《數(shù)值計(jì)算》試題庫(kù)證明題

數(shù)值計(jì)算試題庫(kù)證明題

第二章：

1、（本題10分一中等）

設(shè)/（x）=（尤一1）?！?）,證明對(duì)任意的尤有：/（l,2,x）=l.

第四章：

2、（10分一難）證明向量X的范數(shù)滿足不等式

⑴岡,小|"冊(cè)風(fēng)⑵?|閆雙小|]

3、（10分一難）設(shè)R=I—CA,如果因＜1，證明：

（1）A、C都是非奇異的矩陣

⑵網(wǎng)網(wǎng)

MTT

第五章：

4、（5分一基礎(chǔ)）設(shè)￡=&*+-|邳＜1

證明由公式叫=Bx（m）+b,m=0,1,---,得到的序列｛/"）1攵斂于x*o

5、（10分一難）證明：方程組

2西一九2+%3=1

＜/+%+%3=1

西+%2-2/=1

使用Jacobi迭代法求解不收斂.

第六章：

6、（本題10分一中等）

證明求積公式J；公工y[2/（-A）-/（0）+2/（A）]具有三次代數(shù)精度，其中人是正常數(shù)。

7、（10分一中等）證明定積分近似計(jì)算的拋物線公式f于⑺dx工+4/（^1^）+/（&）]

具有三次代數(shù)精度

第七章：

8、（5分一基礎(chǔ)）證明計(jì)算JG（a>0）的切線法迭代公式為

|（~y

x”+i=3（%+一），（"=0,1,…）

2x.

9、（10分一難）設(shè)/（電=*一@2

（1）寫出解/（x）=0的Newton迭代格式（2）證明此迭代格式是線性收斂的

第八章：

10、（12分一難）證明用數(shù)值積分方法構(gòu)造微分方程的初值問(wèn)題,'的數(shù)值解公式為

、心0）=%

h

〃+i—y?-1+百3K+I+41yx+〃-i）

證明題參考答案

1、證明題(共10分)

證明:f(1,2)=2(1)-f(2)]/(1-2)

=[0-0]/(-1)

=0,3分

對(duì)任意的x有

f(2,x)=[f(2)-f(x)]/(2-x)

=[0-(x-l)(x-2)]/(2-x)

=(x-1),6分

所以f(l,2,x)=[f(l,2)-f(2,x)]/(l-x)

=[0-(x-l)]/(l-x)=110分

2、證明題(共10分)

證明（1）設(shè)%是向量X的分量，貝max|x,|<nmax|x,|=?||%||\

所以由向量范數(shù)的概念可知，結(jié)論成立。5分

⑵由|x,=［吁㈤］。力%|=J|X|1

1-」幾i=in

岡j］m產(chǎn)㈤卜?國(guó)=岡］

所以結(jié)論成立。10分

3、（10分）證明：（1）因網(wǎng)|<1，所以I-R非奇異，因I-R=CA,.?』04|。0=>|。］。0,同00

所以C,A都是非奇異矩陣（3分）

（2）R=I-CA=^X-C）A故網(wǎng)《歸1_珠川則有

因CA=I-R,所以C=(I-R)A",即A」=(I-R)4C

又RA」=A-i-C,故

lk--q引呻牛網(wǎng)叔

由||G-c|引題c||-（7分）

一刷

移項(xiàng)得口<網(wǎng)

iri-

結(jié)合（2.1）、（2.2）兩式，得

El-⑷-c|『IN（10分）

MFirIPI1一隅I

4、（5分）證明由公式J"*。=&（"'）+"和x*=母*+人

兩式相減得|x（m）-x||<|珊*T-%*|4…V憫「卜⑼—X*卜03分

所以有：卜"'）-X*卜f0,x（'"）f￡,（加f℃）5分

5、（10分）證明：方程組

2x1一12+%3=1

%］+%2+%3=1

尤1+/-2巧=1

使用Jacobi迭代法求解不收斂.

證明Jacobi迭代法的迭代矩陣為

00.5-0.5

Gj=-10-1(3分)

0.50.50

Gj的特征多項(xiàng)式為

2-0.50.5

det(2/-Gj)=121=2(22+1.25)(6分)

-0.5-0.52

Gj的特征值為4=0,=VL25z,=-Vt25z,故/(GJ)=JE^>1,因而Jacobi迭

代法不收斂。(10分)

6、證明：(本題10分)

4/7

(1)當(dāng)%)=1時(shí)，左邊=4丸=飛-[2—1+2]=右邊(2分)

(2)當(dāng)/(%)=%時(shí)，左邊=0=岑[2義(一九)一lx0+2x/z]=右邊(4分)

(3)當(dāng)/(x)=f時(shí)，左邊=上上二」2x(-/z)-lx0+2x/i2=右邊

(4)當(dāng)/(%)=/時(shí)，左邊=o=￥[2x(—0)3—0+2x/P]=右邊

(5)當(dāng)/(X)=%4時(shí)，左邊二,

右邊二^'2x(—/z)4—0+2x/z1=w左邊(8分)

所以，該求積公式具有三次代數(shù)精度。(10分)

7、(10分)證明：當(dāng)/(x)=l時(shí)，公式左邊：[f(x)dx=b-a

Ja

—。

公式右邊：——[1+4+1]=/?—。左邊==右邊(1分)

b

MY2h卜？2

當(dāng)/(%)=%時(shí)左邊：[xdx=—=-——

2a2

,,,b-aa+b7rb2-a2...一」/八、

右邊：-----[ra+4A-------\-b\--------左邊==右邊(3分)

b22

當(dāng)/(%)=%2時(shí)左邊：「％2公=土"=^—

L3〃3

b—a2A+b、212-i尸—,..

右邊：-----[a+4-(-----)+b]=---------左x邊==右邊(5分)

b23

4rj44

當(dāng)/(%)=/時(shí)左邊:「d-X=—=----------

Ja4a4

,.,b~a3//Q+/?、373r人,一。4

右邊：-----+r4,(--------)+b]=---------左邊==右邊(7分)

b24

上、劣47Kbb5―〃5

當(dāng)/（%）=一時(shí)左邊：xax--二-------右邊:

J。5a5

4

+4.(￡±^)4+Z，]=^Z￡(5a4+4a3/7+6a2/72+4a/?3+5必)J-/

b265

（9分）

故/（九）具有三次代數(shù)精度。（1。分）

8、（5分）證明因?yàn)橛?jì)算而（a>0）等同于求方程必—。=0的正根,

令/（光）=f/,（光）=2x，2分

代入切線法迭代公式得:

X5分

%+l=n

2%

9、（10分）證明：⑴因加）=々-@2,故"x）=6—（/-a）,由Newton迭代公式:

（3分）

4+i=x*--[E*2,n=0,l,...

S+1"f'W

，曰(/-a)15x,a八,

得x*+i=x*-―異不----=--+―a,?=0,1,...（5分）

m*6x-)66x；

(2)因迭代函