2023年河北省邯鄲市六校高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知圓產(chǎn)+9一?+2尹1=0關(guān)于雙曲線。：=—十=1（。>0/>0）的一條漸近線對(duì)稱，則雙曲線C的離心率為

（）

A.J?B.5C.亞D.-

24

2.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向

后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

3.已知復(fù)數(shù)z滿足i-z=3+2i（i是虛數(shù)單位），則￡=（）

A.2+3iB.2—3zC.—2+3iD.—2—3，

4.設(shè)曲線y=a（x-l）-Inx在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為y=3x-3,則。=（）

A.1B.2C.3D.4

fx+2y<1

5.設(shè)龍，y滿足約束條件2x+yN-l,若z=-3%+2y的最大值為〃，則2x—j的展開式中一項(xiàng)的系數(shù)為（）

x-y<0、7

A.60B.80C.90D.120

6.tan570=()

A拒RGCn

A?-----B?-----O?73D?------

332

7.已知平面A5CDJ_平面且AB=3,AO=CO=6,硬是正方形，在正方形

4）石尸內(nèi)部有一點(diǎn)滿足聞民"C與平面AD/所成的角相等，則點(diǎn)M的軌跡長度為（）

44

A.B.16C.-71D.84

33

8.若不等式。訪（龍+1）-丁+2/>0在區(qū)間（0,+℃）內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

F9321(932}

A，|_21n2'而」B.121n2,而J

(9321(91

C.D.--,+=o

121n21n5」12In2)

9.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=4+3i,貝!)z的共鈍復(fù)數(shù)是()

B.2+iC.1+2/D.l-2z

10.為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計(jì)繪制如圖，其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù).若

該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.該市總有15000戶低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶

C.在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶

D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶

11.若/（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/（x+2）=-/（x）,則

A.“X）的值域?yàn)镽B.“X）為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期

C./（X）的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱D.函數(shù)“X）的零點(diǎn)有無窮多個(gè)

12.已知集合4={幻%>-1},集合5={x|x（x+2）<0},那么AU8等于（）

A.{x|x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知A、B、C、P是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中平面ABC,△A8C是正三角形，PA=AB=3,則該球

的表面積為.

14.已知函數(shù)/（x）=sin"+升eyeN）在［0,句上僅有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)g（x）=V^/+,則g（x）在

區(qū)間［0,句上的取值范圍為.

15.已知復(fù)數(shù)z=(m2—2)+(m—1)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)，〃的范圍為.

16.函數(shù)/(勸=|--1|+/+丘+9在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運(yùn)城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)

城知識(shí)問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)212202524134

(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z-N(M，198),4似為這1()0人得分的平均值(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求產(chǎn)(38.2<Z480.2)；

(2)在(1)的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

①得分不低于〃的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：

贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位：元)2050

2

概率

44

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：參考數(shù)據(jù)與公式：V198?14,若X-N.,/),則P(M—b<xV4+cr)=0.6826,

P(〃-2cr<XK〃+2b)=0.9544,-3b<XW〃+3b)=0.9974

x=a+2t

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為《Q為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，r軸正半

y=-t

17

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為加=。

3+sm0

(1)若。=一2,求曲線。與/的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過曲線C上任意一點(diǎn)尸作與/夾角為45。的直線，交/于點(diǎn)A，且|/%|的最大值為屈，求a的值.

19.(12分)如圖，已知三棱柱ABC-AB|G中，AABC與是全等的等邊三角形.

(1)求證：BC±AB1；

(2)若cos/耳在4=；,求二面角3—四。一A的余弦值.

20.(12分)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。+。=4.

14

(1)求一+一的最小值.

ab

(1V(1Y25

(2)證明：a+-+b+-

[a｝[b｝2

21.(12分)如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面ABC。是矩形，M是Q4的中點(diǎn),。。，平面48。。，且

PD=CD=4>AD=2.

(1)求AP與平面CM3所成角的正弦.

(2)求二面角M—CB—P的余弦值.

22.(10分)已知｛a,,｝是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5=45,a2+a6=l.

(I)求｛a,J的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛bn｝滿足：?+*+…+*=%+l(〃eN*),求｛，｝的前n項(xiàng)和.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

將圓f+y_4x+2y+l=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為（2,-1）.根據(jù)圓f+y2-4x+2y+l=0關(guān)于雙曲線

C：1（。>0/>0）的一條漸近線對(duì)稱，則圓心在漸近線上，、=；.再根據(jù)e=￡=Jl+（2j求解.

【詳解】

已知圓f+/_?+2y+1=0,

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2『+（y+l）2=4,

所以圓心為（2,-1）.

22

因?yàn)殡p曲線C：+-}=l（a>08〉0〉

所以其漸近線方程為y=±2》,

a

2

Yy2

又因?yàn)閳AM+V—4x+2y+l=0關(guān)于雙曲線C：J一=l（a>0,/?>（））的一條漸近線對(duì)稱,

Cl

則圓心在漸近線上，

所以2二.

a2

所以"三問卷

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程及對(duì)稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

2.B

【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】

“正面朝南”“正面朝北”分別用“人”“V”表示,

利用列舉法，可得下表，

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

解：由i?z=3+2i,得z=^2=0+22（T）=2_3i,

i-i

z=2+3z-

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出〃的方程即可求解

【詳解】

因?yàn)閥'=a—且在點(diǎn)（1,0）處的切線的斜率為3,所以。一1=3,即a=4.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題

5.B

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到“=5,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),

37

z=-3x+2y,即曠=一彳+—，故2表示直線與)'截距的2倍，

-22

根據(jù)圖像知：當(dāng)x=-l,y=l時(shí)，z=-3x+2)，的最大值為5,故“=5.

展開式的通項(xiàng)為：7；+1=C>(2X)A1_J=]=。125，(一1廣「告,

取r=2得到。項(xiàng)的系數(shù)為:《.25-2.(—1)2=80.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

6.A

【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可.

【詳解】

n

tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=to?30°=——.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

根據(jù)MB,MC與平面石戶所成的角相等，判斷出=建立平面直角坐標(biāo)系，求得M點(diǎn)的軌跡方程，由

此求得點(diǎn)M的軌跡長度.

【詳解】

由于平面ABC￡>_L平面ADEb,且交線為AO,ABYAD,CDrAD,所以AB,平面ADE/,C￡)_L平面ADEV.

所以ZBMA和ZCMD分別是直線MB,MC與平面ADEF所成的角，所以ZBMA=ZCMD,所以

tan=tanZGWD,即"=02,所以=.以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，貝U

AMMD

A(0,0),0(6,0),設(shè)M(x,y)(點(diǎn)加在第一象限內(nèi))，由MD=2AM得知。2=44"2,即

(x-6)2+/=4(^2+r),化簡得(x+2p+y2=42,由于點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，所以加點(diǎn)的軌跡是以G(-2,0)為

圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分.令x=0代入原的方程，解得)，=±26，故"倒,26)，由于G4=2,所以

rere47r

ZHGA=-,所以點(diǎn)M的軌跡長度為2x4=上.

333

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

8.C

【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)

aln(x+1)-d+2/>o在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(x)>g(x)在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)的解集

中有且僅有三個(gè)整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因?yàn)間'(x)=3f-4x,

所以g'(x)=0,

-4

...x=0或x=—,

3

4

因?yàn)?＜尤＜］時(shí)，g'(x)＜0,

/(3)>g(3)

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>g(x)在(0,+s)內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，只需［二八

aln4>33-2x32

"a\n5?43-2X42，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.

9.B

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共匏復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.

【詳解】

4+3i

由(l+2i)z=4+3i,得2=萌=2—i,所以三=2+i.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則，考查了復(fù)數(shù)的共飄復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000(戶)，A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000x12%=1800(戶)，B正確，

該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350(戶)，C正確，

該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000x4%=600(戶)，D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)和分析，這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基

礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.

【詳解】

“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(一幻=一/(幻，/(0)=0,

又/(x+2)=-f(x),f(尤+4)=-f(x+2)=又x),

即/(x)是以4為周期的函數(shù),于(4k)=f(0)=0(keZ),

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)；

因?yàn)閒(x+2)=-J(x),/[(x+l)+l]=/(-x),令f=l+x,則/(f+l)=/(lT),

即f(x+l)=/(l-x),所以/(x)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，

由題意無法求出了(X)的值域，

所以本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.

12.A

【解析】

求出集合3,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

：A={x|x>-1},B={x]-2<x<0},

:.A|J5={x[x>-2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.21%

【解析】

求得等邊三角形A8C的外接圓半徑，利用勾股定理求得三棱錐P-ABC。外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.

【詳解】

12r=---=:=2-\/3,r—y/3

設(shè)。?是等邊三角形的外心，則球心。在其正上方]PA處.設(shè)。C=r,由正弦定理得sin》也

MT

所以得三棱錐P-ABCD外接球的半徑R=J(以,-PA\+(OU=,所以外接球

2

21

的表面積為4TT/?2=44x—=21乃.

4

故答案為：21〃

p

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.-g,收+1

_4_

【解析】

先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出。的值，然后得到g(x)的解析式，采用換元法求解g(x)在句上的值域即可.

【詳解】

因?yàn)?。)=sin(3X+()公￡N)在［0,7r］上有兩個(gè)零點(diǎn)，

71_

CD7UH----2

所以[(yx+?兀714711

6—，勿乃+―，所以'所以且"N'

4471-

/乃+一<3乃

4

所以。=2,所以/(%)=sin2x+-\,

(4

所以g(x)=+sin2x=sinx+cosx+sin2x,

々sinx+cosx=V^sin(x+?)=f,所以sin2x='_i,所以g(x)=『+f_]=1+g

因?yàn)閤w[0,"],所以+?，系，所以&sinx+^W-l,V2],所以/

所以g(%)=fV24-———=y/2+1,g(x),=1一▲+!——=——，

v7,naxI2)46-mm122J44

所以g(x)w-|,V2+1.

故答案為：-二,6+1.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題，難度較難.對(duì)形如

y=sinx+cosx+asinxcosx的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令sinx+cosx=f,然后根據(jù)

(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的函數(shù)的值域，同時(shí)要注意新元/的范圍.

15.(1,72)

【解析】

由復(fù)數(shù)1=(〃/-2)+("1?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(/_2,加一1)在第二象限，得加2_2<0,且〃?一1>0,從而求出實(shí)數(shù)，”的

范圍.

【詳解】

解：1?復(fù)數(shù)z=(蘇一2)+(加一1?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)"一2,加一1)位于第二象限，.?.機(jī)2一2<(),且加一1>0,

?*<1<m<>/2?

故答案為：(1,、歷).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，解不等式“2一2<0,且m-1>()是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】

由題：函數(shù)/(%)=\x2-U+x2+kx+9在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

X2+|X2-1|+9丁”(0,1]

-k=——!----!—=\x,

X2x+—,xe(1,3)

---,XG(0,1]

等價(jià)于函數(shù)v=-Z,g(x)=X8恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

2x+—,XG(1,3)

x

作出大致圖象:

要有兩個(gè)交點(diǎn)，即一左￡(8,事

所以左e1—

故答案為：kG

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題恰當(dāng)變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形

結(jié)合求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)0.8185(2)詳見解析

【解析】

(1)由題意，根據(jù)平均數(shù)公式求得〃=66.2,再根據(jù)b=頁。14,參照數(shù)據(jù)求解.

(2)由題意得P(Z<〃)=P(ZN〃)=g,獲贈(zèng)話費(fèi)X的可能取值為20,40,50,70,100,求得相應(yīng)的概率，列出分布

列求期望.

【詳解】

35x2+45x12+55x20+65x25+75x24+85x13+95x14…

(1)由題意得------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------二00.2

100

二.〃=66.2

?.-<T=^/i98a14

P(66.2-14<Z<66.2+14)=P(52.2<Z<80.2)=0.6826

P(66.2-2xl4<Z<52.2)=1[P(38.2<Z<94.2)-P(52.2<Z<80.2)]=0.1359

綜上，P(38.2<Z<80.2)=P(38.2<Z<52.2)+P(52.2<Z<80.2)=0.1359+0.6826=0.8185

(2)由題意得P(Z<Z/)=P(Z=獲贈(zèng)話費(fèi)X的可能取值為20,40,50,70,100

n/v133//八、1339

P(X=20)=—x—=—，P(X=40)=—x—x—=—

"72481724432

__/_1111311133

P(Xz=50)——x—=—,P(X=70)——x—x—H—x—x—二—

‘7248'724424416

1111

P(X=100)=-X--X—=——

24432

X的分布列為:

X20405070100

3931

P

83281632

.-.EX=20x-+40x—+50xl+70x—+100x—=—

832816324

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

18.(1)(—2,0),(1弓)；(2)a=l或a=—1

【解析】

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線/的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，即可求得曲線C與/的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由直線/的普通方程為x+2y-a=0,故。上任意一點(diǎn)P(2cosa,J^sina),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得P到

直線/的距離，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，即可求得答案.

【詳解】

12

(1)???F=

3+sin26

3p2+p2sin2^=12.

x=pcosG

得3f+4y2=i2,

y=psin3

22

曲線C的直角坐標(biāo)方程為土+二=1.

43

當(dāng)a=—2時(shí)，直線/的普通方程為x+2y+2=0

x+2y+2=0X=1

x=-2

由?:x2y2解得7或"3.

—+—=1y=0y=——

1432

從而C與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),

(2)由題意知直線/的普通方程為x+2y—a=0,

x=2cos?

C的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))

y-\r/3s\na

故。上任意一點(diǎn)P(2cosa.>/3sina)至1]/的距離為

4sin(a+￡

12cosa+25/3sina-。I

~7T

x/24sin[a+2

貝"*=—47

sin45

在早工后所以a=l；

當(dāng)aNO時(shí)，IPAI的最大值為

V5

當(dāng)a<0時(shí)，IPA|的最大值為避牛包=所，所以a

綜上所述，“=1或。=一1

【點(diǎn)睛】

解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，和點(diǎn)到直線距離公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬

于中檔題.

19.(1)證明見解析；(2)好.

5

【解析】

(1)取〃C的中點(diǎn)。，則與。_L8C,由△ABC是等邊三角形，得AOLBC,從而得到平面，由此能

證明BC±AB]

(2)以Q4,OB,。片所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結(jié)

果.

【詳解】

(1)取8C的中點(diǎn)0,連接AO,B0,

由于△MC與AB|BC是等邊三角形，所以有AOJ.BC,Bt0LBC,

且4。04。=。，

所以BC_L平面耳A。，481<=平面44。，所以BC_LAq.

(2)設(shè)=△ABC與△48c是全等的等邊三角形，

所以BB[=AB=BC=AC=BtC=a,

I)3

又cosNB]BA=—>由余弦定理可得ABy——ci~+cr—2a*ax—=―cr,

442

在VA80中，有AB；=AO2+302,

所以以04,OB,。片所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

(\

B,0,0,—a

I2J

百工1n

n-AB-0--—=0

設(shè)平面ABB1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),_=>

n?AB}=0

——出。尤4+——出az=0n

22

令x=l,則〃=(1,6,1),

又平面8cA的一個(gè)法向量為而=(1,0,0)，

_n-mlxl+V3x0+lx0_V5

所以二面角—的余弦值為c°E而

>/5xl-5

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直，利用向量法求二面角的余弦值,

屬于中檔題目.

9

20.(1)-；(2)見解析

4

【解析】

(1)利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.

(2)直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.

【詳解】

14

(1)因?yàn)椤?。=4,所以一+丁=

ab

因?yàn)閍>0,h>0,所以色..4(當(dāng)且僅當(dāng)2=蟲，即a==