第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（知識通關(guān)詳解）-【單元測試】2023數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷（解析版）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一．指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)1．根式的概念：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。注意：(1)(2)當(dāng)n是奇數(shù)時，，當(dāng)n是偶數(shù)時，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）（2）（3）題型一：根式的化簡求值例1：下列運算中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】對于A，，所以，錯誤；對于B，因為，所以，則，錯誤；對于C，，正確；對于D，，錯誤．故選：C．舉一反三1.式子的計算結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.2．化簡________.【答案】##【詳解】.故答案為：.題型二：指數(shù)冪的運算例2：計算：___．【答案】##0.5【詳解】原式.故答案為：舉一反三1．（多選）下列化簡結(jié)果中正確的有（m、n均為正數(shù)）（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】A.，故正確；B.，故錯誤；C.，故錯誤；D.，故正確.故選：AD2．計算：(1)；(2).解：(1)(2)題型三：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化例3：已知，為正數(shù)，化簡_______．【答案】【詳解】原式．故答案為：．舉一反三1．（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B.2.若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則．故選：C．題型四：指數(shù)冪的化簡、求值例4：化簡：，并求當(dāng)時的值.【詳解】由時，原式舉一反三已知，則=__________.【答案】【解析】【詳解】,,,.二指數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，叫底數(shù)，函數(shù)定義域是．2．指數(shù)函數(shù)在底數(shù)及這兩種情況下的圖象和性質(zhì)：圖象性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）過定點，即時（4）在上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)3.與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域及值域問題（1）求由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的定義域時,可能涉及解指數(shù)不等式(即未知數(shù)在指數(shù)上的不等式),解指數(shù)不等式的基本方法是把不等式兩邊化為同底數(shù)冪的形式,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將冪的形式轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式.（2）求由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的值域,一般用換元法即可,但應(yīng)注意中間變量的值域以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。4.指數(shù)式的大小比較（1）比較同底不同指數(shù)冪的大小,利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較（2）比較不同底同指數(shù)冪的大小，可利用兩個不同底指數(shù)函數(shù)圖象間的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行比較.（3）比較既不同底又不同指數(shù)冪的大小，可利用中間量結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.題型一：指數(shù)函數(shù)的概念例5：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時，且，所以解得.故選：C舉一反三若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則指數(shù)函數(shù)的解析式為___．【答案】解：設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案為：.題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像例6：在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能為（

）A．B．C．D．【答案】B解：函數(shù)的是指數(shù)函數(shù)，且，排除選項C，如果，二次函數(shù)的開口方向向上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，并且有另一個零點：，所以B正確；對稱軸在x軸左側(cè)，C不正確；如果，二次函數(shù)有一個零點，所以D不正確．故選：B．舉一反三如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】，時，時，.故選：B.題型三：指數(shù)函數(shù)的定義域例7：函數(shù)的定義域為___________【答案】【詳解】由題，即，即，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即故答案為：舉一反三1.已知函數(shù)的定義域為，則_________．【答案】【詳解】由題意可知，不等式的解集為，則，解得，當(dāng)時，由，可得，解得，合乎題意.故答案為：.2．函數(shù)的定義域為_________.【答案】解：要使有意義，則；解得，且；的定義域為.故答案為：題型四：指數(shù)函數(shù)的值域例8：函數(shù)的值域為_________________.【答案】【詳解】當(dāng)時，，則，故函數(shù)的值域為.故答案為：.舉一反三函數(shù)且的值域是，則實數(shù)____.【答案】或【詳解】當(dāng)時，函數(shù)且是增函數(shù)，值域是，；當(dāng)時，函數(shù)且是減函數(shù)，值域是，.綜上所述，可得實數(shù)或.故答案為：或題型五：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例9：不等式恒成立，則的取值范圍是_________．【答案】解：因為在R上遞增，所以不等式恒成立，即，恒成立，亦即恒成立，則，解得，故的取值范圍是．故答案為：舉一反三1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間___________.【詳解】設(shè)t＝>0，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函數(shù)t＝在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.故答案為：增區(qū)間為，減區(qū)間為2．已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A解：，使得，等價于，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.題型六：指數(shù)函數(shù)過定點問題例10：函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B解：令，解得，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)過定點.故選：B舉一反三函數(shù)圖象過定點，點在直線上，則最小值為___________.【答案】##4.5【詳解】當(dāng)時，，過定點，又點在直線上，，即，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），的最小值為.故答案為：.題型七：指數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題例11：已知函數(shù)為奇函數(shù)，則方程的解是________．【答案】【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，故，解得，故即，故，解得故答案為：舉一反三已知的最小值為2，則m的取值范圍為______________【答案】【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，當(dāng)時，，，當(dāng)，即時，取最小值，因的最小值為2，于是得，解得，所以m的取值范圍為.故答案為：題型八：指數(shù)函數(shù)實際應(yīng)用例12：企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為（其中，k是正的常數(shù)）．如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，得，所以；當(dāng)時，.故選：C舉一反三我國某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h【答案】C解：由題意得：設(shè)該要在機(jī)體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?000mg/L需要的時間為故，故該新藥對病人有療效的時長大約為故選：C對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)1．對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：（a—底數(shù)，N—真數(shù)，—對數(shù)式）說明：1.注意底數(shù)的限制，a>0且a≠1；2.真數(shù)N>03.注意對數(shù)的書寫格式．2、兩個重要對數(shù)：（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù),；（2）自然對數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)的對數(shù),．3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù)←a→冪底數(shù)對數(shù)←x→指數(shù)真數(shù)←N→冪結(jié)論：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)（2）logaa=1,loga1=0特別地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)對數(shù)恒等式：例1：1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，所以，所以故選：B2．設(shè)，則__________．【答案】16【詳解】由得.故答案為：16舉一反三1．十六?十七世紀(jì)之交，隨著天文?航海?工程?貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計算方法成了當(dāng)務(wù)之急.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運算而發(fā)明了對數(shù)，后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即（且），已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因為，所以，又因為，所以，故選：B.2．方程的解是（

）A．1 B．2 C．e D．3【答案】D【詳解】∵，∴，∴.故選：D.對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，a1，M>0，N>0有：1、兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和2、兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差3、一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的對數(shù)n倍說明:1)簡易語言表達(dá):”積的對數(shù)=對數(shù)的和”……2)有時可逆向運用公式3)真數(shù)的取值必須是(0,＋∞)4)特別注意：例2：1．計算：（

）A．10 B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】.故選：B2．計算：（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B解：；故選：B3．計算：___________．【答案】2解：，故答案為：2.4．計算(1)(2).【解析】(1)；(2)原式＝．舉一反三1．計算：________.【答案】4【詳解】，故答案為：2．計算=________.【答案】##5.5【詳解】.故答案為：.3．若，則__________【詳解】,即，可得故答案為：64．計算下列各題：(1)已知，求的值；(2)求的值.解：因為，所以、，所以，，所以；(2)解：換底公式利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論①②③例3：1．已知，則下列能化簡為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：B.2．______．（用數(shù)字作答）【答案】1【詳解】.故答案為：1舉一反三1．計算：_____【答案】##2.5【詳解】；故答案為：.2．計算：等于___________.【答案】1【詳解】.故答案為：1．對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念：一般地，形如的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù).2.對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。圖像性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過定點：（4）在上是增函數(shù)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過定點：（4）在上是減函數(shù)3.指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較圖象特征函數(shù)性質(zhì)共性向x軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域為R函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域為R+圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點（0，1）過定點（0，1）0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x>0時,0<y<1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x<0時,y>1圖象上升趨勢是越來越緩函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x>0時,y>1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x<0時,0<y<1圖象上升趨勢是越來越陡函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；4.反函數(shù)：一般地,設(shè)A,B分別為函數(shù)y=的定義域和值域,如果由函數(shù)y=f(x)可解得唯一也是一個函數(shù)(即對任意一個,都有唯一的與之對應(yīng)),那么就稱函數(shù)是函數(shù)y=的反函數(shù),記作.在中，y是自變量,x是y的函數(shù),習(xí)慣上改寫成的形式.指數(shù)函數(shù)(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。注意：指數(shù)增長模型：y=N(1+p)x指數(shù)型函數(shù)：y=kax考點：（1）ab=N,當(dāng)b>0時，a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b<0時，a,N在1的異側(cè)。（2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較冪的大小，同底找對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)1(=a0)進(jìn)行傳遞或者利用（1）的知識。（3）求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子，值域求法用單調(diào)性。（4）分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象利用a1=a，用x=1去截圖象得到對應(yīng)的底數(shù)。4.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,+∞)。（2）形如的函數(shù),定義域由來確定。（3）形如的復(fù)合函數(shù)在求定義域時,必須保證每一部分都要有意義。5.對數(shù)式的大小比較：（1）若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.（2）若底數(shù)為同一字母,則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,對底數(shù)進(jìn)行分類討論(分0<a<l,a>1).（3）若底數(shù)不同、真數(shù)相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較,也可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖象,再進(jìn)行比較。（4）若底數(shù)與真數(shù)都不同,則常借助0,1等中間值進(jìn)行比較。題型一：對數(shù)函數(shù)的概念例4：下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x【答案】D【詳解】A、B、C都不符合對數(shù)函數(shù)的定義，只有D滿足對數(shù)函數(shù)定義．故選：D.舉一反三若函數(shù)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則=_______．【答案】2解：因為函數(shù)的反函數(shù)為，，所以，即，所以或（舍去）；故答案為：題型二：對數(shù)函數(shù)的定義域例5：函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】要使函數(shù)解析式有意義，需滿足解得:.故選：C舉一反三1．函數(shù)的定義域是_______．【答案】或解:由，解得或，故答案是或．2．已知函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是___．【答案】解：∵函數(shù)的定義域是R，∴+ax＞0對于任意實數(shù)x恒成立，即ax＞對于任意實數(shù)x恒成立，當(dāng)x＝0時，上式化為0＞﹣1，此式對任意實數(shù)a都成立；當(dāng)x＞0時，則a＞＝，∵x＞0，∴，則≥，則≤，可得a＞；當(dāng)x＜0時，則a＜，∵x＜0，∴，則＞1，則＞1，可得a≤1．綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．題型三：對數(shù)函數(shù)的值域例6：已知函數(shù)，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，故選：D舉一反三1．函數(shù)的值域是________.【答案】【詳解】令，則，因為，所以的值域為，因為在是減函數(shù)，所以，所以的值域為，故答案為：2．若函數(shù)的最大值為0，則實數(shù)a的值為___________.【答案】【詳解】因為的最大值為0，所以應(yīng)有最小值1，因此應(yīng)有解得.故答案為：.題型四：對數(shù)函數(shù)的圖像例7：已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數(shù)圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D舉一反三函數(shù)與的大致圖像是（

）A．B．C．D．【答案】A解：因為在定義域上單調(diào)遞減，又，所以在定義域上單調(diào)遞減，故符合條件的只有A；故選：A題型五：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例8：1．滿足函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D解：若在上單調(diào)遞減，則滿足且，即且，則，即在上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是，故選：D．2．已知，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】.解：當(dāng)時，由，可得，解得；當(dāng)時，，可得，得，不滿足，故無解.綜上所述a的取值范圍為：.故答案為：.舉一反三1．若是定義在上的增函數(shù)，實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，所以，解得，故選：B2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為又是由與復(fù)合而成，因為外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即是求內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間，而內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的減區(qū)間為故答案為：題型六：反函數(shù)例9：已知函數(shù)，它的反函數(shù)為，則_______．【答案】【詳解】因為，所以令，解得，根據(jù)互為反函數(shù)之間的關(guān)系，可得.故答案為：.舉一反三已知，分別是方程，的根，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】由題意可得是函數(shù)的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)，是函數(shù)圖象與直線交點的橫坐標(biāo)，因為的圖象與圖象關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，所以線段的中點就是直線與的交點，由，得，即線段的中點為，所以，得，故選：B題型七：對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用例10：人們常用里氏震級表示地震的強(qiáng)度，表示地震釋放出的能量，其關(guān)系式可以簡單地表示為，2021年1月4日四川省樂山市犍為縣發(fā)生里氏級地震，2021年9月16日四川省瀘州市瀘縣發(fā)生里氏級地震，則后者釋放的能量大約為前者的（

）倍．(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)前者、后者的里氏震級分別為，前者、后者釋放出的能量分別為、，則其滿足關(guān)系和，兩式作差可以得到，即，所以，故選：C．舉一反三（多選）某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生以函數(shù)為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下，其中研究成果正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)B．對于任意的，都有C．對于任意的a，，都有D．對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)，，總滿足【答案】BC【詳解】A：由，解得，故的定義域為．又，∴為奇函數(shù)，故錯誤．B：由，，故正確．C：，，∴，故正確．D：取，，則，，∴，故錯誤．故選：BC．題型八：對數(shù)函數(shù)的過定點例11：（2022·上海市實驗學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像恒過定點，又點的坐標(biāo)滿足方程，則的最大值為_____．【答案】##0.125【解析