統(tǒng)計(jì)-2023年高考數(shù)學(xué)真題(新高考)(解析版)

統(tǒng)計(jì)

目錄一覽

即打真題展現(xiàn)

；考向一樣本的數(shù)字特征

港向二頻率分布直方圖

滇題考查解讀

迸年真題對比

涕向一樣本的數(shù)字特征

渚向二頻率分布直方圖

:考向三獨(dú)立性檢驗(yàn)

僚題規(guī)律

；名校模擬探源

:易錯(cuò)易混速記/二級結(jié)論速記

豆3年真題屆過[

考向一樣本的數(shù)字特征

1.(多選)(2023?新高考I?第9題)有一組樣本數(shù)據(jù)XJ,4,…，”，其中％是最小值，”是最大值，則

()

A.4，七，/，%的平均數(shù)等于々，…，的平均數(shù)

B.%，%的中位數(shù)等于1，…，”的中位數(shù)

C.%，4，%的標(biāo)準(zhǔn)差不小于%1，…，”的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%2，%3，%，%的極差不大于“1，工2，…，氣的極差

【答案】BD

解：4選項(xiàng)，%的平均數(shù)不一定等于工產(chǎn)工2，…，%的平均數(shù)，4錯(cuò)誤；

8選項(xiàng)，%，％，X4,X5的中位數(shù)等于亭，XI,x2,”的中位數(shù)等于號*,8正確；

。選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)X],%2，???,4為0，1，2,8,9,10,可知％,x2，…，%的平均數(shù)是5，4,

%，%的平均數(shù)是5，

%,%，…，%的方差S12=：X[(0-5)2+(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2+(10-5)2]=

50

3

X2，%,%4，%的方差S22=：X[(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2]=

S12>S22,.?.S]>S2，。錯(cuò)誤.

。選項(xiàng)，%6>X5，X2>Xp一X]>15一12，Q正確?

考向二頻率分布直方圖

2.(2023?新高考II?第19題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明

顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

頻率

▲距

Q組

--?o40

QMolo.o38

-二o36

-二o.

36lo34

.O34ro.

o.

0.012

0.01()

0.002逐100—5B0指標(biāo)0.002

O°70758085909510()105指標(biāo)

患病者未患病者

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人

判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為0(c)；誤診率是將未患病者判

定為陽性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概

率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c€[95,105],求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間[95,105]

的最小值.

解：(1)當(dāng)漏診率。(c)=0.5%時(shí)，

則(c-95)卬002=0.5%,解得c=97.5；

q(c)=0.01X2.5+5X0.002=0.035=3.5%;

(2)當(dāng)ce[95,100]時(shí),

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)Q.002+(100-c)D.01+5X0.002=-0.008c+0.82^0.02,

當(dāng)ce(100,105]時(shí)，f(c)=p(c)+q(c)=5X0.002+(c-100)D.012+(105-c)0.002=0.01c-

0.98>0.02,

L，,z、_(-0.008c+0.82,95<c<100

改J-t0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)的最小值為0.02.

U_——b

真題考查解讀

【命題意圖】

考查樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖、相關(guān)性、獨(dú)立性檢驗(yàn).

【考查要點(diǎn)】

考查相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析等.考查學(xué)生讀取數(shù)據(jù)、分

析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力.

【得分要點(diǎn)】

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均

數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即G=久I+G+???+、)?

2.頻率分布直方圖

(1)頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分

布表中的各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來表示，由此畫成的統(tǒng)計(jì)圖叫做頻率分布直方圖.

(2)頻率分布直方圖的特征

①各長方形面積等于相應(yīng)各組的頻率的數(shù)值，所有小矩形面積和為1.

②從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.

③從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹

掉.

(3)頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)

①眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

②平均數(shù)：頻率分布直方圖各小矩形的面積乘底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

③中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo).

3.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

(1)①用一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)減去最小數(shù)據(jù)的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，這個(gè)數(shù)據(jù)就叫極差.

②一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和的平均數(shù)叫做方差.

③方差的算術(shù)平方根就為標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是反映這組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大.

4.獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)分類變量：如果某種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

(2)原理：假設(shè)性檢驗(yàn).

一般情況下：假設(shè)分類變量x和y之間沒有關(guān)系，通過計(jì)算K2值，然后查表對照相應(yīng)的概率P,發(fā)現(xiàn)

這種假設(shè)正確的概率P很小，從而推翻假設(shè)，最后得出x和y之間有關(guān)系的可能性為(i-尸)，也就是“x

和y有關(guān)系”.(表中的人就是A的觀測值，即k=3.

n(ad—bc)2,,

利用隨機(jī)變量K2(也可表示為/2)=――——、人(其中〃=a+6+c+d為樣本容量)來

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系''的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).

(3)2X2列聯(lián)表：

設(shè)X,y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為｛、，叱｝和打？匕｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2x2列聯(lián)表)如下:

yy總計(jì)

12

Xaba+b

1

Xcdc+d

2

總計(jì)Q+Cb+da+b+c+d

(4)范圍：KiE.(0,+°°)；性質(zhì)：K2越大，說明變量間越有關(guān)系.

(5)解題步驟:

①認(rèn)真讀題，取出相關(guān)數(shù)據(jù)，作出2X2列聯(lián)表;

②根據(jù)2義2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算K2的觀測值依

③通過觀測值人與臨界值%比較，得出事件有關(guān)的可能性大小.

近年真題對比

考查相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析等.考查形式以多選題和解

答題為主。

命題規(guī)律

考向一樣本的數(shù)字特征

3.(多選)(2021口新高考H)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本1，馬，…，X”的離散程度的有()

A.樣本/，與，…，馬的標(biāo)準(zhǔn)差

B.樣本X],xv?11,X"的中位數(shù)

C.樣本X］,馬，…，X”的極差

D.樣本土,血，…，%的平均數(shù)

【解答】解：中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，

方差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，

極差是用來表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)，反映的是最大值與最小值之間的差距，

平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，

故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差，極差.

故選：AC.

4.(多選)(2021?高考I)有一組樣本數(shù)據(jù)X］,七，…，與，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)為，%，--

yn,其中為=%+c(z—L2,???,〃)，c為非零常數(shù)，貝I()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【解答】解：對于/,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c,故/錯(cuò)誤；

對于8,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c,故8錯(cuò)誤；

對于C,I?標(biāo)準(zhǔn)差。(%)=D(無,.+c)=D(x.),

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確；

對于。，...%=Xj+c(z=l,2,n),c為非零常數(shù)，

X的極差為Xmax-Xmin,y的極差為Cxma+c)-(xmi+c)=xmax-xmin,

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故。正確.

故選：CD.

考向二頻率分布直方圖

5.(2022■高考II)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的

樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝?/p>

的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)

據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001).

4頻率/組距

0.023......................

0.020----------------

0.017...............-|-

0.012-------n—

0.006--------------------------------------

0.002-------------------------------J_.

0001*==J--------------------1-1--1?

0102030405060708090

年齡/歲

【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：

X=5X0.001X10+15X0.002X10+25X0.012X10+35X0.017X10+45X0.023X10+55X0.020X10+65X

0.017X10+75X0.006X10+85X0.002X10=47.9歲.

(2)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的頻率為：

(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)X10=0.89,

???估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率為0.89.

(3)設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間［40,50)為事件5,此人患這種疾病為事件C,

貝次(半)=P￡BCj=0-l%X0.023X10

1P(B)16%

考向三獨(dú)立性檢驗(yàn)

6.(2022宙高考I)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良

好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該

疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，/表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，3表示事件“選到的人患

有該疾病"，P(［A)與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo),

P(BA)P(BlA)

記該指標(biāo)為R

p

(i)證明：7?=|B)：P(AB).

P(AB)P(AB)

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出PC4［2),P(//)的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給收的估計(jì)值.

2

附.K?-n(ad-bc)_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2、左)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解答】解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表為:

不夠良好良好合計(jì)

病例組4060100

對照組1090100

合計(jì)50150200

計(jì)算爛=馴_義也包lg0[=24>6.635,

100X100X50X150

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

__P(AB)P(?

(2)㈠)證明：R=P1|A)：P(B|A)=P(B|A)EP(B|A)=P(AE=

P(BIA)P(BIA)P(BA)P(BIA)P(AB)P(亞)

P(A)P(A)

_P(AB)p?)__

P(AB)-P(AB)P(B)rP(B)P(AB)P(A|B)

P(AB)叩(AB)P(AB)P(AB)P(AB)P(AlB),

P(B)P(B)

(ii)利用調(diào)查數(shù)據(jù)，P(砌=喘"=春P(AlE)=^=擊，P<A|S)=1-尸U|5)=］，p

------Q

(AIB)=I-PMB)=俞,

29

百Io"

所以牛=6.

?Io-

名校模擬探源

一.簡單隨機(jī)抽樣（共3小題）

1.（2023口湖南模擬）已知某班共有學(xué)生46人，該班語文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書籍的時(shí)長情況,

決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查.將46名學(xué)生按01,02,…，46進(jìn)行編號.現(xiàn)提

供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行:

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8

個(gè)樣本編號是（）

A.07B.12C.39D.44

【解答】解：由題意可知得到的樣本編號依次為12,06,01,16,19,10,07,44,39,38,

則得到的第8個(gè)樣本編號是44.

故選：D.

2.（2023口赤峰模擬）某商場推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽

取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)

月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有（）

A.1張B.2張C.3張D.4張

【解答】解：設(shè)盒子中的有獎(jiǎng)券x張，則無獎(jiǎng)券（10-x）張，

端T11

所以客戶不中獎(jiǎng)的概率為■x」=1-聶,

0430

b10

即）（9-x）=段,化簡得x2-19X+33=0,解得X=19±,

90302

因?yàn)椋?,10）,所以X的近似值為2,即估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有2張.

故選：B.

3.（2023住春模擬）福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03,???,32,33這33個(gè)兩位號

碼中選取，小明利用如下所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個(gè)號碼，選取方法是從第1行第9列的數(shù)字開

始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個(gè)被選中的紅色球號碼為（）

第1行：2976341328414241

第2行：8303982258882410

第3行：5556852661668231

A.10B.22C.24D.26

【解答】解：被選中的紅色球號碼依次為28,03,22,24,10,26,

所以第四個(gè)被選中的紅色球號碼為24.

故選：C.

二.分層抽樣方法（共2小題）

4.（2O230L西模擬）目前，甲型流感病毒在國內(nèi)傳播，據(jù)某市衛(wèi)健委通報(bào)，該市流行的甲型流感病毒，

以甲型〃1N1亞型病毒為主，假如該市某小區(qū)共有100名感染者，其中有10名年輕人，60名老年人，30

名兒童，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行檢測，則做檢測的老年人人數(shù)為（）

A.6B.10C.12D.16

【解答】解：老年人做檢測的人數(shù)為2ox卷■“z-

故選：c.

5.（2023萬山區(qū)校級模擬）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某市舉辦“紅歌大傳唱”主題活動(dòng)，以傳

承紅色革命精神，踐行社會(huì)主義路線，某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用

分層抽樣法組建一個(gè)18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊(duì)，則應(yīng)抽取高三（）

A.5人B.6AC.7人D.8A

【解答】解：依題意得：

某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，

欲采用分層抽樣法組建一個(gè)18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊(duì)，

則應(yīng)抽取高三的人數(shù)為：18X--^――=7.

600+500+700

故選：c.

三.系統(tǒng)抽樣方法（共2小題）

6.（2023御里市校級二模）某工廠要對生產(chǎn)流水線上的600個(gè)零件（編號為001,002,599,600）

進(jìn)行抽檢，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽檢50個(gè)零件，且編號為015的零件被抽檢，則被抽檢的零件的最小

編號為—.

【解答】解：因?yàn)檩?=12,即抽取的組距為12,

50

又因?yàn)榫幪枮?15的零件被抽檢，所以被抽檢的零件的最小編號為003.

故答案為：003.

7.（2023□武漢模擬）2022年8月16日，航天員的出艙主通道一一問天實(shí)驗(yàn)艙氣閘艙首次亮相，為了解學(xué)

生對這一新聞的關(guān)注度，某班主任在開學(xué)初收集了50份學(xué)生的答題問卷，并抽取10份問卷進(jìn)行了解，

現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法，將這50份答題問卷從01到50進(jìn)行編號，分成10組，已知第一組中被抽到的

號碼為03,則第8組中被抽到的號碼為.

【解答】解：將這50份答題問卷從01到50進(jìn)行編號，分成10組，

則每組為5份，

第一組中被抽到的號碼為03,

則第8組中被抽到的號碼為3+（8-1）X5=38.

故答案為：38.

四.分布和頻率分布表（共2小題）

8.（2023苜羊區(qū)校級模擬）一個(gè)果園培養(yǎng)了一種少籽蘋果，現(xiàn)隨機(jī)抽樣一些蘋果調(diào)查蘋果的平均果籽數(shù)

量，得到下列頻率分布表：

果籽數(shù)目1234

蘋果數(shù)12521

則根據(jù)表格，這批樣本的平均果籽數(shù)量為（）

A.1B.1.6C.2.5D.3.2

【解答】解：蘋果總數(shù)為12+5+2+1=20,

則這批樣本的平均果籽數(shù)量為IX12+2X?：3X2+4X1=]6

故選：B.

9.（2023口安寧市校級模擬）某人發(fā)現(xiàn)人們在郵箱名稱里喜歡用數(shù)字，于是他做了調(diào)查，結(jié)果如下表:

郵箱數(shù)601302653061233213047006897

名稱里3678165187728130028204131

有數(shù)字

的郵箱

數(shù)

頻率

（1）填寫上表中的頻率（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

（2）人們在郵箱名稱里使用數(shù)字的概率約是多少？

【解答】解：（1）由頻率公式可算出表格中的頻率從左向右依次為:

0.60,0.60,0.62,0.61,0.59,0.61,0.60,0.60.

（2）由（1）知，雖然計(jì)算出的頻率不全相同，但都在常數(shù)0.60左右擺動(dòng)，

因此，中國人在郵箱名稱里使用數(shù)字的概率約為0.60.

五.頻率分布直方圖（共11小題）

10.（2023□四川模擬）某學(xué)校在高三年級中抽取200名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查

結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖.根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中不正確的是（）

011.522.533.544.55完成作業(yè)時(shí)間（小時(shí)）

A.所抽取的學(xué)生中有40人在2.5小時(shí)至3小時(shí)之間完成作業(yè)

B.該校高三年級全體學(xué)生中，估計(jì)完成作業(yè)的時(shí)間超過4小時(shí)的學(xué)生概率為0.1

C.估計(jì)該校高三年級學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間超過3小時(shí)

D.估計(jì)該校高三年級有一半的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2.5小時(shí)至4.5小時(shí)之間

【解答】解：對于4在2.5小時(shí)至3小時(shí)之間的人數(shù)為0.4X0.5X20（）=4（）人，故/正確；

對于8,該校高三年級全體學(xué)生中，估計(jì)完成作業(yè)的時(shí)間超過4小時(shí)的學(xué)生概率為（0.1+0.1）X0.5=

0.1,故8正確；

對于C,該校高三年級學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間為（0.IX1.25+0.3X1.75+0.5X2.25+0.4X2.75+0.3X

3.25+0.2X3.75+0.1X4.25+0.P<4.75）X0.5=2.75,故C錯(cuò)誤；

對于。，由圖可估計(jì)該校高三年級學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2.5小時(shí)至4.5小時(shí)之間的概率為

（0.4+0.3+0.2+0.1X0.5=0,5,故。正確.

故選：C.

11.(2023事林區(qū)校級模擬)為弘揚(yáng)奧林匹克精神，普及冰雪運(yùn)動(dòng)知識，助力2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì),

某校組織全體學(xué)生參與“激情冰雪-相約冬奧”冰雪運(yùn)動(dòng)知識競賽.從參加競賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取若

千名學(xué)生的競賽成績，均在50到100之間，將樣本數(shù)據(jù)分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,100],并將成績繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知成績在區(qū)間70到90的有60人.

(1)求樣本容量，并估計(jì)該校本次競賽成績的中位數(shù)及平均數(shù)X(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

為代表)；

(2)全校學(xué)生有1000人，抽取學(xué)生的競賽成績的標(biāo)準(zhǔn)差為11,用頻率估計(jì)概率，記全校學(xué)生的競賽成

績的標(biāo)準(zhǔn)差為。，估計(jì)全校學(xué)生中競賽成績在(x-0,x+O)內(nèi)的人數(shù).

頻率

0.032

().028

0.024

0.020

0.016

().012

0.008

0.004

O贏

【解答】解：(1)設(shè)樣本容量為"，則效=(0.028+0.032)x10，

n

得“=100,樣本容量為100,

設(shè)本次競賽成績的中位數(shù)為X,

則0.08+0.2+(x-70)X0.032=0.5,#x=76.875,

抽取的學(xué)生競賽成績的平均數(shù)

x=55X0,008X10+65X0.02X10+75X0.032X10+85X0.028X10+95X0.012X10=76；

(2)7-a=76.6-11=65.e,7+a=76.6+11=87.e,

則抽取學(xué)生在(x-0,x+O)內(nèi)的頻率為(70-65.6)X0.02+0.32+(87.6-80)X0.028=0.6208,

全校學(xué)生有1000人，競賽成績在(X-。，X+O)內(nèi)的人數(shù)1000X0.6208=620.8-621.

12.(2023口商丘三模)某學(xué)校參加全國數(shù)學(xué)競賽初賽(滿分100分).該學(xué)校從全體參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取

了200名學(xué)生的初賽成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖給出的數(shù)據(jù)估計(jì)此次初賽成績的中位數(shù)和平均分?jǐn)?shù)；

(2)從抽取的成績在90?100的學(xué)生中抽取3人組成特訓(xùn)組，求學(xué)生/被選的概率.

【解答】解：(1)由圖可知，前三組的頻率之和為(0.0075+0,0200+0.0300)X10=0.575,

故初賽成績的中位數(shù)在第三組［60,70)內(nèi)，設(shè)為x,

則有0.075+0.2+0.03X(x-60)=0.5,解得x=67.5,

即初賽成績的中位數(shù)為67.5；

由頻率分布直方圖可知，初賽成績的平均數(shù)為：

X=0.075X45+0.2X55+0.3X65+0.25X75+0.15X85+0.025X95=67.75；

(2)由圖可知，抽取的200名學(xué)生中，成績在90?100的有200X0.025=5人，

從這5人中抽取3人，共有C?=10種取法，

U

其中，學(xué)生/被選中，則有C：=6種取法，

故學(xué)生/被選中的概率為且二.

105

13.(2023口葫蘆島一模)某校進(jìn)行了物理學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測考試，將考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并制成如下頻率分布直

解得a=0.035,

設(shè)中位數(shù)為》,貝《(0?010+0.015+0.020)xi0+(x-70)x0.035=0.5=

故答案為：0.035,5；。.

14.（2023口泉州模擬）隨著老年人消費(fèi)需求從“生存型向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變，消費(fèi)層次不斷提升，“銀發(fā)

經(jīng)濟(jì)”成為社會(huì)熱門話題之一，被各企業(yè)持續(xù)關(guān)注.某企業(yè)為了解該地老年人消費(fèi)能力情況，對該地年

齡在［60,80）的老年人的年收入按年齡［60,70）,［70,80）分成兩組進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，已知抽取了

年齡在［60,70）的老年人500人.年齡在［70,80）的老年人300人.現(xiàn)作出年齡在［60,70）的老年人

年收入的頻率分布直方圖（如下圖所示）.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地年齡在［60,70）的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位數(shù)；

（2）已知年齡在［60,70）的老年人年收入的方差為3,年齡在［70,80）的老年人年收入的平均數(shù)和方

差分別為3.75和1.4,試估計(jì)年齡在［60,80）的老年人年收入的方差.

【解答】解：（1）頻率分布直方圖中，該地年齡在［60,70）的老年人年收入的平均數(shù)約為：0.04X

2+0.08X3+0.18X4+0.26X5+0.20X6+0,15X7+0.05X8+0.04X9=5.35,

由頻率分布直方圖，年收入在8.5萬元以下的老年人所占比例為1-0.04X1=0.96,

年收入在7.5萬元以下的老年人所占比例為1-（0.05X1+0.04X1）=0.91,

因此，第95百分位數(shù)一定位于［7.5,8.5）內(nèi)，

由-5+1X穌芳1=8.3,

可以估計(jì)該地年齡在60,70）的老年人年收入的第95百分位數(shù)為8.3.

（2）設(shè)年齡在［60,70）的老年人樣本的平均數(shù)記2彳，方差記為s：;

年齡在［70,80）的老年人樣本的平均數(shù)記2y,方差記為sj;

年齡在［60,80）的老年人樣本的平均數(shù)記2；,方差記為S2.

22

由⑴得x=5.35,由題意得，S=3?v=3.75,s=l.4?

xy

m「一500、，一,300、，一

則z=-5-0-0-+-3--0-0-Xvx+500+300Xvy=475，

22

由s?=^x{500X［S2+（X-I）］+300X［sy+（y-I）］}.

oUUxJ

可得/WtX{500X［3+（5.35-4.75）2］+300x［1.4+（3.75-4.75）2］}=3>

即估計(jì)該地年齡在［60,80)的老年人的年收入方差為3.

15.(2023口賈汪區(qū)校級模擬)在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如

圖的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/p>

16%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)畫40,50),求此人患該種疾病的概率.(樣本數(shù)據(jù)中的

患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖得平均年齡為：

X=(5X0.001+15X0.002+25X0.012+35X0.017+45X0.023+55X0.020+65X0.017+75X0.006+85X0.002)

X10=47.9(歲).

(2)設(shè)/={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},

：.P(A)=l-p(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)X10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)2="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)”，C=“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病

則由已知得：

P(B)=16%=0.16,

P(C)=0.1%=0.001,

P(50=0.023X10=0.23,

則由條件概率公式可得：

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為：

P(半)=駕?=P(C)職Ic)="01X。包=00014375—0014.

P(B)P(B)0.16

16.(20231313州模擬)2023U.I.M.尸1摩托艇世界錦標(biāo)賽中國鄭州大獎(jiǎng)賽于2023年4月29日?30日

在鄭東新區(qū)龍湖水域舉辦.這場世界矚目的國際體育賽事在風(fēng)光迤遍的龍湖上演繹了速度與激情，全面

展示了鄭州現(xiàn)代化國家中心城市的活力與魅力.為讓更多的人了解體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和體育精神，某大學(xué)社

團(tuán)舉辦了相關(guān)項(xiàng)目的知識競賽，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方

圖.

(1)求頻率分布直方圖中成績的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；

(2)若先采用分層抽樣的方法從成績在［80,90),［90,100］的學(xué)生中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)

抽取2人為賽事志愿者，求這2名志愿者中恰好有一人的成績在［90,100］的概率.

“頻率/組距

0.030..........................

0.016----------

0.010----------------------------

0.002—

O4()5060708()90100成績

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖可知：

平均成績7=0.02X45+0.16X55+0.22X65+0.30X75+0.20X85+0.10X95=；

因?yàn)?.02+0.16+0.22=0.4<05,0.02+0.16+0.22+0.3=0.7>0.5,

所以中位數(shù)落在［70,80)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x,

則0.4+0.030X(%-70)=0.5,

解得x=73］；

(2)因?yàn)槌煽冊冢?0,90),［90,100］的學(xué)生人數(shù)所占比例為0.020：0.010=2：1,

所以從成績在［80,90),［90,100］的學(xué)生中應(yīng)分別抽取4人，2人，

記抽取成績在［80,90)的4人為：a,b,c,d,抽取成績在［90,100］的2人為：E,F,

從這6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能為：(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(a,F),(b,

c),(b,d),(.b,E),(6,F),(c,<T),(c,E),(c,F),(d,E),(d,F),(E,

F),共15種，

抽取的2名學(xué)生中恰好有一人的成績在［90,100］的是(a,E),(a,F),(b,E),(b,F),(c,

E),(c,尸)，(d,￡),(d,F)只有8種，

故做培訓(xùn)的這2名學(xué)生中恰好有一人的成績在［90,100］的概率P4.

15

17.(2023口四川模擬)某市為了解全市環(huán)境治理情況，對本市的200家中小型企業(yè)的污染情況進(jìn)行了摸排，

并把污染情況各類指標(biāo)的得分綜合折算成準(zhǔn)分(最高為100分)，統(tǒng)計(jì)并制成如圖所示的直方圖，則這

次摸排中標(biāo)準(zhǔn)分不低于75分的企業(yè)數(shù)為()

A.30B.60C.70D.130

【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，標(biāo)準(zhǔn)分不低于75分的企業(yè)的頻率為：

1-(0.01+0.02+0.04+0.06+0.04)X5=l-0.65=0.35,

二標(biāo)準(zhǔn)分不低于75分的企業(yè)數(shù)為0.35X200=70(家).

故選：C.

18.(2023□甘肅模擬)為提升本地景點(diǎn)的知名度、美譽(yù)度，各地文旅局長紛紛出圈，作為西北自然風(fēng)光與

絲路人文歷史大集合的青甘大環(huán)線再次引發(fā)熱議.為了更好的提升服務(wù)，某地文旅局對到該地的5000名

旅行者進(jìn)行滿意度調(diào)查，將其分成以下6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,100],整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

意度得分

(1)求頻率分布直方圖中°的值；

(2)在這些旅行者中，滿意度得分在60分及以上的有多少人？

(3)為了打造更加舒適的旅行體驗(yàn)，文旅局決定在這5000名旅行者中用分層抽樣的方法從得分在[80,

100]內(nèi)抽取6名旅行者進(jìn)一步做調(diào)查問卷和獎(jiǎng)勵(lì).再從這6名旅行者中抽取一等獎(jiǎng)兩名，求中獎(jiǎng)的2人

得分都在[80,90)內(nèi)的概率.

【解答】解：(1)由題意，得(0.006+0.010也+0.018+0.020+0.032)X10=l,解得a=0.014.

(2)由頻率分布直方圖，得滿意度得分在60分及以上的頻率是1-(0.006+0.014)X10=0.8,

所以滿意度得分在60分及以上的人數(shù)約為5000X0.8=4000.

(3)用分層抽樣的方法抽取的6名旅行者中，得分在[80,90)內(nèi)的有4人，設(shè)為4,B,C,D；

得分在[90,100]內(nèi)的有2人，設(shè)為E,F,

因此從6人中任取2人的試驗(yàn)有Q={/3,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,

DF,EF],共15個(gè)基本事件，

設(shè)2人得分都在［80,90）內(nèi)為事件則”={/3,AC,AD,BC,BD,CD},共6個(gè)基本事件，

所以中獎(jiǎng)的2人得分都在［80,90）內(nèi)的概率P（H）

155

19.（2023匚B喀則市模擬）我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一

新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計(jì)知，有600名學(xué)生選擇物理科，400名學(xué)生選擇歷史科.分別從選擇物

理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計(jì)表（如表）：

分?jǐn)?shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)

[40,50)02

[50,60)14

[60,70)34

[70,80)65

[80,90)63

[90,100]42

（1）利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)

學(xué)成績的頻率分布直方圖，并求出選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)（如圖）；

（2）從數(shù)學(xué)成績低于80分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取5個(gè)成績，再從這5

個(gè)成績中抽2個(gè)成績，求至少有一個(gè)選擇物理科學(xué)生的概率.

頻率▲

麗

0.04()—-11r-1—

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0.035—一一「一11rrn1

ii?

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11

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11

0.020一TT一！

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0.01011

11

―一4__L.-Jl——J—

().005ii

1ii?

°405060708090100成績

【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)知，隨著數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)的提升，選擇物理方向?qū)W生的占比有明顯的提升,

所以數(shù)學(xué)成績越好，其選擇物理科方向的概率越大,

頻率分布直方圖如下:

頻率，

儷

0.040

().035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

().005

0