北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊專題2.8一元一次不等式與一元一次不等式組章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)(原卷版+解析)

專題2.8一元一次不等式與一元一次不等式組章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)不等式（組）的整數(shù)解的值求參數(shù)范圍】 1【題型2不等式組的有解或無解問題】 1【題型3根據(jù)不等式的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】 2【題型4根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】 2【題型5利用不等式求最值】 3【題型6不等式中的新定義問題】 3【題型7解絕對值不等式】 4【題型8方程與不等式（組）的實際應(yīng)用】 6【題型1根據(jù)不等式（組）的整數(shù)解的值求參數(shù)范圍】【例1】（2023上·浙江金華·八年級校考期中）已知不等式2x+a≥0的負整數(shù)解恰好是?3，?2，?1，那么a滿足條件（

）A．6<a<8 B．a(chǎn)≥6 C．6≤a<8 D．a(chǎn)≤6【變式1-1】（2023下·湖北武漢·八年級期末）關(guān)于x的不等式組x>2mx≥m?3的最小整數(shù)解為1，則m的取值范圍是（

A．?3≤m<1 B．0≤m<12 C．3<m≤4 D．0≤m<【變式1-2】（2023下·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）若x=3是關(guān)于x的不等式3x?m≥2x+3的一個整數(shù)解，而x=2不是其整數(shù)解，則m的取值范圍為（）A．﹣1<m<0 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1<m≤0【變式1-3】（2023下·安徽亳州·八年級校考期中）若關(guān)于x的不等式組5x+2>4(x+m),?x3?1<4?4A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2不等式組的有解或無解問題】【例2】（2023下·河南洛陽·八年級偃師市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式組{x≥ax≤b無解，則不等式組{x>3?aA．x>3?a B．x<3?b C．3?a<x<3?b D．無解【變式2-1】（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┮阎坏仁浇M4x+a<2x?34x<5【變式2-2】（2023下·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）對于不等式組x>1x≤a，以下結(jié)論中：①若a=2，則不等式組的解集為1<x≤2；②若a=?1，則不等式組無解；③若不等式組無解，則a<1；④若不等式組只有一個整數(shù)解，則1<a<3．其中正確的結(jié)論是：【變式2-3】（2023下·重慶渝北·八年級禮嘉中學(xué)校考期末）若關(guān)于x的一元二次方程a?2x2+2x?3=0有解，且關(guān)于y的不等式組y?2≥2y?13【題型3根據(jù)不等式的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】【例3】（2023下·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的不等式x?3<m的解集中只有三個正整數(shù)，則m的取值范圍是．【變式3-1】（2023下·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式3x?a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A．?7≤a<?4 B．?7<a≤?4 C．4<a≤7 D．4≤a<7【變式3-2】（2023下·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）已知不等式2x?m<3x+1的負整數(shù)解只有5個，則m的取值范圍是【變式3-3】（2023下·安徽亳州·八年級校考期中）已知關(guān)于x的不等式5x?a<6x+1（1）當a=2023時，該不等式的解集為；（2）若該不等式的負整數(shù)解有且只有四個，則a的取值范圍是．【題型4根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】【例4】（2023·湖北襄陽·校聯(lián)考一模）已知關(guān)于x的不等式組3a?2x≥02a+3x>0恰有3個整數(shù)解，則aA．23≤a≤32 B．43≤a≤【變式4-1】（2023下·上海虹口·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的不等式組x?a≥18?2x>0的整數(shù)解共有5個，且關(guān)于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1a+1，則a【變式4-2】（2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式組x?a≤0x+2≥0的整數(shù)解共有3個，則a的取值范圍是（

A．0≤a<1 B．0≤a≤1 C．0<a<1 D．0<a≤1【變式4-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式組x?a≤09?2x<2恰好有四個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是【題型5利用不等式求最值】【例5】（2023下·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）已知非負實數(shù)a，b，c滿足a?12=b?23=5?c4，設(shè)S=a+2b+3c，S的最大值為m【變式5-1】（2023下·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）非負數(shù)x，y滿足x?12=2?y3，記W=3x+4y，W的最大值為m，最小值n，則A．6 B．7 C．14 D．21【變式5-2】（2023下·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a，b，c，a+b=2，c?a=1．若a≥?3b，則【變式5-3】（2023下·福建泉州·八年級泉州七中?？计谥校┮阎獂，y，z為3個非負數(shù)，且滿足3x+2y+z=5，x+y?z=2，若S=2x+y?z，則S的最小值為，最大值為．【題型6不等式中的新定義問題】【例6】（2023下·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“a?b”：當a≥b時，a?b=a+3b；當a<b時，a?b=a?3b．例如：3??4=3+?12(1)填空：4??3=______，(2)若3x?4?x+6=(3)已知3x?7?4<?6，求x【變式6-1】（2023下·吉林長春·八年級校考期末）定義：規(guī)定mina,b=a??a<b(1)min?3,?6(2)解不等式組min4,?x(3)若關(guān)于x的不等式組min6?4x,?2x+2=?2x+2min【變式6-2】（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集的范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相伴方程”．例如：方程x?1=2的解為x=3，而不等式組x+1>2x?3<1的解集為1<x<4，可以發(fā)現(xiàn)x=3在1<x<4的范圍內(nèi)，所以方程x?1=2是不等式組x+1>2問題解決：(1)在方程①3?x=0，②3x=?1中，不等式組x+1>?33x<3(2)若關(guān)于x的方程3x?k=6是不等式組3x+12>xx?1(3)若方程2x+4=0，2x?13=?1都是關(guān)于x的不等式組x+5≥mx+m<2m?3【變式6-3】（2023下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）定義運算：fx,y=ax+by，已知f2,3(1)直接寫出：a=______，b=______；(2)若關(guān)于x的不等式組fx+1,2?x≥0f(3)若fmx+3n,2m?nx≥3m+4n的解集為x≤1【題型7解絕對值不等式】【例7】（2023下·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期中）先閱讀下面是的解題過程，然后回答下列問題．例：解絕對值方程：3x=1解：分情況討論：①當x≥0時，原方程可化為3x=1，解得x=1②當x<0時，原方程可化為?3x=1，解得x=?1所以原方程的解為x=13或根據(jù)材料，解下列絕對值方程：(1)理解應(yīng)用：2x+1=3(2)拓展應(yīng)用：不等式x?1>4【變式7-1】（2023下·寧夏銀川·八年級?？计谀┱堥喿x求絕對值不等式x<3和x對于絕對值不等式x<3，從圖1的數(shù)軸上看：大于?3而小于3的數(shù)的絕對值小于3，所以x<3的解集為

對于絕對值不等式x>3，從圖2的數(shù)軸上看：小于?3或大于3的數(shù)的絕對值大于3，所以x>3的解集為x<?3或

(1)絕對值不等式x>2(2)求絕對值不等式x?3>2(3)已知絕對值不等式2x?1<a的解集為b<x<3，求a?2b【變式7-2】（2023下·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M才實驗中學(xué)?？计谥校╅喿x理解：5??2表示5與?2之差的絕對值，實際上也可理解為5與?2例1.解方程x=2，因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2，所以方程x=2的解為例2.解不等式x?1>2，在數(shù)軸上找出x?1=2的解（如圖），因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)的數(shù)為?1或3，所以方程x?1=2的解為x=?1或x=3，因此不等式x?1>2

參考閱讀材料，解答下列問題：(1)x?3=2(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得x+3+(3)不等式x+3+【變式7-3】（2023下·重慶·八年級期末）閱讀下面材料：材料一：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作|a|，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作|a?b|，如|x+2|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)?2的點的距離．材料二：絕對值符號中含有未知數(shù)的不等式叫做絕對值不等式．求絕對值不等式|x|>2的解集．小華同學(xué)的思路如下：根據(jù)絕對值的定義，當|x|=2時，x=±2，把?2和2在數(shù)軸上分別表示為點A，B，如圖所示，觀察數(shù)軸發(fā)現(xiàn)，以點A，B為分界點把數(shù)軸分為三部分：點A左邊的點表示的數(shù)的絕對值大于2；點A，B之間的點表示的數(shù)的絕對值小于2；點B右邊的點表示的數(shù)的絕對值大于2因此，小華得出結(jié)論，絕對值不等式|x|>2的解集為：x<?2或x>2．參照小華的思路，解決下列問題：(1)請你直接寫出下列絕對值不等式的解集．①|(zhì)x|>1的解集是；②|x|<2的解集是；(2)求絕對值不等式3|x?1|+4?10的整數(shù)解；(3)直接寫出絕對值不等式|x+2|+|x?3|>5的解集是．【題型8方程與不等式（組）的實際應(yīng)用】【例8】（2023下·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)國家醫(yī)保局數(shù)據(jù)顯示，近5年來醫(yī)保藥品目錄累計新增了618種藥品，涵蓋多數(shù)醫(yī)療領(lǐng)域，使患者用較低的價格用上療效更好的藥品．某藥企在2021年研發(fā)一款特效新藥，未納入醫(yī)保前，該種藥物利潤為275元/盒，售價是其成本的6倍．2022年經(jīng)過醫(yī)保局談判，將該種藥納入醫(yī)保，制藥成本不變，但價格大幅度下調(diào)，該藥企為了解該藥品價格與銷售量的關(guān)系，在甲乙兩家藥店進行調(diào)研，結(jié)果如下：①第一個月，甲乙兩家藥店均按納入醫(yī)保后的價格出售，當月共售出250盒；②第二個月，甲藥店按納入醫(yī)保后的價格出售100盒，乙藥店按納入醫(yī)保后的價格打九折出售，該月兩家藥店銷售該款藥品的總收入為28000元，且兩家藥店銷售該款藥品的總銷量比第一個月增加20%③第三個月，甲藥店按納入醫(yī)保后的價格打八五折出售，乙藥店按納入醫(yī)保后的價格出售，該月兩家藥店銷售該款藥品總銷量比第一個月增加20%④第四個月，兩家藥店均按納入醫(yī)保后的價格打八五折出售，該月兩家藥店銷售該款藥品的總銷量比第一個月增加50%⑤若該藥品的價格不變，則銷量基本保持穩(wěn)定．(1)求該藥品在未納入醫(yī)保前的售價與成本；(2)①求該藥品納入醫(yī)保后的售價；②該藥企在2022年的銷量為3000萬盒．為惠及更多患者并有足夠的利潤用于新藥研發(fā)，該藥企計劃在2023年繼續(xù)下調(diào)該藥品的價格，希望2023年的年銷量超過6000萬盒，且盈利不低于20%【變式8-1】（2023下·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期末）某研學(xué)基地為激發(fā)來研學(xué)學(xué)生參與活動的積極性，經(jīng)常組織競賽活動，并購買保溫杯和臺燈作為獎品獎勵學(xué)生．該基地在某超市購買保溫杯、臺燈若干次，其中前兩次購買時，均按標價購買；成為老顧客后，從第三次購買開始，保溫杯、臺燈同時以相同折扣數(shù)的打折價購買．前三次購買保溫杯、臺燈的數(shù)量及費用如下表所示：購買保溫杯的數(shù)量/個購買臺燈的數(shù)量/個購買總費用/元第一次購買54800第二次購買37940第三次購買98912(1)求保溫杯、臺燈的標價；(2)某日，甲、乙兩校師生同時來到該基地研學(xué)，基地為兩校組織了一次陶泥制作比賽，并頒發(fā)獎品20個保溫杯和10個臺燈（均按打折價購買），甲、乙兩校各獲得15個獎品，甲校所獲獎品的購買金額不低于800元，乙校所獲獎品的購買金額不低于750元，求甲、乙兩校分別獲得保溫杯和臺燈各多少個？【變式8-2】（2023下·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期末）為了防疫，師大一中需購買甲、乙兩種品牌的溫度槍，已知甲品牌溫度槍的單價比乙品牌溫度槍的單價低40元，且用4800元購買甲品牌溫度槍的數(shù)量是用4000元購買乙品牌溫度槍的數(shù)量的32(1)求甲、乙兩種品牌溫度槍的單價．(2)若學(xué)校計劃購買甲、乙兩種品牌的溫度槍共80個，且乙品牌溫度槍的數(shù)量不小于甲品牌溫度槍數(shù)量的2倍，購買兩種品牌溫度槍的總費用不超過15000元．設(shè)購買甲品牌溫度槍m個，則該校共有幾種購買方案？(3)在（2）條件下，采用哪一種購買方案可使總費用最低？最低費用是多少？【變式8-3】（2023下·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）某廠租用A、B兩種型號的車給零售商運送貨物．已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸；廠家現(xiàn)有21噸貨物需要配送，計劃租用A、B兩種型號車6輛一次配送完貨物，且A車至少1輛．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫助廠家設(shè)計租車方案完成一次配送完21噸貨物；(3)若A型車每輛需租金80元每次，B型車每輛需租金100元每次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．專題2.8一元一次不等式與一元一次不等式組章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)不等式（組）的整數(shù)解的值求參數(shù)范圍】 1【題型2不等式組的有解或無解問題】 3【題型3根據(jù)不等式的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】 6【題型4根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】 8【題型5利用不等式求最值】 10【題型6不等式中的新定義問題】 13【題型7解絕對值不等式】 18【題型8方程與不等式（組）的實際應(yīng)用】 24【題型1根據(jù)不等式（組）的整數(shù)解的值求參數(shù)范圍】【例1】（2023上·浙江金華·八年級校考期中）已知不等式2x+a≥0的負整數(shù)解恰好是?3，?2，?1，那么a滿足條件（

）A．6<a<8 B．a(chǎn)≥6 C．6≤a<8 D．a(chǎn)≤6【答案】C【分析】先求出不等式的解集，根據(jù)不等式的負整數(shù)解得到關(guān)于a的不等式組，從而求出a的取值范圍.【詳解】解：∵2x+a≥0，∴2x≥?a，∴x≥?a∵不等式2x+a≥0的負整數(shù)解恰好是?3，?2，?1，∴?4<x≤?3，∴?4<?a∴6≤a<8.故選：C.【點睛】本題考查了不等式的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和確定?a【變式1-1】（2023下·湖北武漢·八年級期末）關(guān)于x的不等式組x>2mx≥m?3的最小整數(shù)解為1，則m的取值范圍是（

A．?3≤m<1 B．0≤m<12 C．3<m≤4 D．0≤m<【答案】B【分析】分兩種情況討論：①當2m≥m?3；②當2m<m?3，利用不等式組的最小整數(shù)解為1，分別得到關(guān)于m的不等式，求解即可得到答案．【詳解】解：分兩種情況討論：①當2m≥m?3，即m≥?3時，此時，不等式組x>2mx≥m?3的解集為x>2m∵不等式組x>2mx≥m?3∴0≤2m<1，∴0≤m<②當2m<m?3，即m<?3時，此時，不等式組x>2mx≥m?3的解集為x≥m?3∵不等式組x>2mx≥m?3∴0<m?3≤1，∴3<m≤4（不符合題意，舍去），綜上可知，m的取值范圍是0≤m<1故選：B．【點睛】本題考查了不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023下·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）若x=3是關(guān)于x的不等式3x?m≥2x+3的一個整數(shù)解，而x=2不是其整數(shù)解，則m的取值范圍為（）A．﹣1<m<0 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1<m≤0【答案】C【分析】先解一元一次不等式可得x≥m+3，再根據(jù)x=2不是不等式3x?m≥2x+3的整數(shù)解，可得m>?1，然后根據(jù)x=3是關(guān)于x的不等式3x?m≥2x+3的一個整數(shù)解，可得m≤0，即可解答．【詳解】解：∵3x?m≥2x+3，∴x≥m+3．∵x=2不是不等式的整數(shù)解，∴m+3>2，解得m>?1．∵x=3是關(guān)于x的不等式3x?m≥2x+3的一個整數(shù)解，∴3×3?m≥2×3+3，∴m≤0，∴﹣1<m≤0故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023下·安徽亳州·八年級校考期中）若關(guān)于x的不等式組5x+2>4(x+m),?x3?1<4?4A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】解不等式組用含m的式子表示不等式組的解題，根據(jù)所有整數(shù)解的和為7，寫出所有的整數(shù)解題即可．【詳解】由5x+2>4(x+m)，得x>4m?2；由?x3?1<4?因為不等式組的所有整數(shù)解的和為7，所以不等式組的整數(shù)解為4，3或4，3，2，1，0，?1,?2，所以2≤4m?2<3或?3≤4m?2<?2，解得1≤m<54或符合條件的整數(shù)m的值為1，即整數(shù)m的值有1個，故選A．【點睛】本題考查不等式組的整數(shù)解問題，能正確確定不等式組的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．【題型2不等式組的有解或無解問題】【例2】（2023下·河南洛陽·八年級偃師市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式組{x≥ax≤b無解，則不等式組{x>3?aA．x>3?a B．x<3?b C．3?a<x<3?b D．無解【答案】C【分析】根據(jù)不等式組{x≥ax≤b無解，得出a＞b，進一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式組【詳解】解：∵不等式組{x≥a∴a＞b，∴-a＜-b，∴3-a＜3-b，∴不等式組{x>3?ax<3?b的解集是故選：C【點睛】本題考查了求不等式組的方法，可以借助口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”求解集．解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得到a＞b，進而得出3-a＜3-b．【變式2-1】（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┮阎坏仁浇M4x+a<2x?34x<5【答案】a<3【分析】解兩個不等式求得x的范圍，由不等式組有解可得關(guān)于a的不等式，解之可得答案．【詳解】解：解不等式4x+a<2x，得：x<?a解不等式?34x<則不等式組的解集為：?3∵不等式組4x+a<2x?∴?3解得：a<3，故答案為：a<3．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023下·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）對于不等式組x>1x≤a，以下結(jié)論中：①若a=2，則不等式組的解集為1<x≤2；②若a=?1，則不等式組無解；③若不等式組無解，則a<1；④若不等式組只有一個整數(shù)解，則1<a<3．其中正確的結(jié)論是：【答案】①②/②①【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法逐個判斷即可得．【詳解】解：①若a=2，則不等式組的解集為1<x≤2，原結(jié)論正確；②若a=?1，則不等式組無解，原結(jié)論正確；③若不等式組無解，則a的取值范圍為a≤1，原結(jié)論錯誤；④若不等式組只有一個整數(shù)解，則2≤a<3，原結(jié)論錯誤；綜上，正確的結(jié)論的序號是①②，故答案為：①②．【點睛】本題考查了一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023下·重慶渝北·八年級禮嘉中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于x的一元二次方程a?2x2+2x?3=0有解，且關(guān)于y的不等式組y?2≥2y?13【答案】12【分析】先運用一元二次方程根的判別式和不等式組的解得情況確定a的取值范圍，從而得到整數(shù)a的取值，最后求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程a?2x∴Δ=22?4×?3a?2≥0將不等式組y?2≥2y?13?∵不等式組y?1≥2y?1∴a≤5，∴a的取值范圍為：53≤a≤5且∴滿足條件的整數(shù)a的值為：5,4,3∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是12．故答案為：12．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、含參數(shù)一元一次不等式組的解等知識點，掌握運用一元二次方程根的判別式判定根的情況及明確不等式組解集的取法是解題的關(guān)鍵．【題型3根據(jù)不等式的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】【例3】（2023下·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的不等式x?3<m的解集中只有三個正整數(shù)，則m的取值范圍是．【答案】0<m≤1【分析】根據(jù)不等式只有三個正整數(shù)解列出關(guān)于m的不等式求解即可；【詳解】解不等式x?3<m得x<m+3，∵只有三個正整數(shù)，∴3<m+3≤4，∴0<m≤1．故答案是：0<m≤1．【點睛】本題主要考查了根據(jù)一元一次不等式的整數(shù)解求參數(shù)，準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023下·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式3x?a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A．?7≤a<?4 B．?7<a≤?4 C．4<a≤7 D．4≤a<7【答案】D【分析】先求出一元一次不等式的解集為x≤a+23，再根據(jù)不等式只有兩個正整數(shù)解得到【詳解】解：∵3x?a≤2，∴3x≤a+2，∴x≤a+2∵關(guān)于x的不等式3x?a≤2只有2個正整數(shù)解，∴2≤a+2∴6≤a+2<9，∴4≤a<7，故選D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式的解集情況求參數(shù)，正確得到2≤a+2【變式3-2】（2023下·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）已知不等式2x?m<3x+1的負整數(shù)解只有5個，則m的取值范圍是【答案】2<m≤3【分析】解不等式得x>?3?m，由于只有5個負整數(shù)解，故可判斷?3?m的取值范圍，再解不等式組求出m的取值范圍．【詳解】解：去括號，得：2x?m<3x+3，移項，得：2x?3x<3+m，合并同類項，得：?x<3+m，系數(shù)化為1，得：x>?3?m，∵不等式的負整數(shù)解只有5個，∴?6≤?3?m<?5，解得：2<m≤3，故答案為：2<m≤3．【點睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解．正確解不等式，求出正整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023下·安徽亳州·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的不等式5x?a<6x+1（1）當a=2023時，該不等式的解集為；（2）若該不等式的負整數(shù)解有且只有四個，則a的取值范圍是．【答案】x>?2029?2<a≤?1【分析】（1）把a=2023代入5x?a<6x+1（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)得出x>?a?6，根據(jù)該不等式的負整數(shù)解有且只有四個，得出?5≤?a?6<?4，求解即可．【詳解】解：（1）當a=2023時，5x?2023<6x+1去括號，得5x?2023<6x+6，移項、合并同類項，得?x<2029，系數(shù)化為1，得x>?2029．（2）由不等式5x?a<6x+1，得x>?a?6∵該不等式的負整數(shù)解有且只有四個，∴這四個負整數(shù)解為?4,?3,?2,?1，∴?5≤?a?6<?4，解得?2<a≤?1．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個式子，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向改變．【題型4根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍】【例4】（2023·湖北襄陽·校聯(lián)考一模）已知關(guān)于x的不等式組3a?2x≥02a+3x>0恰有3個整數(shù)解，則aA．23≤a≤32 B．43≤a≤【答案】B【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)題意得到必定有整數(shù)解0，再根據(jù)恰有3個整數(shù)解分類討論，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解：3a?2x≥0解不等式①得x≤3a2，解不等式②得由于不等式組有解，則?2a∵|3a∴三個整數(shù)解不可能是?2，?1，0．若三個整數(shù)解為?1，0，1，則不等式組無解；若三個整數(shù)解為0，1，2，則2≤3解得43故選：B【點睛】本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．難度較大，理解題意，根據(jù)已知條件得到必定有整數(shù)解0，再分類討論是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023下·上海虹口·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的不等式組x?a≥18?2x>0的整數(shù)解共有5個，且關(guān)于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1a+1，則a【答案】?3<a≤?2【分析】先求于x的不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)求a的取值范圍，然后根據(jù)關(guān)于y的不等式的解集求a的取值范圍，最后作答即可．【詳解】解：x?a≥1①解不等式①得，x≥1+a，解不等式②得，x<4，∵不等式組有5個整數(shù)解，∴?2<1+a≤?1，解得，?3<a≤?2，ay?1≤?y，移項合并得，a+1y≤1∵關(guān)于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1∴a+1<0，∴a<?1，綜上，?3<a≤?2，∴a的值為?3<a≤?2；故答案為：?3<a≤?2．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式4-2】（2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式組x?a≤0x+2≥0的整數(shù)解共有3個，則a的取值范圍是（

A．0≤a<1 B．0≤a≤1 C．0<a<1 D．0<a≤1【答案】A【分析】不等式組整理后，表示出解集，根據(jù)整數(shù)解共有3個，確定出a的取值范圍即可．【詳解】解：不等式組整理得：x≤ax≥?2∴?2≤x≤a，∵不等式組的整數(shù)解共有3個，∴整數(shù)解為?2，?1，0，則a的取值范圍是0≤a<1．故選：A．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式組x?a≤09?2x<2恰好有四個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】7≤a<8【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解：解不等式組x?a≤09?2x<2得x≤ax>3.5，則∵該不等式組的解集恰好有四個整數(shù)解，∴四個整數(shù)解為4、5、6、7，∴7≤a<8，故答案為：7≤a<8．【點睛】本題考查解不等式組及不等組的整數(shù)解，難度中等，正確解出不等式組的解集，確定a的范圍是解決本題的關(guān)鍵．【題型5利用不等式求最值】【例5】（2023下·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）已知非負實數(shù)a，b，c滿足a?12=b?23=5?c4，設(shè)S=a+2b+3c，S的最大值為m【答案】15【分析】設(shè)a?12=b?23=5?c4=k，則a=2k+1，b=3k+2，c=5?4k；利用a，b，【詳解】解：設(shè)a?12=b?23=5?c4∴S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+2)+3(5?4k)=?4k+20．∵a，b，c為非負實數(shù)，∴2k+1≥03k+2≥0解得：?1∴15≤?4k+20≤22，∴m=22，n=15．∴nm故答案為：1522【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式組，設(shè)a?12【變式5-1】（2023下·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）非負數(shù)x，y滿足x?12=2?y3，記W=3x+4y，W的最大值為m，最小值n，則A．6 B．7 C．14 D．21【答案】D【分析】設(shè)x?12=2?y3=t，用t表示出x、y的值，再由x，y為非負數(shù)即可求出t的取值范圍，把所求代數(shù)式用【詳解】解：設(shè)x?12=2?y則x=2t+1，y=2-3t，∵x≥0，y≥0，∴2t+1≥0，2-3t≥0，解得t≥?∴?∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，∴?解得，7≤w≤14，∴w的最大值是14，最小值是7，∴m+n=14+7=21．故選：D．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，通過設(shè)參數(shù)的方法求出W的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023下·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a，b，c，a+b=2，c?a=1．若a≥?3b，則【答案】6【分析】由c?a=1得c=a+1，與a+b=2相加得a+b+c=a+3，由a+b=2及a≥?3b，可得a的最大值為3，從而得出a+b+c的最大值．【詳解】解：由c?a=1得c=a+1，由a+b=2得a+b+c=a+3，∵a+b=2及a≥?3b，∴a≥?32?a解得：a≤3∴a的最大值為3，∴a+b+c的最大值=3+3=6．故答案為：6．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)運用．關(guān)鍵是由已知等式得出a+b+c的表達式，再求最大值．【變式5-3】（2023下·福建泉州·八年級泉州七中?？计谥校┮阎獂，y，z為3個非負數(shù)，且滿足3x+2y+z=5，x+y?z=2，若S=2x+y?z，則S的最小值為，最大值為．【答案】23【分析】先解三元一次方程組得到y(tǒng)=7?4x3，z=1?x3，根據(jù)x、y、z是三個非負實數(shù)，得到0≤x≤1，再求出【詳解】解：3x+2y+z=5①+②得：4x+3y=7，解得①?②×2得：x+3z=1∵x、y、z是三個非負數(shù)，∴x≥0,y≥0,z≥0，∴7?4x3∴0≤x≤1，∵S=2x+y?z，∴S=2x+7?4x∴2≤S≤3，∴S的最小值為2，最大值為3，故答案為：2,3；【點睛】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，正確求出0≤x≤1，S=x+2是解題的關(guān)鍵．【題型6不等式中的新定義問題】【例6】（2023下·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“a?b”：當a≥b時，a?b=a+3b；當a<b時，a?b=a?3b．例如：3??4=3+?12(1)填空：4??3=______，(2)若3x?4?x+6=(3)已知3x?7?4<?6，求x【答案】(1)?5，?13(2)x<5(3)x<【分析】（1）根據(jù)題目所給新運算的運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)題意可得3x?4<x+6，求解即可；（3）分為兩種情況，當3x?7≥4，即x≥113時；當3x?7<4，即【詳解】（1）解：∵4>?3∴4??3∵?4<3∴?4?3=?4?3×3=?13故答案為：?5，?13（2）解：∵3x?4∴3x?4<x+6解得：x<5故答案為：x<5．（3）解：分兩種情況，當3x?7≥4，即x≥11由3x?7?4<?6可得：解得x<?11當3x?7<4，即x<11由3x?7?4<?6可得：解得x<綜上所述，x的取值范圍x<11【點睛】本題考查了一元一次不等式，有理數(shù)的混合運算，整式的加減，理解定義的新運算是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023下·吉林長春·八年級校考期末）定義：規(guī)定mina,b=a??a<b(1)min?3,?6(2)解不等式組min4,?x(3)若關(guān)于x的不等式組min6?4x,?2x+2=?2x+2min【答案】(1)?6(2)?4≤x≤2(3)?1<a≤1【分析】（1）根據(jù)?3>?6、以及min的定義即可得；（2）根據(jù)min的定義可得一個關(guān)于x的一元一次不等式組，解不等式組即可得；（3）先根據(jù)min的定義可得一個關(guān)于x的一元一次不等式組，解不等式組可得a?12≤x≤2，再根據(jù)不等式組恰好有三個整數(shù)解可得【詳解】（1）解：因為?3>?6，所以min?3,?6故答案為：?6．（2）解：∵min∴4≥?x解不等式①得：x≥?4，解不等式②得：x≤2，則不等式組的解集為?4≤x≤2．（3）解：∵min∴6?4x≥?2x+2解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x≥a?1∵這個不等式組有解，∴這個不等式組的解集為a?12又∵關(guān)于x的不等式組min6?4x,?2x+2∴?1<a?1解得?1<a≤1，所以a的取值范圍為?1<a≤1．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，理解min的定義，正確得出不等式組是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集的范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相伴方程”．例如：方程x?1=2的解為x=3，而不等式組x+1>2x?3<1的解集為1<x<4，可以發(fā)現(xiàn)x=3在1<x<4的范圍內(nèi)，所以方程x?1=2是不等式組x+1>2問題解決：(1)在方程①3?x=0，②3x=?1中，不等式組x+1>?33x<3(2)若關(guān)于x的方程3x?k=6是不等式組3x+12>xx?1(3)若方程2x+4=0，2x?13=?1都是關(guān)于x的不等式組x+5≥mx+m<2m?3【答案】(1)①(2)?9<k≤?3(3)?2<m≤3【分析】（1）解一元一次方程和一元一次不等式組，根據(jù)“相伴方程”的定義即可求得答案．（2）解一元一次方程和一元一次不等式組，根據(jù)“相伴方程”的定義，可得到關(guān)于k的一元一次不等式組．（3）解一元一次方程和一元一次不等式組，根據(jù)“相伴方程”的定義，可得到關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組即可．【詳解】（1）解：解方程3?x=0得x=3．解方程3x=?1得x=?1解不等式組x+1>?33x<3，得?4<x<1根據(jù)“相伴方程”的定義可知，方程①3?x=0是不等式組x+1>?33x<3的“相伴方程”，方程②3x=?1不是不等式組x+1>?3故答案為：①．（2）解：解關(guān)于x的方程3x?k=6，得x=2+解不等式組3x+12>xx?1根據(jù)“相伴方程”的定義，得2+解得?9<k≤?3．（3）解：解關(guān)于x的方程2x+4=0，得x=?2．解關(guān)于x的方程2x?13=?1，得x+5≥m解不等式①，得x≥m?5．解不等式②，得x<m?3．根據(jù)“相伴方程”的定義，得m?5≤?2解得?2<m≤3．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組和一元一次方程相結(jié)合的問題，能根據(jù)題目中的已知條件構(gòu)建一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）定義運算：fx,y=ax+by，已知f2,3(1)直接寫出：a=______，b=______；(2)若關(guān)于x的不等式組fx+1,2?x≥0f(3)若fmx+3n,2m?nx≥3m+4n的解集為x≤1【答案】(1)2；1(2)t≤?20(3)x≤【分析】（1）根據(jù)定義的新運算f，列出二元一次方程組，解方程組可求出a，b的值；（2）根據(jù)（1）求出的a，b的值和新運算列出一元一次不等式組，解不等式組并根據(jù)不等式組解集的情況可求出t的取值范圍；（3）根據(jù)（1）求出的a，b的值和新運算列出一元一次不等式，根據(jù)解集為x≤13可得出m與n的數(shù)量關(guān)系；再根據(jù)a，【詳解】（1）解：由題意得：2a+3b=73a+4b=10解得：a=2b=1故答案為：2；1；（2）把a=2，b=1代入fx,y=ax+by得∴不等式組fx+1,2?x≥0f解得：x≥?4x<∵關(guān)于x的不等式組fx+1,2?x∴t5解得：t≤?20，∴t的取值范圍是t≤?20；（3）不等式fmx+3n,2m?nx≥3m+4n轉(zhuǎn)化為整理，得：2m?nx≥m?2n∵fmx+3n,2m?nx≥3m+4n的解集為∴2m?n<0，解得：x≤m?2n∴m?2n2m?n∴m=5n，∴2×5n?n<0，解得：n<0，不等式fmx?m,3n?nx≥m+n轉(zhuǎn)化為整理，得：2m?nx≥3m?2n∴2×5n?nx≥3×5n?2n∴9nx≥13n，∴x≤13∴不等式fmx?m,3n?nx≥m+n的解集為【點睛】本題考查二元一次方程組的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式組的解法．掌握二元一次方程組的解法、一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．【題型7解絕對值不等式】【例7】（2023下·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期中）先閱讀下面是的解題過程，然后回答下列問題．例：解絕對值方程：3x=1解：分情況討論：①當x≥0時，原方程可化為3x=1，解得x=1②當x<0時，原方程可化為?3x=1，解得x=?1所以原方程的解為x=13或根據(jù)材料，解下列絕對值方程：(1)理解應(yīng)用：2x+1=3(2)拓展應(yīng)用：不等式x?1>4【答案】(1)①x=1；②x=1或x=?2(2)x>5或x<?3【分析】（1）分為兩種情況：①當2x+1≥0時，②當2x+1<0時，去掉絕對值符號后求出即可；（2）分為兩種情況：①當x?1>4時，②當x?1<?4時，分情況求出即可．【詳解】（1）解：分情況討論：①當2x+1≥0時，原方程可化為2x+1=3，解得x=1；②當2x+1<0時，原方程可化為：?2x?1=3，解得：x=?2，所以原方程的解為x=1或x=?2；（2）解：分情況討論：①當x?1>4時，解得：x>5；②當x?1<?4時，解得：x<?3，所以不等式解集為x>5或x<?3．【點睛】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程及一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能去掉絕對值符號，用了分類討論思想．【變式7-1】（2023下·寧夏銀川·八年級校考期末）請閱讀求絕對值不等式x<3和x對于絕對值不等式x<3，從圖1的數(shù)軸上看：大于?3而小于3的數(shù)的絕對值小于3，所以x<3的解集為

對于絕對值不等式x>3，從圖2的數(shù)軸上看：小于?3或大于3的數(shù)的絕對值大于3，所以x>3的解集為x<?3或

(1)絕對值不等式x>2(2)求絕對值不等式x?3>2(3)已知絕對值不等式2x?1<a的解集為b<x<3，求a?2b【答案】(1)x>2或x<?2(2)x>5或x<1(3)9【分析】（1）根據(jù)題干提供的信息，結(jié)合絕對值的意義進行解答即可；（2）由絕對值的幾何意義即可得出答案；（3）由2x?1<a知?a<2x?1<a，據(jù)此得出1?a2<x<a+12，再結(jié)合b<x<3可得出關(guān)于a、b【詳解】（1）解：∵x>2∴x>2或x<?2．故答案為：x>2或x<?2．（2）解：根據(jù)絕對值的定義得：x?3>2或x?3<?2，解得：x>5或x<1；（3）解：∵|2x?1|<a，∴?a<2x?1<a，解得1?a2∵解集為b<x<3，∴1?a2解得a=5b=?2∴a?2b=5+4=9．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，絕對值的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的幾何意義及解一元一次不等式和不等式組的基本步驟．【變式7-2】（2023下·上海·八年級上海市進才實驗中學(xué)?？计谥校╅喿x理解：5??2表示5與?2之差的絕對值，實際上也可理解為5與?2例1.解方程x=2，因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2，所以方程x=2的解為例2.解不等式x?1>2，在數(shù)軸上找出x?1=2的解（如圖），因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2的點對應(yīng)的數(shù)為?1或3，所以方程x?1=2的解為x=?1或x=3，因此不等式x?1>2

參考閱讀材料，解答下列問題：(1)x?3=2(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得x+3+(3)不等式x+3+【答案】(1)x=5或x=1(2)?3，?2，?1，0，1，2(3)x<?4或x>3【分析】（1）根據(jù)材料定義，理解為數(shù)軸上到3的距離為2的點即為x表示的數(shù)，從而求解；（2）根據(jù)材料定義，理解為數(shù)軸上到2的距離與到?3的距離之和為5點即為x表示的數(shù)，由此結(jié)合數(shù)軸求解即可；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求出數(shù)軸上到2的距離與到?3的距離之和大于7的x的范圍即可．【詳解】（1）解：x?3=2x?3=2或x?3=?2，∴x=5或x=1，故答案為：x=5或x=1；（2）解：要使得x+3+即：數(shù)軸上x到2的距離與到?3的距離之和為5，∵數(shù)軸上?3和2之間的距離恰好為5，∴?3≤x≤2，∵x為整數(shù)，∴x=?3，?2，?1，0，1，2，故答案為：?3，?2，?1，0，1，2；（3）解：要使得x+3+即：數(shù)軸上x到2的距離與到?3的距離之和大于7，首先在數(shù)軸上找出x+3+

由（2）可知數(shù)軸上?3和2之間的距離恰好為5，∴要使得x到2的距離與到?3的距離之和等于7，則x=?4或x=3，∴x+3+x?2>7的解集為：x<?4故答案為：x<?4或x>3．【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，以及利用絕對值的幾何意義解方程和不等式，熟練利用絕對值的幾何意義和數(shù)軸分析是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023下·重慶·八年級期末）閱讀下面材料：材料一：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作|a|，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作|a?b|，如|x+2|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)?2的點的距離．材料二：絕對值符號中含有未知數(shù)的不等式叫做絕對值不等式．求絕對值不等式|x|>2的解集．小華同學(xué)的思路如下：根據(jù)絕對值的定義，當|x|=2時，x=±2，把?2和2在數(shù)軸上分別表示為點A，B，如圖所示，觀察數(shù)軸發(fā)現(xiàn)，以點A，B為分界點把數(shù)軸分為三部分：點A左邊的點表示的數(shù)的絕對值大于2；點A，B之間的點表示的數(shù)的絕對值小于2；點B右邊的點表示的數(shù)的絕對值大于2因此，小華得出結(jié)論，絕對值不等式|x|>2的解集為：x<?2或x>2．參照小華的思路，解決下列問題：(1)請你直接寫出下列絕對值不等式的解集．①|(zhì)x|>1的解集是；②|x|<2的解集是；(2)求絕對值不等式3|x?1|+4?10的整數(shù)解；(3)直接寫出絕對值不等式|x+2|+|x?3|>5的解集是．【答案】(1)①x<?1或x>1；②?2<x<2(2)整數(shù)解為x=?1，0，1，2，3(3)x<?2或x>3【分析】（1）①利用絕對值的意義解答即可得到答案；②利用絕對值的意義解答即可得到答案；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)化簡得到|x?1|?2，由此得到?2≤x?1≤2，求出解集即可得到整數(shù)解；（3）分三種情況：①當x??2時，②當?2?x?3時，③當x?3時，分別解不等式即可．(1)解：根據(jù)閱讀材料可知：①|(zhì)x|>1的解集是x<?1或x>1；②|x|<2的解集是?2<x<2．故答案為：x<?1或x>1；?2<x<2．(2)解：3|x?1|+4?10，3|x?1|?6，|x?1|?2，∴?2?x?1?2，∴?1?x?3，∴整數(shù)解為x=?1，0，1，2，3；(3)解：①當x<?2時，不等式為?x?2?x+3>5，移項、合并得?2x>4，系數(shù)化為1，得x<?2；②當?2?x?3時，不等式為x+2?x+3>5，移項、合并得5>5，不成立；③當x>3時，不等式為x+2+x?3>5，移項、合并得2x>6，系數(shù)化為1，得x>3．故不等式的解集是x<?2或x>3，故答案為x<?2或x>3．【點睛】此題考查了解絕對值不等式，理解絕對值的意義，正確解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是理解閱讀材料掌握解題的思路及方法．【題型8方程與不等式（組）的實際應(yīng)用】【例8】（2023下·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)國家醫(yī)保局數(shù)據(jù)顯示，近5年來醫(yī)保藥品目錄累計新增了618種藥品，涵蓋多數(shù)醫(yī)療領(lǐng)域，使患者用較低的價格用上療效更好的藥品．某藥企在2021年研發(fā)一款特效新藥，未納入醫(yī)保前，該種藥物利潤為275元/盒，售價是其成本的6倍．2022年經(jīng)過醫(yī)保局談判，將該種藥納入醫(yī)保，制藥成本不變，但價格大幅度下調(diào)，該藥企為了解該藥品價格與銷售量的關(guān)系，在甲乙兩家藥店進行調(diào)研，結(jié)果如下：①第一個月，甲乙兩家藥店均按納入醫(yī)保后的價格出售，當月共售出250盒；②第二個月，甲藥店按納入醫(yī)保后的價格出售100盒，乙藥店按納入醫(yī)保后的價格打九折出售，該月兩家藥店銷售該款藥品的總收入為28000元，且兩家藥店銷售該款藥品的總銷量比第一個月增加20%③第三個月，甲藥店按納入醫(yī)保后的價格打八五折出售，乙藥店按納入醫(yī)保后的價格出售，該月兩家藥店銷售該款藥品總銷量比第一個月增加20%④第四個月，兩家藥店均按納入醫(yī)保后的價格打八五折出售，該月兩家藥店銷售該款藥品的總銷量比第一個月增加50%⑤若該藥品的價格不變，則銷量基本保持穩(wěn)定．(1)求該藥品在未納入醫(yī)保前的售價與成本；(2)①求該藥品納入醫(yī)保后的售價；②該藥企在2022年的銷量為3000萬盒．為惠及更多患者并有足夠的利潤用于新藥研發(fā)，該藥企計劃在2023年繼續(xù)下調(diào)該藥品的價格，希望2023年的年銷量超過6000萬盒，且盈利不低于20%【答案】(1)該藥品在未納入醫(yī)保前的售價為330元，成本為55元(2)①該藥店納入醫(yī)保后的售價為100元/盒；②該藥企的制定該藥品價格范圍為66≤x<70，理由見解析【分析】（1）設(shè)該藥品在未納入醫(yī)保前的售價為x元，成本為y元,根據(jù)利潤為275元/盒，售價是其成本的6倍列二元一次方程組求解即可得解；（2）①設(shè)該藥品納入醫(yī)保后的售價為m元/盒,根據(jù)兩家藥店銷售該款藥品的總收入為28000元列方程求解即可；②先根據(jù)材料總結(jié)藥品價格與銷量之間的規(guī)律：該藥品價格每降低1%，銷售量增長率為130，設(shè)該藥品價格定為x元，則下降率為(100?x)%，銷售增長率為1【詳解】（1）解：設(shè)該藥品在未納入醫(yī)保前的售價為x元，成本為y元.根據(jù)題意，列出方程組：x?y=275x=6y解得：x=330y=55答：該藥品在未納入醫(yī)保前的售價為330元，成本為55元.；（2）解：①設(shè)該藥品納入醫(yī)保后的售價為m元/盒.因為第二個月的總銷量比第一個月增加20%所以第二個月的總銷量為250×（1+20%）=300盒因為第二個月甲藥店出售100盒，所以乙藥店出售300?100=200盒,根據(jù)題意可列方程：100m+200×0.9m=28000解得：m=100所以該藥店納入醫(yī)保后的售價為100元/盒,②因為該藥品的價格不變，則銷量基本保持穩(wěn)定，根據(jù)題意可得四個月的銷售情況如下：第一個月，甲藥店的銷售量為100盒，乙藥店銷售150盒，共售出250盒.第二個月，甲藥店的銷售量為100盒，乙藥店銷售200盒，共售出300盒.第三個月，甲藥店的銷售量為150盒，乙藥店銷售150盒，共售出300盒.第四個月，甲藥店的銷售量為150盒，乙藥店銷售225盒，甲乙兩家藥店共售出375盒.由第二個月可發(fā)現(xiàn)：乙藥店價格下降10%，乙藥店銷售量增長率為13，即價格每降低1%由第三個月可發(fā)現(xiàn)：甲藥店價格下降15%，甲藥店銷售量增長率為12，即價格每降低1%由第四個月可發(fā)現(xiàn)：甲乙兩家藥店價格下降15%，甲乙藥店總銷售量增長率為12，即價格每降低1%總結(jié)規(guī)律：該藥品價格每降低1%，銷售量增長率為1設(shè)該藥品價格定為x元，則下降率為(100?x)%，銷售增長率為130依題意得：3000[1+(100?x)]>6000，解得x<70,因為盈利不低于20%，則x?5555≥解得x≥66.所以66≤x＜70.因此該藥企的制定該藥品價格范圍為66≤x＜70.【點睛】本題主要考查了不等式組的應(yīng)用，數(shù)字規(guī)律，一元一次方程的應(yīng)用以及二院一次方程的應(yīng)用，明確題意，正確找出相等關(guān)系及不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式8-1】（2023下·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期末）某研學(xué)基地為激發(fā)來研學(xué)學(xué)生參與活動的積極性，經(jīng)常組織競賽活動，并購買保溫杯和臺燈作為獎品獎勵學(xué)生．該基地在某超市購買保溫杯、臺燈若干次，其中前兩次購買時，均按標價購買；成為老顧客后，從第三次購買開始，保溫杯、臺燈同時以相同折扣數(shù)的打折價購買．前三次購買保溫杯、臺燈的數(shù)量及費用如下表所示：購買保溫杯的數(shù)量/個購買臺燈的數(shù)量/個購買總費用/元第一次購買54800第二次購買37940第三次購買98912(1)求保溫杯、臺燈的標價；(2)某日，甲、乙兩校師生同時來到該基地研學(xué)，基地為兩校組織了一次陶泥制作比賽，并頒發(fā)獎品20個保溫杯和10個臺燈（均按打折價購買），甲、乙兩校各獲得15個獎品，甲校所獲獎品的購買金額不低于800元，乙校所獲獎品的購買金額不低于750元，求甲、乙兩校分別獲得保溫杯和臺燈各多少個？【答案】(1)保溫杯、臺燈的標價為80元和100元(2)甲校分別獲得保溫杯和臺燈8個和7個，乙校分別獲得保溫杯和臺燈12個和3個【分析】（1）設(shè)保溫杯、臺燈的標價為x元和y元，根據(jù)表中給的數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組解答即可；（2）求出第三次商品購進的打折數(shù)，然后利用不等式組解題即可．【詳解】（1）解：設(shè)保溫杯、臺燈的標價為x元和y元，5x+4y=8003x+7y=940，解得x=80答：保溫杯、臺燈的標價為80元和100元．（2）解：第三次購買的打折數(shù)為：9129×80+8×100設(shè)甲校獲得保溫杯a個，則610解得152又∵a為整數(shù)，∴a=8，∴甲