云南省彌勒市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

云南省彌勒市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.對(duì)于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，.…下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天

數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是（）

發(fā)芽所需天數(shù)1234567>8

種子數(shù)43352210

A.2B.3C.3.5D.4

2+i,

2.—=()

1-1

1+3，3+z3-z-1+3/

A.-------B.——C.D.----------

2222

2n<5

3.已知數(shù)列｛4｝滿足:aneN*）諾正整數(shù)k（k>5）使得a；+a；+...+城=...a"成

01a2an_x-1,n..6

立，貝!J左=（）

A.16B.17C.18D.19

4.若點(diǎn)尸（-3,4）是角a的終邊上一點(diǎn)，則sin2。=()

247168

A.—B.——C.—D.-

2525255

5.已知ABC的垂心為〃，且AB=6,BC=8,M是AC的中點(diǎn)，則（）

A.14B.12C.10D.8

6.關(guān)于函數(shù)/（%）=5指|%|+|35%|有下述四個(gè)結(jié)論：（）

①/（"是偶函數(shù)；②/（%）在區(qū)間［-］，。［上是單調(diào)遞增函數(shù)；

③/（九）在R上的最大值為2；④/（九）在區(qū)間［-2肛2句上有4個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②④B.①③C.①④D.②④

Ax-］x>0

7.己知函數(shù)/（X）=?'n若函數(shù)/（光）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

—In（—xI,x<U,

A.(-co,0)B.(0,1)C.(0,+oo)

8.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為（）

側(cè)視圖

A.2萬B.2,715

C.-nD.3萬

32

9.已知實(shí)數(shù)0<a<6,則下列說法正確的是（）

cc

A.—>-

ab

C.InaVlnb

10.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長為4,寬為逝的長方形，側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該

幾何體的體積為（）

俯視圖

A.t8B.473C.空D.273

33

11.已知集合〃={x|—IV尤<5},N={x|國<2},則AfN=（）

A.{x\-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{x[0<x<2}

12.過拋物線/=4%的焦點(diǎn)P的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn).若|人月=3,則直線A6的斜率為

（）

A.±72B.-V2C.2夜D.±20

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從A地移動(dòng)到3地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長度，則亮亮從A移動(dòng)到3最近的走

法共有——種.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（—3,0）,B（T,-2）,若圓（x—2甘+/=，&〉0）上有且僅有一對(duì)點(diǎn)取刀,

使得AMAB的面積是A2WLB的面積的2倍，則廠的值為.

15.數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為S"，數(shù)列｛》“｝的前〃項(xiàng)和為T“，滿足q=2,3Sn=（?+m）?n（HeN*,me7?）,且

anbn=〃+1.若任意〃eN*，成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.

16.設(shè)S“是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，且%=-2q,貝!|邑=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知在二二二二中，角二二二的對(duì)邊分別為二二二且手一手二二

__JSIE.

（1）求二的值;

（2）若心二-x3:nZ=二求二+二的取值范圍.

22W

18.（12分）已知橢圓C：?+￡=l（a〉b〉0）的離心率為三，且過點(diǎn)4（0,1）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)尸是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,5的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于。，線段尸。的中點(diǎn)為M.直線AM與直

線y=-i交于點(diǎn)N,。為線段5N的中點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以0。為直徑的圓與點(diǎn)拉的位置關(guān)系.

19.（12分）已知函數(shù)/（X）=a（x-lnx）+x2-2%.

（1）當(dāng)a=-2e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求函數(shù)/（力的極值；

（2）/'（九）為y=/（X）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a>0,%〉9〉0時(shí)，求證：-西;々］芯</（%）-

20.(12分)在如圖所示的多面體中，平面A3用4,平面ABC。，四邊形45耳4是邊長為2的菱形，四邊形ABC。

為直角梯形，四邊形5。。］四為平行四邊形，且AB//CD，ABLBC,CD=1

(1)若E,尸分別為A。，Bq的中點(diǎn)，求證：所，平面A4G；

(2)若44,43=60。，AG與平面ABC。所成角的正弦值g,求二面角A—A￡-。的余弦值.

1

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=萬方9？—(〃+i)x+］nxMeR.

(1)當(dāng)〃=。時(shí)，求曲線了(%)在點(diǎn)(2J(2))的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(4)的單調(diào)性.

_1

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=ln---ax9+x(a>0).

2x

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

/(x)+/(x)3

(2)若二B有兩個(gè)極值點(diǎn)%,％2,證明工2>］一M2.

人］I人？I-

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).

【詳解】

3+4

由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為——=3.5,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

2+i_(2+7)(1+，)_2+37+/_l+3z_j_+3.

(l-z)(l+z)-2-2-22l

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

3、B

【解析】

計(jì)算+%-+…+a，=an+i—a6+n—5,故aj+a2~+...+ak~=ak+l+左—16=ak+l+1,解得答案.

【詳解】

當(dāng)〃26時(shí)，an_1an-l=(an+l)an-l,BPan-=all+1-an+1,且％=3L

故42+%-+...+a；=(%—%)+(%—%)+...+(a〃+i——5=a“+]—+n—5,

aj+6z2+…+aj=ak+i+k—16=ak+l+1,故左=17.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.

4、A

【解析】

43

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得sina=g,cosa=-M，再由正弦的倍角公式，即可求解.

【詳解】

由題意，點(diǎn)R-3,4)是角e的終邊上一點(diǎn)，

43

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得sina=w，cosa=—1，

4324

貝(]sin2a=2sinacosa=2x—x(——)=-----,故選A.

5525

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,

準(zhǔn)確化簡、計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到=可轉(zhuǎn)化HM.ACuBM.AC，又?AC=g(B4+BC)?(8。—BA)即得解.

【詳解】

因?yàn)镠為ABC的垂心，所以38,AC,

所以BH-AC=0，而HM=HB+BM，

所以HMACufT/B+BMAACuBMAC,

因?yàn)?是AC的中點(diǎn)，

所以?AC=g(BA+BC)(BC-BA)

1-2-21

=-(BC-BA)=-(64-36)=14.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于

中檔題.

6、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(龍)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).

【詳解】

/(九)的定義域?yàn)?

由于/(一"=/(x),所以/(九)為偶函數(shù)，故①正確.

［一?］,所以/(%)在

71兀V3+17171V3+V2

由于了——I-COS—=sin——FCOS—=

662442

區(qū)間5,oj上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.

當(dāng)x?0時(shí)，/(x)=sinx+|cosx|,1=sinx±cosx=^2sinx±—<72,

4

TT.7171

且存在-“使/sin——Fcos——y[2.

44

所以當(dāng)工之0時(shí)，/(%)<V2；

由于/(%)為偶函數(shù)，所以xwR時(shí)

所以/(九)的最大值為虛，所以③錯(cuò)誤.

依題意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,當(dāng)0<%W2?時(shí),

.八/兀—p-37r/c

sinx+cosx,0<%〈一，或——<X<2TI

22

〃x)=<

713兀

sinx-cosx,—<X<——

22

7TC5TC

所以令sinx+cos%=0,解得%=7,令sin%-cosx=0,解得％=彳.所以在區(qū)間(0,2句，有兩個(gè)零點(diǎn).

由于/(%)為偶函數(shù)，所以/(九)在區(qū)間［-2肛0)有兩個(gè)零點(diǎn).故f(x)在區(qū)間［-2肛2句上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①④.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

7、B

【解析】

考慮當(dāng)了>0時(shí)，丘—l=lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令M%)=lnx—丘+1,則網(wǎng)司有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和

零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?(尤)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),

所以%>0時(shí)，立—1=Inx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令/z（x）=InX—底+1,則力（%）在（0,+8）有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

又h（x）=------,

x

當(dāng)上＜0時(shí)，〃（x）＞0,故/z（x）在（0,+8）上為增函數(shù)，

/i（x）在（0,+。）上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.

當(dāng)左＞0時(shí),

若則"（尤）＞0,可“在［（）,：］上為增函數(shù)；

若xe*8,則&(%)在+s）上為減函數(shù);

因?yàn)閺墓猓┯袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以ln：＞0,解得0〈上＜1.

又當(dāng)〈左＜時(shí)，!〈工且/?

01<0,故〃（尤）在上存在一個(gè)零點(diǎn).

ek

又/｛至J=111正_1+1=2+21n/—及，其中/=工〉1.

0—pt

令g(/)=2+21nf—々，則g，H)=±^￡,

當(dāng)/>1時(shí),g'⑺<0,故g(。為(L+8)減函數(shù)，

所以g")<g(l)=2_e<0即〃<0.

因?yàn)榭矗矩埃綢所以小）在二

,+oo上也存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)0（左＜1時(shí)，妝％）有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說

明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.

8、A

【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1,圓柱的底面

半徑為1,高為L再由球與圓柱體積公式求解.

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，

半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.

1AS77"

貝!1幾何體的體積為V=—x—%xF+^rxl2xl=一.

233

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

9、C

【解析】

AB利用不等式性質(zhì)可判斷，C、。利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

【詳解】

1lcC

解：對(duì)于A,實(shí)數(shù)Ovavb,，c?O不成立

abab

對(duì)于Ac=O不成立.

對(duì)于C.利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=In尤單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出.

對(duì)于D指數(shù)函數(shù)>=（；）'單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

利用不等式性質(zhì)比較大小.要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采

用特殊值驗(yàn)證的方法.

10、B

【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積.

【詳解】

由題意原幾何體是正三棱柱，V=-X2X^X4=4A/3.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.

11、A

【解析】

考慮既屬于M又屬于N的集合，即得.

【詳解】

N={x[—2<x<2},，McN={x|—lWx<2}.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合[4/1=3,求出A的坐標(biāo)，然后求出AE的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點(diǎn)廠(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)A(x,y),貝!!|A尸|=尤+1=3,故x=2,此時(shí)y=±2,即A(2,±2，^).

則直線AF的斜率k=絲Y2=+272.

2-1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、80

【解析】

分三步來考查，先從A到C,再從C到。，最后從。到3,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.

【詳解】

分三步來考查：①從A到C,則亮亮要移動(dòng)兩步，一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種

走法；

②從。到。，則亮亮要移動(dòng)六步，其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有C；種走法;

③從。到3,由①可知有C；種走法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有C；C；C；=80種不同的走法.

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】

本題考查格點(diǎn)問題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.

14、平

【解析】

寫出A6所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結(jié)合題意可得關(guān)于廠的等式，求解得答案.

【詳解】

解：直線A5的方程為4?=三二，即x+y+3=0.

-2-0-1+3

2

圓(%—2)2+J=r(r>0)的圓心(2,0)

到直線AB的距離d=，尸=乎，

A/22

由AWLB的面積是的面積的2倍的點(diǎn)"，N有且僅有一對(duì),

可得點(diǎn)M到AB的距離是點(diǎn)N到直線AB的距離的2倍，

可得過圓的圓心，如圖：

由呼+廠=2(呼一廠)，解得r=手.

故答案為：述.

6

【點(diǎn)睛】

本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

,1

15、2<-

2

【解析】

an+\

當(dāng)”..2時(shí)，a=S-S_可得到-再用累乘法求出劣,再求出么，根據(jù)定義求出北，再借助單調(diào)性求

nnnltan-X“T

解.

【詳解】

解：當(dāng)〃=1時(shí)，3H=(1+7")6=3%,貝！|切=2,35〃=("+2)4,

當(dāng)〃..2時(shí),3S〃_i=(〃+1)G〃T，

3%=(〃+2)an一(〃+l)an_x,

%=〃+1

an-l〃―1

aa

.「_「，工巨…),

..u-ci,?—2?—3...--a-n--=2x2.

4。2"1123n-2n-1

n+11

：A7=——

an〃

.??&-小匕+*+…+]&（當(dāng)且僅當(dāng)”=1時(shí)等號(hào)成立）,

.?.4,耳,

故答案為：[一巴萬

【點(diǎn)睛】

本題主要考查已知S“求4,累乘法，主要考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

16、18

【解析】

先由%=-2卬，可得q=-2d,再結(jié)合等差數(shù)列的前九項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)椋?。1+61=—2。］,所以q=-2d,邑9（%+4一）=9x24=此

/gq+3dd

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）Z=-（2）Z*Z-￡二、二

【解析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求二的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將上二4二

分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將受轉(zhuǎn)化為六，于是可以求出二的值；（2）首先根據(jù)」二二二=:求出角二的

UnC一

值，根據(jù)第⑴問得到的二值，可以運(yùn)用正弦定理求出二二二二外接圓半徑二于是可以將二一二轉(zhuǎn)化為二二a口+：Z-nZi,

又因?yàn)榻堑闹狄呀?jīng)得到，所以將一轉(zhuǎn)化為關(guān)于「的正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外

本問也可以在求出角二的值后，應(yīng)用余弦定理及重要不等式二一+二三二二二求出二+二的最大值，當(dāng)然，此時(shí)還要注

意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.

試題解析：（1）由三1十與二二三，

應(yīng)用余弦定理，可得

化簡得:匚=、'］則二=E

（2）-,-；Q：Z-Usin二=2

fees'-sinZ=唧::二亍十二：=J

aO+1-5所以口■子

法一?一二二=1L

;工一

則二一二二二口二一二口二I

=sml-$m；三一二)

3

=」.一一一」」

=\F1sH」-11-7-

又0<Z<y..-..y<C,+2<\?

法二

因?yàn)閚=7由余弦定理二：=二：+二；一1二匚cos二

得「二十二：-二，

又因?yàn)橐欢?亭1當(dāng)且僅當(dāng)二二二時(shí)“=”成立.

所以"g+::)；-3：:二=

■二一二wW又由三邊關(guān)系定理可知-［二二工

綜上二-二二二，二

考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.正弦型函數(shù)求值域；3.重要不等式的應(yīng)用.

r2

18、(1)—+y2=1(2)點(diǎn)以在以6?為直徑的圓上

4-

【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于。，b,c的方程組，解出。，b,c的值，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(xO,%),則M(5，%),求出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)。

的坐標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn)P在橢圓。上證出揄.血=o,所以點(diǎn)"在以O(shè)D為直徑的圓上.

【詳解】

4二2

(1)由題意可知，\-=^~,解得＜

b-l,

a2

c=A/3

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4-

(2)設(shè)點(diǎn)P(x(),%),則AH,,%),

Jo-12(y0-l)

二直線AM的斜率為包_0一x0,

2

2(%T),

二直線AM的方程為：y=°x+i,

玉)

令y=-1得，—二，

1一%

..?點(diǎn)N的坐標(biāo)為(產(chǎn)，-D,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(胡J,-1),

“一》0)

OMDM=入'"1)=》+城一%+%'

又點(diǎn)P5,%)在橢圓C上，

2

+%?=1'Ko?=4-4y0,

ff4(1-V2)

OMDM=1-=，丫+為=1一(1+%)+%=0,

4(1-%)

???點(diǎn)"在以O(shè)D為直徑的圓上.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓方程，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及平面向量的基本知識(shí)，屬于中檔題.

19、(1)極大值—2e—1,極小值-e2；(2)詳見解析.

【解析】

首先確定函數(shù)的定義域和「(龍);

(1)當(dāng)a=-2e時(shí)，根據(jù)/'(無)的正負(fù)可確定/(#單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，代入可求得極值；

(、

2五T

(2)通過分析法可將問題轉(zhuǎn)化為證明In2〉工~A設(shè)『=2>1,令/?⑺=ln一丑二利用導(dǎo)數(shù)可證得

“五+1尤,㈠,+1

x2

h(t)>0,進(jìn)而得到結(jié)論.

【詳解】

由題意得：/(%)定義域?yàn)?0,+。)，=

Ix)X

(1)當(dāng)a=—2e時(shí)，/，(x)=2(xT)(x_e),

二當(dāng)xe(0,1)和(e,+8)時(shí),/'(%)>0；當(dāng)尤e(l,e)時(shí)，fr(x)<0,

???/(%)在(0,1),(e,+8)上單調(diào)遞增，在(l,e)上單調(diào)遞減，

???/(力極大值為/(1)=—2e+1—2=—2e—1,極小值為/(e)=-2e(e--l)+e2—2e=—e2.

(2)要證：/(X,)/[\2卜</(々)'

1

即證：f(^)f(x2)<f22}]x2),

/

即證：“(％+—2西-a(x2-lnx2)-x1+2%2<xx+x2+a-2(X]x2)

再+九2,

化簡可得：aln±>2a(---).

x2玉+x2

/、

2%]

?,a>0,..」n'>2(Xi—%),即證：皿土〉上_I,

%2玉+%%五+]

X2

設(shè)/=>1,令無⑺—Inf——----L則力?)=:)、2>°，

v

尤2't+1+

/、

2%-1

:/⑺在(L+s)上單調(diào)遞增，.?，(/)>可1)=0,則由in%〉上~A

%%+1

X2

從而有：/(西)一/(七七[X]</(%)一/(七迤1

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；本題不等式證明的關(guān)鍵是

能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.

7

20、(1)見解析(2)--

8

【解析】

試題分析：(1)第(1)問，轉(zhuǎn)化成證明45,平面4片￡,再轉(zhuǎn)化成證明43,4q和45,4。1。)第(2)問，先

利用幾何法找到AC|與平面ABCZ)所成角，再根據(jù)AG與平面ABC。所成角的正弦值為g求出用G=。，再建立空

間直角坐標(biāo)系，求出二面角A,-AQ-D的余弦值.

試題解析：

(1)連接46,因?yàn)樗倪呅蜛BB]A為菱形，所以43，4片.

因?yàn)槠矫鍭544，平面ABC。，平面1c平面ABCD=A5,BCu平面ABC。，AB±BC,所以BC,

平面

又平面A33]A，所以

因?yàn)锽C/ABiG，所以45,51G.

因?yàn)?1GcA5j=3i，所以平面AB。].

因?yàn)榉謩e為AG，8G的中點(diǎn)，所以EE//AB,所以石尸，平面A31G

(2)設(shè)與G=a,由(1)得耳G，平面AB4A.

由N4AB=60。，BA=2,得AB】=23，AC,=y/12+a2.

過點(diǎn)G作與。C的延長線交于點(diǎn)"，取A5的中點(diǎn)H,連接A"，AM,如圖所示,

4爪K/.?處ye7!\

/：z>^V/

<

又NAAB=60。，所以AAg為等邊三角形，所以AaJ.A3,又平面A5與&，平面ABC。，平面AB^Ac平

面ABCD=AB,A〃u平面A544,故4〃，平面ABC。.

因?yàn)锽CC14為平行四邊形，所以CC1//3B，所以CC]//平面

又因?yàn)镃D//AB,所以CD//平面AAiBg.

因?yàn)镃CiCCD=C,所以平面A&BB]//平面。GM.

由（1）,得平面A4185],所以平面。。1加，所以3。，￡加.

因?yàn)?Cc￡>C=C,所以GM，平面ABC。，所以是AC1與平面ABC0所成角.

因?yàn)?用//43,C.BJ/CB,所以44//平面ABC。，//平面ABC。，因?yàn)锳4c￡4=4,所以平面

45。0//平面4與￡.

所以4/7=C]A/=百，sinZCjAAf=,解得a=石.

"y/12+a25

在梯形ABC。中，易證。石，A3,分別以4A，HD，冽的正方向?yàn)閤軸，V軸，z軸的正方向建立空間直角坐

標(biāo)系.

則4（1,0,0）,D（0,V3,0）,A（0,0,73）,5,（-2,0,73）,B（-l,0,0）,C（-l,Ao）,

由3用=卜1,0,6）,及BB[=CCi，得c1—2,6,百），所以4。1=卜3,6,若），AD=（-1,AO）,

M=（-I，O,V3）.

一3七+\/3%+，34=0,人汨

設(shè)平面ADG的一個(gè)法向量為帆=（%,X，zJ,由41'得<l令％=1，得m=(3,l,2)

m.AD:0,

i、--

z、n-AC,=0,-3x,+=0,

Z2）,Z2=l,

設(shè)平面441a的一個(gè)法向量為〃=（%,,%,由一得■L令得

■[n-A\=0,[-X2+V3z2=o,

”=(62,1)

m-n3+2+277

所以cosm,n--j-j-r-r=,--/=—j=—T==—

|m||n|13+1+4x,3+4+1樞xa8

7

又因?yàn)槎娼荺-AC-D是鈍角，所以二面角\-AC-D的余弦值是--.

xx8

21、(1)x+2y+2—21n2=0；(2)當(dāng)出0時(shí),/(元)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+<功上單調(diào)遞減；當(dāng)0<。<1時(shí),/'(*)

在(0,1)和］，+j上單調(diào)遞增，在11,［上單調(diào)遞減；當(dāng)a=1時(shí),“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí),/(X)在

［()，:］和(1,y)上單調(diào)遞增，在Q,11上單調(diào)遞減.

【解析】

⑴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

⑵易得函數(shù)定義域是(0,+8)，且f'(x)=(辦-DC"1).故分怎0,0<。<1和。=1與。>1四種情況，分別分析得極值

x

點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】

(1)當(dāng)a=0時(shí),"X)=—x+In=—1+4,則切線的斜率為/f(2)=-1+-=--

x22

又/(2)=-2+ln2，則曲線/(%)在點(diǎn)(2,7(2))的切線方程是y-(-2+ln2)=-1(x-2),

即x+2y+2—21n2=0.

19

(2)/(%)=5以2一(〃+1)兀+1口%的定義域是(0,+00).

「，/、/1、16ZX2-(6Z+I)x+1(6ZX-1)(X-1)

/(x)=ax—(a+1)+—=-------------------=----------------

xxx

①當(dāng)④。時(shí)，依-1V0,所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí)J(%)>0；當(dāng)％￡。,+0>)時(shí)J(%)v。,

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)0<a<l時(shí),一〉1,所以當(dāng)xe(0,l)和時(shí)，-(x)>0；當(dāng)時(shí),/'(x)<0,

所以f(x)在(0,1)和［，+s］上單調(diào)遞增，在1，十］上單調(diào)遞減；

③當(dāng)a=1時(shí)」=1,所以/'(x)..0在(0,+8)上恒成立.所以/(元)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

a

④當(dāng)時(shí)

a

所以xe［o,：］和(1,+8)時(shí),(⑴>0；xe時(shí)，尸(X)<0.

所以/W在1°，口和(L+8)上單調(diào)遞增，在［1,1］上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)孫。時(shí),/⑴在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí),Ax)在(0,1)和15+8］上單調(diào)遞

增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a=1時(shí),/W在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)。>1時(shí),/Xx)在［0,1］和(1,y)上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論，需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)

系分類討論即可.屬于?？碱}.

22、(1)見解析(2)見解析

【解析】

⑴求得函數(shù)“X)的定義域和導(dǎo)函數(shù)(X),對(duì)。分成a=0,a2：,0<a〈:三種情況進(jìn)行分類討論，判斷出/(%)

88

的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).