八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第2章四邊形矩形的性質(zhì)同步練習(xí)湘教版

2.5.1矩形的性質(zhì)同步練習(xí)

一、選擇題（本大題共8小題）

1.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,NACB=30°,則NAOB的大小為（）

2.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD=DE,連接BE交CD于點(diǎn)0,連接

A0,下列結(jié)論不正確的是（）

A.AAOB^ABOCB.ABOC^AEOD

C.AAOD^AEODD.AAOD^ABOC

3.如圖，在矩形ABCD中，若AC=2AB,則/AOB的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,若NACB=30°,AB=2,則0C

C.2^3D.4

5.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線a、b上，且2〃1）,Zl=60°,則N2的度數(shù)為

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將AABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落

1

在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF,則CF的長(zhǎng)為（

B.....FC

9121618

A.胃B.q-C.MD.=

5555

7.如圖，在矩形ABCD中（AD>AB），點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且DE=DA,AF1DE,垂足為點(diǎn)F,

在下列結(jié)論中，不一定正確的是（）

A.AAFD^ADCEB.AFfD

C.AB=AFD.BE=AD-DF

8.如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別是6和8,

則點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（）

A.4.8D.7.2

己知矩形的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,若A0=l,那么BD=

BN--------------------

10.如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E,使CE=BD,連結(jié)AE,如果NADB=30°,則NE=度.

11.如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC=2而，E為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BE,將矩形ABCD沿AE所

在的直線折疊，B點(diǎn)恰好落在對(duì)角線AC上的B'處，則AB=.

2

D

B

12.如圖，在矩形ABCD中,AB=3,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AE垂直平分OB于點(diǎn)E,則AD

對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作AELBD,垂足為點(diǎn)E,若

度.

14.如圖，在矩形ABCD中，AD=4,點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的

點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為.

AD

R'--------------------'C

三、計(jì)算題（本大題共4小題）

15.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,若AB=AO,求/ABD的度數(shù).

3

16.已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，且BE=CF,EF±DF,求

證：BF=CD.

17.如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線.

(1)用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AI)、BC于E、F(保留作圖痕跡，不寫(xiě)

作法和證明).

(2)連結(jié)BE,DF,問(wèn)四邊形BEDF是什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊

CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若AB=6,AC=10,求四邊形AECF的面積.

4

參考答案：

一、選擇題(本大題共8小題)

1.B

分析：矩形的性質(zhì).

解：?.?矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,

.,.0B=0C,

/OBC=/ACB=30°,

AZA0B=Z0BC+ZACB=30o+30°=60°.

故選B.

2.A

分析：根據(jù)AD=DE,0D=0D,ZAD0=ZED0=90°,可證明△AOD部/XEOD,0D為AABE的中位線,

OD=OC,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形即可.

解：根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形應(yīng)用排它法求欠妥即可：

VAD=DE,DO〃AB,，0D為aABE的中位線。/.OD=OC?

?.?在Rt^AOD和RtZiEOD中，AD=DE,OD=OD,.".AAOD^AEOD(HL)?

?.?在RtZ\AOD和RtZXBOC中，AD=BC,OD=OC,.,.△AOD^ABOC(HL),

.,.△BOC^AEODo

綜上所述，B、C、D均正確。故選A。

3.C

分析：本題主要根據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行做題.

解：VAC=2AB,AZBAC=60°,OA=OB,；.△OAB是正三角形，NAOB的大小是60°.故選

C.

4.A

分析：根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AC=2AB=4,再根據(jù)矩形的對(duì)

角線互相平分解答.

解：在矩形ABCD中，ZABC=90°,

5

VZACB=30°，AB=2,

?.AC=2AB=2X2=4,

?四邊形ABCD是矩形，

1

.?.0C=0A=yAC=2,

故選A.

5.C

分析：首先過(guò)點(diǎn)D作DE〃a,由Nl=60°,可求得N3的度數(shù)，易得NADC=N2+N3,繼而求

得答案.

解：過(guò)點(diǎn)D作DE〃a,

?.?四邊形ABCD是矩形，

.,.ZBAD=ZADC=90°,

Z3=900-/1=90°-60°=30°,

：a〃b,

；.DE〃a〃b,

AZ4=Z3=30°，Z2=Z5,

AZ2=90°-30°=60°.

故選C.

6.1)

分析：連接BF,根據(jù)三角形的面積公式求出BH,得到BF,根據(jù)直角三角形的判定得到/

BFC=90°,根據(jù)勾股定理求出答案.

解：連接BF,

,??BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

；.BE=3,

又；AB=4,

.\AE=VAB2+BE2=5,

6

則BF=『

t>

VFE=BE=EC,

AZBFC=90°,

故選：I).

分析：先根據(jù)已知條件判定4AFD絲4DCE(AAS),再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，以及全等三角形

的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷即可.

解：（A）由矩形ABCD,AFJ_DE可得NC=NAFD=90°,AD〃BC,

ZADF=ZDEC.

XVDE=AD,

.,.△AFD^ADCE(AAS),故(A)正確；

(B)；NADF不一定等于30°,

直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故(B)錯(cuò)誤;

(C)由4AFD絲ZXDCE,可得AF=CD,

由矩形ABCD,可得AB=CD,

；.AB=AF,故(C)正確；

(D)由AAED絲Z\DCE,可得CE=DF,

由矩形ABCD,可得BC=AD,

又；BE=BC-EC,

；.BE=AD-DF,故（D）正確;

故選B.

7

分析：首先連接OP,由矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4,可求得OA=OD=5,ZiAOD的

面積，然后由S?(?=SAAOP+S=/)A嚇E+OD叩F求得答案.

解：連接0P,

???矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為6和8,

S短彩,MO=AB?BC=48,OA=OC?OB=OD,AC=BD=10,

.,.OA=OD=5,

."S△ACti-'o'S?KABCO_24,

._1，

??S&\W=]SAM[>=12,

11115

：S△儂MS”O(jiān)P+S△儂，=^0A?PE+^0D?PF=1X5XPE+,X5><PF=2(PE+PF)=12,

解得：PE+PF=4.8.

故選：A.

二、填空題(本大題共6小題)

9.分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線互相平分且相等，求解即可.

解：在矩形ABCD中,

；角線AC與BD相交于點(diǎn)0,A0=l,

AAO=CO=BO=DO=1,

，BD=2.

故答案為：2.

10.分析：連接AC,由矩形性質(zhì)可得/E=/DAE、BD=AC=CE,知/E=NCAE,而/ADB=N

CAD=30°,可得NE度數(shù).

8

解：連接AC,

D

?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AD〃BE,AC=BD,且NADB=NCAD=30°,

ZE=ZDAE,

又?.,BIACE,

；.CE=CA,

ZE=ZCAE,

VZCAD=ZCAE+ZDAE,

.,.ZE+ZE=30°,即/E=15°,

故答案為：15.

11.分析：先根據(jù)折疊得出BE=B'E,且/AB'E=ZB=90°,可知△EB'C是直角三角形，由

已知的BC=3BE得EC=2B'E,得出/ACB=30°,從而得出AC與AB的關(guān)系，求出AB的長(zhǎng).

解：由折疊得：BE=B'E,/AB'E=/B=90°,

.?.NEB'C=90°,

VBC=3BE,

.-.EC=2BE=2B,E,

AZACB=30°,

在Rt△ABC中,AC=2AB,

1\MM

.*.AB=yAC=^X2=,

故答案為：

12.分析：由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出0A=AB=0B=3,得出BD=20B=6,由勾股

定理求出AD即可.

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

；.OB=OD,OA=OC,AC=BD,

.*.OA=OB,

9

TAE垂直平分OB,

AAB=AO,

AOA=AB=OB=3,

ABD=20B=6,

2222

AD=VBD-AB=V6-3=3^;

故答案為：3T.

13.分析：首先證明aAEO是等腰直角三角形，求出/OAB,N0AE即可.

解：???四邊形ABCD是矩形，

AAC=BD,OA=OC,OB=OD,

.\OA=OB—OC,

Z0AD=Z0DA,NOAB二NOBA,

，ZA0E=Z0AC+Z0CA=2Z0AC,

VZEAC=2ZCAD,

工ZEAO=ZAOE,

VAE1BD,

AZAE0=90°,

AZA0E=45°,

1800-45°

，ZOAB=ZOBA=-----------------------=67.5°,

???ZBAE=ZOAB-ZOAE=22.5°.

14.分析：要求直線AD上滿足APBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)時(shí)的AB長(zhǎng)，則需要

分類(lèi)討論：①當(dāng)AB二AD時(shí)；②當(dāng)ABVAD時(shí)，③當(dāng)AB>AD時(shí).

解：①如圖，當(dāng)AB二AD時(shí)

10

滿足aPBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，

△P|BC,△P2BC是等腰直角三角形，ZXP3BC是等腰直角三角形(PSB=P3C),

則AB=AD=4.

②當(dāng)AB<AD,且滿足aPBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)時(shí)，如圖,

；P2是AD的中點(diǎn)，

222

...BP2=V2+AB=V4+ABJ

易證得BP|=BP2,

又???BP尸BC,

.-.V4+AB%

；.AB=2近

③當(dāng)AB>AD時(shí)，直線AD上只有一個(gè)點(diǎn)P滿足4PBC是等腰三角形.

故答案為：4或2b.

三、計(jì)算題(本大題共4小題)

15.分析：首先證明OA=OB,再證明AABO是等邊三角形即可解決問(wèn)題.

解：；四邊形ABCD是矩形，

.\OA=OC,OB=OD,AC=BD,

；.AO=OB,

11

VAB=AO,

/.AB=AO=BO,

.,.△ABO是等邊三角形,

16.分析：由四邊形ABCD為矩形，得到四個(gè)角為直角，再由EF與FD垂直，利用平角定義得

到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形BEF與三角形CFD

全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證.

證明：?..四邊形ABCD是矩形，

.*.ZB=ZC=90o,

VEF1DF,

AZEFD=90°,

ZEFB+ZCFD=90°,

VZEFB+ZBEF=90°,

ZBEF=ZCFD,

在aBEF和aCFD中，

fZBEF=ZCFD

,BE=CF,

ZB=ZC

.?.△BEF絲ZXCFD(ASA),

；.BF=CD.

17.分析：(1)分別以B、D為圓心，比BD的一半長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于兩點(diǎn)，確定出垂直平

分線即可；

(2)連接BE,DF,四邊形BEDF為菱形，理由為：由EF垂直平分BD,得到BE=DE,ZDEF=

ZBEF,再由AD與BC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換及等角對(duì)等邊得到BE=BF,再由

BF=DF,等量代換得到四條邊相等，即可得證.

解：(1)如圖所示，EF為所求直線；

12

(2)四邊形BEDF為菱形，理