2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解析幾何初步 2

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第1課時(shí)直線的傾斜角和斜率

預(yù)

習(xí)

核心必知----自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

*

引

問題思考——辨析問題解疑惑區(qū)

［核心必知］

1.直線的傾斜角

（1）傾斜角的概念.

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與X軸相交的直線1,把X軸（正方向）按逆時(shí)針方向繞

著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線1重合所成的角,叫作直線1的傾斜角.

（2）傾斜角的取值范圍.

直線的傾斜角a的取值范圍是0。W.當(dāng)直線1和x軸平行時(shí)，傾斜角為0°.

2.斜率的概念及斜率公式

把一條直線的傾斜角不等于90°的角。的正切值叫做這

定義

條直線的斜率，通常用K表示，即4=tana

當(dāng)a=0°時(shí)，k=Q

當(dāng)0°<<z<90°時(shí)，A>0

取值范圍

當(dāng)90°<。<180°時(shí)，k<0

當(dāng)a=90°時(shí)，斜率不存在

續(xù)表

經(jīng)過兩點(diǎn)A（xi,刃），為（如外）（X1WX2）的直線的斜率公

過兩點(diǎn)的直線

的斜率公式式為《=更二21

A2—X1

［問題思考］

1.由直線傾斜角的大小能確定直線的位置嗎？

提示：只由直線的傾斜角不能確定直線的位置，因?yàn)閮A斜角只反映了直線相對(duì)x軸的傾

斜程度.

2.“斜率是傾斜角的正切值”這句話對(duì)嗎？

提示：不對(duì).90°角的正切值是不存在的.

3.直線的傾斜角越大，直線的斜率也越大，這句話對(duì)嗎？

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提示：這句話是不對(duì)的，當(dāng)傾斜角a=0°時(shí)，A=0；

當(dāng)0°<a<90°時(shí)，k>0,并且隨a的增大A也增大；

當(dāng)a=90。時(shí)，“不存在；

<ff<180°時(shí)，k<0,并且隨a的增大"也增大.

90°課

堂

互

知識(shí)突破一能力提升

動(dòng)

區(qū)II

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

師生共研突破重難shishenggongyantupozHongnan

知識(shí)點(diǎn)1求傾斜角K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

講一講

1.一條直線/與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為a(0°<ff<90°),

則其傾斜角為()

A.a

B.180°-a

C.180°一?；?0°-a

D.90°+?；?0°-a

［嘗試解答］選D如圖，當(dāng)直線/向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為90°+。；

當(dāng)直線/向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí)，傾斜角為90°—a.

互動(dòng)探究

若把條件改為“直線向上的方向與x軸的負(fù)方向所成的角為其他不變，結(jié)論將如

何？

選B通過畫圖可知.

當(dāng)a為銳角時(shí)，/的傾斜角為180。一a.

當(dāng)a為鈍角時(shí)，/的傾斜角為180。一a.

當(dāng)。為90°角時(shí)，，的傾斜角為90°.

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類題?通弟

求直線的傾斜角主要是根據(jù)定義來求，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角,

有時(shí)要根據(jù)情況討論，討論的常見情形有：①0°角；②銳角；③90°角；④鈍角.

練一練

1.設(shè)直線Z與x軸的交點(diǎn)為P,且傾斜角為a,若將其繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。，

得到直線人的傾斜角為。+45。，試求a的取值范圍.

解:由于直線，與x軸相交，可知aW0°,又a與?+45°都是直線的傾斜角，

.*.0°<a<180°且0°Wa+45°<180°,解得0°<ff<135°.

斜率公式-K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

講一講

2.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)/(—I,1),5(1,1),C(2,y/3+l).

(1)求直線/SBC,4C的斜率和傾斜角；

⑵若，為的邊/打上一動(dòng)點(diǎn)，求直線沖斜率次的變化范圍.

［嘗試解答］(1)由斜率公式得

在區(qū)間［0,it)范圍內(nèi).

Vtan0°=0,，/占的傾斜角為0°.

tan60°=/,的傾斜角為60°.

、后

tan30°=七，的傾斜角為30°.

(2)如圖，當(dāng)斜率人變化時(shí)，直線。繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線。由力逆時(shí)針轉(zhuǎn)到四時(shí)，

直線切與48恒有交點(diǎn)，即，在線段上，止匕時(shí)次由發(fā)增大至I］做，所以人的取值范圍為

類題?通由

1.在應(yīng)用斜率公式求斜率時(shí)，要注意兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則斜率不存在,

傾斜角是90°；若不相等，才能用斜率公式求斜率.

2.數(shù)形結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化是解決數(shù)學(xué)問題的常用思想方法和觀點(diǎn).當(dāng)直線繞定點(diǎn)由與x軸

平行(或重合)位置按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與y軸平行(或重合)時(shí)，斜率由零逐漸增大到十

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8(即斜率不存在),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸平行(或重合)時(shí),斜率由零逐漸減小至一8(斜

率不存在).這種方法即可定性分析傾斜角與斜率的關(guān)系，也可以定量求解斜率和傾斜角的

取值范圍.

練一練

2.已知直線/經(jīng)過兩點(diǎn)A⑵1)和/(?2)EdR).

(1)求直線，的斜率；

(2)若直線，的傾斜角a為45°,求0的值.

解：(1)當(dāng)卬=2時(shí)，殳1=至=2,.,.直線/垂直x軸，

故直線，的斜率不存在.

1

當(dāng)它2時(shí)，直線/的斜率仁力

m-2

(2)V。=45°,k=tana=l.

----=1,BPzz7—2=1,/.m=3.

m—1

知識(shí)點(diǎn)3直線斜率的應(yīng)用?-----K拔高知史?拓寬提施】I

講一講

3.已知三點(diǎn)/(I,-1),庾3,3),<7(4,5).求證：三點(diǎn)在同一條直線上.

Q-I-15—3

［嘗試解答］證明：??,廄={=2,^=—=2,

3—14—3

??kAB-kec.

又直線四和6c有公共點(diǎn)屬4B,，三點(diǎn)共線.

類題?通決

任意兩點(diǎn)連線斜率相等，三點(diǎn)一定共線，反之三點(diǎn)共線任意兩點(diǎn)連線的斜率不一定相等

(可能都不存在).解這類問題時(shí)要先對(duì)斜率是否存在作出判斷，必要時(shí)要先進(jìn)行討論，然后

再下結(jié)論.

練一練

3.已知三點(diǎn)/(a,2),8(3,7),以一2,一9a)在同一條直線上，求實(shí)數(shù)a的值.

解：B,。三點(diǎn)共線，且3W—2,

:.Ba"的斜率都存在，且或=標(biāo)

7-25-9a-79a+7

乂°施===='k,lc=-2-3

.9a+7__5

"■5=3~a

2

解得a=2或a=~

y

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解題高手II易錯(cuò)題審題要嚴(yán)，做題要細(xì).一招不慎,滿盤皆輸，試試能否走出迷宮！

設(shè)直線，過點(diǎn)力（7,12）,6（〃13）,求直線）的斜率及傾斜角a的取值范圍.

13-12___1

［錯(cuò)解］

m—1m—T

當(dāng)加>7,即一^7〉0時(shí)，k>Q,aE（0,vh

當(dāng)成7,即」^〈0時(shí)，k<0,兀I

m—7）

［錯(cuò)因］本題做錯(cuò)的原因是沒有搞清斜率A與傾斜角。之間的關(guān)系.任意直線的傾斜

角都存在，但當(dāng)q=90。時(shí)，直線的斜率是不存在的；反之，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直

線的傾斜角是90°.錯(cuò)解忽視了卬=7時(shí)，斜率不存在的情況.

［正解］當(dāng)/=7時(shí)，直線與x軸垂直，斜率不存在.

傾斜角。=90°.

,13-12]

當(dāng)rz/#7時(shí)，k=-----

m-T

當(dāng)力>7,即37>0時(shí)，k>0,ae|0,

m—1\2)

1(JI

當(dāng)水7,即一點(diǎn)0時(shí)，k<0,ae—,

m—1JI

訓(xùn)

達(dá)標(biāo)練一能力練練

II提

學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升，提速能

生趁熱打鐵消化所學(xué),提能，每課一檢測(cè)，步區(qū)

既練速度又練準(zhǔn)度步為營步步贏

、學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.下列命題

①任何一條直線都有唯一的傾斜角；

②任何一條直線都有唯一的斜率；

③傾斜角為90°的直線不存在；

④傾斜角為0°的直線只有一條.

其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

解析：選B①對(duì)，由傾斜角的定義可知.

②錯(cuò),當(dāng)直線與y軸平行（或重合）時(shí)其傾斜角為90°,斜率不存在.

③錯(cuò)，傾斜角為90°的直線斜率不存在，但這樣的直線有無數(shù)條，它們與y軸平行（或

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重合).

④錯(cuò)，傾斜角為0°的直線也有無數(shù)條，它們都與X軸平行或重合.

2.斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)(3,5),9,7),(-1,6)三點(diǎn)，則&6的值是()

A.a=4,b=0

B.a=-4,b=~3

C.a=4,Z?=—3

D.a.=-4,6=3

7—5A一5

解析：選C由2=-得H=4,b=-3.

a一3一1一3

3.如圖，直線人、b、A的斜率分別為左，在，左，貝版)

A.左VA2VA'3

B.左〈左〈左

C.左VA2VAi

D.4VA3VA2

解析：選D由題圖可知直線，的傾斜角為鈍角，所以左＜0；直線4與直線心的傾斜

角均為銳角，且直線12的傾斜角較大，所以左＞左＞0.所以4＞左＞公

4.若加＞0,斜率為必的直線上有兩點(diǎn)P(m,3),0(1,4，則此直線的傾斜角為.

m—3

解析：由題意知/---,解得勿2=3,

1—ZZ7

.\m=y[3,即tan。=十，，。=60°,?,?直線的傾斜角為60°.

答案：60°

5.一束光線/經(jīng)過/(—1,1)和。(0,0)兩點(diǎn)，經(jīng)x軸反射后得到反射線T,則反射線

r的傾斜角和斜率分別為,.

1—0

解析：履==下=一1,...直線，的傾斜角為135。，反射線7的傾斜角為45。，

反射線7的斜率的=tan45°=1.

答案：45°1

6.如圖，四邊形26c為等腰梯形，其中上底長(zhǎng)為1,下底長(zhǎng)為3,高為1,求梯形各

邊所在直線的傾斜角和斜率.

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解：如圖，分別過點(diǎn)6,C作x軸的垂線，垂足分別為，和￡,

則有數(shù)=功=的=1,CE=BD=\,

所以C(l,1),6(2,1),力(3,0)”

cr11—0

所以嬴=1=1,kAB=-1,kOA=kBc=0,

所以如，AB,BC,。四邊所在直線的傾斜角分別為0°,135°,0°,45°.

Z課下能力提升（十四）

一、選擇題

1.已知直線，的傾斜角為45°,直線心的傾斜角為9,若Z與4關(guān)于y軸對(duì)稱，則

9的值為（）

A.45°B.90°

C.135°D.180°

解析：選C由對(duì)稱性知。=180°-45°=135°.

2.過點(diǎn)欣一2,a）,Ma,4）的直線的斜率為一；，則a等于（）

A.-8B.10

C.2D.4

4—a1

解析：選B?.?A=F77=-5，???a=10.

3.直線/過點(diǎn)4（1,2）且不過第四象限，那么/的斜率的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[0,1]

1-

3--D

C.20,

_

解析：選A如圖，當(dāng)"=0時(shí)，不過第四象限，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)也不過第四象限.

.?.由小三=2,知M[0,"

4.已知正方形的一條對(duì)角線在y軸上，則它的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為（)

A.0,1B.0,-1

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C.1,11D半普

解析：選C正方形的一條對(duì)角線在y軸上，則另一條對(duì)角線在x軸上，所以兩條鄰邊

所在直線的傾斜角為45°,135。，即斜率分別為1,-1.

5.將直線/向右平移4個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位后仍回到原來的位置，則此直線

的斜率為()

解析：選C設(shè)點(diǎn)戶(a,6)是直線，上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線/按題中要求平移后，點(diǎn)、P

也做同樣的平移，平移后的坐標(biāo)為(a+4,6—5),由題意知這兩點(diǎn)都在直線/上，.?.直線7

5

的斜率為"=干。

4,

二、填空題

6.若過點(diǎn)尸(1—a,1+a)和0(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析：“=笄二一"一=如，因?yàn)閮A斜角為鈍角，

3——a2十a(chǎn)

所以k<0,即fV0,解得一2VdVL

2十a(chǎn)

答案：(-2,1)

7.若4(2,2),B(a,0),C(0,6)(a6#0)三點(diǎn)共線，貝的值等于

解析：由題意知直線4?的斜率與直線4C的斜率相等，又因?yàn)?。兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不等,

由斜率公式得紇|=汽，整理得

a-A012ab1

1

在黑

2一

8.若三點(diǎn)43,1),B(—2,C(8,1)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為—

.,k—11—k1—10

r=

角牛析：RAB-2_5-'嬴=8一3=)=0,

要使4B、。三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，需三點(diǎn)不共線，

1—k

即k5Wkc,―-W0.

5

答案：(-8,1)U(1,+°0)

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三、解答題

9.已知戶(3,-1),〃(5,1),Ml,1),直線■/過9點(diǎn)且與線段腑相交，求:

⑴直線/的傾斜角?的取值范圍；

⑵直線，的斜率A的取值范圍.

解：公尸號(hào)=1,.?.直線冏/的傾斜角為45。.

5—3

又做=*=-1,.,.直線河的傾斜角為135°.

1—3

(1)由圖可知，直線1過2點(diǎn)且與線段"V相交，則直線1的傾斜角a的取值范圍是

45°W。(135°.

⑵當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，直線/的斜率不存在，

直線，的斜率彳的取值范圍是AG(―8,-1]U[1,+8).

10.點(diǎn)，(x,力在一次函數(shù)尸一2葉8的圖像上，當(dāng)2GW3時(shí)，求:的最大值與最小

值.

解：如圖，P(x,力在線段上運(yùn)動(dòng)，其中4(2,4),8⑶2),7的幾何意義是直線OP

的斜率.

?koA=2,koB=飛,

???。夕的斜率在koB與后之間.

.?2的最大值為2,最小值為宗

x3

第2課時(shí)直線方程的點(diǎn)斜式

預(yù)

習(xí)

核心必知——自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

引

問題思考——辨析問題解疑惑區(qū)

zizhu>cue3cishuCizfiugan自主學(xué)習(xí)梳理主干

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［核心必知］

1.直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式

方程

已知條件直線方程示意圖應(yīng)用范圍

名稱

點(diǎn)斜y直線不與X軸垂

直線/上一點(diǎn)R(x。，㈤及斜率4

式AQ)直

斜截直線1的斜率k及在y軸上的截距7直線不與X軸垂

y=kx+b%

式b直

2.直線1的截距

(1)在y軸上的截距：直線與y軸的交點(diǎn)(0,6)的縱坐標(biāo).

(2)在x軸上的截距：直線與x軸的交點(diǎn)(a,0)的橫坐標(biāo).

［問題思考］

1.方程y—%=A(x—加與方程4=法是等價(jià)的嗎？

提示：方程y—K="(X—加與方程不是等價(jià)的，前者是整條直線，后者表示

去掉點(diǎn)?(劉，㈤的一條直線.

2.方程為y+3="(x+2)的直線過的定點(diǎn)是什么？

提示：由y+3=A(x+2)可得，y—(―3)=A［x—(―2)］因此，直線過定點(diǎn)(—2,-3).

3.直線的截距是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離嗎？

提示：不是.截距是一個(gè)數(shù)值，可正、可負(fù)、也可以為零.當(dāng)截距為非負(fù)數(shù)時(shí)它等于交

點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，當(dāng)截距為負(fù)數(shù)時(shí)它是交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的相反數(shù).

課

堂

互知識(shí)突破一能力提升

動(dòng)II

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

區(qū)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

知識(shí)點(diǎn)1利用點(diǎn)斜式求直線方程|［重點(diǎn)知識(shí)?講適練會(huì)】I

講一講

1.根據(jù)條件寫出下列直線的方程，并畫出圖形.

⑴經(jīng)過點(diǎn)/(—1,4),斜率"=—3；

⑵經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為30°；

⑶經(jīng)過點(diǎn)風(fēng)3,-5),傾斜角為90°；

⑷經(jīng)過點(diǎn)C(2,6),〃(-3,-2).

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[嘗試解答](1)這條直線經(jīng)過點(diǎn)力(-1,4),斜率左=—3,

點(diǎn)斜式方程為y—4=—3[x—(―1)],

可化為3x+y-l=0,如圖①所示.

(2)由于直線經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),斜率"=tan30°=個(gè)，

點(diǎn)斜式方程為y=^x,可化為x—第y=0,如圖②所示.

O

(3)由于直線經(jīng)過點(diǎn)6(3,—5)且與x軸垂直，

所以直線方程為x=3,如圖③所示.

(4)根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率公式得直線切的斜率左=二|二|=|,

-3—25

該直線的點(diǎn)斜式方程為y—6=g(x—2),

可化為8x—5y+14=0,如圖④所示.

類題?通決

利用點(diǎn)斜式求直線方程的步驟：①在直線上找一點(diǎn)，并確定其坐標(biāo)(劉，為)；②判斷斜

率是否存在，若存在求出斜率；③利用點(diǎn)斜式寫出方程(斜率不存在時(shí)，方程為才=荀).

練一練

1.求滿足下列條件的直線方程：

(1)過點(diǎn)戶(-4,3),斜率A=-3；

⑵過點(diǎn)?(3,-4),且與x軸平行；

⑶過點(diǎn)尸(5,-2),且與y軸平行；

⑷過點(diǎn)一(一2,3),0(5,-4).

解：(1)、?直線過點(diǎn)?(一4,3),斜率"=—3,由直線方程的點(diǎn)斜式，得直線方程為y—

3=—3(x+4),即3x+y+9=0.

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(2)與x軸平行的直線，其斜率A=0,由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線方程為y—(—4)

=OX(x—3),即y=—4.

(3)與y軸平行的直線，其斜率左不存在，不能用點(diǎn)斜式方程表示，但直線上點(diǎn)的橫坐

標(biāo)均為5,故直線方程為x=5.

(4)過點(diǎn)尸(一2,3),0(5,—4)的直線的斜率

又?.?直線過點(diǎn)一(一2,3),

/.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線方程為y—3=-1(x+2),

即x-\~y■—1=0.

知識(shí)點(diǎn)2利用斜截式求直線方程?------K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

講一講

2.求滿足下列條件的直線方程：

(1)傾斜角為60°,在y軸上的截距為一3；

(2)經(jīng)過點(diǎn)/(—1,2)*在y軸上的截距為一2.

［嘗試解答］(1)所求直線的斜率"=tan60。=4.

又直線在y軸上的截距為一3,代入直線的斜截式方程，

得3,即(x—y—3=0.

(2)法一：?.?直線在y軸上的截距為一2,

.??設(shè)直線的斜截式方程為y=kx~2,

:點(diǎn)/(—1,2)在此直線上，

：.2=k?(—1)—2,:.k=—4,

直線方程為y=—4x—2.

法二：由于直線過點(diǎn)(一1,2)和(0,-2),

—9—9

直線斜率k=c---------=-4,

(J一—

又???直線在y軸上的截距為-2,.?.斜截式方程為y=-4x—2.

類題?通決

1.已知直線斜率或直線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常用斜截式寫出直線方程.

2.利用斜截式求直線方程時(shí)，要先判斷直線斜率是否存在.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直

線無法用斜截式方程表示，在y軸上也沒有截距.

練一練

2.已知直線/過點(diǎn)(一2,3),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,求直線/的方程.

解：顯然，直線/與兩坐標(biāo)軸不垂直，否則不構(gòu)成三角形，設(shè)其斜率為瓜A=0),則直

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線1的方程為y—3=A(x+2),

3

令x=0,得？=2左+3,令y=0,得才=一1一2,

于是直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

1(2A+3)(~|-2)|=4,即(24+3)§+2)=±8.

若(24+3)§+2)=8,則整理得4必+44+9=0,無解.

若(24+3)c|+2)=—8,

19

則整理得4A2+204+9=0,解之，得#=一g或4=一1

所以直線1的方程為x+2j—4=0或9x+2y+12=0.

|解題高事||多解題不一樣的旅程，不一樣的風(fēng)景，換個(gè)思維開拓視野!

直線y=Ax+6(A+6=0,AWO)的圖像是()

［解析］法一：因?yàn)橹本€方程為y=kx+b,且k#0,4+/?=0,即k=~b,所以令y

b

=°時(shí),A-六1,所以直線過點(diǎn)

法二：已知4+3=0,所以A=—b,代入直線方程，可得y=—bx+b,即y=—b(x—

1).又AW0,所以6#0,所以直線過點(diǎn)(1,0).

［答案］B

［嘗試用另外一種方法解題］

法三：由直線方程為y=Ax+6,可得直線的斜率為A,在y軸上的截距為6.因?yàn)锳+6

=0,所以《=-6,即直線的斜率與直線在p軸上的截距互為相反數(shù).選項(xiàng)A中，k>0,力0；

選項(xiàng)B中，心0,僅0；選項(xiàng)C中，k<0,6=0；選項(xiàng)D中，K0,沃0.

答案：B

訓(xùn)

達(dá)標(biāo)練一能力練練

II提

學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升，提速能

生趁熱打鐵消化所學(xué),提能，每課一檢測(cè)，步區(qū)

既練速度又練準(zhǔn)度步為營步步贏

、學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.過點(diǎn)(4,-2),傾斜角為150°的直線方程為()

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A.y—2=—（x+4）

B.廠（-2）=—￥（*一4）

C.廠（-2）=￥（丫—4）

D.y—2=乎（才+4）

-A/3

解析：選B直線斜率4=tan150°=—tan30°=一端-，

o

,R

又直線過點(diǎn)（4,—2）,.?.直線方程為y—（―2）=—個(gè)（X—4）.

O

2.方程y=#（x-1）（AGR）表示（）

A.過點(diǎn)（一1,0）的一切直線

B.過點(diǎn)（1,0）的一切直線

C.過點(diǎn)（1,0）且不垂直于x軸的一切直線

D.過點(diǎn)（1,0）且除x軸外的一切直線

解析:選Cy=A（x—1）一定過定點(diǎn)（1,0）點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)都可以表示為y=k（x

—1）.

3.直線y=Ax+6經(jīng)過二、三、四象限，則斜率A和縱截距滿足的條件為（）

A.k>0,b>0B.k<0,b<Q

C.k>Q,b<0D.k<0,b>0

解析：選B由直線過二、三、四象限，可畫出草圖如圖，由圖可得斜率/<0,縱截距

b<0.

4.直線一x+^y—6=0的傾斜角是,在y軸上的截距是.

解析：直線方程可化為尸坐x+2，i

其斜率仁好，在y軸上的截距為2小,

?J

由"=個(gè)可得其傾斜角。=30°.

O

答案：30。2y[3

5.把直線y=/（x—2）繞點(diǎn)⑵0）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。后，所得的直線方程為

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解析:直線了=/（x—2）的傾斜角為60°,按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，直線的傾斜角為90°,

斜率不存在，直線方程為x=2.

答案：x=2

6.已知所求直線的斜率是直線y=—的斜率的一:，且分別滿足下列條件：

（1）經(jīng)過點(diǎn)（（，-1）;

（2）在y軸上的截距是一5,分別求該直線的方程.

解：：直線方程為尸一4了+1,；."=一

由題知，所求直線的斜率左=—/x1—f=坐

（1）：直線過點(diǎn)（m，-1）,

??.所求直線方程為y+l=3（x—?。?即鎘入一3_y—6=0.

（2）：直線在y軸上的截距為一5,

.,.所求直線方程為?x—5,即x—一5-^3=0.

O

Z課下能力提升（十五）

一、選擇題

1.下列四個(gè)結(jié)論：

①方程與方程y—2=A（x+l）可表示同一直線；

②直線，過點(diǎn)尸（荀，%）,傾斜角為90°,則其方程是x=xi；

③直線，過點(diǎn)一（為，%）,斜率為0,則其方程是y=w

④所有的直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程.

正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選B①中方程"=三表示的直線不能過（一1,2）,而y—2=A（x+l）表示過（一

XI1

1,2）點(diǎn)、斜率為A的直線，

.??二者不能表示同一直線；②③正確；

④中，點(diǎn)斜式、斜截式不能表示平行于y軸的直線，.?.結(jié)論錯(cuò)誤.

2.直線y=ax-—的圖像可能是（）

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解析：選B在B中，直線的傾斜角為鈍角，故斜率a<0,直線在y軸上截距一工>0,

a

與直線和y軸正半軸有交點(diǎn)，符合要求.

3.直線/過點(diǎn)(一1,-1),(2,5)兩點(diǎn)，點(diǎn)(1005,6)在/上，則6的值為()

A.2009B.2010C.2011D.2012

解析：選C?.?直線斜率#=——=2,

直線的點(diǎn)斜式方程為y—5=2(x—2),即y=2x+l,

令x=l005,得6=2011.

4.直線，的方程為尸/x+2,若直線7與/關(guān)于y軸對(duì)稱，則直線T的方程為()

A.尸一擊為+2B.y=—fx+2

o

C.—2D.y=——2

解析：選A\T與，關(guān)于y軸對(duì)稱，直線/過定點(diǎn)(0,2),

直線/也過點(diǎn)(0,2).

直線，的斜率為的傾斜角為60。，

1'的傾斜角為180°-60°=120°.

：.［的斜率為一線....直線T的方程為y=—/x+2.

5.在等腰△46〃中，AO^AB,點(diǎn)。(0,0),2(1,3),而點(diǎn)6在x軸的正半軸上，則直線

48的方程為()

A.y—l=3(x—3)B.y—1=—3(x—3)

C.y—3=3(x—1)D.y—3=—3(x—1)

解析：選D由題意，勿與必的傾斜角互補(bǔ).k0A=3,kAB=-3.

.,./8的方程為y—3=—3(jr—1).

二、填空題

6.若直線尸2x+6與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為9,則6=.

b

解析：令x=0,得y=6,令y=0,得x=-5,

16]

工所求的面積S=j|引?--=79=9..??6=±6.

乙乙4

答案：±6

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7.直線1的方程為x—y—(病一0+1)=0,若/在y軸上的截距為一3,則勿的值為

解析：由題知3—(尤一/+1)=0,解得：0=-1或2.

答案：一1或2

8.直線過點(diǎn)(1,2)且與直線2x+3y—9=0在y軸上的截距相等，則直線1的方程為

解析：直線2x+3y—9=0在y軸上的截距為3,即直線，過(0,3)..,.直線/的斜率孑

的方程為_7=—x+3,即x+j-3=0.

答案：x+y—3=0

三、解答題

9.已知△力回的三個(gè)頂點(diǎn)在第一象限，J(l,1),6(5,1),2=45°,6=45°,求:

(1)/6所在直線的方程；

(2)/C邊和死邊所在直線的方程.

解：根據(jù)已知條件，畫出示意圖如圖.

(1)由題意知，直線A5平行于x軸，由46兩點(diǎn)的坐標(biāo)知，直線的方程為尸1.

⑵由題意知，直線AC的傾斜角等于角4所以標(biāo)=tan45°=1,又點(diǎn)2(1,1),所以

直線/C的方程為y—1=1?(x—1),即了=工

同理可知，直線8c的傾斜角等于180°-5=135°,

所以&c=tan135°=—1,又點(diǎn)夙5,1),

所以直線優(yōu)1的方程為曠一1=-1?(x—5),即y=-x+6.

10.求過點(diǎn)⑵3)且與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等的直線方程.

解：由條件知該直線的斜率存在且不為0,由點(diǎn)斜式可設(shè)直線方程為y—3=#(x—2).

3

令x—0得y—3—2k.令尸0得x—2—~

33

由|3—2/=|2—京，得4=-1或次=5，或4=1.

K乙

3

故直線方程為y=-x+5或y=]x或y=x+L

第3課時(shí)直線方程的兩點(diǎn)式和一般式

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預(yù)

習(xí)

核心必知——自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

I引

問題思考——辨析問題解疑惑區(qū)

zizhuK.ueK.isku(izkugan自主學(xué)習(xí)梳理主干

［核心必知］

直線方程的兩點(diǎn)式、截距式和一般式

方程

已知條件直線方程示意圖應(yīng)用范圍

名稱

直線/上兩點(diǎn)

y直線/不與坐標(biāo)

y-yiLXI

兩點(diǎn)式Pi(Xi,71),P?(X2,7

y2-yi也一小軸平行或重合

J2)

直線1在兩坐標(biāo)直線，不與坐標(biāo)

截距式軸上的截距:橫截—+-=1軸平行或重合，且

ab/

距a與縱截距b不過原點(diǎn)

二元一次方程系而+如+。=0（4平面內(nèi)任一條直

一般式J

數(shù)4B,。的值6不同時(shí)為0）線

［問題思考］

1.方程（y一%）（不一xi）=（x—xi）（口一%）能表示過點(diǎn)（小，%）和（如⑸所有的直線嗎？

提示：在方程匚匹=2二典中，不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，而在5—M）（XZ—川）

弦―Kx2—xi

=5一為）（次一W中因?yàn)槭钦椒匠?，又沒有限制條件，所以能表示所有的直線.

2.直線的一般式方程中，A,6不同時(shí)為零有哪些情況？能不能用一個(gè)代數(shù)式表達(dá)？

提示：A,8不同時(shí)為零的含義有三點(diǎn)：①/W0且夕W0；②若/=0則分0；③若8=0

則A^Q.以上三種情況可用統(tǒng)一的代數(shù)式/+）W0表示.

知識(shí)突破一能力提升

II

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

師生共研突破重難shishenggongyantupozfiongnan

知識(shí)點(diǎn)1直線方程的兩點(diǎn)式和截距式方程?------K重點(diǎn)知識(shí)?講透練會(huì)】I

講一講

1.三角形的