數(shù)學(xué)（人教版選修22）練習(xí)活頁作業(yè)（十三）

活頁作業(yè)(十三)合情推理1．觀察：eq\r(6)＋eq\r(15)＜2eq\r(11)，eq\r(5.5)＋eq\r(15.5)＜2eq\r(11)，eq\r(4－\r(2))＋eq\r(17＋\r(2))＜2eq\r(11)，…，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，b，使eq\r(a)＋eq\r(b)＜2eq\r(11)成立的一個(gè)條件可以是()A．a(chǎn)＋b＝22 B．a(chǎn)＋b＝21C．a(chǎn)b＝20 D．a(chǎn)b＝21解析：由歸納推理可知a＋b＝21.答案：B2．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角相等；②各個(gè)面是全等的正三角形，相鄰的兩個(gè)面所成的二面角相等；③各個(gè)面是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角相等；④各棱長(zhǎng)相等，相鄰的兩個(gè)面所成的二面角相等．A．①④ B．①②C．①③ D．③④解析：類比推理的原則是：類比前后保持類比規(guī)則的一致性，而③④違背了這一原則，只有①②符合．答案：B3．觀察下圖，可推斷出“x”應(yīng)該填的數(shù)字是()A．171 B．183C．205 D．268解析：由前兩個(gè)圖形發(fā)現(xiàn)：中間數(shù)等于四周四個(gè)數(shù)的平方和，即12＋32＋42＋62＝62,22＋42＋52＋82＝109，所以“x”處該填的數(shù)字是32＋52＋72＋102＝183.答案：B4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，______，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．解析：等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．答案：eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)5．觀察下列等式：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＝1－eq\f(1,3×22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＝1－eq\f(1,4×23)，…，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般結(jié)論為______．解析：觀察等號(hào)右側(cè)分母數(shù)值的變化與左側(cè)相加項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，項(xiàng)數(shù)與分母中2的指數(shù)一致，分母中指數(shù)前邊系數(shù)比項(xiàng)數(shù)多1，可得右側(cè)為1－eq\f(1,n＋12n)，左側(cè)觀察相加的項(xiàng)數(shù)與最后一項(xiàng)中2的指數(shù)一致，其他就好確定，從而得到左側(cè)為eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n).答案：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,n＋12n)(n∈N*)6．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)，設(shè)f2(x)＝f[f(x)]，f3(x)＝f[f2(x)]，…，fn＋1(x)＝f[fn(x)](n∈N*，且n≥2)，(1)寫出f2(x)，f3(x)，f4(x)，f5(x)的表達(dá)式；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，請(qǐng)你猜想并寫出f4n－1(x)的表達(dá)式．解：(1)∵f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)1－eq\f(2,x＋1)∴f2(x)＝1－eq\f(2,fx＋1)＝1－eq\f(x＋1,x)＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，f4(x)＝x，f5(x)＝f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)，故fn(x)是以4為周期．(2)由(1)知，f4n－1(x)＝f3(x)＝eq\f(1＋x,1－x).7．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③張軍某次考試成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③C．①②④ D．②④解析：①是類比推理；②是歸納推理；④是歸納推理．所以①、②、④是合情推理．答案：C8．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：觀察易知第1個(gè)“金魚”圖中需要火柴棒8根，而第2個(gè)“金魚”圖中比第1個(gè)“金魚”圖中多的部分需要火柴棒6根，第3個(gè)“金魚”圖中比第2個(gè)“金魚”圖中多的部分需要火柴棒6根……由此可猜測(cè)第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)比第n－1個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)多6，即各個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)組成以8為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，易求得通項(xiàng)公式為an＝6n＋2.答案：C9．對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點(diǎn)，但不是中心B．一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C．一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D．中心解析：由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個(gè)側(cè)面的中心．答案：D10．如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于________．解析：如圖所示，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．又因?yàn)閑q\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，因?yàn)閎2＝c2－a2，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．答案：eq\f(1＋\r(5),2)11．如圖(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；若類比該命題，如圖(2)，三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則可以得到什么命題？命題是否是真命題并加以證明．解：可得命題如下：三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCM·S△BCD是一個(gè)真命題．證明如下：在圖(2)中，連結(jié)DM，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接AE，則有DE⊥BC，AE⊥BC.因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是Seq\o\al(2,△ABC)＝eq\f(1,2)BC·AE2＝eq\f(1,2)BC·EM·eq\f(1,2)BC·ED＝S△BCM·SBCD.12．我們知道12＝122＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右兩邊分別相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2).類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達(dá)式的過程．解：記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3