2023-2024學年河南省信陽市高二（上）第一次月考數(shù)學試卷

2023-2024學年河南省信陽市高二（上）第一次月考數(shù)學試卷一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）設U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，則A∩?UB＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}2．（5分）同時擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件A，“向上的面至少有一枚是正面”為事件B，則有（）A．A＝B B．A?B C．A?B D．A與B之間沒有關(guān)系3．（5分）在空間坐標系中，O為坐標原點，A（1，2，3），則|OA|等于（）A． B． C． D．4．（5分）在空間直角坐標系中，＝（2x﹣4，x2，﹣4），＝（﹣1，﹣4，1），若，則x的值為（）A．3 B．6 C．5 D．45．（5分）在空間四邊形OABC中，等于（）A． B． C． D．6．（5分）天河英才秋季運動會三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個圖案的卡片（卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同）放入盒子中．若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（）A． B． C． D．7．（5分）已知z是純虛數(shù)，是實數(shù)，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i8．（5分）已知空間內(nèi)三點A（1，1，2），B（﹣1，2，0），C（0，3，1），則點A到直線BC的距離是（）A． B．1 C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）設M，N為兩個隨機事件，給出以下命題，其中為正確命題的是（）A．若M，N為互斥事件，且，則 B．若，則M，N為互為對立事件 C．若，則M，N為相互獨立事件 D．若M，N為相互獨立事件，且，則（多選）11．（5分）不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A．2張卡片都不是紅色 B．2張卡片恰有一張藍色 C．2張卡片至少有一張紅色 D．2張卡片都為綠色（多選）12．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，AC，BD交于點E，則下列結(jié)論正確的是（）A．若PD∥平面MAC，則M為PB的中點 B．若M為PB的中點，則三棱錐M﹣PAC的體積為 C．銳二面角B﹣PD﹣A的平面角余弦值為 D．若，則直線MC與平面BDP所成角的余弦值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．（5分）已知，，若，則x＝．14．（5分）從集合{1，2，3}中隨機取一個元素，記為a，從集合{2，3，4}中隨機取一個元素，記為b，則a≤b的概率為．15．（5分）在邊長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中．平面AB1C與平面A1DC1之間的距離為．16．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，底面ABC為正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，G為△PAC的外心，D為直線BC上的一動點，設直線AD與BG所成的角為θ，則θ的取值范圍為．四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，其余各題12分，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知空間三點A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），設＝，＝．（1）求和的夾角θ的余弦值；（2）若向量k十與k﹣2互相垂直，求k的值．18．（12分）已知函數(shù)的最大值為．（1）求常數(shù)m的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．19．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，點D在BC邊上，AD是角平分線，sin2C+sin2B+sinC?sinB＝sin2A，且△ABC的面積為2．（1）求A的大小及的值；（2）若c＝4，求BD的長．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O為AD的中點，問：線段AD上是否存在一點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，習近平總書記強調(diào)要“人民至上、生命至上，果斷打響疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)”，教育部也下發(fā)了“停課不停學，停課不停教”的通知．為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保．某學校開展組織學生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；（2）以樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪：競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）若學校安排甲、乙兩位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率，乙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率．22．（12分）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是等邊三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P為棱AD的中點，四棱錐S﹣ABCD的體積為．（1）若E為棱SA的中點，F(xiàn)為棱SB的中點，求證：平面PEF∥平面SCD．（2）在棱SA上是否存在點M，使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點M的位置；若不存在，請說明理由．

參考答案與試題解析一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．【分析】欲求兩個集合的交集，先得求集合?UB，再求它與A的交集即可．【解答】解：對于?UB＝{x|x≤1}，因此A∩?UB＝{x|0＜x≤1}，故選：B．【點評】這是一個集合的常見題，屬于基礎題之列．2．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合列舉法求得事件A和事件B，進而得到兩事件的關(guān)系，得到答案．【解答】解：同時拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件A＝{（正，正）}，事件B＝{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以A?B．故選：C．【點評】本題主要考查了隨機事件的列舉，屬于基礎題．3．【分析】直接利用空集兩點的距離公式求解即可．【解答】解：空間點（1，2，3）到坐標原點的距離：＝．故選：A．【點評】本題是基礎題，考查空間兩點的距離公式的應用，考查計算能力，送分題．4．【分析】由已知直接利用空間向量的坐標運算列式求解x的值．【解答】解：在空間直角坐標系中，＝（2x﹣4，x2，﹣4），＝（﹣1，﹣4，1），若，則，解得x＝4．故選：D．【點評】本題考查空間向量共線的坐標運算，是基礎題．5．【分析】由題意，根據(jù)向量的加法、減法法則，把進行化簡即可得到答案，即可選出正確選項．【解答】解：根據(jù)向量的加法、減法法則，得＝﹣＝＝．故選：C．【點評】本題考點是空間向量的加減法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的加法、減法法則進行化簡，本題是向量的基礎題．6．【分析】本題為古典概型概率，首先列舉所有基本事件數(shù)，找出滿足條件的事件數(shù)，即可解決問題．【解答】解：設三張卡片“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”依次記為A，B，C，若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則基本事件為：AB，AC，BC，AA，BB，CC，BA，CA，CB共9種，其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的基本事件為：AB，BA共2種，所以所求概率為．故選：C．【點評】本題主要考查了古典概率公式的應用，屬于基礎題．7．【分析】設出復數(shù)z，代入，它的分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由題意得z＝ai．（a∈R且a≠0）．∴＝＝，則a+2＝0，∴a＝﹣2．有z＝﹣2i，故選：D．【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查計算能力，是基礎題．8．【分析】借助于空間向量解決空間中距離問題．【解答】解：空間內(nèi)三點A（1，1，2），B（﹣1，2，0），C（0，3，1），，因為，由，所以，所以點A到直線BC的距離．故選：A．【點評】本題主要考查空間中點，線，面之間的位置關(guān)系，屬于中檔題．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．【分析】直接利用向量的坐標運算，向量的數(shù)量積運算和向量的模求出結(jié)果．【解答】解：由于向量，，，對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：；；；故，故C正確；對于D：，故，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量的模，向量的數(shù)量積，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．10．【分析】由概率的性質(zhì)判斷A；根據(jù)對立事件的定義、獨立事件的判定及乘法公式判斷B、C、D．【解答】解：對于A：由題設有，對；對于B：若M，N為對立事件，則M?N＝?，M?N＝Ω，即P（MN）＝0且P（M?N）＝P（M）+P（N）＝1，顯然不能保證P（MN）＝0，錯；對于C：由，則，故M，N為相互獨立事件，對；對于D：由題設，對．故選：ACD．【點評】本題考查了概率的性質(zhì)，對立事件的定義、獨立事件的判定及乘法公式，是中檔題．11．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件與對立事件的定義，即可求解．【解答】解：從6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有：兩張都為紅色，兩張都為綠色，兩張都為藍色，1張紅色1張綠色，1張紅色1張藍色，1張綠色1張藍色，共6種，2張卡片至少有一張紅色包含2張卡片都為紅色，二者并非互斥事件，故C錯誤，ABD正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查互斥事件與對立事件的定義，屬于基礎題．12．【分析】對于A，根據(jù)線面平行性質(zhì)可得ME∥PD，進而得到M為PB的中點；對于B，利用求解即可；對于C，作PD的中點Q，則∠AQB為銳二面角B﹣PD﹣A的平面角，再結(jié)合余弦定理可求解二面角B﹣PD﹣A的平面角的余弦值，即可判斷C；對于D，建系，求平面BDP的法向量，根據(jù)向量的夾角來求直線MC與平面BDP所成角的余弦值．【解答】解：對于A，連接ME，當PD∥平面MAC時，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得ME∥PD，從而得到M為PB的中點．故A正確；∵M為PB的中點，∴，取AD中點F，連接PF，∵△PAD為等邊三角形，∴PF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直性質(zhì)可得PF⊥底面ABCD，∴，∴，故B正確；連接BF，∵PF⊥底面ABCD，又BF?平面ABCD，∴PF⊥BF，在Rt△PBF中，，取PD中點Q，連接BQ，AQ，∴BQ⊥PD，AQ⊥PD，∴∠AQB為銳二面角B﹣PD﹣A的平面角，在△AQB中，，，由余弦定理可得：，∴銳二面角B﹣PD﹣A的平面角余弦值為，故C正確；對于D，建立空間直角坐標系F﹣xyz，則A（﹣1，0，0），B（﹣1，2，0），C（1，2，0），P（0，0，），D（1，0，0），∵，∴M（），∴，設平面PBD的法向量，由，取z＝1，得，∴cos＜，＞＝＝＝．∴直線MC與平面BDP所成角的余弦值為，故D正確．故選：ABCD．【點評】本題考查線面平行的性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理，考查三棱錐的體積，考查二面角的求法，考查空間向量在立體幾何中的應用，是中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．【分析】根據(jù)時?＝0，列方程求出x的值．【解答】解：因為，，且，所以?＝﹣4+10+3x＝0，解得x＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了空間向量垂直的坐標表示與應用問題，是基礎題．14．【分析】先確定的所有的基本事件，共有9種，再求出a＞b的概率，根據(jù)互斥事件的概率公式計算即可．【解答】解：從集合{1，2，3}中隨機取一個元素，記為a，從集合{2，3，4}中隨機取一個元素，共有3×3＝9種，因為a＞b的取法只有一種：a＝3，b＝2，所以a＞b的概率是，所以a≤b的概率是1﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查了古典概型的概率和互斥事件的概率問題，屬于基礎題．15．【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得．【解答】解：建立如圖所示的直角坐標系，則A1（3，0，0），C1（0，3，0），D（0，0，3），A（3，0，3），所以，，，設平面A1C1D的一個法向量，則，令z＝1得，故，顯然平面AB1C∥平面A1DC1，所以平面AB1C與平面A1DC1之間的距離＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查利用空間向量求出距離，屬于中檔題．16．【分析】建立空間直角坐標系，設，則，求出cos2θ的范圍，從而得到θ的取值范圍．【解答】解：不妨設PA＝AB＝2，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A（0，0，0），，C（0，2，0），P（0，0，2），由題意得G為PC的中點，所以G（0，1，1）．設，λ∈R，得，則，因為，所以．當λ＝0時，cosθ＝0．當λ≠0時，，得．綜上，，由得．故答案為：．【點評】本題主要考查空間向量的應用以及異面直線所成角的求解，考查計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，其余各題12分，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積計算和夾角θ的余弦值；（2）根據(jù)向量k十與k﹣2互相垂直時數(shù)量積為0，列方程求出k的值．【解答】解：（1）因為A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），所以＝＝（1，1，0），＝＝（﹣2，﹣1，2），所以cosθ＝＝＝﹣，即和夾角θ的余弦值為﹣；（2）因為向量k十與k﹣2互相垂直，所以（k+）?（k﹣2）＝k2﹣k?﹣2＝0，因為＝2，?＝﹣3，＝9，所以2k2+3k﹣18＝0，解得k＝或k＝．【點評】本題考查了空間向量的坐標運算與應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．18．【分析】（1）先化簡f（x）的解析式，列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值；（2）利用整體代換法即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增．【解答】解：（1）＝+1+cos2x+m，＝，由函數(shù)f（x）的最大值為，可得，解之得m＝﹣1；（2）由（1）可得，由，可得，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，函數(shù)的單調(diào)性和對稱中心的確定，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．19．【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到c2+b2+bc＝a2，再根據(jù)余弦定理求得A，根據(jù)三角形的面積公式求得b，代入向量的數(shù)量積公式即可求解；（2）過D作DE，DF分別垂直于AB，AC，得到|DE|＝|DF|，再根據(jù)兩個三角形面積的比結(jié)合余弦定理求得a，即可求解．【解答】解：（1）∵sin2C+sin2B+sinC?sinB＝sin2A，由正弦定理知，c2+b2+bc＝a2，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理知cosA＝＝﹣，又A∈（0，π），∴，，∴b＝2，∴；（2）過D作DE，DF分別垂直于AB，AC，如圖所示，∵AD為∠BAC角平分線，∴DE＝DF，∴，∴S△ABD：S△ACD＝|AB|：|AC|＝2：1，又S△ABD：S△ACD＝|BD|：|DC|，∴|BD|：|DC|＝2：1，∴，又，∴，∴．【點評】本題考查了三角形的正弦定理和余弦定理，屬于中檔題．20．【分析】以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，設線段AD上存在Q（a，b，c），＝λ，0≤λ≤1，使得它到平面PCD的距離為，利用向量法能求出＝．【解答】解：∵底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，∴OC⊥AD，又PO⊥平面ABCD，∴以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），＝（1，0，﹣1），＝（0，1，﹣1），設平面PCD的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，1，1），設線段AD上存在Q（a，b，c），＝λ，0≤λ≤1，使得它到平面PCD的距離為，則A（0，﹣1，0），D（0，1，0），（a，b+1，c）＝（0，2λ，0），∴Q（0，2λ﹣1，0），＝（0，2λ﹣1，﹣1），∴Q到平面PCD的距離d＝＝＝，解得λ＝，∴Q（0，﹣，0），∴＝＝．線段AD上存在一點Q，使得它到平面PCD的距離為，且＝．【點評】本題考查滿足點到平面的距離的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．21．【分析】（1）先根據(jù)各矩形的面積之和為1，求得a，再根據(jù)各層的人數(shù)比例抽??；（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)公式求解；（3）分一人或二人獲優(yōu)秀，利用互斥事件和獨立事件的概率求解．【解答】解：（1）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10＝1，得a＝0.03，因為0.01×10×200＝2