2024屆高三《導(dǎo)數(shù)每日一題（20題）》試題含答案

高三《導(dǎo)數(shù)專題：每日一題》

Tyiy1-I-p

1.已知函數(shù)f{x}=—+k的極大值為士，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實

xe

數(shù)k的值；(2)若g(x)=e「巴，對任意xe(0,+oo),g(x)24(幻恒成立，(i)實

數(shù)。的取值范圍；(五)證明//(x)2asinx+f一1.

2.已知函數(shù)/(x)=(x-a)lnx-xlna,其中Q〉0,(1)當(dāng)/(x)的極值；(2)設(shè)

g(x)=/(》)+/(工)有三個不同極值點(diǎn)看,工2,馬，(i)實數(shù)a的取值范圍；(ii)證明

X

22

X；+%2+%3>3.

3.已知函數(shù)/(、)=%2一4%+1一5%(46出⑴討論函數(shù)gQ；)=e"(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)

時，函數(shù)/(X)有幾個零點(diǎn)？

V3、

4.已知函數(shù)/(%)=0%+(：05%(0?]?跖?！??)。(1)當(dāng)Q=；-時，求/(X)的單調(diào)遞增

區(qū)間；(2)若函數(shù)/(x)恰有兩個極值點(diǎn)，記極大值和極小值分別為M、m,求證：

“3

2M—m>—o

2

_1+2PXY1

5.已知函數(shù)/(x)=一廠+—,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)。(1)當(dāng)。=——時，求/(x)

2ea2

的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時，若/(x)有兩個極值點(diǎn)再、/，且/(石)+/(%)〉廳

恒成立，求左的最大值。

6.已知函數(shù)/(x)=alnx-L,g(x)=x+@,其中aeR。(1)若a=2,求函數(shù)

XX

y=g(x)—/(x)的極值；(2)若g(x)>/(x)對于任意的工式1同恒成立，求實數(shù)。的取

值范圍。

7.已知函數(shù)/(x)=aex+1,g(x)=Inx(1)討論函數(shù)〃(x)=g(x)+'的單調(diào)性;(2)

ex

若/(%)<-g(x)+l,求a的取值范圍.

8.已知函數(shù)/(x)=竺+lnx—X(Q〉O).(1)若〃=1,討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)

/(X)存在兩個極小值點(diǎn)七,％2，求實數(shù)。的取值范圍：(3)當(dāng)時，設(shè)

/(1)=/(X)-121nx-X+']'求證：/⑴21口(.\)―1%+.一]

IX)X

9.設(shè)函數(shù)/(x)=e'+i—QX(QcR),g(x)=beX+加6—2x0,加￡尺)(1)討論函數(shù)/(%)的單

調(diào)性；(2)若〃=1時，存在實數(shù)6,使得/(x)Vg(x)對任意XE&恒成立，求實數(shù)加的取

值范圍

10.已知函數(shù)/(x)=a(x+l)2—⑴當(dāng)a=g時，判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；(2)若

/(X)有兩個極值點(diǎn)七,%2(X1<%2)，證明：一！</(%!)<--.

2e

11

11.已知函數(shù)/(x)=alnx+5x02—1(D若曲線>=/(刈上任意一點(diǎn)處的切線斜率不小

于3,求。的最小值.(2)當(dāng)。=1,左e及時，若g(x)=/(x)-2Ax有兩個極值點(diǎn)毛,12,且

%1<x2,求證：g(x2)<-2.

12.函數(shù)/(x)=e'cosx(1)求/0)在(—乃，乃)上的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)xNO時，不等式

/'(x)<e2x(e2、-2ax)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

13.設(shè)函數(shù)/(x)=ae*+sinx-3x-2,e為自然對數(shù)的底數(shù)，aeR.

⑴若a<0,求證：函數(shù)/(x)有唯一的零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)/(x)有唯一的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

14.已知函數(shù)/(x)=，一/nx有兩個不同的零點(diǎn)X]、/,且再<々.

⑴求實數(shù)掰的取值范圍.

(2)求證：當(dāng)xe[l,+oo)時，(Inx)f(Inx)+m(lnx)2+Inx>2(x-1)

e

⑶求證：x1+x>3---

2m

15.完成下列問題：

x

⑴已知函數(shù)/(x)=2e-xcosx-sinx?xG[0571],求函數(shù)/(x)的最小值.

⑵若關(guān)于x的方程加xsinx+x=e"—l,(xc[0,?D有兩個實數(shù)根，求實數(shù)

m的取值范圍.

16.已知函數(shù)f(x)=3x-2alnx-l,aeR,(1)若〃=1,曲線y=/(x)與歹=6+1相

切，求左的值；(2)若不等式/(1)+2Qln(x+l)2x+2/對任意x￡[0,+oo)恒成立，求

a的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(x)=2x-2(a+2)&+alnx,a￡R(1)討論/(x)的單調(diào)性；(2)若函

2

數(shù)g(x)=/(X)-2(6Z+1)Inx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(xr,0),B(x2,0),0<^<x2,設(shè)

x0=+/JX2,其中常數(shù)尢"滿足條件X+〃=l,〃2%〉0,g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，試

判斷才(、0)的正負(fù),并說明理由

18.已知函數(shù)/(x)=e23〃—x—1,其中見6是實數(shù)且。/0.(1)當(dāng)。=工時，討論/(x)在

a2

1b

(0,+8)上的極值情況；(2)若函數(shù)/(X)20對一切X￡(——,+8)恒成立，求一的最小值.

aa

19.已知函數(shù)/(x)=(x+l)e*-L(x>0),g(x)=xex+alnx(aeR),且/(xJ=O.

x

(1)若a=l,且g(Xo)=0,試比較/與西的大小關(guān)系，并說明理由；

(2)若4=一1,且(%2+1)/(》2)=g(》2)，證明：

(i)一<工2<—；

923e

(ii)…二一2.?(參考數(shù)據(jù)：/〃331.098,5al.609,-?0.368)

3-2X]e

20.已知函數(shù)/(x)=""麻，其中

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-必。＞0)有且僅有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)。的取值范圍.

導(dǎo)數(shù)每日一題20題參考答案

1.(1)/⑺的定義域為(。，+與,廣(》)=上嵯,令尸(而>。,解得：0<x<e,令-。)<。,解得：X>e,

X

11I

所以當(dāng)xe(O,e),/(x)為增函數(shù)，當(dāng)xe(e,_H?)J(x)為減函數(shù)，所以x=e時,/(x)有極大值/(e)=—+k=——e，

ee

所以4=1;

(2)(/)由(1)知,/(》)=g+1,則g(x)N4(x),即/一區(qū)2的+。對Vxe(0,4w)恒成立，

XXX

所以+對D%w(0,+°o)恒成立，即尤?“一〃111%—口一420對也￡(。,+00)恒成立，

設(shè)/i(x)=xex-a]nx-ax-ah(x)N0對V%c(0,+oo)恒成立,h(x)=elnxex-a\nx-ax-a=^x+x-a(Jnx+x)-a

設(shè)In%+%=，,，ER,原問題轉(zhuǎn)化為：夕(，)=6'一以一對恒成立，

①若”0,當(dāng)/￡(?,0)時,0⑺=/一〃一々<1一〃一口，貝1」0]：一1)<1一〃(：一1|一4=0,不合題意；

②若。=0，則夕⑺=d20對V，￡A恒成立，符合題意

③若〃>0,則夕'⑺=/一〃,令。")>。/>111々,令。(，)<0/<111〃,所以當(dāng)，￡(-00,1110)時,夕”)為減函數(shù)，

當(dāng)/￡(lna,+oo)時,夕⑺為增函數(shù)，所以eONoQnGne111"—儀1114一1=一3111120,即1114<0,即0<1?1;

綜上

(1nx)

(")要證12/(%)>公M了+%2一1,只需證％2[：-+\>〃51111+一-1,即兀]11兀+%2>〃sinx+%?，即

力11%+1>々0111%,只需證111%+工>'^^,設(shè)尸(元)=111]+',6(兀)二龍一5111兀，因為尸’0)=,-3=^^

XXXXXX

所以F(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以F(x)>/⑴=1：因為G'。)=1-cos兀20恒成立，

所以G(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，所以G(x)>G(0)=0,則x〉sinx,則如<1,由(2)可知,04〃01,所以

X

asinxr「廣…門/、asinxi1asinx/口、十「廣…？”、.<

-----<1；所以方(%)>-----，即13rlnx+->------，得證.所以尤/(1)>asmx+x9-1成乂.

XXXX

2.(1)由題可得/'(x)=lnx+----lna=lnx--+l-lna,：./'(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，*//⑷=0,

XX

.,?尤￡(0,a)時，/'(元)<0,元￡(〃,+00)時—(%)>0,???/(九)在(。,。)單調(diào)遞減，在(。,+8)單調(diào)遞增，

,f(九)極小值=f(a)=-alnaf無極大值；

(2)(i)g'(x)=1(x)—:/]￡|=|j+:，nx+(ln〃—1)[*—1)由題可知g'(x)=°有三個不同的正實根

石、%2、毛，令/=尤G(0,+co),貝ijg(x)=0o1+：Jin[+(ln〃.-1J=0=In/---------j-----=0,

1

令砥)=3-型節(jié)苧二2力⑺二°有三個不同的正實根廣

,.14(lna-l)(r+1)--4f(lna-l)r+(6—41na)，+l.

hV)=-------------=---------------------：--------一三一9-，，//⑺=0有兩個不同的正實根,

G+1)2r(^+l)2z(r+l)

.jA=(6-41na)2-4>0

a＞Q2設(shè)//(力=0的兩個不同的正實根為加、n,且0＜機(jī)＜“，此時入⑺在

4In?—6>0

(0,m)和(2+8)單調(diào)遞增,(九九)單調(diào)遞減,又二,%⑴=0,*//z(Z)—>—00(/—>0),且人⑺f+oo(￡f+00),

.??/7⑺有三個不同的正實根，滿足題意，的取值范圍是(/,+8)；

(ii)令4=x；、t3=xl，由⑴知%=1,0<八<1<?3,且％、與為〃⑺=lnf-迎的正實根，

%)=0o2(lna-1)=<+1?11%不]),令夕⑺="+<,則?&)=夕色)，，八★’丁2叫

"1t-1夕⑺-(—)2

令G(t)^t---21nt=>G'(t)=l+A-*>0nG(t)在(0,1)單調(diào)遞增nGQ)<0QG(0,1))、G(t)>0(te(l,+oo))

ttt

；.夕⑺在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，^F(t)=(p(t)-(p(2-t),te(0,1),則

t-l-21nt2-t--1--21n(2-r)21------1------ln[?(2-/)]

F'W="(f)+"(2—力=:+-------------------=I>2-)-------：

(-1)2(-1)2(-1)2

111

Vre(0,l),.?.0</(2-力<1,令"(尤)=1—lnx(0<x<l),H'(x)=--->0,二H(x)在(0,1)單調(diào)遞

尤xx

增,：.F'(t)<0,尸⑺在(0,1)單調(diào)遞減，?1€(0,1),.?.尸&)>尸⑴=0=0&)>0(2-4),

夕(%)=夕?3),0%)>夕(2_%),二夕⑺在(1,+℃)單調(diào)遞增，：.t3>2-tl=>t1+t3>2,x；+x；>3

3.(1)".'g(^)=e"(x)=e*-ax+l)-l,/.g'(x)=ex(x2-辦+l+2x—a)=e*(x+l)(x+l-a)

①當(dāng)a<0時，a-l<-l,.?.當(dāng)xe(-oo,a-l),(T,+<?)時，g'(x)>0,當(dāng)xe(a-1,-1)時，g[x)<0,

.?.g(x)在S，a-1),(T+8)上單調(diào)遞增函數(shù)；在(a-L-1)上單調(diào)遞減.

②當(dāng)a=0時，a-l=-l,g'(x)>0,g(x)在R上為增函數(shù)；

③當(dāng)a>0時，.?.當(dāng)xe(-8,_l),(a-L+ao),g'(x)>0,當(dāng)尤e(-l,a-l),g'(x)<0,

；.g(x)在(-8,-1),(。-1,+8)上單調(diào)遞增函數(shù);在(-1M-1)上單調(diào)遞減.

(2)V1>0,"(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)g(x)的零點(diǎn)，

當(dāng)。>1時,由(1)知g(x)在(-8,T),(a-1,+8)上單調(diào)遞增函數(shù);在(Ta-l)上單調(diào)遞減

2

當(dāng)xw(-8,-l)時，g(x)單調(diào)遞增，因為g(-l)=『-：l>0,^(-a-l)=ea-1(2?2+3a+2)-l

令夕(a)=e-"T(2/+3a+2)-l,貝q“(q)=_仁"-(2/+3a+2_4a_3)=―片"-(2/_0_1)=―片?！?2°+1)(。_1)

7

a>1,.'.夕'(a)<0,夕(°)在。,+°°)單調(diào)遞減，g^—a—\^=(p^a^<(p(]^=——\<G,

二存在%e(-aT-l),使得g(X])=O,；.g(x)在(-8,一1)有1個零點(diǎn)A.當(dāng)xe,g(無)為減函

數(shù)，極小值點(diǎn)x=cz-1>0,且g(o)=。，g(x)在xe(-l,a-l)有1個零點(diǎn)N=0.當(dāng)(。-1,+動，g(x)為

增函數(shù)，Vg(a-l)<0,g(a)=efl-l>0,存在鼻e("1,。)，使得g(F)=。，g(x)在有1

個零點(diǎn)七.綜上，當(dāng)。＞1時，g（x）有三個零點(diǎn).

"

4.⑴函數(shù)/⑴的定義域為［0,兀］,當(dāng)°=與時，〃x）=￥x+cosx,2

=-sinx,

軍

兀

XG1時

令r（x）=Onx=（或等，當(dāng)xe（O,令時，/'（尤）＞0,〃x）單調(diào)遞增，33

調(diào)遞減，當(dāng)xe（子,左）時，尸（x）＞0,〃x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,§和（子,萬）；

（2）/（x）=ax+cos尤=＞/'（x）=a-sinx,因為函數(shù)恰有兩個極值點(diǎn)，所以方程/''Oha-sin尤=。有兩

個不相等的實根，設(shè)為和馬且為＜%,當(dāng)OVx（%時，函數(shù)y=sinx圖象關(guān)于直線x=］對稱，

則占+迎=萬，即sin*1=sin/=。，因為0＜xV〃，所以。《（0/），當(dāng)無仁（0,々）時，:（無）＞0，單調(diào)遞

增,當(dāng)xeQ”％）時，/'（x）＜0,/（x）單調(diào)遞減，當(dāng)xe?,萬）時，:（x）＞。，〃x）單調(diào)遞增，

所以為分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，即河=/（玉）=叼+cos%,m=f（x2）=ax2+cosx2,

于是有2河一機(jī)=2（叼+msx^）-{ax2+cosx2）,因為%+%=%，所以％2二萬一%，

所以2AZ一m=3叫+3cos玉一勿r,而sin項=〃，所以2M一根=3%sin%+3cos%一；rsin王,

設(shè)%（兀）=3%sinx+3cosx—Tfsinx,0＜x＜—,貝|=（3元一；r）cos%,令1（％）=0=%=工或工，

232

TTTTTT

當(dāng)?！从取瓷鷷r，〃（尤）＜0,版尤）單調(diào)遞減，當(dāng)工＜x＜工時，〃'（尤）＞0,版尤）單調(diào)遞增，

332

yr%333

所以當(dāng)X=§時，函數(shù)有最小值，即/z（x）1nin=〃（1）=5,因此有加了）、］,即2M-加2］.

5?⑴對〃x）求導(dǎo)得八x）=*T+「當(dāng)。=一時，?。?±一±一2=*/=一（21產(chǎn)+1）

匕匕口乙pppP

3

當(dāng)即x〉—ln2,/(x)<0；當(dāng)2e"—1<0,即x<-ln2,/(x)>0；故當(dāng)〃=一(時，/(%)的遞

增區(qū)間為（—，-ln2）,遞減區(qū)間為（-ln2,+a））.

⑵當(dāng)〃>°時,由（1）知?。?一>:，令f>。），則J+卜。的兩個不等實數(shù)解為

4

A=1—>0,a>0

a

11.11.

==?

~^2^~故彳---1---=1即a>4,-+e巧=Q,e小巧(或%+九2=ln〃)

eXleX2*

1

1X-11x

/&)+/(尤2)=或+—+—+——+—+—?

e』a2/冷產(chǎn)2a

=:+*￡,/3=T+2e”+叱=T+26+lna,故不等式)+〃9)>h/"卜亙成立

2a[2J2*"2a2a<2>

V+卡>J+2f恒成立⑴'由于">4,

故-L+2&+lna>3+ln4,故(*)

2+a+21na2+a+2In〃

>左恒成立,令。（。）=

—1+2A/^"+In〃—1+25/^+Ina

+a+21na)

則cp(a)=

(-1+2^/^>+Ina)

以①是(4,+?)上的增函數(shù)，9(a)>夕(4)="普=2

>0

3+ln4

：.k<2,即1最大值為2.

6.（1）由題意得：當(dāng)a=2時，我⑺…「InxK⑺=（X+?A3）,函數(shù)>=左（切在（0,3）單調(diào)遞減，

在（3,+8）單調(diào)遞增，所以當(dāng)％=3時，函數(shù)取得極小值左（3）=4-21n3,無極大值.

（2）由題意知：不等式XH—>flInX對于任意的xe[1,e]恒成立即，任意的X￡[1,el,X—fllnxd----->0恒成

XXX

立，設(shè)/z（x）=x—alnx+^^,x^[l,e],勿（x）=（x+l）（：〃I）,x^[l,e]

①當(dāng)。+1S1,即。（0時，①%）之0,/2（九）為增函數(shù)，"x）min=M1）=2+々>0,即。>一2,-2〈〃<0滿足

②當(dāng)〃+12e,即a2e-l時，〃（％）工。，M%）為減函數(shù)，工力⑴.=h（e）=e-a+^^->0,即

—min\）ee-1

,2+1

/.e-l<a<----滿足

e-1

③當(dāng)+時，即0<a<e—l時，當(dāng)％引1,q+1]時，h\x）<o,當(dāng)工￡（。+1,句時，h\x）>o

4

2

只需"(x)min="(a+1)=4+2—aln("+l)>。，即%(%)min=〃111(61+1)+1>0

222

設(shè)尸(a)=__ln(a+l)+l,其中0<"e—l,尸(a)=--ln(a+l)+l為減函數(shù),/<n(a)=F(e-l)=—>0

cicie—1

2

hx

F(a)=__ln(?+l)+l>0,故()<〃<?_］時,()^n=h(a+l)=a+2-aln(a+l)>0.

綜上：-2<a<

e-1

7.(1)因為%(x)=g(x)+“(')~~—=Inx+tzx,x>0,所以〃(x)=』+〃，若a0,貝I］〃(％)>。在(。,十刃)上

恒成立，故Mx)在(。，+8)上單調(diào)遞增，若。<0,則當(dāng)xe［o,-￡|時，〃(x)>0；當(dāng)xe(-時，

h'(x)<0.故〃(x)在［o,-上單調(diào)遞增，在［+8)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時，M外在(0,+動上單調(diào)遞增，當(dāng)。<0時，在,-口上單調(diào)遞增，在1：+［上單調(diào)遞減

(2)由4(x)<-g(x)+l等價于"一111rr+l=Tn(xe)+1,令,=杭*?>0),函數(shù)磯0=皿+1,

xexxext

則”0=更F，由。'⑺=。，可得l=e2,當(dāng)聞Od)時,")v。,夕⑺單調(diào)遞減；當(dāng)代仁+可

時，。'⑺>0,。⑺單調(diào)遞增.故0⑺min=e(e2)=-J,二。的取值范圍為1co，-J).

8.⑴函數(shù)/⑴的定義域為(。,+8),當(dāng)〃=1時，/(x)=—+1HX-X,

X

X、

3+幻=(i)e-x

所以/'(%)=S(x)=ex—x,x>0,則S，(x)=e》―］>0故S(x)為(。，+8)

XX

上的增函數(shù)，故S(x)>S(0)=l>0,當(dāng)日e(O,l)時,f'(x)<0,函數(shù)/(X)在(0,1)上為單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,4w)時，r(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+咐上單調(diào)遞增.

(2)由已知，乩、(^-x)(x-l)‘["http://xT)小，函數(shù)小)=彳在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+W上

f㈤=----3------=--一Y------(x〉0)e

單調(diào)遞減，所以"(X)("⑴=!，又當(dāng)x>0時，ex>l,O<w(x)<-,

ee

1Y

①當(dāng)a2—時，a—-0,此時當(dāng)工￡(。,1)時，/(尤)v。"(%)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)無時，

ee

八%)>0"(%)在(l,+oo)上單調(diào)遞增；所以/(%)極小值="l)="e-1,無極大值；

②當(dāng)0<。<：時，“(a)=￡<g=a,，“D=g>a,又“(X)在(。,1)單調(diào)遞增，所以/'(X)在(。,1)上有唯一零點(diǎn)

為，且去=。，設(shè)。(％)=21nx-x,x>e,則當(dāng)。(%)=----<0,故。(x)在(e,+8)上為減函數(shù).

X

5

1](iAIn-21n一1

所以。(x)<U(e)=2—evO,所以21n-<-,所以〃In-=—^~=a<a,u(V)=->a,

aa\Jln~21e

e°

a

又“(x)在(1,+8)單調(diào)遞減，所以/''(x)在(I,hl3〕上有唯一零點(diǎn)的，且￥=”,

故當(dāng)xe(O,xJ時，f'(x)<0J(x)在(。,占)上單調(diào)遞減；當(dāng)時，/'(x)>0,/(x)在(占,1)上單調(diào)遞

增；當(dāng)xw。,％)時，f'(x)<0J(x)在(1,%)上單調(diào)遞減；當(dāng)了€(了2，+°°)時，/'(》)>0,/(為在(%，+8)上單

調(diào)遞增；所以函數(shù)有兩個極小值點(diǎn).故實數(shù)。的取值范圍為[。，￡|.

⑶由已知F(x)=/(x)-(21nx-x+m，BPF(x)=--lnx-1,其定義域為Q+s),所以F，四="3二11

\XJXXX2

當(dāng)—(%)=0時，x=l或X=—ln”，因為〃￡(l,+oo),所以—ln〃<0,當(dāng)工￡(0,1)時，F(xiàn)\x)<0;當(dāng)x￡(l,+oo)

時，F(xiàn)(x)>0,所以方(%)在(0,1)單調(diào)遞減，在(l,y)單調(diào)遞增.所以產(chǎn)(%)之產(chǎn)⑴=ae-1.

所以要證方(%)N1nsy)-lnx+e-1,只需證1n(詞一ln%+e-1工枇-1,即證1n(“')-InxW(〃一l)e,

XXX

令G(x)=螞也■一Inx,則Gf(x)=\w~x~In(tzx)],ig/i(x)=l-x-ln(ax),則〃(x)=-l-—<0,

xxx

???/z(x)在(0,+⑹單調(diào)遞減，又/2出=1-卜0,以1)=-ln〃<0,故存在九使得

/z(x0)=1-In(ax0)-x0=0,即ln(ax0)=l-x0,/.G(x)<G(x0)=ln(%)—Inx。=--Inx0-1,

%與

記0(x)=g—Inx—1,在上單調(diào)遞減，O(xo)<0[：)=4+lna—1,故只需證a+lna—1v(a—l)e,即

m(a)=(e-l)(a-l)-lna>0,?/mf(a)=e-l——>0,/.皿。)在(1,+8)上單調(diào)遞增，機(jī)(a)>機(jī)⑴=0成立，

a

故原不等式成立.

9.⑴因為/(x)=e>i—。,當(dāng)小。時，Z(x)>0,此時“可在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，令r(x)=e"+i—a<0,貝！Jx<lna-1,令/'(x)=e>i—a>0,貝！,

所以“可在(-Una-1)上單調(diào)遞減，在(Ina-1,+a))上單調(diào)遞增；

⑵了(乃工且⑴等價于七一人吠+工一楨(。,h(x)=(e-b)ex+x-mb,貝！J/z'(x)=(e-b)e元+1,

若b<e,此時//(x)=(e-/?)e*+1>0恒成立，故/z(x)=(e-Z?)ex+x-成?單調(diào)遞增,

且/z(l+mb)=(e-b)e".+l>0,故h(x)=(e-b)e"+x-mb<0不恒成立，不合題意；

6

若》>e,則加“ie'+x對MR恒成立，設(shè)〃3=白—,則加⑴=侄一陣'+1,

bbb

令位x)>0,pl!jx<-ln(Z?-e),令后(%)<0,則X〉一In(Z?—e),故加(％)上(,一")'+'在(Yo,—lnS—e))

b

上單調(diào)遞增，在(-ln(6-e),y)上單調(diào)遞減，故雙XU=-(TnO-e))=7n(=e)T,所以

b

心一力十]所以原命題轉(zhuǎn)化為存在6>e,使得機(jī)2心與包匚，

bb

bA

—

A〃、ln(/?—e)—17r-j[、z7>,--------ln(Z?—e)[---------\-ln(Z?—e)

令“(6)=---------------,b>e,貝°機(jī)之“(?疝",u，b-e?1.b—e，

b2b2~b2

AA

令9(b)=--------+ln(Z?-e),顯然°S)=---------+ln(b-e)在b〉e時單調(diào)遞增，

b-eb-e

e

且0(2e)=---------+ln(2e-e)=0,所以當(dāng)e<b<2e時，(p(b)<0,"(b)<0,當(dāng)/?>2e時，

2e-e

°S)>O,/0)>O,即M(6)=Tn[一e)—1在e<b<2e時單調(diào)遞減,在6>2e時單調(diào)遞增，

b

故“(0同=“(26)=711(2：6)1=_),所以實數(shù)機(jī)的取值范圍是「LE).

2eee

10.(1)當(dāng)a=g時，f(x)=1(x+l)2-e\f'(x)=x+l-ex,記g(x)=x+l-e"則g[x)=1-e*,由

g<x)=l-e，>0得尤<0,由g'(x)=l-e，<0得尤>0,，g(x)即r(x)在區(qū)間(-°,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間

(0,+動上單調(diào)遞減，，尸(*)1_=/〈0)=。，，對“?—/'(x)40,.?.“X)在R上單調(diào)遞減；

⑵」/(x)有兩個極值點(diǎn)，，關(guān)于x的方程:(x)=2a(x+1)-e，=0有兩個根占,馬，

設(shè)0(x)=2a(x+l)-e",則夕'(x)=2a-e",

當(dāng)時，°’(尤)=2a-e“<0,0(x)即/(x)在R上單調(diào)遞減，；.r(x)=。最多有一個根，不符題意;

當(dāng)a>0時，由0'(x)>O,得X<ln2q,由0'(x)<0,得無>。2a,.,.夕(x)即廣(x)在區(qū)間(-oo,ln2a)上單調(diào)

遞增，在區(qū)間0n2a,+8)上單調(diào)遞減.且當(dāng)X-時，/'(x)f-co,當(dāng)XFE時，/'(尤)f-oo,

要使/'(x)=。有兩個不同的根，必有(⑴.=r(ln2?)=2a(In2a+1)-2。=2a\n2a>0,解得。>g.

1e%

,=—<0,r(0)=2a-l>0,又/'(xj=2a(玉+l)-e』=0,，“二

ezI%十11

iii

「?/(再)=Q(玉+1)9—e再=5(%i+l)e"i-e』=a(%]-l)e*,/z(x)=—(x-l)e%(-1<x<0),

則〃(村=3以<0,；./7(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，X/(O)=a-l>-1,

7

e2e

3A29

9

11.⑴由題意知：X>。，切線斜率/("=2+尤23,QX--+-

—所以心“所

274

以。的最小值為J9.

4

(2)g(x)=/(%)-2kx=Inx+—x2-2Ax--(x>0),g'(x)='+x—2左.當(dāng)上時，

g'(x)=-+x-2k>2^x-2k=2-2k>0,(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號)，函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增無

極值.

當(dāng)左>1時，g<x)=Lx-2A=土竺蟲.由g'(x)=O,得/一2履+1=0，△=4仔-1)>。.設(shè)兩個根分別

XX

為不，巧，則玉+%=2左，X/2=l，其中0<%=左一,左2一1V1<％=左+J左2一1,所以g(x)在(O,xJ上單

調(diào)遞增，在(%，％)上單調(diào)遞減，在(入2,+8)上單調(diào)遞增，從而g(九)有兩個極值點(diǎn)不，巧，且不<%2.

1爐1%2

11^__3

2k=Xj+%2>%二,以g(%)=In/—~—2kx?—=Inx—--

2---F%2卜々-2=]口/~2~29

%222X?

即8(X2)=^nX2~~~~(X2>1)構(gòu)造函數(shù)/(5)=1-九一1-一—(%>1)，<0,所以%(%)在(L+8)

2222x

上單調(diào)遞減，且硝)=-2.故屋口)<-2.

12.(1)由題可得/'(x)=e'cosx-e*sinx=e"(cosx-sinx)=\/2excos1x+[，令:(x)>0,得

-T<%<7；令廣(x)<°，得-芳，?<X5所以外)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞

減區(qū)間為卜犯---和卜.

(2)由(x)=ex(cosx-sinx),e2x-lax>cosxs^nxgps^nxcosx+e2%-lax>0.

exex

^h(x)=SmX~C°SX+e2x-lax,貝1]/(%)=生笆+2匕2”—2a.設(shè)9(x)="(x),

當(dāng)xe[0,+co)時，4e3x>4,2夜sin]x+[20,所以“(x)20.

所以°(x)即、(x)在［0,+動上單調(diào)遞增，則”(x)2〃⑼=4-2a.

若。<2,則〃'(到2〃(0)=4-2。20,所以砥t)在［0,+動上單調(diào)遞增.所以砥v)》(0)=0恒成立，符合題意

8

若a>2,貝1]/(。)=4-2。<0,必存在正實數(shù)%,滿足：當(dāng)xe(O,x。)時，〃(x)<0,以盼單調(diào)遞減，

此時[7(x)</?(0)=0,不符合題意.綜上所述，。的取值范圍是(田,2].

13.⑴當(dāng)aVO時，:(x)=ae'+cosx-3<0恒成立，所以單調(diào)遞減，又〃0)=。一2<0,

出一1b/-3H3=看。>0,所以存在唯一的毛o)使得小。)=0,命題得證；

⑵由(1)可知，當(dāng)時，有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)。>0時，〃"=小一/一2+小設(shè)g")=‘二二尤一2十°,則g(“有唯一零點(diǎn)，

g，(x)=co，*_sinj+3x_1設(shè)內(nèi)(工)=cosx-sinx+3x-l,貝！j，(x)=-cosx-sinx+3>0,所以/z(x)單調(diào)遞

增，又刈0)=0,列表可知,g(x)在(-8,0)單調(diào)遞減,在(0,+8)單調(diào)遞增,即g(x)mi"=g(O)=a-2,

當(dāng)q>2時，g(x)>0恒成立，無零點(diǎn)，即。>2不符題意，

當(dāng)4=2時，g(x)i=g(0)=0,即g(工)僅有一個零點(diǎn)X=0,即4=2符合題意,

當(dāng)0<a<2時，g(x)mm=g(0)<0,因為g(T)=(l-sinl)e+4>0,g^1-lj>ae0'-3^1-1^-3=0^'-p-p0

所以存在玉e(TO),馬€(0,：-1]使得g(xJ=g(%)=0,即"(0,2)不符題意，

綜上，。的取值范圍為(-8,。]口{2}.

xx

14.(1)顯然x=0不是"%)的零點(diǎn)，令/(九)=。，則旭e二依題意，直線>=根與函數(shù)雙九)e=J的圖象

XX

有兩個交點(diǎn)，又g'(x)=e'(；一1)，當(dāng)x<l且XH0時，g'(x)<0,當(dāng)x>l),\

時，g'(x)>0,則函數(shù)g(x)在(-GO),(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+S)上單\

調(diào)遞增，當(dāng)x<0時，g(x)<0,當(dāng)尤一時，g(x)f+co,g(1)

=e,其草圖如下，____________?,

、0x

由圖象可知，實數(shù)機(jī)的取值范圍為(％+8)；\

(2)由(lnx)/(lnx)+〃z(lnx)~+lnx22(x-l),化簡得：(尤+l)lnx-2(x-l)N。，令

〃(x)=(x+l)lnx-2(尤-1),即證xe[l,+/)時，〃(x)20成立，因為“(x)=lnx+^-l,設(shè)

m(x)=lnx+--l,則加(x)=JiN。在xe[l,+e)上恒成立，所以〃7(x)=lnx+L_l在xe[l,+e)上單調(diào)遞

XXX

9

增，所以XE[1,+。)時，m(x)=lnx+--l>m(l)=O,

即”(x)