第23講數(shù)列中的整數(shù)問題與不定方程(原卷版+解析)

第23講數(shù)列中的整數(shù)問題與不定方程方法總結(jié)：1.整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。（2）整除問題：若表達式形式較為簡單，可通過對常數(shù)進行因數(shù)分解，進而確定變量的取值；若表達式次數(shù)較高，則可以先利用二項式定理去掉高次的項，再進行處理。（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個：①通過對表達式進行因式分解，對另一側(cè)的常數(shù)進行因數(shù)分解，進而將不定方程拆成多個方程的方程組，進而解出變量②將一個字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進而將參數(shù)置于一個范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值（4）反證法：運用反證法處理整數(shù)問題時，常見的矛盾有以下幾點：①所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍②等式兩側(cè)為一奇一偶典型例題：例1．已知數(shù)列中，，，為數(shù)列的前項和．?dāng)?shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為問是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．例2．已知數(shù)列滿足條件，，令（Ⅰ）寫出數(shù)列的前四項；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式，并給出證明；（Ⅲ）是否存在非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列？若存在，求出，滿足的關(guān)系式；若不存在，說明理由．例3．已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列的前項和滿足且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）數(shù)列中是否存在不同的三項，，，使這三項恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請說明理由．例4．在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）中是否存在不同的三項，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，說明理由．例5．已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．過關(guān)練習(xí)：1．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，對于任意的，總存在，使得成立，則2，．2．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，若對于任意的，總存在，使得成立，則．二．解答題（共19小題）3．設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，已知，，數(shù)列滿足．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）求正整數(shù)的值，使得是數(shù)列中的項．4．已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項和為，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求，的值，使得．5．已知數(shù)列的前項和為，且．?dāng)?shù)列滿足，且，前9項和為153．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求及使不等式對一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）設(shè)問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．6．已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項依次成等差數(shù)列，從第五項起依次成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求出所有的正整數(shù)，使得．7．已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足：，，且前12項依次成等差數(shù)列，從第11項起依次成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在正整數(shù)、使得：，請找出所有的有序數(shù)對，并證明你的結(jié)論．8．已知數(shù)列的前項和滿足，且，數(shù)列滿足，，其前9項和為36．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，且對于給定的正整數(shù)，存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列（其中，分別計算，3時滿足條件的整數(shù)，的一組通解（答案用表示，需要相應(yīng)的推理過程）；（3）當(dāng)為奇數(shù)時，放在前面一項的位置上；當(dāng)為偶數(shù)時，將放在前面一項位置上，可以得到一個新的數(shù)列：，，，，，，，，，，，該數(shù)列的前項和記為，是否存在正整數(shù)，，使得成立？若存在求出所有滿足條件的，，若不存在，則說明理由．9．已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，為其前項和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：；（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，請說明理由．10．已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，為其前項和，且滿足，．（1）求數(shù)列、的通項公式及其前項和；（2）在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由．11．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)．12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對任意的，都有．（Ⅰ）若的首項為4，公比為2，求數(shù)列的前項和；（Ⅱ）若，試探究：數(shù)列中是否存在某一項，它可以表示為該數(shù)列中其它項的和？若存在，請求出該項；若不存在，請說明理由．13．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，．（1）求的值；（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求的值；（3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．14．用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用表示第行第個數(shù)，使得，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和，設(shè)第行中的各數(shù)之和為．（1）已知，求，，，的值；（2）令，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（3）數(shù)列中是否存在不同的三項，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系，若不存在，說明理由．15．已知數(shù)列滿足：．（1）求的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．16．在數(shù)列中，已知，，，設(shè)為的前項和．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．第23講數(shù)列中的整數(shù)問題與不定方程方法總結(jié)：1.整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。（2）整除問題：若表達式形式較為簡單，可通過對常數(shù)進行因數(shù)分解，進而確定變量的取值；若表達式次數(shù)較高，則可以先利用二項式定理去掉高次的項，再進行處理。（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個：①通過對表達式進行因式分解，對另一側(cè)的常數(shù)進行因數(shù)分解，進而將不定方程拆成多個方程的方程組，進而解出變量②將一個字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進而將參數(shù)置于一個范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值（4）反證法：運用反證法處理整數(shù)問題時，常見的矛盾有以下幾點：①所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍②等式兩側(cè)為一奇一偶典型例題：例1．已知數(shù)列中，，，為數(shù)列的前項和．?dāng)?shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為問是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）證明：由可得：，，，，，，將以上式子相加可得：，，，又也適合上式，，，數(shù)列是首項、公差均為1的等差數(shù)列，；（2）解：由（1）可得，，假設(shè)存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，則，即，又，可解得：或，故存在或，使得，，成等差數(shù)列．例2．已知數(shù)列滿足條件，，令（Ⅰ）寫出數(shù)列的前四項；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式，并給出證明；（Ⅲ）是否存在非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列？若存在，求出，滿足的關(guān)系式；若不存在，說明理由．【解答】解：（Ⅰ）在，中，由，．；，，，（Ⅱ）由（1）知，，，．由此猜測．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時猜想顯然成立；②假設(shè)猜想成立，即，則有，根據(jù)題意，得，解出，于是，，即當(dāng)時猜想也成立．綜合①②得對于所有都有（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，假設(shè)存在非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，令，則有，從而，化簡得：．所以有，故存在滿足關(guān)系的非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列例3．已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列的前項和滿足且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）數(shù)列中是否存在不同的三項，，，使這三項恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），當(dāng)時，，．當(dāng)時，，．是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列．．，，是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，．即．當(dāng)時，．當(dāng)時，上式仍成立，．（2）由（1）知．．①．②①②得：．．（3）由（1）知是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，．假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項，，，使這三項恰好構(gòu)成等差數(shù)列，．即．．即．，，，互不相同，不妨設(shè)，則，，與矛盾，數(shù)列中不存在不同的三項，，，使這三項恰好構(gòu)成等差數(shù)列．例4．在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）中是否存在不同的三項，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，說明理由．【解答】解：（1），（2分）又，所以，數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，（4分）所以數(shù)列的通項公式為．（6分）（2）由（1）得．（7分）假設(shè)中是否存在不同的三項，，，，恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，（10分）于是，所以．（12分）因，，，且，所以是奇數(shù)，是偶數(shù)，（14分）不可能成立，所以不存在不同的三項，，成等差數(shù)列．（16分）例5．已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）在兩邊減去4，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；（2）數(shù)列首項為，數(shù)列的通項公式為，，．（3），即為由②知，時，，，代入①不成立，，代入①成立．所以存在正整數(shù)，，使成立，此時，．過關(guān)練習(xí)：1．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，對于任意的，總存在，使得成立，則2，．【解答】解：，，以及，，，都是大于1的正整數(shù)，．又因為．又，，則．又，由數(shù)的整除性，得是5的約數(shù)．故，，．故答案為：2；．2．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，若對于任意的，總存在，使得成立，則．【解答】解：，，以及，，，可取，又因為．又，，則．又，由數(shù)的整除性，得是7的約數(shù)．故，，．故答案為：．二．解答題（共19小題）3．設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，已知，，數(shù)列滿足．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）求正整數(shù)的值，使得是數(shù)列中的項．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)的公比為，則有，解得，或（舍．則，，（4分）．（6分）即數(shù)列和的通項公式為，．（Ⅱ），令，所以，（10分）如果是數(shù)列中的項，設(shè)為第項，則有，那么為小于等于5的整數(shù)，所以，，1，．當(dāng)或時，，不合題意；當(dāng)或時，，符合題意．所以，當(dāng)或時，即或時，是數(shù)列中的項．（14分）4．已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項和為，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求，的值，使得．【解答】解：（Ⅰ）由，得，，即，化為，解得或，又公差，則，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由得，，即，又，，則，或，下面分類求解：當(dāng)時，，解得，；當(dāng)時，，解得，，故舍去；當(dāng)時，，解得，故舍去；當(dāng)時，，解得，，故舍去；綜上得，，．5．已知數(shù)列的前項和為，且．?dāng)?shù)列滿足，且，前9項和為153．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求及使不等式對一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）設(shè)問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由．故當(dāng)時，．時，，而當(dāng)時，，，又，即，為等差數(shù)列，于是．而，故，，因此，，即；（2）．．易知單調(diào)遞增，由，得，而，故，；（3），①當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)．此時，，，．②當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)．此時，．，（舍去）．綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立．6．已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項依次成等差數(shù)列，從第五項起依次成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求出所有的正整數(shù)，使得．【解答】解：（1）設(shè)前6項的公差為，為整數(shù)，則，，因為，，成等比數(shù)列，所以，可得，解得或（舍去），所以時，，所以，，則，所以時，，所以（或或．（2）由（1）可得，，，0，1，2，4，8，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，假設(shè)存在正整數(shù)，使得．則有，即，可得，顯然該方程無解，所以當(dāng)時，不存在這樣的，使得．綜上可得，或．7．已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足：，，且前12項依次成等差數(shù)列，從第11項起依次成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在正整數(shù)、使得：，請找出所有的有序數(shù)對，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)由前12項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，從第11項起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，由，可得，或．又?jǐn)?shù)列各項均為整數(shù)，故；所以，．（2）數(shù)列為：，，，，，，，，，0，1，2，4，8，16，當(dāng)，，，均為負數(shù)時，顯然，所以，即，，，共有奇數(shù)項，即為偶數(shù)；又最多有9個負數(shù)項，所以，時，經(jīng)驗算只有符合，此時；，6，8時，經(jīng)驗算沒有一個符合；故當(dāng)，，，均為負數(shù)時，存在有序數(shù)對符合要求．當(dāng)，，，均為正數(shù)時，且，因為是比1大的奇數(shù)，所以能被某個大于1的奇數(shù)整除，而不存在大于1的奇約數(shù)，故；故當(dāng)，，，均為正數(shù)時，不存在符合要求有序數(shù)對；當(dāng)，，，中既有正數(shù)又有負數(shù)，即，，，中含有0時，有，所以，因為負數(shù)項只有九項，我們按負數(shù)項分類：含1個負數(shù)項時，，0，1，符合，此時，；含2個負數(shù)項時，，，0，1，2，符合，此時，；含3個或4個負數(shù)項時，經(jīng)驗算不存在符合要求的；含5個負數(shù)項時，，，，，0，1，2，4，8，符合，此時，；含6個及6個以上負數(shù)項時，經(jīng)驗算不存在符合要求的；故當(dāng)，，，中既有正數(shù)又有負數(shù)時，存在三組有序數(shù)對，，符合要求；綜上，存在四組有序數(shù)對，，，符合要求．8．已知數(shù)列的前項和滿足，且，數(shù)列滿足，，其前9項和為36．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，且對于給定的正整數(shù)，存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列（其中，分別計算，3時滿足條件的整數(shù)，的一組通解（答案用表示，需要相應(yīng)的推理過程）；（3）當(dāng)為奇數(shù)時，放在前面一項的位置上；當(dāng)為偶數(shù)時，將放在前面一項位置上，可以得到一個新的數(shù)列：，，，，，，，，，，，該數(shù)列的前項和記為，是否存在正整數(shù)，，使得成立？若存在求出所有滿足條件的，，若不存在，則說明理由．【解答】解：（1）因為，于是數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，又因為，所以；又因為，于是數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，設(shè)的前項和為，由于，即，又，，所以；（2）由（1）可知，，若對于任何給定的正整數(shù)，存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，則，即，于是，所以，且則對任意的，能整除─，且──．由于當(dāng)時，─1中存在多個質(zhì)數(shù)，所以──1只能取1或─1或─，若，則，，于是，符合；若，則，矛盾，舍去；若，則，于是，矛盾．綜上，當(dāng)時，存在正整數(shù)，，滿足，且使得，，成等差數(shù)列．（3）由（1）知，，則，，，，，，，，，，，構(gòu)造的新數(shù)列，0，1，2，3，2，3，4，5，4，5，6，7，，，，，，，顯然，所以，，假設(shè)，即有，當(dāng)，，，因為，不能得到完全平方，故這樣的，不存在．9．已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，為其前項和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：；（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，由，又，．證明：（2），．解：（3），，，，若，，依次成等比數(shù)列，則，．由，得，，解得，又，且，，此時．故可知：當(dāng)且僅當(dāng)，使數(shù)列中的，，成等比數(shù)列．10．已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，為其前項和，且滿足，．（1）求數(shù)列、的通項公式及其前項和；（2）在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）：時，，解得．時，，，解得或．時，，舍去．．，由，（2）由（1）知，，，，若，，依次成等比數(shù)列，則，整理可得，解得，又，且，所以，此時．故可知：當(dāng)且僅當(dāng)，使數(shù)列中的，，成等比數(shù)列．11．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)．【解答】解：（1）由題意知，，，數(shù)列是公比為2，首項為的等比數(shù)列，其通項公式為．（2）由（1）有，，為使，，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)．當(dāng)，2時，不為整數(shù)，當(dāng)時，，只需為整數(shù)，與3互質(zhì)，為9的整數(shù)倍，當(dāng)時，為整數(shù)，故的最小值為9．12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對任意的，都有．（Ⅰ）若的首項為4，公比為2，求數(shù)列的前項和；（Ⅱ）若，試探究：數(shù)列中是否存在某一項，它可以表示為該數(shù)列中其它項的和？若存在，請求出該項；若不存在，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）因為，所以當(dāng)時，，兩式相減，得，而當(dāng)時，，適合上式，從而，（3分）又因為是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，即，所以，（4分）從而數(shù)列的前項和；（6分）（Ⅱ）因為，，所以，．（8分）假設(shè)數(shù)列中第項可以表示為該數(shù)列中其它，，項，，，的和，即，從而，易知，（9分）又，所以，此與矛盾，從而這樣的項不存在．（12分）13．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，．（1）求的值；（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求的值；（3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由已知，得，．由，，得，．因，都為大于1的正整數(shù)，故．又，故．再由，得．由，故，即．由，故，解得．于是，根據(jù)，可得．（2）由，對于任意的，均存在，使得，則．又，由數(shù)的整除性，得是5的約數(shù)．故，．所以時，存在正自然數(shù)滿足題意．（3）設(shè)數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，由，，得．化簡，得．（※）當(dāng)時，時，等式（※）成立，而，不成立．當(dāng)時，時，等式（※）成立．當(dāng)時，，這與矛盾．這