數(shù)學(xué)-南京市、鹽城市2023-2024學(xué)年高三一模數(shù)學(xué)解析

鹽城市、南京市20231024學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試

高三數(shù)學(xué)2024.01

注意事項：

1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題尺匕

第I卷（選擇題共60分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（2+小i）（2-小i）=

A.5B.-1C.1D.7

【答案】D

【解析】（2+，§i）（2—小i）=22-（小i）2=4+3=7,故選D.

2.已知集合4={0,1,2）,8={xy=lg（—f+2x）},則AAB=

A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.（0,2）

【答案】B

【解析】T+2x>0,x（x-2）V0,0<x<2,8=（0,2）,AAB={1},故選B.

3.已知x>0,y>0,貝ijx+y22是孫21的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)x=g,時，x+y=2,孫=（，故不是充分條件，若個21,則x+y224耳22,

故是必要條件，綜上可知戈+y22是孫21的必要不充分條件，故選B.

4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是

e?+e-K

A.y=e'4-e-JtB.y=ev-e_xC.D.y=（ex+e-,）（ex—e-x）

【答案】A

【解析】只有A為偶函數(shù)，其余均為奇函數(shù)，故選A.

5.從4位男同學(xué)、5位女同學(xué)中選出3位同學(xué)，男女生都要有的選法有

A.140種B.44種C.70種D.252種

【答案】C

【解析】N=Cj-C：—C：=70,故選C.

6.已知反比例函數(shù)y=/kHO)的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為x軸和,，軸，兩條漸近線的

夾角為去將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€y=±x,由此可求得莫離心率為

用.已知函數(shù)y=^x+5的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線y=W*和)，軸，則該

雙曲線的離心率為

A.近B.2巾C.D.^3

【答案】C

【解析】在第一象限內(nèi)，函數(shù)丫=卓+1的圖象位于尸名上方，20=1，0=1，從而e=

"3x’33o

Vl+tan2〃=￥，故選c.

7.已知直線/與橢礙+爭=1在第二象限交了A,B兩點,/與x軸，)，軸分別交于M,N

兩點，若AM=BN,則/的傾斜角是

工B.j_5兀

A,63D.立

【答案】A

x2.(kx+b)2It22kh護一3

【解析】設(shè)/：y=kx+h(k>0,b>0)?9+~^~=lf(9+3)^7+—x+t-=0

6kb6kbh羋，從而故選A.

川+為2=k=

3依+1'3依+1=一工'3o

8.平面向量a,b,c滿足a=b\=ab=2,a+b+c=1,則(a+c>(b+c)的最小值是

A.-3B.3-2^3C.4一2小D.一2小

【答案】B

【解析】設(shè)a+b+c=g則(a+c>S+c)=(。一。)儂一〃)=少2—(a+b)/+a?力=3—(a+b)/,

而a+bI=、(a+b)2={|Q?+1|2+2?力=2小,故(a+c>(b+c)23—|a+8fl\=3-2*j3?

故選B.

二'多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標(biāo)綱要》中明

確提出要創(chuàng)新實施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性

文化活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進行滿意度測

評，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不

滿意”.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)甲村的評分x和乙村的評分y都近似服從正態(tài)分布，其中x~M70,

(7|2),Y~Ng療)，0<CTl<(72.則

A.X對應(yīng)的正態(tài)曲線比y對應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平

B.甲村的平均分低于乙村的平均分

C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等

D.乙村的高度滿意率比不滿意率大

【答案】BCD

【解析】曲線扁平，說明曲線較為分散，方差較大，A錯誤：B顯然正確；由對稱性知C、D

正確，故選BCD.

10.已知｛a”｝是等比數(shù)列,&是其前〃項和，滿足的=加]+。2,則下列說法中正確的有

A.若｛〃｝是正項數(shù)列，則｛m｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.5?,S2n—Sn，S3”—S2n一定是等比數(shù)列

C.若存在M>0,使對〃SN*都成立，則｛|6｝是等差數(shù)列

D.若存在M>0,使對〃GN*都成立,則⑸｝是等差數(shù)列

【答案】AC

【解析】/=g+2,4=-1或q=2,若｛小｝是正項數(shù)列，則tn>0,q=2,A正確；當(dāng)q=一

1且“為偶數(shù)時，S“S2n-S,?S3”一S2n均為0,B錯誤；若存在M>0,使|aa|W”對〃GN*

都成立，則4=一1,此時|a”|=|a/為常數(shù)，C正確；當(dāng)〃為偶數(shù)時，S?=0,當(dāng)“為奇數(shù)時，

Si="iW0,D錯誤，故選AC.

11.設(shè)%N,P為函數(shù)_/(x)=Asin((yx+3)圖象上三點，其中A>0,(o>0,8|芍已知M,

N是函數(shù)./U)的圖象與x軸相鄰的兩個交點，P是圖象在M,N之間的最高點，若

MP2+2MNNP=0,ZXMNP的面積是小，M點的坐標(biāo)是(一/0),則

A.A=&B.￡0=]

C.D.函數(shù)./U)在M,N間的圖象上存在點Q,使得麗?麗V0

【答案】BCD

【解析】MP2+2MN-NP=l(^)2+A2]-(2)2=A2-^=0,而

故4=小，7=4=常,3巖，A錯誤、B正確；一方+伊=履，s=E+*WZ),

而(p4故伊=:,C正確；顯然，MN間的圖像有一部分位于以MN為直徑的圓內(nèi)，當(dāng)。

位于以MN為直徑的網(wǎng)內(nèi)時，QMQN<0,D正確，故選BCD.

12.在四棱錐P-A8CO中，尸。_L平面A8CO,ADLCD,AD=CD=2,四棱錐P-A8C。的

外接球為球。，則

A.AS1BC

B.Vp-ABCD^2Vp-ACD

C.VpAHCD=2VOABCD

D.點O不可能在平面PBC內(nèi)

【答案】AC

【解析】四棱錐P—ABCO的外接球為P,A,C,O為頂點的球，而A,B,C,。四點共面，

故這四點必須共圓，從而A8_L8C,A正確；顯然力T8ccW2%re，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形A8CD

為正方形時，取“="，B錯誤：顯然。到平面A8CD距離為尸到平面A8CO距離的一半，

故ABCD=2%>ABCD，C正確；當(dāng)四邊形A8C￡）為正方形時,。為P6中點，D錯誤，故選

AC.

第II卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.滿足Krv）=Ax）+Kv）的函數(shù)_Ax）可以為9x）=▲.（寫出一個即可）

【答案】ln|x|

【解析】對數(shù)函數(shù)均滿足要求，考慮到定義域需要加絕對值.

,哈-4=▲?

tan8

【答案】-2

【解析】tan：^=（小-1）一1）—（6+1）=—2.

tan8'一

15.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行

于拋物線的對稱軸.已知點尸為拋物線C：爐=2內(nèi)8>1）的焦點，從點尸出發(fā)的光線經(jīng)

拋物線上一點反射后，反射光線經(jīng)過點（10,1）,若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：

（工一￡）2+爐=1相切，則〃的值是▲.

【答案】］3

【解析】當(dāng)y=l時，x=；,故入射光線經(jīng)過5，0)和(；，1),二2=盧，故入射光

2P2Zp1p1—p/

2p^2

線的方程為y=]匕2(》_§),化簡得2px+(p2—l)y—p2=O,

?呼一p2|^2|

公4就產(chǎn)于=得不-=1，?乎一團=P"L而「'I'故6P2-Ilp+3=0'

3

(2p-3)(3pT)=0,p=y

2

16.若數(shù)列｛?。凉M足。|=。2=1，a,,+an?+an(2=n(nGN*),則moo=▲.

【答案】3268

【解析/，'-2-zIn2作差得。"+3-斯=2〃+1,故a“x)=ai+(2X1+1)+(2X4

[a?-ri+a?+2+-3=(n+1).

+1)+…+(2X97+1)=2X(1+4+…+97)+34=3268.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，

請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi))

17.(本小題滿分10分)

設(shè)數(shù)列｛?！埃那皀項和為S”，a"+S"=l.

(1)求數(shù)列｛“J的通項公式；

，冗

⑵數(shù)列｛仇｝滿足。滴"=w求｛瓦｝的前50項和Tso-

解：(1)由小+S”=1,得如i+S”i=l(〃22),

兩式相減得：如一%-1+?！?0(〃22),即(〃22),

當(dāng)〃=1時，2sl=1,得m=；#0,

所以4=：(心2),故/“｝是首項為《公比為J的等比數(shù)列.

從而

⑵由⑴得瓦,=2"cos段.

所以7；=-22+24-26+28-----250

1-(-4)5"人

18.(本小題滿分12分)

在平行六面體ABCD—AiBiC。中，底面ABCO為正方形，AB=AAi=2,N4A8音

側(cè)面COOiG，底面A8CD

(1)求證：平面Ai5C_L平面COOiG；

(2)求直線A歷和平面4BG所成角的正弦值.

(1)證明：因為底面A8CD為矩形，所以8C_LC。，

乂側(cè)面COUGJ_底面ABCD,側(cè)面CDDICIA底面ABCD=CD,

HfiCcYffiABCD,所以8C_L平面COO6，

又因為8Cu平面AiBC,所以平面AiBC1平面COOiG.

(2)解：因為A8=44i=2,ZAiAB=^,連接C。，則為正三角形，

取CD中點。，則D.OLCD,

山BC1.平面及5Ou平面CDOQ得D^OIBC.攵號方券一'

又CDCBC=C,所以O(shè)Q_L底面48。。，

過點O作OM//BC交AB于M,A%

以O(shè)為原點建立如圖所示空間直知坐標(biāo)系O-xyz，(第18題圖)

則A(2,-1,0),4(2,0,4)，8(2,1.0),Bi(2,2,小)，G(0,2,小)，

所以乖=(0,I,一小)，灰產(chǎn)(一2,2,0),麗=(0,3,小).

設(shè)平面AiBC的法向量”=(x，y，z),

所以J_.令z=L則x=y=4，

"4G=-2x+2y=0.

可得平面48cl的法向量〃=(小，小，1).

AiBn4s2s

所以cos<AB\,〃>I=

?

\AJi\n643+3+1-

故在線和平面48G所成角的正弦值為平.

19.(木小題滿分12分)

在八48。中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且ctanB=(2〃-c)tanC.

(1)求角8的大小；

(2)若點。在邊4c上，8。平分NA5C,b=2小,求8。長的最大值.

解：(1)因為ctanfl=(2a—c)tanC?

sinCsinB(2sin4-sinQsinC

由正弦定理得

cosBcosC

由sinOO得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB?

所以sinBcosC+cosfisinC=2sin/lcosB?即sin(B+C)=2sin/lcosfl.

因為B+C+/4=7C,所以sirt4=2sirL4cos8,又sinA>0,所以co$B=：.

因為OVBV冗,所以0=,

⑵山S^ABD+S^CBD=S^BC>得;ABXBDXsi*+：8CX80Xsi4=%8XflCXsin^?

y…/ABXBC

JBD=AB+BC?

在△ABC中，由余弦定理得

(A6+3C)2-12i(A3+BC)2

所以A8X8C=

3-、4

從而A8+8CW4小，當(dāng)且僅當(dāng)AB=8C取等號.

(A8+8C)2-]2

小rX3S4s

則BD=AB+BC=3^AB+BC)~AB+BC^3'

當(dāng)且僅當(dāng)A8=8C=2小取等號,

則BD氏的最大值為3.

20.（木小題滿分12分）

春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有A、8、C三

個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目A中獎的概

率是（，項目B和。中獎的概率都是|.

（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A、B、C三個項目，如果A、B、。三個項

目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得50元獎券；

否則就沒有獎券.求每位顧客獲得獎券金額的期望：

（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個項目中的一個項目.已知某顧客中獎了，求他參加

的是A項目的概率.

解：（1）設(shè)一位顧客獲得X元獎券，X=100,50,0,

1221

P（X=100）=5X-X-=25，

P(X=5O)=；XC!X|XD|)2=微,

P（X=0）=|弓一微=祟

所以每位顧客獲得獎券金額的期望是E(X)=100X表+50X微+0=16(元)

(2)設(shè)“該顧客中獎”為事件M,參加項目A,B,C分別記為事件M，M，M，

31112127

則P(W=f]P(N)P(MM)=^X--F^X^4-^X^=^,

P(NIM)P(M)P("M)345

所以P(MlW=

7-21'

20

即已知某顧客中獎了，則他參加的是A項目的概率是卷.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)人外二^一"1一]三FLV-,mGR.

(1)當(dāng)加=1時,求函數(shù)加)的單調(diào)區(qū)間:

(2)若函數(shù)y(x)的圖象與x軸相切，求證：l+ln2V/〃V2+ln6.

所以/(1)=(),又yu/eLi+lnx—1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xW(O,1)時，八*)<0：當(dāng)xG(l,+8)時，八》)>0,

所以/U)在(0,I)上單調(diào)遞減，/U)在(I,+8)上單調(diào)遞增.

(2)f(x)=eI-",-^-4nA設(shè)函數(shù)Ax)的圖象與x軸相切于點尸(xo,0),

所以Inxo——^7=0,設(shè)/i(x)=lnx—二匕，則力(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增且圖象不間斷，

Xor1X十1

又力(1)VO,/?(2)>0,所以必￡(1,2),

由已卬一州—坦如=0得e”|=產(chǎn)-針)，

即Inxo

又因為Inxo---)7=0，所以4="+1，則ew=r7Le'0=x()(xo+l)e's

即十1inxoinxo

所以m=ln(xo+1)+A()+Invo(I+In2,2+ln6).

22.(本小題滿分12分)

已知雙曲線C：方一方=1(“>0,b>0)的兩個焦點是Q,F1，頂點A(0,-2),點用是

雙曲線C上一個動點，且k一MF；|的最小值是8小.

(1)求雙曲線。的方程：

(2)設(shè)點。是)，軸上異T-C的頂點和坐標(biāo)原點O的一個定點，直線/過點P且平行T-X軸，

直線，〃過點P且與雙曲線C交于8,。兩點，直線AB,分別與直線/交于G,H

兩點.若O,A,G,，四點共圓，求點尸的坐標(biāo).

解：(1)(法一)已知雙曲線方程是力一去=1(40,b>0),

由頂點A(0,-2)得。=2,

2^2

所以;一