5.2-多元函數(shù)微分學(xué)

5.2多元函數(shù)微分學(xué)5.2.1多元函數(shù)5.2.2偏導(dǎo)數(shù)5.2.3全微分5.2.4多元復(fù)合函數(shù)微分法5.2.5多元函數(shù)極值5.2.1多元函數(shù)1.區(qū)域（1）的鄰域或（2）平面點(diǎn)集表示面上直線左邊且不包含直線平所有點(diǎn)的集合。上的（3）平面點(diǎn)集表示面上以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)部以及圓周平上的所有點(diǎn)的集合。（1）二元函數(shù)如果當(dāng)兩個獨(dú)立變量

與

在其特定的區(qū)域D中任取一組值時，第三個變量

按照確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，則稱變量

為變量

與的二元函數(shù)，記作其中

與

稱為自變量，函數(shù)

稱為因變量，自變量

與

的變化范圍稱為函數(shù)的定義域.函數(shù)值2.多元函數(shù)的概念例5.2.1

求函數(shù)的定義域及其在點(diǎn)處的函數(shù)值.

解由反正弦函數(shù)的定義可知即函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值為例5.2.2求函數(shù)的定義域.解要使

有意義，必須滿足即函數(shù)的定義域?yàn)槎瘮?shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義（可以除外），點(diǎn)是內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，如果當(dāng)以任意方式無限接近于時，無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A是二元函數(shù)

當(dāng)趨于極限，記為時的3.二元函數(shù)的極限例5.2.3

求極限解

例5.2.4

討論函數(shù)當(dāng)時極限是否存在？解考慮點(diǎn)沿著直線趨于點(diǎn)時，有這說明k取不同值時，的值也不同，所以不存在。

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).可寫成即4.二元函數(shù)的連續(xù)性5.2.2偏導(dǎo)數(shù)1.偏導(dǎo)數(shù)概念設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，固定，若極限存在，則稱此極限值為在處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作固定，若極限存在，則稱此極限值為在處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作如果函數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對

的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)仍是的函數(shù)，稱為

對

的偏導(dǎo)數(shù)，記作對

的偏導(dǎo)數(shù)，記作求時，只要將

看成常數(shù)對變量

求導(dǎo)，求時只要將

看成常數(shù)對變量

求導(dǎo).例5.2.5

求的偏導(dǎo)數(shù)（

）.解把

看成常量對

求導(dǎo)得把

看成常量對

求導(dǎo)得2.偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算例5.2.6

求解把

看成常量對

求導(dǎo)得把

看成常量對

求導(dǎo)得在點(diǎn)（1，1）處的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù)在（1，1）處的值，所以例5.2.7

解如果先求偏倒數(shù)運(yùn)算比較繁雜,但是若把函數(shù)中的

固定在

,則有從而例5.2.8求三元函數(shù)解將

看成常量，對

求導(dǎo)得將

看成常量，對

求導(dǎo)得將

看成常量，對

求導(dǎo)得二元函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是曲線切線的斜率。如是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。3.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。四個二階偏導(dǎo)數(shù)：4.高階偏導(dǎo)數(shù)例5.2.9

求.解

5.2.3全微分1.全微分如果函數(shù)

在處的全增量可以表示為是當(dāng)時比高階的無窮小，則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，稱為

在點(diǎn)

的全微分，記作

，即一般的，如果函數(shù)

在點(diǎn)處可微，則

在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且二元函數(shù)全微分的概念與公式，均可以直接類推到三元及三元以上的函數(shù).例如：若三元函數(shù)

的三個偏導(dǎo)數(shù)都存在且連接，則其全微分表達(dá)式為例5.2.10

求函數(shù)在點(diǎn)（2，1）處，當(dāng)時的全增量與全微分.解全增量全微分例5.2.11

求函數(shù)在點(diǎn)（2，1）處的全微分.解

所以例5.2.12

求函數(shù)的全微分.解

所以當(dāng)很小時，有于是有兩個近似公式與2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用例5.2.13

計(jì)算的近似值解：取有5.2.4多元復(fù)合函數(shù)微分法1.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則法則：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處都具有偏導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)（x,y）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，并有求導(dǎo)公式:例5.2.14設(shè)求解

例5.2.15

設(shè)求解這是一個自變量兩個中間變量

的復(fù)合關(guān)系，則z對x

的全導(dǎo)數(shù)為例5.2.16

設(shè)解：記（表示

對第一個中間變量的偏導(dǎo)數(shù)）（表示

對第二個中間變量的偏導(dǎo)數(shù)）則2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則(1)一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式，即(2)二元隱函數(shù)求導(dǎo)公式例5.2.17

設(shè)解設(shè)則所以例5.2.18

設(shè)求解令則所以5.2.5多元函數(shù)極值設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，對于該領(lǐng)域內(nèi)異于的點(diǎn)如果都有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值（或極小值），極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使得函數(shù)取極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).例如，函數(shù)在點(diǎn)（0,0）處有極小值,這一函數(shù)的圖形是圓錐曲面，點(diǎn)（0,0,0）低于其周圍所有的點(diǎn).此圓錐面上極值存在的必要條件：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)處有極值，且在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，處的兩個偏則滿足方程組的點(diǎn)

稱為函數(shù)

的駐點(diǎn).極值存在的充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，又令(1)當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)處有極值，且當(dāng)時有極大值;時有極小值;當(dāng)(2)當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)處無極值;(3)當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)處可能有也可能沒有極值.求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)

極值的步驟：(1)解方程組

,求出駐點(diǎn)；(2)對于每個駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值；(3)定出的符號，據(jù)此判定出極值點(diǎn)，并求出極值.例5.2.19

求函數(shù)的極值.解先解方程組得駐點(diǎn)(0,0),(2,2).

再求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)處，且所以函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處有極大值在點(diǎn)(2,2)處，點(diǎn)(2,2)處無極值.所以函數(shù)在2．最大值與最小值設(shè)函數(shù)

在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)在D上必能取得最大值和最小值.元函數(shù)類似，與一可以先求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的一切駐點(diǎn)及偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)的函數(shù)值，上的最大值與最小值,以及函數(shù)在區(qū)域邊界比較這些數(shù)值的大小，大(或最小)的一個便是所求函數(shù)的最大(或最小)值.其中最對于實(shí)際問題，往往可以從問題本身能斷定它的最大值(或最小值)一定在區(qū)域D內(nèi)部取得，而函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，定取得最大值(或最小值)。那么，可以肯定函數(shù)在該駐點(diǎn)一例5.2.20

求函數(shù)在圓域上的最大值.解

令得駐點(diǎn)(0,0),又在圓周上，，相比較,函數(shù)的最大值為3.例5.2.21

要用鐵板做一個體積為3立方米的有蓋長方體水箱，問當(dāng)長、寬、高各取多少時用料做省?解設(shè)水箱長x米，寬y米，高z米，則體積為xyz=3立方米，即此水箱所用材料的面積為令解此方程組，得根據(jù)題意可知，水箱所用材料面積的最小值一定存在，并在區(qū)域內(nèi)取得；又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，所以可以推斷S在處取得最小值，即水箱的長、寬、高都為米時，

水箱所用材料最省.3.條件極值條件極值的求法，有以下兩種方法：(1)轉(zhuǎn)化為無條件極值對一些簡單的條件極值問題，往往可利用附加條件，消去函數(shù)中一些自變量，轉(zhuǎn)化為無條件極值.中利用條件如例5.2.21消去S中的變量z

后，轉(zhuǎn)化求二元函數(shù)的極值，此時自變量x,y不再有附加條件，于是便轉(zhuǎn)化為無條件極值.(2)拉格朗日乘數(shù)法考察函數(shù)在滿足約束條件時的條件極值問題，是拉格朗日乘數(shù)法.求解此問題的常用方法拉格朗日乘數(shù)法的具體求解步驟如下：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(稱為拉格朗日函數(shù))其中為待定系數(shù)，