北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊專題01與角平分線有關(guān)輔助線的四種做法(原卷版+解析)

專題01與角平分線有關(guān)輔助線的四種做法【基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)】1. 過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段：2. 在角的兩邊上截取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形：3. 構(gòu)造等腰三角形：類型一、作垂線、分兩邊例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是________．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，，是的中點(diǎn)，平分．（1）求證：是的平分線；（2）若，求的長．【變式訓(xùn)練2】如圖，中，，，垂足為，若，，則的長為（

）A． B． C． D．4【變式訓(xùn)練3】四邊形中，，連接．（1）如圖1，若平分，求證：．（2）如圖2，若，，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長度．類型二、截線段、構(gòu)全等例．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練1】在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。咀兪接?xùn)練2】（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求證：∠ABD=∠ACD；（2）求證：AD平分∠CDE；（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．類型三、角平分線+垂直=等腰例．如圖，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于點(diǎn)D，AE⊥BD于E，求證：BD=2AE.【變式訓(xùn)練1】已知：如圖，在中，，平分，于，是的中點(diǎn)，求證：.【變式訓(xùn)練2】已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，，平分，于，交于.求證：（1）；（2）.類型四、角平分線+垂直=等腰例.如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知，平分，，則（）A.105° B.120° C.130° D.150°【變式訓(xùn)練2】如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長等于________________．【變式訓(xùn)練3】如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.課后訓(xùn)練1．如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長為_______．2.如圖，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于E，∠A=60o，∠BDC=95o，則∠BED的度數(shù)是（）A.35° B.70° C.110° D.130°3．如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．3．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．5．如圖，在中，，，，分別平分,，，交于點(diǎn)O．(1)求的度數(shù)；(2)請你判斷，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應(yīng)結(jié)果．專題01與角平分線有關(guān)輔助線的四種做法【基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)】1. 過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段：2. 在角的兩邊上截取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形：3. 構(gòu)造等腰三角形：類型一、作垂線、分兩邊例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是________．【答案】5【詳解】過D作，，交延長線于F，∵AD平分，，，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，，是的中點(diǎn)，平分．（1）求證：是的平分線；（2）若，求的長．【答案】（1）詳見解析；（2）8cm.【詳解】（1）證明：過點(diǎn)E分別作于F，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD．∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∴BE=EF．在Rt△AEB和Rt△AEF中，，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分線；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分線，，，，∵∠C=90°∴

，，.故答案為（1）詳見解析；（2）8cm.【變式訓(xùn)練2】如圖，中，，，垂足為，若，，則的長為（

）A． B． C． D．4【答案】D【詳解】做分別關(guān)于的軸對(duì)稱圖形延長交于點(diǎn)，連接，如圖：∵是的對(duì)稱三角形∴

∵∴又∵∴∴∴四邊形是正方形設(shè)，在中：即：解得：（舍）∴的長為4．【變式訓(xùn)練3】四邊形中，，連接．（1）如圖1，若平分，求證：．（2）如圖2，若，，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長度．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，平分，，在與中（HL）即（2）如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，，即（3）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，，四邊形是矩形在與中，四邊形是正方形設(shè)在中在中，類型二、截線段、構(gòu)全等例．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AC+BD=AB，理由見見解析【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【變式訓(xùn)練1】在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，，，，（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在與中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求證：∠ABD=∠ACD；（2）求證：AD平分∠CDE；（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，60°【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，∴∠ABD＝∠ACD；（2）過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N．則∠AMC＝∠ANB＝90°，∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∴AD平分∠CDE（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）；（3）∠BAC的度數(shù)不變化．在CD上截取CP＝BD，連接AP．∵CD＝AD＋BD，∴AD＝PD，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等邊三角形，∴∠DAP＝60°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．類型三、角平分線+垂直=等腰例．如圖，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于點(diǎn)D，AE⊥BD于E，求證：BD=2AE.【答案】詳見解析【詳解】延長BO，AE并交于F，∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE，∴AE=EF，∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，∴∠2=∠OAF，∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠FOA=90°，∴在△OBD和△OAF中，∴△OBD≌△OAF，∴BD=AF，∵AE=EF，∴BD=2AE．【變式訓(xùn)練1】已知：如圖，在中，，平分，于，是的中點(diǎn)，求證：.【答案】見解析.【詳解】如圖，延長CD交AB于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，又AD＝AD∴△ADC≌△ADF(ASA)，∴CD=DF，AC=AF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴DE是△BCF的中位線，∴DE=BF，∵BF=AB-AF=AB-AC，∴DE=(AB-AC)．【變式訓(xùn)練2】已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．【答案】【詳解】解：延長CG交AB于點(diǎn)E．AG平分，于，，，，∵，為的中點(diǎn)，．故答案為.【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，，平分，于，交于.求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【詳解】證明：（1）連接DF，∵OF⊥AD，∴∠AEF＝∠AEO＝90°，∵AD平分∠FAO，∴∠FAE＝∠OAE，在△FAE和△OAE中，∴△FAE≌△OAE（ASA），∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，∵AD⊥OF，∴FE＝OE，∴DF＝DO，∴∠DFO＝∠DOF，∵∠AFO＝∠AOF，∴∠AFD＝∠AOB＝90°，∵∠AOB＝90°，AO＝BO，∴∠B＝45°，∴∠FDB＝∠AFO?∠B＝90°?45°＝45°＝∠B，∴BF＝DF，∴OD＝BF；（2）解：在AD上截AM＝OF，連接OM，∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，∴∠OAM＝22.5°，∵OD＝DF，∴∠DFO＝∠DOF，∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，在△AMO和△OFB中，∴△AMO≌△OFB（SAS），∴MO＝BF＝OD，∵OF⊥AD，∴DE＝ME，∴AD?OF＝DM＝2DE．類型四、角平分線+垂直=等腰例.如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【答案】12【詳解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB∴EB=EG同理可得DF=DC∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案為：12．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知，平分，，則（）A.105° B.120° C.130° D.150°【答案】B【詳解】∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝180?∠CDE＝30°，又∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝30°；∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝180°?60°＝120°．故選B．【變式訓(xùn)練2】如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長等于________________．【答案】13【詳解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵M(jìn)NlBC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴MO=MB，NO=NC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周長=AD+DE+AE=AB+AC=13【變式訓(xùn)練3】如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5個(gè)，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．【詳解】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可證得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．課后訓(xùn)練1．如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長為_______．【答案】【詳解】解析：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，．設(shè)，則，．．設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得解得．．2.如圖，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于E，∠A=60o，∠BDC=95o，則∠BED的度數(shù)是（）A.35° B.70° C.110° D.130°【答案】C【詳解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=95°?60°=35°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABC=2∠ABD=70°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠ABC=180°，∴∠BED=180°?70°=110°．故選C．3．如圖，四邊形中，平分，于點(diǎn)，．求證：．【答案】證明過程見詳解【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作的延長線于，∵平分，，∴，為公共邊，∴，∴，∵，∵，∴，∴在，中，，∴，∴，∴．3．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．【答案】見解析【詳解】證明：分別延長BE、CA交于點(diǎn)F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△