吉林省重點(diǎn)高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

吉林省重點(diǎn)高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則，，的大小順序?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．2．供電部門對(duì)某社區(qū)1000位居民2019年4月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量分為[0,10)，[10,20)，[20,30)，[40,50]五組，整理得到如下的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．4月份人均用電量人數(shù)最多的一組有400人B．4月份人均用電量不低于20度的有500人C．4月份人均用電量為25度D．在這1000位居民中任選1位協(xié)助收費(fèi)，選到的居民用電量在[30,40)一組的概率為13．已知平面向量，且，則（）A． B． C． D．4．若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,1A．sinα=1C．cosα=25．l：的斜率為A．﹣2 B．2 C． D．6．長(zhǎng)方體中，已知，，棱在平面內(nèi)，則長(zhǎng)方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是A． B． C． D．9．某市在“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇前夕，在全市高中學(xué)生中進(jìn)行“我和‘一帶一路’”的學(xué)習(xí)征文，收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖．又已知全市高一年級(jí)共交稿2000份，則高三年級(jí)的交稿數(shù)為（）A．2800 B．3000 C．3200 D．340010．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為（）A． B．0 C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數(shù)，的最大值為，則的值是________.12．已知點(diǎn)，,若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.13．在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，為球心，，，，，則球的體積與三棱錐的體積之比是_____.14．在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的對(duì)邊分別為a,b,c，若A=30°，a=7，b=215．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______.16．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜.18．某超市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售量，對(duì)其所在銷售范圍內(nèi)的1000名消費(fèi)者在端午節(jié)期間的粽子購(gòu)買量（單位：g）進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）求這1000名消費(fèi)者的棕子購(gòu)買量在600g～1400g的人數(shù)；（Ⅲ）求這1000名消費(fèi)者的人均粽子購(gòu)買量（頻率分布直方圖中同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．19．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求邊c的值；（2）求的面積20．設(shè)遞增數(shù)列共有項(xiàng)，定義集合，將集合中的數(shù)按從小到大排列得到數(shù)列；（1）若數(shù)列共有4項(xiàng)，分別為，，，，寫出數(shù)列的各項(xiàng)的值；（2）設(shè)是公比為2的等比數(shù)列，且，若數(shù)列的所有項(xiàng)的和為4088，求和的值；（3）若，求證：為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項(xiàng)；21．某市食品藥品監(jiān)督管理局開展2019年春季校園餐飲安全檢查，對(duì)本市的8所中學(xué)食堂進(jìn)行了原料采購(gòu)加工標(biāo)準(zhǔn)和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的檢查和評(píng)分，其評(píng)分情況如下表所示：中學(xué)編號(hào)12345678原料采購(gòu)加工標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分x10095938382757066衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分y8784838281797775（1）已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（精確到0.1）（2）現(xiàn)從8個(gè)被檢查的中學(xué)食堂中任意抽取兩個(gè)組成一組，若兩個(gè)中學(xué)食堂的原料采購(gòu)加工標(biāo)準(zhǔn)和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分均超過(guò)80分，則組成“對(duì)比標(biāo)兵食堂”，求該組被評(píng)為“對(duì)比標(biāo)兵食堂”的概率.參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由三角函數(shù)的輔助角公式、余弦函數(shù)的二倍角公式，正切函數(shù)的和角公式求得.【詳解】故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式、余弦函數(shù)的二倍角公式，正切函數(shù)的和角公式的三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖逐一計(jì)算分析.【詳解】A：用電量最多的一組有：0.04×10×1000=400人，故正確；B：不低于20度的有：(0.01+0.05)×10×1000=500人，故正確；C：人均用電量：(5×0.01+15×0.04+25×0.03+35×0.01+45×0.01)×10=22，故錯(cuò)誤；D：用電量在[30,40)的有：0.01×10×1000=100人，所以P=100故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖求解相關(guān)量，難度較易.頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法：每一段的組中值×頻率3、B【解析】試題分析：因?yàn)椋?，且，所以，，故選B.考點(diǎn)：1、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；2、平行向量的性質(zhì).4、B【解析】

利用三角函數(shù)的定義可得α的三個(gè)三角函數(shù)值后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P-1,1，故r=OP=所以sinα=【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先化成直線的斜截式方程即得直線的斜率.【詳解】由題得直線的方程為y=2x,所以直線的斜率為2.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查直線斜率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解析】

本題等價(jià)于求過(guò)BC直線的平面截長(zhǎng)方體的面積的取值范圍?！驹斀狻块L(zhǎng)方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍等價(jià)于，求過(guò)BC直線的平面截長(zhǎng)方體的面積的取值范圍。由圖形知,，故選A.【點(diǎn)睛】將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為可視的問(wèn)題。7、A【解析】

由題得，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【詳解】由題可得：，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于較易題．8、B【解析】

利用三角函數(shù)圖像平移原則，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角圖像變換，誘導(dǎo)公式，熟記變換原則，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.9、D【解析】

先求出總的稿件的數(shù)量，再求出高三年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的比例，再求高三年級(jí)的交稿數(shù).【詳解】高一年級(jí)交稿2000份，在總交稿數(shù)中占比，所以總交稿數(shù)為，高二年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級(jí)交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級(jí)交稿數(shù)為．故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖的有關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】直線過(guò)定點(diǎn)Q(2,1),所以點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)PQ垂直直線,即,選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，由的范圍可得的范圍，根據(jù)最大值可得的值.【詳解】∵函數(shù)＝2（）＝，∵，∴∈[，]，又∵的最大值為，所以的最大值為，即=，解得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和最值，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

根據(jù)直線方程可確定直線過(guò)定點(diǎn)；求出有公共點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)的斜率，即和；根據(jù)位置關(guān)系可確定的范圍.【詳解】直線可整理為：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，又直線的斜率為的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，從而確定臨界狀態(tài)時(shí)的斜率.13、【解析】

首先根據(jù)坐標(biāo)求出三棱錐的體積，再計(jì)算出球的體積即可.【詳解】有題知建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由圖知：平面，...故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14、32或【解析】

由余弦定理求出c，再利用面積公式即可得到答案?！驹斀狻坑捎谠讦BC中，A=30°，a=7，b=23，根據(jù)余弦定理可得：a2=b所以當(dāng)c=1時(shí)，ΔABC的面積S=12bcsinA=32故ΔABC的面積等于32或【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理與面積公式在三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題。15、【解析】

時(shí),,利用時(shí),可得,最后驗(yàn)證是否滿足上式,不滿足時(shí)候,要寫成分段函數(shù)的形式.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),=,又時(shí),不適合,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了由求,注意使用求時(shí)的條件是,所以求出后還要驗(yàn)證適不適合,如果適合,要將兩種情況合成一種情況作答,如果不適合,要用分段函數(shù)的形式作答.屬于中檔題.16、1【解析】

在方向上的投影為，把向量坐標(biāo)代入公式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求得.【詳解】因?yàn)?，所以，解得：，故填?【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足：，所以當(dāng)時(shí)，，即解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，;（2）因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和.18、（Ⅰ）a＝0.1（Ⅱ）2（Ⅲ）1208g【解析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子購(gòu)買量在的頻率，由此能求出這1000名消費(fèi)者的粽子購(gòu)買量在的人數(shù)；（Ⅲ）由頻率分布直方圖能求出1000名消費(fèi)者的人均購(gòu)買粽子購(gòu)買量【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）×400＝1，解得a＝0.1．（Ⅱ）∵粽子購(gòu)買量在600g～1400g的頻率為：（0.00055+0.1）×400＝0.62，∴這1000名消費(fèi)者的棕子購(gòu)買量在600g～1400g的人數(shù)為：0.62×1000＝2．（Ⅲ）由頻率分布直方圖得這1000名消費(fèi)者的人均粽子購(gòu)買量為：（400×0.0002+800×0.00055+1200×0.1+1600×0.0005+2000×0.00025）×400＝1208g．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率、頻數(shù)、以及頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）3【解析】

（1）由可得,利用正弦定理可得,即可求解；（2）先利用余弦定理求得,即可求得,再利用三角形面積公式求解即可【詳解】解:（1）因?yàn)?所以,即,則（2）由（1）,則,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理邊角互化,考查利用余弦定理求角,考查三角形面積公式的應(yīng)用20、（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；【解析】

(1)根據(jù)題意從小到大計(jì)算中的值即可.(2)易得數(shù)列的所有項(xiàng)的和等于中的每個(gè)項(xiàng)重復(fù)加了次,再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.(3)分別證明當(dāng)時(shí),若為等差數(shù)列則數(shù)列恰有7項(xiàng)以及當(dāng)數(shù)列恰有7項(xiàng)證明為等差數(shù)列即可.【詳解】(1)易得當(dāng),,,時(shí),,,,,.(2)若是公比為2的等比數(shù)列,且,則數(shù)列的所有項(xiàng)的和等于中每一項(xiàng)重復(fù)加了次,故.即,又,故,易得隨著的增大而增大.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故,此時(shí).(3)證明：先證明充分性：若,且為等差數(shù)列,不妨設(shè),則數(shù)列也為等差數(shù)列為的等差數(shù)列.且最小值為,最大值為.故數(shù)列恰有7項(xiàng).再證明必要性：若數(shù)列恰有7項(xiàng).則因?yàn)?故的7項(xiàng)分別為.又,可得,即.同理有,故為等差數(shù)列.綜上可知,若,則為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意分析與的關(guān)系,將中的通項(xiàng)用中的項(xiàng)表達(dá),再計(jì)算即可.同時(shí)也考查