圓的一般方程課時課件-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.4.2圓的一般方程圓的方程一般代數(shù)形式是什么特點呢展開得任何一個圓的方程都是二元二次方程-a-br2-2ax-2by+a2+b2-r2=0思考結論：任何一個圓方程可以寫成下面形式：探究：是不是任何一個形如

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲線是圓呢？配方得不一定是圓以（1，-2）為圓心，以2為半徑的圓配方得不是圓思考（1）當時，表示圓，（2）當時，表示點（3）當時，不表示任何圖形圓心·

圓的一般方程:

說明：思考：圓的標準方程與一般方程各有什么特點？標準方程易于看出圓心與半徑.一般方程突出形式上的特點.

探究新知

例1

若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求實數(shù)m的取值范圍，并寫出圓心坐標和半徑.類型一圓的一般方程的理解解由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解答反思與感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法(1)由圓的一般方程的定義，令D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓.(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解.應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解.P88頁

練習1，2題

習題2.41題跟蹤訓練1

(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，

則圓心坐標為___________，半徑為___.解析答案解析

由圓的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.當a＝2時，該方程可化為x2＋y2＋x＋2y＋

＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，∴a＝2不符合題意.當a＝－1時，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圓心坐標為(－2，－4)，半徑為5.(－2，－4)5(2)若點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為____.解析答案9π由圓的性質(zhì)知，直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，∴該圓的面積為9π.例4

求過三點O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圓的方程，并求出這個圓的半徑長和圓心坐標.典型例題反思與感悟應用待定系數(shù)法求圓的方程時應注意(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心坐標或半徑列方程，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).P88頁

習題2.43，4，6題解答跟蹤訓練2

已知一圓過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為

求圓的方程.解1：(待定系數(shù)法)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將P，Q的坐標分別代入此式，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

③

∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.

④故圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.解答跟蹤訓練2

已知一圓過P(4，－2)，Q(－1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為

求圓的方程.解：(幾何法)由題意得線段PQ的垂直平分線方程為x－y－1＝0，∴所求圓的圓心C在直線x－y－1＝0上，設其坐標為(a，a－1).代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，故圓的方程為(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.例5.已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.相關點法.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)【分析】點A的運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足圓的方程(x+1)2+y2=4.建立點M與點A坐標之間的關系,就可以建立點M的坐標滿足的條件,從而求出點M的軌跡方程.

變式已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.軌跡.

.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)注意：“軌跡”與“軌跡方程”的區(qū)別.P88頁7題：等腰三角形的頂點是A(4，2)，底邊一個端點是B(3，5)，求底邊另一個端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？解答解設另一端點C的坐標為(x，y).依題意，得|AC|＝|AB|.整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，又因為A，B，C為三角形的三個頂點，所以A，B，C三點不共線，即點B，C不能重合，且B，C不能為圓A的一條直徑的兩個端點.故端點C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(3，5)和(5，－1)，它的軌跡是以點A(4，2)為圓心，

為半徑的圓，但除去(3，5)和(5，－1)兩點.特別提醒：在解決此類問題時易出現(xiàn)不符合條件的點仍在所求的軌跡上，即應排除不合適的點.求軌跡方程的常用方法：直接法:根據(jù)題目條件，建立標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡、證明.求軌跡方程的常用方法：定義法：當動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程.P88頁8題：長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的