備考2024年新高考數(shù)學一輪復習-圓的方程

圓的方程

日題型目錄

題型一求圓的方程

題型二_兀一次方程表不的曲線與圓的關系

題型三點與圓的位置關系

題型四圓的對稱的應用

題型五直線與圓的位置關系

題型六圓與圓的位置關系

題型七圓的（公共）弦長問題

題型八圓的（公）切線與切線長

題型九距離的最值問題

集練

—

題型一求圓的方程

例1.（2022選修第一冊北京名校同步練習冊）圓/+必-2*+4）/-11=0的半徑為（）

A.2B.4C.8D.16

例2.（2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試卷）已知圓C過點（L。），（0,6）,（-3,0）,則圓C的方程為.

舉一m

練習1.（2022?高三單元測試）已知AB為圓++-3=0的直徑，點A的坐標為（0,1）,則點8的坐標

為.

練習2.（2021春?河北?高二統(tǒng)考學業(yè)考試）若圓C：f+y2-x+y+"z=0的半徑為1,則實數(shù)切=（）

練習3.（2023?全國?高三對口高考）經(jīng)過三點A（2,3）,B（-2,-l）,C（4,l）的圓的方程為.

練習4.（2022秋?高三?？颊n時練習）己知圓心的坐標為（2,-3）,一條直徑的兩個端點恰好在兩個坐標軸上，則

這個圓的一般方程為.

7

練習5.（2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習）已知直線/過點（3,2）且與直線y=-jx+l垂直，圓C的圓心在直線/上,

且過A（6,0）,3（1,5）兩點.

（1）求直線/的方程；

（2）求圓C的標準方程.

題型二二元二次方程表示的曲線與圓的關系

242

例3.（2022-2023學年高二同步練習）設方程尤2+產(chǎn)2（m+3）x+2（l-4m）y+16m-7m+9=0,若該方程表示一個

圓，求小的取值范圍及圓心的軌跡方程.

例4.（2023屆甘肅省定西市高三下學期高考模擬考試文科數(shù)學試卷）若點（2,1）在圓d+y2-x+y+a=。的外部,

則。的取值范圍是（）

A.B.C.D.（_00,-4）口G,+00）

第二反三

練習6.（2023秋?甘肅天水?高三統(tǒng)考期末）若方程/+產(chǎn)+丘+3y+|左=。表示圓，貝必的取值范圍是.

練習7.（2022?全國?高三專題練習）已知曲線C的方程2d+2尸+4x+8y+歹=0,貝U“尸＜10”是“曲線C是圓”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練習8.（2022秋.江蘇揚州.高三校考階段練習）己知點P（l,2）為圓x2+y2+x-4y+w=0外一點，則實數(shù)加的取值

范圍為（）

D

A.（2,+8）B.C-[2,J-[吟;

練習9.（2022秋?河南許昌.高三禹州市高級中學校考階段練習）方程尤2+V一以+2沖+2“+1=。表示圓，則實數(shù)a

的可能取值為（）

A.1B.2C.0D.-2

練習10.（2022秋?四川綿陽.高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）方程/+產(chǎn)=|2尤-4y+5|表示的幾何圖形是

（）

A.一點和一圓B.兩點C.一圓D.兩圓

題型三點與圓的位置關系

例5.（2023秋?福建三明?高三統(tǒng)考期末）（多選）已知圓的方程為丁+>2-2%+4>=0以下各點在圓內(nèi)的是（

A.（0,-1）B.（1,1）C.（2,-2）D.（3T）

例6.（2022秋.高二校考課時練習）若點（a+l,a-l）在圓f+y2-2ay-4=0的內(nèi)部，則。的取值范圍是（）.

A.a>lB.0<tz<1C.-1<a<—D.av1

5

舉一

練習11.（2023?高三課時練習）直線x-2y-2左=0與）/=》+上的交點在曲線Y+y2=25上，貝心=.

練習12.（2023春?湖南?高三校聯(lián)考期中）若不同的四點4（-1,0）,8（2,-1）,45,0）,。（凡8）共圓，則實數(shù)

練習13.（2022秋?高三單元測試）直線/：2彳-磔-4+加=0與圓0：/+；/-4尤+2,=0的位置關系為（）

A.相交B.相切C.相交或相切D.不確定

練習14.（2023?全國?高三專題練習）點（sin30°,cos30°）與圓/+>2=；的位置關系是（）.

A.點在圓上B.點在圓內(nèi)C.點在圓外D.不能確定

練習15.（2023?浙江?高三專題練習）（多選）已知圓的方程為（％-刈）2+（y一刈）2=加2,對任意的機>0,該圓（）

A.圓心在一條直線上B.與坐標軸相切

C.與直線丁二一4不相交D.不過點（1,1）

題型四圓的對稱的應用

例7.（2022-2023學年廣東省深圳中學高三上學期期中數(shù)學試卷）已知圓C:/+產(chǎn)一2如+4y=0關于直線

尤+3y+2=0對稱，P（x,y）為圓C上一點，則2x-y的最大值為.

例8.（2023屆江西省新八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試卷）已知圓（x-l）2+（y-l）2=l關于直線

。無+勿一1=0（〃>0,6>0）對稱，則匕々的最小值為（）

ab

A.3B.3+20C.2D.2+2直

舉一反三

練習16.（2022秋.黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中校考期末）（多選）已知圓了2+丁-以-1=0,則下列說法正確的有

（）

A.關于點（2,0）對稱B.關于直線>=。對稱

C.關于直線尤+3>-2=。對稱D.關于直線x-y+2=0對稱

練習17.（2022?全國?高二專題練習）若圓/+丫2+6+￡丫+尸=0關于直線/1：X-〉+4=0和直線/2"+3'=0都對稱,

則D+E的值為.

練習18.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末）已知A,8是圓/+,-8x-4y+19=0的一條直徑上的兩個端點，則

OAOB=()

A.0B.19C.回D.1

練習19.（2022秋?廣東廣州?高三?？计谀┮阎獔AC:尤2+/一2x+4y=0關于直線/：x+2ay=0對稱，貝l]a=

練習20.（2023?北京??？寄M預測）點M、N在圓C:尤2+/+2丘+2%-4=0上，且M、N兩點關于直線x-y+1=。

對稱，則圓C的半徑（）

A.最大值為立B.最小值為受C.最小值為述D.最大值為還

2222

題型五直線與圓的位置關系

例9.（2023屆北京名校高三一輪總復習）若直線依+外=1與圓f+y2=i相交，則點尸（0,3（）

A.在圓上B.在圓外C.在圓內(nèi)D.以上都有可能

例10.（2022北京名校同步練習冊）為圓f+y2=i內(nèi)異于圓心的一點，則直線%x+%>=1與該圓的位置

關系為（）

A.相切B.相交C.相離D.相切或相交

料-反㈢

練習21.（2023春?北京海淀?高三北理工附中?？计谥校┲本€依-y+2a=0（。wR）與圓尤2+丁=5的位置關系為（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

練習22.（2023?全國?高三專題練習）已知尤2+y2+x+y=o,求x+y的取值范圍______________.

b

練習23.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)滿足/+方2=1,則二的取值范圍為_________.

a-2

練習24.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預測）設集合A={（x,y）|x+y=l},B={（x,y）|x2+/=1},則的

真子集個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

練習25.（2023?江蘇南通?三模）（多選）直線=0與圓f+丁=4交于兩點，尸為圓上任意一點,

則（）.

A.線段AB最短長度為2拒B.A03的面積最大值為2

C.無論加為何值，/與圓相交D.不存在優(yōu)，使NAP8取得最大值

題型六圓與圓的位置關系

例11.（2022北樂名校同步練習冊）當。為何值時，兩圓年+y2-2ax+4y+a~-5=0和+2x-2ay+a~-3=0.

⑴外切;

⑵相交;

（3）外離.

例12.（2022屆深圳中學高三下學期）已知圓C過點（3,0）且與圓/+丁=1切于點（1,0），則圓C的方程為.

舉一反三

練習26.（2023?河南商丘?商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知圓G：/+（y-2）2=5,圓C?過點（2,-1）且與圓G

相切于點（2,1）,則圓C?的方程為.

練習27.（2023秋?高三課時練習）若兩圓。+1）2+/=4和圓（x-a）2+V=i相交，則。的取值范圍是（）

A.0<a<2B.0<a<2-4<a<—2

C.—4<a<—2D.2<a<4—2<a<0

練習28.（2022秋?貴州遵義?高三習水縣第五中學校聯(lián)考期末）圓G：（尤+2）2+（y+4）2=25與圓C"：（x+1）2+9=9的

公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

練習29.（2023春?安徽?高三池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓G：/+V-6x-7=0與圓:Yy+2夕y+6=0

的位置關系是（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

練習30.(2023?全國?高三對口高考)已知動圓尸過點N(-2,0),且與圓M:(x-2)2+丁=8外切，則動圓尸圓心P(x,y)

的軌跡方程為.

題型七圓的(公共)弦長問題

例13.(2023屆安徽省定遠中學高三下學期考前押題數(shù)學試卷)已知圓9：/+產(chǎn)=1與圓

O2：尤2+V—2尤+2y+尸=0(尸＜1)相交所得的公共弦長為四,則圓。2的半徑r=()

A.1B.gC.有或1D.y/5

例14.(2023屆東莞定遠中學高三下學期)與y軸相切，圓心在直線尤-3y=0上，且在直線y=x上截得的弦長為26,

則此圓的方程是()

A.(x-3)2+(y-l)2=9

B.(x+3)2+(y+l)2=9

C.(x+3)2+(y+l)2=9^(x-3)2+(y-l)2=9

D.(^+3)2+(y-l)2=9^(^-3)2+(y+l)2=9

舉一反三

練習31.(2023?廣東深圳?校考二模)過點(LD且被圓元2+,2一人-6+4=0所截得的弦長為2&的直線的方程為

練習32.(2023?江西?統(tǒng)考模擬預測)已知圓C的方程為(x-3)2+(y-4)2=25,若直線/：3x+4y-5=0與圓C相交于

兩點，則ABC的面積為.

練習33.(2023?天津和平?耀華中學校考二模)圓/+V-4x+4y-12=0與圓V+/=4的公共弦所在的直線方程

為.

練習34.(2023?廣東珠海?珠海市斗門區(qū)第一中學?？既?(多選)已知圓G：/+V=9與圓

G：（x-3）2+（y_4>=16,下列說法正確的是（）

A.G與C?的公切線恰有4條

B.G與C?相交弦的方程為3尤+4〉一9=。

c.G與c?相交弦的弦長為1?2

D.若尸，。分別是圓GC上的動點,則|尸。、=12

練習35.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測）已知圓C］：（x-a）2+（y_l）2=l與圓C2：/+y2=3交于A,8兩點，若直

線AB的傾斜角為60°,則卜理=.

題型八圓的（公）切線與切線長

例15.（2023屆四川省成都市高三適應性考試文科數(shù)學試卷）若直線ox+勿=1（。>0,6>0）,與

e0:/+尸=1相切，則a+2A最大值為（）

A.sfiB.y/sC.3D.5

例16.（2023屆北京市師大附屬中學高三適應性練習數(shù)學試卷）已知圓0:一+丁=1,直線3尤+4〉-10=0上動點尸，

過點尸作圓。的一條切線，切點為A,貝訓的最小值為（）

A.1B.72C.V3D.2

舉一m

練習36.（2023?天津南開?統(tǒng)考二模）若直線履-、-2左+3=。與圓x2+（y+iy=4相切，貝廉=.

練習37.（2023秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）過點尸（2,1）作圓V+y2=4的兩條切線，切點分別為A、B,則直線

方程是.

練習38.（2023春?貴州?高三遵義一中校聯(lián)考階段練習）已知圓。:/+丁=4,點A是直線3x+y+10=0上的一個

動點，過點A作圓。的兩條切線AM,4V,切點分別為則四邊形AMON的面積的最小值為；直

線MN過定點.

練習39.（2023?全國?高三專題練習）寫出與圓/+丁=1和圓龍2+丁+6彳一8>+9=0都相切的一條直線的方程

練習40.（2023秋?高三課時練習）在直角坐標系xOy中，以原點。為圓心的圓與直線x-^y-4=0相切

⑴求圓。的方程；

⑵若已知點尸（3,2）,過點P作圓。的切線，求切線的方程.

題型九距離的最值問題

例17.（2023屆廣西邕衡金卷高三第三次適應性考試數(shù)學（理）試卷）已知直線/："a+（5-2用）廣2=0（7weR）和

圓O:V+y2=4,則圓心。到直線/的距離的最大值為（）

A.-B.拽C.空D.-

5532

例18.（2022-2023學年陜西省西安市長安區(qū)第一中學高三上學期期末文科數(shù)學試卷）已知直線/：元-，+6=。與圓

C:（x-l）2+（y-l）2=8,則圓C上的點到直線/的距離的最小值為（）

A.1B.忘C.3亞D.572

舉一

練習41.（2023?全國?校聯(lián)考三模）己知點尸為圓C:Y+（y-4）2=4上的動點，則點尸到直線/：3x+4y-5=0的距離

的最大值為.

練習42.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學?？寄M預測）直線y+2-3〃2=O（〃zeR）與圓。:/+,2-2,_15=0交

于兩點P、Q,則弦長|尸日的最小值是.

練習43.（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）若直線小尤+叼-2=0與

/2：mx-y+2=0（加eR）相交于點尸，過點尸作圓C:（x+2）?+（y+2了=1的切線，切點為M,則FM的最大值為

練習44.（2023春四川瀘州?高三四川省瀘縣第一中學?？茧A段練習）已知圓C:（x-4）2+（y-￡|=4,過直線

/:4x-3y=0上一點尸向圓C作切線，切點為Q,則△PCQ的面積最小值為（）

A.3B.75C.275D.岳

練習45.（2023春?北京東城?高三北京市第H^一中學?？茧A段練習）已知圓C:Y+y2-2x=0,過直線/：y=x+2上

的動點M作圓C的切線，切點為N,貝1肱V|的最小值是（）

A.2A/2B.2C.—D.叵

22

專題9.2圓的方程

日題型目錄

題型一求圓的方程

題型二_兀一次方程表不的曲線與圓的關系

題型三點與圓的位置關系

題型四圓的對稱的應用

題型五直線與圓的位置關系

題型六圓與圓的位置關系

題型七圓的（公共）弦長問題

題型八圓的（公）切線與切線長

題型九距離的最值問題

集練

—

題型一求圓的方程

例1.（2022選修第一冊北京名校同步練習冊）圓/+必-2x+4y-ll=0的半徑為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】將圓的方程配成標準式，即可判斷.

【詳解】?x2+y2-2x+4y-ll=0,即（無一iy+（y+2）2=16,

所以半徑r=4.

故選：B

例2.（2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試卷）已知圓C過點（L0）,（0,6），（-3,0）,則圓C的方程為.

【答案】-^2+y2+2x—3=0

【分析】設圓的一般方程，然后將點代入組成方程組解出即可.

【詳解】根據(jù)題意，設圓的方程為/+/+.+巧+尸=0

又由圓。過點(L0),(0,6)，(-3,0),

1+0+尸=0

則有卜+也石+尸=0,

9-3D+F=0

解可得0=2,E=0,F=—3,

即圓的方程為：X2+/+2X-3=0,

故答案為：x2+y2+2x-3=0.

舉一m

練習1.(2022?高三單元測試)已知A3為圓C:尤2+V-2x+2y-3=0的直徑，點A的坐標為(0,1),則點8的坐標

為______

【答案】(2,-3)

【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標，設8(%,%),再利用中點坐標公式得到方程組，解得即可.

【詳解】解：圓。:/+產(chǎn)一2x+2y-3=0即(x-l)2+(y+l>=5,所以圓心坐標為(1,-1),

/\y+1=-zy=-J

設3(%%),又因為4(0,1),所以由中點坐標公式得n°j。，解n得，

所以點B的坐標為(2,-3).

故答案為：(2，-3)

練習2.(2021春?河北?高二統(tǒng)考學業(yè)考試)若圓C：f+y2_x+y+"7=o的半徑為1,則實數(shù)〃z=()

1

A.-B.\C.--D.

4242

【答案】D

【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標準方程即可求解.

【詳解】由尤2+y2-x+y+機=0,得+[y+g)=2;加

所以圓C的圓心為半徑為r=立券，

因為圓C：f+y-x+y+m=0的半徑為1,

所以j2-4/n=],解得”=一〈，

22

故實數(shù)T

故選：D.

練習3.(2023?全國?高三對口高考)經(jīng)過三點4(2,3),3(-2,-1),C(4,l)的圓的方程為

【答案】x2+y2-2x-9=0

【分析】設圓的一般方程，用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】設圓的方程為必+丁+m+3+F=0,

13+2D+3￡+F=0\D=-2

貝卜5-2￡>—E+F=0=1片=0,

11+4D+E+F=QF=-9

、I

，圓的方程為：x2+y"-2x—9=0.

故答案為：尤2+y2_2x-9=0

練習4.(2022秋.高三?？颊n時練習)已知圓心的坐標為(2,-3),一條直徑的兩個端點恰好在兩個坐標軸上，則

這個圓的一般方程為.

【答案】x2+j2-4x+6y=0

【分析】依題意可判斷出圓恰好過原點，從而可求出圓的半徑，圓的標準方程，再化為一般方程即可.

【詳解】因為直徑所對的圓周角是直角，所以圓恰好過原點，故半徑為，22+(-3)2二岳,

所以圓的標準方程為(尤-2)2+(y+3)2=13,化為一般方程為尤2+產(chǎn)4x+6y=0.

故答案為：x2+y2-4x+6y=0

練習5.(2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習汨知直線/過點(3,2)且與直線y=+1垂直，圓C的圓心在直線/上,

且過4(6,0),5(1,5)兩點.

(1)求直線/的方程；

⑵求圓C的標準方程.

【答案】⑴2彳-7尸8=0

⑵(x-3)2+(y-2)2=13

【分析】(1)由題設/：2尤一7y+〃?=0,代入(3,2)得出直線，的方程;

(2)設圓心C’,〒上根據(jù)［4。|=忸。=「得出圓。的標準方程.

【詳解】(1)由題設/：2尤-7y+m=0,

代入(3,2)得加=8,于是/的方程為2x-7y+8=0.

(2)設圓心C,告則［4。=忸。=廠，

即尸亍廠仔可

解得：，=3,

r=713,又圓心C（3,2）,

???圓C的標準方程為方―3）2+（y—2）2=13.

題型二二元二次方程表示的曲線與圓的關系

2

例3.（2022-2023學年高二同步練習）設方程N+y2_2（m+3）尤+2（l-4m）y+16--7源+9=0,若該方程表示一個

圓，求相的取值范圍及圓心的軌跡方程.

［答案］加y=4（x-3）2-1,xe（y,+oo）.

【分析】將方程配方，利用圓的方程建立不等式，即可求出實數(shù)機的取值范圍；然后根據(jù)

圓的圓心坐標，再消去參數(shù)，根據(jù)實數(shù)機的取值范圍，可求得圓心的軌跡方程.

【詳解】配方得［九一（刃+3）F+［y+（l—4/2）］2=i+6m,

若該方程表示圓，則有1+6根>0,得加￡（-，,+8）.

fx=m+3

由標準方程知圓心的軌跡方程為｛.2消去得>=4（尤-3）2-1.

［y=4m-1

117

由me（——,+oo）,得％=加+3￡（-,+co）.

66

17

故所求的軌跡方程是y=4（x-3）2—1,XG（—,+^）.

6

例4.（2023屆甘肅省定西市高三下學期高考模擬考試文科數(shù)學試卷）若點（2,1）在圓Y+V-x+y+。=0的外部，

則a的取值范圍是（）

A.B.仁ITD.

【答案】C

【分析】利用表示圓的條件和點和圓的位置關系進行計算.

【詳解】依題意，方程/+y?—x+y+a=0可以表不圓，貝!J（―1）?+12—4〃>0,得〃〈萬；

由點（2,1）在圓/+J—>+。=o的外部可知：22+12-2+l+fz>0,得a>^4.

M41

故一4<。<一.

2

故選：C

舉曲目

練習6.（2023秋?甘肅天水?高三統(tǒng)考期末）若方程/+丘+3,+：左=0表示圓，貝必的取值范圍是

【答案】（一/,1）。（9,+8）

【分析】根據(jù)圓的一般方程的形式，列出關于左不等式，即可求解.

【詳角軍】由方程V+y2+日+3y+g%=0表示圓，貝IJ滿足左？+32-4x；左＞0,

整理得/一10%+9＞0,解得左＜1或左＞9,

即實數(shù)上的取值范圍是（-力,1）。（9,+力）.

故答案為：（一8,1）［（9,+8）.

練習7.（2022.全國?高三專題練習）已知曲線C的方程2元2+2y2+4無+8y+尸=0,則“尸410”是“曲線C是圓”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.

F

【詳解】2x2+2y2+4x+8y+F=0,x2+y2+2x+4y+—=0,

曲線C是圓。22+42-4弓＞00歹＜10,“尸410”是“尸＜10”的必要不充分條件.

故選：A.

練習8.（2022秋?江蘇揚州.高三?？茧A段練習）已知點P（l,2）為圓/+丁+》-4〉+m=0外一點，則實數(shù)加的取值

范圍為（）

A.（2,+8）B,1-8,力C.（吟D.（吟）

【答案】D

【分析】結合點在圓外條件，及/+9+了-今+機=0表示圓的方程可得答案.

【詳解】因P（l,2）在圓外，則『+22+1一8+加＞0,得根＞2.

又X2+y2+冗-4）+m=0表示圓，貝|J12+（一4）2-4m＞0,得根＜17.

17

綜上：2＜m＜—.

4

故選：D

練習9.（2022秋.河南許昌.高三禹州市高級中學校考階段練習）方程/+/一依+2紗+2。+1=0表示圓，則實數(shù)〃

的可能取值為（）

A.1B.2C.0D.-2

【答案】D

【分析】先把爐+/—融+2〃＞+2。+1=0整理成圓的標準形式，滿足右邊關于。的表達式大于零.

【詳解】由f+y2—QX+2@+2Q+1=0,可得|%一微)+(y+tz)2=^--2a-l,

所以至-2〃-1>0,

4

2

解得a<或。>2,

選項中只有-2符合題意.

故選：D.

練習10.(2022秋?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習)方程Y+y2=|2x-4y+5|表示的幾何圖形是

()

A.一點和一圓B.兩點C.一圓D.兩圓

【答案】A

【分析】分2尤-4y+5?0,2x-4y+5<0討論，結合條件及圓的方程即得.

【詳解】由小+〉2=|2犬—4y+5|可得，

當2%—4y+5N0時，x2+y2=2x-4y+5,

即(x-iy+(y+2)2=10表示以(1,—2)為圓心，以亞為半徑的圓，

22

當2%—4y+5V。時，x+y+2x-4y+5=0f

即(x+l)2+(y-2)2=0,表示點(-1,2),

綜上，方程Y+y2=|2x-4y+5|表示的幾何圖形是一點和一圓.

故選：A.

題型三點與圓的位置關系

例5.(2023秋?福建三明?高三統(tǒng)考期末)(多選)己知圓的方程為f+y2-2x+4y=0,以下各點在圓內(nèi)的是()

A.(0,-1)B.(1,1)C.(2,-2)D.(3T)

【答案】AC

【分析】利用代入驗證法確定正確答案.

【詳解】02+(-1)2-2X0+4X(-1)=-3<0,A選項正確.

I2+l2-2xl+4xl=4>0>B選項錯誤，

22+(-2)2-2x2+4x(-2)=-4<0,C選項正確.

32+(-4)2-2x3+4x(^l)=3>0,D選項錯誤.

故選：AC

例6.（2022秋.高二校考課時練習）若點（a+l,a-l）在圓龍2+,2-2ay-4=0的內(nèi)部，則。的取值范圍是（）.

A.<2>1B.O<tz<1C.—1<。<—D.av1

5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，將點的坐標代入圓的方程計算，即可得到結果.

【詳解】由題可知，半徑「=^/7荷，所以aeR,把點+代入方程，

則（。+1）2+（。-1）2-2。（。-1）一4<0,解得a<1,所以故。的取值范圍是a<1.

故選：D

舉一反三

練習11.（2023?高三課時練習）直線彳-2丫-2%=0與^=%+%的交點在曲線/+〉2=25上，貝心=

【答案】±1

【分析】先聯(lián)立方程求出兩直線的交點坐標，再代入曲線的方程進行求解.

x—2y—2k=0x--4k

【詳解】聯(lián)立,得

y=x+ky=-3k

即直線x-2y-2左=0與y=x+上的交點為（-4匕-3人）,

因為兩直線的交點（~4k,-3k）在曲線/+V=25上,

所以（-4上了+（-34y=25,解得后=±1.

故答案為：±1-

練習12.（2023春?湖南?高三校聯(lián)考期中）若不同的四點4（-1,0）,3（2,-1）,。（5,0）,。（4,8）共圓，則實數(shù)

【答案】-1或5

【分析】先由A、B、C三點確定其外接圓，再計算即可.

【詳解】易知圓心在線段AC的垂直平分線上，該直線方程為x=2,設圓心坐標為（2/），半徑為乙所以

廬前=卜+1卜r,解得b=4,r=5,所以所求圓的方程為（x-2>+（y-4）z=25,

點￡>（。,8）在圓（了-2）2+”-4）2=25上，所以（"2『+（8-4）2=25,解得a=-l或a=5.

故答案為：-1或5

練習13.（2022秋?高三單元測試）直線/：2%-校一4+m=0與圓0"2+〉2-41+2丁=0的位置關系為（）

A.相交B,相切C,相交或相切D.不確定

【答案】A

【分析】易得直線/過定點（2,1）,判斷出點（2,1）與圓的位置關系即可得出結論.

【詳解】由直線/：2尤_"少一4+加=0,得2無一4—〃z（y-l）=0,

[y—1=0fy=1

令"4-0,則:-2,所以直線/過定點（2，1），

[/X4一UI%—乙

因為2?+F—4x2+2xl=-1<0,

所以點（2,1）在圓O:x2+y2—4x+2y=。內(nèi)，

所以直線/：2x一切一4+m=。與圓Ox?+/一4%+2》=0相交.

故選：A.

練習14.（2023?全國?高三專題練習）點（sin30°,cos30°）與圓月+>2J的位置關系是（）.

A.點在圓上B.點在圓內(nèi)C.點在圓外D.不能確定

【答案】C

【分析】由點到原點距離與圓半徑大小比較，即可判斷點、圓位置關系.

【詳解】因為解in?30。+cos?30。=*=1>/所以點在圓外.

故選：C

練習15.（2023?浙江?高三專題練習）（多選）己知圓的方程為（尤-7〃）2+（y-%）2=??,對任意的〃z>0,該圓（）

A.圓心在一條直線上B.與坐標軸相切

C.與直線y=-x不相交D.不過點（1,1）

【答案】ABC

【分析】對A：顯然圓心。在y=x上；對B：用圓心到坐標軸的距離判斷；對c：用圓心到直線丁=-％的距離

判斷；對D：將點（U）代入圓方程看是否有解.

【詳解】對于A：顯然圓心（〃4加）在'=了,故A對；

對于B：圓心（〃7,根）到坐標軸的距離均為m,等于圓的半徑加，故該圓與坐標軸相切，B正確；

對于c：圓心、（辦租）到直線y=-x距離”=患=應機〉機，故相離，C對；

對于D：將點（1,1）代入圓方程得（1-7〃）2+（1-m）2=m2=>"z2-4"z+2=0,

顯然A=8>0,故有解，所以可能過點（1,1）,D錯；

故選：ABC.

題型四圓的對稱的應用

例7.（2022-2023學年廣東省深圳中學高三上學期期中數(shù)學試卷）已知圓C:/一2"+4y=0關于直線

龍+3y+2=0對稱，尸（x,y）為圓C上一點，則2x-y的最大值為.

【答案】20

【分析】由圓C關于直線x+3y+2=0對稱列方程求“，由此確定圓的圓心坐標和半徑，設z=2尤-y,由直線

z=2x-y與圓C有公共點，列不等式求z的范圍及最大值.

2

【詳解】方程/+〉2-2辦+4y=0可化為+（>+2丫=a+4,

所以圓C:x2+y2一2辦+4y=0的圓心為C（a,-2）,半徑為正商，

因為圓C：Y+y2-2依+4y=0關于直線x+3y+2=0對稱，所以a+3x（-2）+2=0,所以。=4,令z=2x-y,則

時-（-2）-文5,

^22+（-1）2

所以|10-z|wl0,所以0WzV20,所以2x-y的最大值為20,

故答案為：20.

例8.（2023屆江西省新八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學（理）試卷）已知圓（x-1>+（y-1）2=1關于直線

◎+力-l=0（a>0/>0）對稱，則之士生的最小值為（）

ab

A.3B.3+2應C.2D.2+20

【答案】D

【分析】利用特殊值“1”將匕3化成積為定值的形式，再用基本不等式即可求解.

ab

【詳解】解：由題意可知，圓心（1,1）在直線依+處」二0上，

則Q+/?=1,又因為Q>0,b>0,

所以"2+2"一/+2ag+b）_b2+2a2+lab一"+2"十？〉?垃十?

abababab

當且僅當2=學且a+b=l即a=￡-1，6=2-0時取等號，

ab

此時取得最小值2+20.

故選：D.

料-反㈢

練習16.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈師大附中校考期末）（多選）已知圓爐+/-以-1=0,則下列說法正確的有

（）

A.關于點（2,0）對稱B.關于直線>=。對稱

C.關于直線元+3y-2=。對稱D.關于直線x-y+2=0對稱

【答案】ABC

【分析】求得圓心，結合對稱性確定正確答案.

【詳解】圓/+必-4工_1=0即（》一2）2+丁=5,

所以圓心為（2,0）,

A選項，（2,0）為圓心，所以圓關于點（2,0）對稱，A正確.

直線y=0,直線尤+3y-2=0過圓心（2,0）,所以圓關于直線y=。、

直線x+3y-2=0對稱，BC選項正確.

直線x-y+2=0不過圓心（2,0）,所以D選項錯誤.

故選：ABC

練習17.（2022?全國?高二專題練習）若圓/+/+m+4+尸=0關于直線4:%->+4=0和直線/2：》+3〉=。都對稱,

則D+E的值為.

【答案】4

【分析】根據(jù)圓x2+y2+z）x+Ey+F=0關于直線4:x-y+4=。和直線4：x+3y=0都對稱，由圓心在直線

4:x-y+4=。上，也在直線4：尤+3y=。上求解.

【詳解】圓X?+/+Dx+Ey+F=O的圓心為（一^，-1），

因為圓片+>2+￡>欠+g+尸=0關于直線/1:x-y+4=。和直線4:x+3y=0都對稱,

所以圓心在直線4：%->+4=。上，也在直線4：x+3y=。上,

0

0=6

解得

E=-2

所以O+E=4,

故答案為：4

練習18.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末）已知A,8是圓/+V一8x-4y+19=0的一條直徑上的兩個端點，則

OAOB=（）

A.0B.19C.V19D.1

【答案】B

【分析】設4尤,y）,則8（8-x,4-y）,利用數(shù)量積公式以及圓的方程得出答案.

【詳解】圓心坐標為C(4,2),設A(x,y),則3(8-x,4-y),OA-OB=Sx-x2+4y-y2=8x+4y-(8.r+4y-19)=19.

故選：B

練習19.(2022秋?廣東廣州?高三校考期末)已知圓C:f+V-2x+4y=0關于直線/:x+2ay=0對稱，則。=

【答案】J/0.25

4

【分析】由圓的方程可確定圓心，根據(jù)直線過圓心可構造方程求得結果.

【詳解】由圓C方程知：圓心C（l,-2）；

圓C關于直線/對稱，.??直線/過圓C的圓心C（l,-2）,.?.l—4a=0,解得：a=；.

故答案為：—.

4

練習20.（2023?北京??？寄M預測）點M、N在圓C:Y+;/+2"+23-4=0上，且M、N兩點關于直線x-y+1=0

對稱，則圓C的半徑（）

A.最大值為立B.最小值為走C.最小值為述D.最大值為逑

2222

【答案】C

【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得出圓心坐標和半徑的表達式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結合

二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由Y+9+2履+2wzy-4=。，++（y+m）-=k2+m2+4,

所以圓心C為（-%,-〃?），半徑為廠=J