘贻p（年僅20歲）被拒絕授予博士學(xué)位1667年，獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，同時(shí)受聘教授

1684年10月萊布尼茨在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇《一種求極大值與極小值和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》的文章，這是最早的微分學(xué)文獻(xiàn)。文中對微分學(xué)的基本內(nèi)容都作了初步的闡述，還包含了微分法在求極值、拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的應(yīng)用。

1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，談到了變量替換法、分部積分法、利用部分分式求有理函數(shù)積分，并給出了擺線方程。萊布尼茨還設(shè)計(jì)了一套微積分的符號，如：等，它們一直使用到今天。萊布尼茨的一些結(jié)果其實(shí)是下面這些我們熟知的結(jié)論的基礎(chǔ)：一階微分的形式不變性；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t；不定積分的換元法。1677年，萊布尼茨在他的手稿中表述了微積分基本定理：并明確指出積分表示曲線在之間的面積。人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茨是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的。牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動學(xué)，造詣高于萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。萊布尼茨認(rèn)識到好的數(shù)學(xué)符號能節(jié)省思維勞動，運(yùn)用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大影響。17世紀(jì)有牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分到18世紀(jì)得到蓬勃的發(fā)展。其中對微積分理論作出巨大貢獻(xiàn)的主要有泰勒（B.Taylor）、麥克勞林（C.Maclaurin）、托馬斯.辛普生（ThomasSimpson）、棣莫佛（Ae-Moivre）、貝努利兄弟（JacobiBernoulli、JohanBernoulli）、歐拉（L.Euler）、洛必達(dá)（L-Hospital）、達(dá)蘭貝爾（Delembert）、拉普拉斯（P.S.Laplace）、拉哥朗日（J.L.Lagrange）、勒讓德（A.M.Legendre）等人。6.4.1

18世紀(jì)微積分的發(fā)展6.4

微積分學(xué)的發(fā)展例如，泰勒給出了著名的泰勒公式其中對18世紀(jì)微積分做出最重大貢獻(xiàn)的應(yīng)算是歐拉。歐拉1748年出版的《無限小分析引論》以及隨后發(fā)表的《微分學(xué)》、《積分學(xué)》是微積分史上里程碑式的著作，包含了歐拉在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時(shí)引進(jìn)了一批直至現(xiàn)在仍沿用的標(biāo)準(zhǔn)符號，如：函數(shù)符號:；求和符號：；自然數(shù):；虛數(shù)：等。19世紀(jì)初期，由于在微積分發(fā)展的初期還沒有來得及夯實(shí)微積分的理論基礎(chǔ)，因此微積分常遭到種種非議。數(shù)學(xué)家們開始了微積分理論基礎(chǔ)的重建與嚴(yán)格化等奠基性工作。

我們首先應(yīng)該提到的是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析學(xué)的奠基人，法國數(shù)學(xué)家柯西。他在1821-1823年出版的《分析教程》和《無窮小計(jì)算講議》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。書中給出了微積分一系列的基本概念的精確定義。如他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，將微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上。6.4.2

19世紀(jì)微積分現(xiàn)代理論的確立隨著微積分理論的深入，需要對實(shí)數(shù)作更深刻的理解。德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯引進(jìn)了精確的“”、“”等一系列數(shù)學(xué)語言，給出了實(shí)數(shù)與極限的準(zhǔn)確描述。特別地，他引進(jìn)了一致收斂的概念，消除了以往微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂。魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)，使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。我們還要提到捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，是他開始將嚴(yán)格的論證引人到數(shù)學(xué)分析。1850年他出版了《無窮的悖論》，堪稱是微積分極限理論奠基的先驅(qū)。1902年，法國數(shù)學(xué)家勒貝格以集合論的“測度”概念而建立了“勒貝格積分”，使一些原先在黎曼意義下不可積的函數(shù)按勒貝格的意義變得可積，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步推廣了微積分的許多基本概念，重建了微積分基本定理，形成了一門新的數(shù)學(xué)分支——實(shí)變函數(shù)論。它使微積分的適用范圍大大擴(kuò)展，引起數(shù)學(xué)分析的深刻變化。作為分水嶺，人們往往把勒貝格以前的分析學(xué)稱為經(jīng)典分析，而把勒貝格積分引出的以實(shí)變函數(shù)論為基礎(chǔ)而開拓出來的分析學(xué)稱為現(xiàn)代分析。6.4.3

20世紀(jì)微積分的新發(fā)展20世紀(jì)初由意大利數(shù)學(xué)家和法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪、弗雷歇等人在變分法的研究中給出了泛函分析的一些基本概念，并將普通的微積分演算推廣到函數(shù)空間方面。而抽象空間理論與泛函分析在20世紀(jì)上半葉的巨大發(fā)展則是由波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫推進(jìn)的，他提出了比希爾伯特空間更一般的賦范空間——巴拿赫空間，極大地拓廣了泛函分析的疆域。1966年魯濱遜為無窮小概念提供邏輯基礎(chǔ)時(shí)又提出了非標(biāo)準(zhǔn)分析。微積分這部無窮的交響樂還在不停地演奏著。

微積分的基本方法也就是所謂的“微元分析法”，或稱為“無窮小分析”。下面以速度問題為例來分析“微元分析法”的思想。6.5.1微元分析法6.5

微積分思想方法舉例例1（自由落體運(yùn)動的瞬時(shí)速度）伽利略通過實(shí)驗(yàn)確立了自由落體的路程s與時(shí)間t的關(guān)系：其中g(shù)為常數(shù)。求在時(shí)刻落體的瞬時(shí)速度解第一步：求它的近似值。

首先給一個時(shí)間間隔：這時(shí)落體走過的路程是如果我們假設(shè)物體在這段時(shí)間內(nèi)做勻速運(yùn)動，得到物體的平均速度可以作為瞬時(shí)速度的一個近似值第二步：求極限。

很清楚，只要上述平均速度就永遠(yuǎn)只是瞬時(shí)速度的一個近似值。當(dāng)然，也很容易知道，當(dāng)變得越小，的近似程度就會越高。因此，可以通過減小提高的精度。這是一個量變的過程，但是當(dāng)量變達(dá)到一定的界限，就會引起質(zhì)變。也即當(dāng)時(shí)，就會實(shí)現(xiàn)“平均