陜西省重點(diǎn)初中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

陜西省重點(diǎn)初中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

x+y<l,

1.設(shè)x，y滿足尤-yWl,則z=2"y的最大值為

x>0,

1

A.-B.2

4

C.4D.16

2.設(shè)｛4｝是公比為.的等比數(shù)列，則“L7”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.在空間直角坐標(biāo)系中，若A(1,L。)，1AB=(-2,0,-1),則點(diǎn)8的坐標(biāo)為()

A.(3,1,-2)B.(-3,1,2)

C.(-3,1,-2)D.(3,-1,2)

4.數(shù)列1,6,15,28,45,…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個六

邊形數(shù)為()

C.231D.276

22

5.已知△ABC的頂點(diǎn)5,C在橢圓工+21=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另一個焦點(diǎn)在BC邊上，則

1216

△ABC的周長是（）

A.2A/3B.4百

C.8D.16

6.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,?！?2---,則%=（）

an-\

67

A.-B.-

56

55

C.一D.-

46

7.設(shè)拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/.P是拋物線C上異于。的一點(diǎn)，過P作于Q,則線段的

垂直平分線（）

A.經(jīng)過點(diǎn)PB.經(jīng)過點(diǎn)。

C.平行于直線OPD.垂直于直線0P

8.設(shè)函數(shù)〃尤）在R上存在導(dǎo)數(shù)/'（%）,對任意的xeR有/'（x）＞x,若/。―左）一/（左卜3一左，則左的取值范

圍是（）

A.（0,+8）B.^0,—

七收）D.（加

22

9.已知橢圓。：^—+與=1（?！?）的短軸長和焦距相等，則a的值為（）

CI+1CI

A.lB.&

C.|D.百

10.圓X2+V-6y+8=0與圓必+V-8x=0的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.外離

11.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)

列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在

楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第7

項(xiàng)為()

A.101B.99

C.95D.91

12.正三棱錐尸-A5C的側(cè)面都是直角三角形，E,歹分別是A3,8C的中點(diǎn)，則P3與平面。即所成角的余弦

值為O

A.&B.逅

66

r^3NA/6

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若等比數(shù)歹!]｛4｝滿足出一％=1,。3—弓=3,則｛4｝的前"項(xiàng)和"=

14.若正四棱柱的底面邊長為5,側(cè)棱長為4,則此正四棱柱的體積為

15.已知一個四面體ABC。的每個頂點(diǎn)都在表面積為9萬的球。的表面上，且AB=CD=a,

AC=AD=BC=BD=5則。=

16.已知實(shí)數(shù)羽y滿足x|x[+*l=l,貝！百x+y—[的取值范圍是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知直線/經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),且滿足下列條件，求相應(yīng)/的方程.

(1)過(0,1)點(diǎn)；

(2)與直線2x+y+5=。垂直.

18.(12分)曲線C:膽②+秋2=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳心，左、右頂點(diǎn)分別為A，4，C上的點(diǎn)拉滿足

W制+1為*1=4,且直線的斜率之積等于-(

(I)求C的方程；

(2)過點(diǎn)S(T,O)的直線/交C于A,B兩點(diǎn),若AS=XBS,AT=2TB，其中；1<1,證明：ZA,TB=2ZTSO

19.(12分)(1)某校運(yùn)動會上甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在100m、400m、800m三個項(xiàng)目中選擇，每人報(bào)一項(xiàng)，共有

多少種報(bào)名方法？

(2)若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)選報(bào)100m、400m、800m三個項(xiàng)目，每項(xiàng)均有一人報(bào)名，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有

多少種報(bào)名方法？

(3)若甲、乙、丙、丁名同學(xué)爭奪100m、400m,800m三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？

20.(12分)求滿足下列條件的曲線的方程：

2

(1)離心率為長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)與橢圓工+匕=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(、后,4)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2736v'

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=T^sinxcosx+；cos2x+a+[(其中。常數(shù))

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

71

(2)若xe0,-,時，f(x)的最小值為4,求a的值

22

22.(10分)已知命題p：方程二一+上=1的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;命題/方程4爐+4(加一2卜+1=0

2-mm-1

無實(shí)根.若〃或a為真，「q為真,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】可行域如圖，則直線1=x+2y過點(diǎn)A(0,l)取最大值2,則z=2"+2y的最大值為4,選C.

點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫

目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最

大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.

2、D

【解題分析】當(dāng)l-：時，,；；不是遞增數(shù)列；當(dāng)「「：且：."時，：；是遞增數(shù)列，但是一：不成立,

所以選D.

考點(diǎn)：等比數(shù)列

3、C

【解題分析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.

【題目詳解】設(shè)5(x,y,z),AB=(x-l,y-l,z),

x-1y-1z

-AB==(-2,0,-1),

2222

所以?=一2,?=0,；=-1,解得：x=—3,y=Lz=—2,

222

即_8(-3,1,-2).

故選：C

4、C

【解題分析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系相關(guān)知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形

即可求解.

【題目詳解】由題意知,數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)為1，6,15,28,45,...

所以q=l=1x1,a2=6=2x3,%=15=3?5,

?4=28=4x7,a5=45=5x9,111,an=1),

所以為=11x21=231.

故選：C

5、D

【解題分析】根據(jù)橢圓定義求解

【題目詳解】由橢圓定義得△ABC的周長是4a=4xJi%=16,

故選：D.

6、A

【解題分析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出生,%,%,%即可?

C1

【題目詳解】4=2,4=2——,

4-1

1_3__1_41_5_16

2

%=2一15,?3=2--=-,^=2--=->?5=--=5-

故選：A.

7、A

【解題分析】依據(jù)題意作出焦點(diǎn)在x軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段

的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P,即可求解.

【題目詳解】如圖所示：

因?yàn)榫€段FQ的垂直平分線上的點(diǎn)到F,Q的距離相等，又點(diǎn)P在拋物線上,根據(jù)定義可知，歸。|=歸耳，所以線段FQ

的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.

故選：A.

8、C

【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用單調(diào)性，對題干條件變形后得到不等關(guān)系，求出答案.

【題目詳解】令g(x)=/(x)—則/(x)=r(x)—x＞0恒成立，故g(x)=/(x)—夫2單調(diào)遞增，

/(I4卜/(外＜;_左變形為即化)，從而1_左＜左，解得：

左〉；，故左的取值范圍是+8]

故選：c

9、A

【解題分析】由題設(shè)及橢圓方程可得/+1—〃2=〃2,即可求參數(shù)。的值.

【題目詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)5=C,即有〃2+1—〃2=〃2,可得。=1

故選：A

10、C

【解題分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.

【題目詳解】圓d+y2—6y+8=。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+G—3)2=1,

圓x~+y?—8x=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—4)2+y~=16,

兩圓的圓心距為J42+3?=5=1+4，即圓心距等于兩圓半徑之和，

故兩圓外切，

故選：C.

11、C

【解題分析】根據(jù)所給數(shù)列找到規(guī)律：兩次后項(xiàng)減前項(xiàng)所得數(shù)列為公差為2的數(shù)列，進(jìn)而反向確定原數(shù)列的第7項(xiàng).

【題目詳解】根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個

數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：

故選：C.

12、C

【解題分析】以尸為原點(diǎn)，9為x軸，為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與平面

PE尸所成角的正弦值.

【題目詳解】???正三棱錐尸—A5C的側(cè)面都是直角三角形，E,尸分別是AH3c的中點(diǎn)，

；?以P為原點(diǎn)，網(wǎng)為x軸，尸5為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)%—PC=2,

則4(2,0,0),5(0,2,0),C(0,0,2),E(l,l,0),F(0,l,l),

尸8=(0,2,0),PE=(1,1,0),PF=(0,1,1).

設(shè)平面PEF的法向量n=(%,y,z),

n-PE=x+y=0/、

則，取x=l,得〃=（L—1,1）,

n-PF=y+z=0'7

設(shè)PB與平面PEF所成角為9,

\PBn\2=6

貝！Jsin6>=-J_p-A

273-3

PBXH

：.PB與平面PE尸所成角的正弦值為

故選：C.

p

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、20-1*#-1+2"

【解題分析】由已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到首項(xiàng)和公比，再利用前”項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由已知，得〈2”.

a3-ax=ax(q-1)=3

解得卜'二，所以s“=qa—0')=2"—i.

[4=2\-q

故答案為:2"-1

14、100

【解題分析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.

【題目詳解】7=5x5x4=100

故答案為：100

15、25/2

【解題分析】由題意可得，該四面體的四個頂點(diǎn)位于一個長方體的四個頂點(diǎn)上，

設(shè)長方體的長寬高為x,y,z,由題意可得：

22

X+y=CL'2

22222

'y+z=5,據(jù)此可得：%+/+z=12±￡i=(27?),

x2+z2=5

+

則球的表面積：S=47rR2-0—X^-=9^,

2

結(jié)合a>0解得：a=2-\/2?

點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有

關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球

的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

16、14-

【解題分析】去絕對值分別列出每個象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.

2

【題目詳解】當(dāng)%>0,y>。，表示橢圓f+2L=i第一象限部分；

3

2

當(dāng)x>O,y<。，表示雙曲線V—21=1第四象限部分；

3

2

當(dāng)x<O,y>。，表示雙曲線—必+<=］第二象限部分；

3

2

當(dāng)x<O,y<。，—2L=i不表示任何圖形；

3

以及(1,0),(0,6)兩點(diǎn)，

作出大致圖象如圖：

曲線上的點(diǎn)到V3x+y-4=0的距離為d=1yl，

2

根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是y=土四，

與y/3x+y—4=0距離為2,

曲線二四象限上的點(diǎn)到、回x+y-4=0的距離為d=同+1小于且無限接近2,

2

考慮曲線第一象限的任意點(diǎn)設(shè)為尸(cose,若sine),ee［o,(J到后+y—4=0的距離

^_|73cos6?+V3sin6?-4|_瓜m［'+/一“〉"面,當(dāng)夕寸時取等號，

-2—2—2

4—x/6

所以-^,2,

,7

則|岳+y—4］的取值范圍是［4-瓜4)

故答案為：［4-76,4)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)x+y—l=0

(2)x-2y+5=0

【解題分析】(1)直接利用兩點(diǎn)式寫出直線/的方程；

(2)先求出直線/的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線/的方程.

【小問1詳解】

直線/經(jīng)過M(-l,2),(0,1)兩點(diǎn)，

???由兩點(diǎn)式得直線/的方程為x+y-1=0.

【小問2詳解】

/與直線2x+y+5=。垂直

二直線/的斜率為!

???由點(diǎn)斜式得直線1的方程為x-2y+5=0.

22

18、(1)—+^-=1

43

(2)證明見解析

13

【解題分析】(1)由橢圓定義可得到機(jī)=一，再利用斜率公式及直線的斜率之積等于-二，列出方程，化

44

簡對比系數(shù)可得；

(2)分直線/的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用AS=X3S,AT=27?可得到7在定直線上，且該直線是必

的中垂線即可得到證明.

【小問1詳解】

因?yàn)镃上的點(diǎn)“滿足|孫|+|咋1=4,

所以C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且2a=4,即a=2,根=!，

4

所以4(一2,0),4(2,0),

設(shè)"(如%),則乎+吼=1,①

所以直線MAX的斜率kMAi=—7，直線MA的斜率kM&=，

+ZXQ—2

3

由已知得kMA-kM^=-^―x=--,

1%o+2%-24

即3x；+4y；=12,②

由①②得〃=g,

22

所以c的方程為L+2L=I

43

【小問2詳解】

當(dāng)直線/的斜率為0時，A與4重合，8與4重合，ZATB=0,ZTSO=0,

N&TB=2ZTSO成立.

當(dāng)直線/的斜率不為o時，設(shè)/的方程為x=〃y-4

[22

土+匕=1

聯(lián)立方程組43，消x整理得(3/+4)y2—24^+36=0

%=py_4

所以A=(-24p)2_4x(3p2+4)x36>0,解得p>2或p<—2

24〃36

設(shè)A(X],%),3(X2，%),則分+%=3.+4，%%=3/+4

由AS=2BS，得一%=-%%，所以彳=3

>2

設(shè)T(x”%),由AT=ZEB，得為一%=「(%—％)，

c36

2x-----

M+2%―2%_2%%3P2+4

所以y=2

t24P

1+彳i+A%+%P

%3加+4

』—4=

所以的=2%—4=px-1，

P

所以點(diǎn)T在直線x=—1上，且％wO,

所以TS&是等腰三角形，且NTS&=N%S,

所以N47B=2NZS。，

綜上，ZA^TB=2ZTSO

【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題第二問突破點(diǎn)是證明T在定直線1=-1上，且該直線是S&的垂直平分線，從而得到

NTS4=N%S,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化化歸思想.

19、(1)81種；(2)24種；(3)64種

【解題分析】(1)利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).

(2)利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).

(3)利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).

【題目詳解】(1)要完成的是“4名同學(xué)每人從三個項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完

成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3x3x3x3=81(種)報(bào)名方法

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此100m項(xiàng)目有4種選法，400m項(xiàng)目有3種選法，800m項(xiàng)目只有2種選

法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有4x3x2=24(種)

(3)要完成的是“三個項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成,

所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4x4x4=64(種)可能

的結(jié)果

222222

2。、⑴土+匕=1或匕+土=1⑵匕-J

959545

【解題分析】⑴根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)可得a、c的值,計(jì)算可得b的值,討論橢圓焦點(diǎn)的位置,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程,即可得答案;

⑵根據(jù)題意,求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可以設(shè)雙曲線的方程為與-=1,分析可得a?+廿=9和*■-與=1,解可

a2b2a2b2

得“、5的值，即可得答案

2

【題目詳解】解：（1）根據(jù)題意,要求橢圓的長軸長為6,離心率為;,

niC2

貝!12a=6,e=—=一,

a3

解可得：a=3fc=2；

則=6

22

若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上,其方程為L+匕=1,

95

22

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其方程為匕+土=1,

95

2222

綜合可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+匕=1或2L+土=1；

9595

22

⑵根據(jù)題意，橢圓＞點(diǎn)=1的焦點(diǎn)為（0,3）和（0,-3）,

2

故要求雙曲線的方程為二=1,且。=3,

a

則有儲+/=%①

“1615

'則有/一"=1,②,

〃二4

聯(lián)立①②可得：*5

22

故雙曲線方程為：匕-上=1

45

【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，涉及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題