2022－2023學(xué)年河南省鄭州市重點學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

2022—2023學(xué)年河南省鄭州市重點學(xué)校高三(上)期末數(shù)學(xué)試

卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.集合2="6的、=恒(4一%)}子集的個數(shù)為()

A.3個B.4個C.8個D.16個

2.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)點片對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若向量五、3滿足同=|瓦=|五+山,則向量方與向量d—3的夾角為()

A.30°B.60°C.120°D,150°

4.歐拉長方體，又稱整數(shù)長方體或歐拉彼，指棱長和面對角線長都是整數(shù)的長方體.記

E{a,b,c-,d,e,/)為歐拉長方體，其中a,b,c為長方體的棱長，d,e,/為面對角線長.最

小的歐拉長方體是E(44,177,240；267,244,125).從E(44,177,240；267,244,125),

￡,(85,132,720；157,725,732),￡(140,480,693；500,707,843),E(160,231,792；281,

808,825),￡(187,1020,1584：1037,1595,1884),￡(195,748,6336；773,6339,6380)中

任取兩個歐拉磚，則恰有一個最短棱長小于100的歐拉磚的概率為()

5.拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平

行于拋物線的對稱軸，反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反

射光線經(jīng)過該拋物線的焦點.已知拋物線C：/=2py(p>0),一條平行于y軸的光線，經(jīng)過

點4(1,4),射向拋物線C的B處，經(jīng)過拋物線C的反射，經(jīng)過拋物線C的焦點F,若|4B|+\BF\=5,

則拋物線C的準(zhǔn)線方程是()

A.y=—B.y=-1C.y=-2D.y=-4

6.設(shè)函數(shù)g(x)=sin(3x+^)在區(qū)間(0,兀)內(nèi)恰有三個極值點、兩個零點，則3的取值范圍是

()

A.卷篇B.[|,第C"|片)D.(得]

7.2023年1月底，人工智能研究公司。pen4/發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序

進(jìn)入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性

的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L=

LqD^,其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，人表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示

訓(xùn)練迭代輪數(shù)，金表示衰減速度,已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為03,衰減速

度為12,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時，學(xué)習(xí)率衰減為0.5.則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需

的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：國2y0.3010）（）

A.35B.36C.37D.38

8.在△力BC中，若4B=2,AC=<7,4aBe=1點P為△ABC內(nèi)一點,PA1PB且NBPC=年,

則8P=（）

A.V-2B.口C.2D.5

9.兩個邊長為4的正三角形△ABC與△ABD,沿公共邊4B折疊成60。的二面角，若點4,B,

C,。在同一球0的球面上，則球。的表面積為（）

A807rp2087r「647r八1127r

A?—D?-g-C.—U.

10.已知F],尸2分別是雙曲線r：今-，=l（a>0,b>0）的左、右焦點，過后的直線分別

交雙曲線左、右兩支于A,B兩點，點C在久軸上，CB=5F^A,BF?平分4F/C,則雙曲線廠的

離心率為（）

A.2B*C*D.1

3333

11.已知正方體4BCD-4BiGDi的棱長為2,E,F分別為線段為&,上的動點，過點D,

E,F的平面截該正方體的截面記為0,則下列命題正確的個數(shù)是（）

①當(dāng)&E=2時，461平面0；

②當(dāng)E,F分別為4/1，BBi的中點時，兒何體4-DEF的體積為1；

③當(dāng)E為4祖中點且BF=機(jī)寸，。與BC的交點為G,滿足NG號

④當(dāng)E為中點且0W8/41時，。為五邊形.

A.1B.2C.3D.4

12.下列不等式中不成立的是（）

A.ecos1_1>coslB.nln4<4Inn

20233+12O234+l口

rl°g20222021<10§20242023

?20232+l20233+l'

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.二項式(M一令5的展開式中刀4的系數(shù)為_.

14.曲線y=x2-4%+1與坐標(biāo)軸交于力，B,C三點，則過A,B,C三點的圓的方程為.

15.已知函數(shù)/(%)=cos2x-cos%,xE[0,2TT],對于下述四個結(jié)論:

①函數(shù)y=/(%)的零點有三個；

②函數(shù)y=f(%)關(guān)于％=yr對稱；

③函數(shù)y=f(%)的最大值為2；

④函數(shù)y=/(%)在存,可上單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的序號為：.

16.已知/'(%)是函數(shù)/(久)在其定義域上的導(dǎo)函數(shù)，且/(%)-/(%)=/(I)=e2,若函

數(shù)=嘴^-ln(mx)+x-2(771>0)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在零點，則實數(shù)小的取值范圍是

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列｛斯｝的公差不為零，其前n項和為S”,且是由和&5的等比中項，a2n=2即+

l(nGN*).

(I)求數(shù)列｛a“｝的通項公式：

a+1

(H)若bn=2",令Cn=anbn,求數(shù)列｛d｝的前幾項和%.

18.(本小題12.0分)

某校為了深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，引導(dǎo)廣大師生深入學(xué)習(xí)黨的二十大報告，認(rèn)真

領(lǐng)悟黨的二十大提出的新思想、新論斷，作出的新部署、新要求，把思想統(tǒng)一到黨的二十大

精神上來，把力量凝聚到落實黨的二十大作出的各項重大部署上來.經(jīng)研究，學(xué)校決定組織開

展”學(xué)習(xí)二十大奮進(jìn)新征程”的二十大知識競答活動.

本次黨的二十大知識競答活動，組織方設(shè)計了兩套活動方案：

方案一：參賽選手先選擇一道多選題作答，之后都選擇單選題作答；

方案二：參賽選手全部選擇單選題作答.

其中每道單選題答對得2分，答錯不得分；

多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項不得分.

為了提高廣大師生的參與度，受時間和場地的限制，組織方要求參與競答的師生最多答3道題

.在答題過程中如果參賽選手得到4分或4分以上則立即停止答題，舉辦方給該參賽選手發(fā)放獎

品.據(jù)統(tǒng)計參與競答活動的師生有500人，統(tǒng)計如表所示:

男生女生總計

選擇方案一10080

選擇方案二200120

總計

(1)完善上面列聯(lián)表，據(jù)此資料判斷，是否有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān)？

(2)某同學(xué)回答單選題的正確率為0.8,各題答對與否相互獨立，多選題完全選對的概率為0.3,

選對且不全的概率為0.3；如果你是這位同學(xué)，為了獲取更好的得分你會選擇哪個方案？請通

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱力BC—AiBiCi中，。為4C的中點，AB=BC=2,Z-AA^=AB^C.

(1)證明：BBX1AC；

(2)若BBilBC,直線AB】與平面BCGBi所成的角的正弦值為譽(yù)，二面角4—8當(dāng)-C的大

小為60。，求二面角B-BiD-G的余弦值.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓言+《=l(a>b>0)的離心率為;，尸為橢圓的右焦點，A為橢圓的下頂點，4與圓

x2+(y-2)2=1上任意點距離的最大值為3+y/~3.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)點。在直線x=1上，過。的兩條直線分別交橢圓于M,N兩點和P,Q兩點，點F到直線MN

和PQ的距離相等，是否存在實數(shù)九使得|DM|?|DN|=4|DP|?|DQ|?若存在，求出4的值,

若不存在，請說明理由.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=M+a》(l-x),aeR.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)/'(X)有兩個極值點刀2，且求證：/(X1)-ax2>-a.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的方程為x=J-*+2〉,曲線C2的參數(shù)方程為

：蘢不:/‘出0"為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為極點，》軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線G，C2的極坐標(biāo)方程；

2

(2)若曲線C3：8=a分別交曲線C1，金(不包括極點)于力、B兩點，求罄+1的最大值.

\OB\2

23.(本小題12.0分)

已知正實數(shù)a,b,c.

(1)若x,y,Z是正實數(shù)，求證：4之處b+且；

xyzx+y+z

⑵求捻+E+9的最小值?

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A=[x&N\y=lg(4-x))={x€N|4—x>0}={0,1,2,3},

集合4子集的個數(shù)為24=16個.

故選：D.

用列舉法寫出集合A即可得解.

本題主要考查子集個數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由題得|=舒=言=號繇=2+i,

即復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,1),在第一象限.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)運算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：向量3、3滿足回=向=|4+力,

所以|五+旬2=(a+b)2=\a\2+2a-b+\b\2=\a\2=\b\2,

又方7=\a\\b\cos(a,b)，

所以4-b=—||a|2,

\a-b\=J(a-b)2=J|a|2-2a-K+|K|2=<3|a|>

b-(a-b)=\b\\a-b\cos(b,a-b)=>J~3\a\2cos{b,a-b),

Xb-(a-K)=K-a-K2=-j|a|2-|a|2=-||a|2.

2

所以Cl五12cos⑹五一石)=-ba\,COs(b,a-b)=-孕,

又0。<(b,a-b)<180°.所以⑸五一力=150%

所以向量3與向量日-3的夾角為150。.

故選：D.

己知式平方得日不=—g|方『，平方求得|五一川=「同，計算另?伍―方）后可得結(jié)論.

本題主要考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：最短棱長小于100的歐拉磚的個數(shù)有2個，

故任取兩個歐拉磚，則恰有一個最短棱長小于100的歐拉磚的概率為專=

Cl15

故選：D.

先觀察出最短棱長小于100的歐拉磚的個數(shù)有2個，利用組合知識得到概率.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為丫=-1

根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，

所以|4B|+|BF|=4+^=5,得p=2,

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1.

故選：B.

根據(jù)拋物線的定義，即可轉(zhuǎn)化求解.

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：當(dāng)x=0時，3乂+，=也0<*<今

oooZ

因此由題意等<0）71+g<3TT,

Zo

解得（<3W?

即3的取值范圍是

故選:A.

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解.

本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

5

=-

【解析】解：由已知08x0存8

51

恒

41-<電-

0.8X(|)T2<0.2.(|)12<J-12'84G措=部—,

因此G至少為36.

故選：B.

由已知求得衰減系數(shù)。，然后根據(jù)已知模型列不等式求解.

本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：在AABC中，由余弦定理得爐=a2+c2-

2accos^ABC,即7=a2+4-2a,解得a=3,

在RtMBP中，令乙ABP=0,貝IBP=2cos0,

在4BPC中,乙CBP=^-0,LBCP=7r-y-(1-0)=0,

op32cosd

由正弦定理得』n=』，即藤=能,

所以tan。=孕，又。€(05)，所以。=也所以BP=2x《=q.

3J。2

故選:B.

在△2BC中，由余弦定理求得a=3,在中，令乙ABP=9,則BP=2cos0,在ABPC中,

由正弦定理求得。=｝即可得出結(jié)果.

O

本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：取的中點E,連接CE,DE,

因為正三角形△4BC與△ABD的邊長為4,所以DE14B,

CE1AB,

且DE=CE=2/3,

B

故4CED為二面角D-4B-C的平面角，ACED=60°,

所以ACDE是等邊三角形，

取CE的中點F,連接DF,則DFJ.CE,CF=G，DF=CCF=3,

因為。E14B,CE1AB,DECCE=E,DE,CEu平面COE,

所以AB，平面CCE,

因為OFu平面CDE,所以DF14B,

因為4BCCE=E,AB,CEu平面ABC,

所以。F_L平面ABC,

取△ABC的中心G,則點G在CE上，且CG=2EG,故CG=,CE=^，

則球心。在G點正上方，連接DO,OG,OC,過點。作OK1DF于點K,

則。K=GF=殍-C=?，

設(shè)GO=h,DO=CO=R,則GO=FK=h,

由勾股定理得。。2=OK2+DK2=；+(3-h)2,OC2=GO2+CG2=h2+(手/，

故"+(3—位2=h2+(殍)2,解得九=

故外接球半徑R2=(|)2+(殍)2=等

故球。的表面積為4萬/?2=警.

故選：B.

作出輔助線，找到球心的位置及。點在平面4BC上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球

的半徑，進(jìn)而得到球的表面積.

本題考查與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

10.【答案】A

【解析】解：因為方=5用］，則

CB//F2A,

所以

設(shè)|&F2l=2c,則|F2c|=8c,

設(shè)|伍|=t,則|BFi|=5t,\AB\=4t.

因為明平分N&BC,由角平分線定理可知，牌=普=/=；

|DCI1廣23oC4-

所以|BC|=4田6|=20t,

所以NF2I="|BC|=43

由雙曲線定義知|伍|一|伍|=2a,即4t-t=2a,t=等①

又由|BFi|-\BF2\=2a得IBF2I=5t-2a=2t,

在4加2中，由余弦定理知C°S""2=網(wǎng)翦加華E=嗎找料="

L'\AD\'\Dr2\ZX4cXZC4

7?7

在4F/F2中，由余弦定理知COSNF】BF2=〔叫愕仁〔產(chǎn)，

gnl_25t2+4亡2-4巴

'廠-2x5tx2t-，

化簡得。2=6/，

把①代入上式得C2=等，

解得e=￡=呼.

故選:A.

因為方=5不,所以△F、AF2s4FiBC,設(shè)I&F2I=2c,則|F2cl=8c,設(shè)|力斤|=t,則|8&|=5t,

|4B|=4t.由角平分線的性質(zhì)可得|%|=43由雙曲線的定義可得t=與,\BF2\=2t,再結(jié)合余

弦定理可得c2=6t2,從而可求解.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】C

【解析】解：命題①，&E=2,則E與當(dāng)重合，截面。即為對角面BDDiBi，

由正方體的性質(zhì)，BBi_L底面4B1GD1，4Gu底面a/iGDi，

則BB]＞停1，

又41G1B1G，

而B名,當(dāng)。1是截面BDC/i內(nèi)兩相交直線，

因此41Gl平面BDDiBi，①正確；

命題②，E,F分別為&Bi，BBi的中點，

111O

因為AD1平面AEF,S*EF=22-4x2xl-4x2xl-ixlxl=4,

△A"2222

=X

^A-DEF~^D-AEF=?S^AEp3X-=1,②正確；

③當(dāng)E為公當(dāng)中點且BF=：時，延長E尸交48延長于H,連接DH交BC于G,

由B】E〃BH得髭=胃即8H=智=容J

ojcb^r8［卜23

由BH//DC嚷瑙,

1n

所以匹=3解得BG=￡,③正確；

2-BG27

④E為&當(dāng)中點且0<B】F<1時，

若8/=0,即F與B1重合，

此時易得截面。即為對角面4BiCD,它是四邊形，④錯誤.

D4

故選：c.

命題①中截面即為對角面BDDiBi，易證得線面垂直；命題②中，利用棱錐體積公式計算體積后

可判斷；命題③中，延長EF交4B延長線于點H,連接DH交BC于G,然后計算出BG長即可判斷;

命題④中，取B/=0,確定截面后可判斷.

本題考查立體幾何的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：對于4令丫=6*-％-1,則y'=e*-l,

由y'<0得x<0,y在(-8,0)上單調(diào)遞減，由曠>0得x>0,y在(0,+8)上單調(diào)遞增,

故y2e0-0-1=0,

ex>x+1,

又cosl—140,則e’osiT>cosl—1+1=cosl,故A正確;

對于B：令-x)=￥，則(。)=在要=上挈，

由廣⑶<。得%>e,即f(Q在(e,+8)上遞減,

???/(4)Vg即詈〈詈,

???兀)4<4lnn9故B正確;

20233+120234+1_(20233+1)(20233+1)+(20234+1)(20232+1)

20232+120233+1-(20232+1)(20233+1)

(20236+2x20233+1)-(20236+20234+20232+I)_一20232x20222<

(20232+1)(20233+1)-(20232+1)(20233+1)

即20233+120234+1

<,故錯誤;

'20232+120233+1C

由晦。222。21<晦。242。23變形得黯<瀛g,

令g(x)=￡Slj(x>e)，

則八X)=#n(x+l)-啟nx_(x+l)ln(x+l)-xbtx,

'"I，—[ln(x+l)]2—x(x+l)[ln(x+l)]2'

]

令九(％)=xlnx9則九'(％)=Inx4-%--=Inx+1,

由九'(%)>0得%>

:./i(x)在(，,+8)上單調(diào)遞增，BP(%+l)ln(x+1)>x仇》在xe(e,+8)上恒成立，

即g'(%)>0對工G(e,+8)恒成立，貝叼(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增，

???g(2021)<g(2023),即翟<鬻即log20222021<1哂0242。23,故O正確.

故選：C.

根據(jù)不等式婚2%+1,即可判斷A；構(gòu)造函數(shù)/(x)=等，利用單調(diào)性，即可判斷B；作差之后化

簡即可判斷C;構(gòu)造函數(shù)=布署正，利用單調(diào)性，即可判斷。.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運算能力，

屬于中檔題.

13.【答案】90

【解析】解：二項式(/一》5的展開式通項為很。2)5_(一》r=(_3)r,%公。-3「，

令10-3r=4,解得r=2,

故二項式。2一：)5的展開式中/的系數(shù)為(_3產(chǎn)點=90

故答案為：90.

求出展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為4,由此即可求解.

本題考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(％—24+(y—I)2=4

【解析】解：令y=0,則/一4x+l=0,解得%1=2--$%2=2+/3，即4(2--$0),

8(2+—3,0);

令％=0,得y=l,即C(0,l),

設(shè)圓的方程為(％-Q)2+(y—b)2=r2,

f(24--a)2+b2=r2(a=2

所以《(2—>/~3—a)2+b2=r2>解得|b=1.

la2+(1-b)2=r2G=2

所以圓的方程為(x—2)2+(y_I)2=4.

故答案為：(x-2)2+(y-l)2=4.

由題意分別計算A，B,C三點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出圓的方程.

本題主要考查圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②③④

【解析】解：/(X)=C0S2X—COSX=2cos2X—cosx—1,

令/(x)=2cos2x—COSX-1=0,解得COSX=1或COSX=—I，

VxG[0,2TT],x=0或x=2?；騲=:或x=故①錯誤；

v/(2TT—x)=cos2(2n-x)—COS(2TT—x)=cos2x—cosx=/(%),

二函數(shù)y=f(x)關(guān)于尤=7i■對稱，故②正確；

/(%)=2cos2x—cosx—1=2(cosx--1)?z-9

vxE[0,2TT],—1<cosx<1,

???當(dāng)cosx=-1時，函數(shù)y=f(X)取最大值2,故③正確；

/(%)=2cos2x—cosx—1=2(cosx—扔一

令t=COSX,當(dāng)％€白,捫時，t=COS%單調(diào)遞減，

,**x6TT]，,CE[―1,—,??.y=2(t—[)2—看單調(diào)遞減，

???函數(shù)y=/(x)在母用上單調(diào)遞增，故④正確.

故答案為：@(3)(4).

令/(X)=2cos2X-cosx—1=0,解得零點即可判斷①;驗證/(2兀-x)=f(x)即可判斷②；利

用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值可判斷③；々t=cosx,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷④.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.【答案】[1,+8)

【解析】解：f(x)-/(x)=e^+1,所以好答=e,

故(得)，=e,所以腎=ex+c,c為常數(shù)，

因為/(I)=e?,又勺^=e+c,故c=0,

所以/(%)=xex+1,

若。(%)=嗎+?_ln(mx)+%-2(m>0)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在零點，

則巴瑞---ln(mx)+%—2=0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在零點，

整理得e1r+2nm%-[1-x+ln(mx)]-1=0,

設(shè)g(t)=——-1，則g'(C)=e'-l，

令g'(t)=0得t=0,當(dāng)t>0時，g'(t)>0,g(t)=-—-1單調(diào)遞增，

當(dāng)t<0時，g'(t)V0,g(t)=e*-t-1單調(diào)遞減，

所以g(t)=8_￡_1在[=0處取得極小值，也是最小值，g(t)min=e°-1=0,

故1—x+ln(mx)=0時,e1-x+Znmx—[1—x4-ln(mx)]—1=0成立,

即存在xe(0,+8),使得1-x+ln(mx)=0有解，即7n=匕1有解，

X

令人⑺=?，則八'(X)=512，

當(dāng)%>1時，h!(x)>0,當(dāng)0<%<1時，h!(x)V0，

故九(X)=一在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故八(X)=?在芯=1處取得極小值，也是最小值，

又九(1)=1,故九(%)>1,

所以6之1,故實數(shù)機(jī)的取值范圍[L+8).

故答案為：[1,+8).

先根據(jù)/'(%)—/(%)=e*+i及/(I)=e?得到/(%)=xex+1,利用同構(gòu)得到eiT+mm%—[1—x+

ln(mx)]-1=0有解，構(gòu)造g(t)=—t—1,得到g(t)mtn=e0-1=0,故1—x+ln(mx)=0,

參變分離得到rn=?在》6(0,+8)有解，令以》)=?，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，極值和最值情況,

得到答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，零點存在性問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛Q九｝的公差為d(dH0),

??,。2是和。5的等比中項，a2n=2an+l(nGN*),

磅普號即產(chǎn)工巴二件+4d),解得｛kJ,

(。2—2。］+1(a］+d—2。］+11d—2

/.an=1+(n-1)x2=2n—1；

(II)由(I)得冊=2九一1,則匕=2/+i=4%則％=冊%=(271—1)-4%

7^=1X4+3X42+5X43+...+(2n-1)X4n①，

47^=1X42+3X43+5X44+...+(2n-1)X4n+1@,

由①-②得-3〃=4+2X42+2X43+2X44+...+2X4n-(2n-1)X4n+1

=4+2x16弁")-2x4n+1=|(4n+2-16)-2x4n+1，

.??%巖X4"+竽送X4F

【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為d?力0),由題意得［靖］即

—Nd］~r1

群"?短:管+4,求解即可得出答案；

(II)由(I)得an=2n-l,則cn=anbn=(2九一1)?空，利用錯位相減法，即可得出答案.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和運算能力,

屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由題意完善列聯(lián)表如圖

男生女生總計

選擇方案一10080180

選擇方案二200120320

總計300200500

故2_500x(100x120-200x80)2

"=-300x200x320x180-?2.315<2.706,

故沒有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān).

(2)設(shè)選擇方案一的得分為X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

則尸(X=0)=0.4X0,2x0,2=0,016,P(X=1)=0.3x0,2x0,2=0.012,

P(X=2)=0.4x2x0.8x0.2=0.128,P(X=3)=0.3x0.2x0.24-0.3x2x0.8x0,2=0.108,

P(X=4)=0.4x0,8x0,8=0.256,

P(X=5)=0.3x0.8+0.3x0.2x0.8+0.3x0.8x0.8=0.480,

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lx0.012+2x0.1284-3x0.108+4x0.256+5x0.480=4.016.

設(shè)選擇方案二的得分為y,則丫的可能取值為o,2,4,

則P(y=0)=0.2x0.2x0.2=0.008,P(Y=2)=3x0.8x0.2x0.2=0.096,

P(Y=4)=0.8x0.8+2x0.82x0.2=0.896,

故E(Y)=2x0.096+4x0.896=3.776,

因為E(X)>E(Y),故為了獲取更好的得分，我會選擇方案一.

【解析】(1)首先補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)，進(jìn)行比較后，即可作出判斷；

(2)分別計算兩個方案下的得分的分布列，再求數(shù)學(xué)期望，比較大小后，即可判斷.

本題主要考查獨立性檢驗，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查運算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解:(1)證明：在三棱柱ABC中，=B、B,乙M出=4B$C,4出=AB=

BC,

44出三^B]BC,

?1?ABX=CB],

又。為4c的中點，

BrD1AC,

在448。中，：48=",AD=DC,

BDLAC,

BiDDBO=D,Bi。、BDu平面BOB1，

AC1平面8%，

又BB、u平面

???AC1BB1.

(2)???BBr1AC,BB11BC,ACClBC=C,AC,BCu平面ABC,

BBi1平面ABC,而48u平面ABC,

BB11AB,

乙4BC為二面角A-BBi-c的平面角,即乙4BC=60°,

??.△ABC為等邊三角形，即4c=2,

過點4作4。_LBC于點0,則。為BC的中點，4。=，耳，

???BB]，平面ABC,而力。u平面ABC,

BBi1AO,

乂BBiCBC=B,BC,BBiU平面BCGBI，

???AOJL平面BCqBi，

故直線AB】與平面BCC$i所成角為NAB1。，即sin乙4/。=譽(yù)，

.?AO<3y/~39?

設(shè)881=y,貝-山44n&0=福=^=^=卞=y=3,即B&=3,

J產(chǎn)+4

取Oi為BiG中點，

A。]J.B￡,

vBB11平面4mle0而&。1u平面A/iG，

:.BB]14。1，

又BBiCBiQ=B],B&,8當(dāng)u平面BCQB],

???AMJ"平面BCC/i，

v01。1BB1,

■■。1。_L平面

以。1為坐標(biāo)原點，分別以。1為，。10,0送1所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系，

則BI(1,O,O),G(—1,O,O),B(l,3,0),

服=(0,3,0)，前=(一|,0,?)，函=(2,0,0)，殺=弓,3,?)，

設(shè)平面BB1。一個法向量為沅=Qi，yi，Zi),

(一7^~D"-n(3y=0

由m?竺i=U,可得3x口則可取沅=(1,0,C);

{m-BD=0(-2xi+—zi=0

設(shè)平面GBiD的一個法向量分別為五=(x2,y2,z2)-

(Kp-p'_n(2X=0

由，絲1―，可得12；工Gn，則可取元=(°，l，_2O-

In-QD=0(-x2+3y2+-Z2=0

.—?一\mn-63V13

?11C0S<m'n>=麗=2^=-V

???二面角B-BrD-Q的余弦值一筆1

【解析】(1)由△44/1三ABiBC得=CB「又。為4c的中點，則又BD_L4C,可

得ZC_L平面BO/,由此可得結(jié)論；

(2)由已知條件可得BBi_L平面ABC,BBr1AB,可知乙4BC為二面角4一BB1一C的平面角，即

^.ABC=60°,過點4作40_LBC于點。，可證得4。_L平面8。6當(dāng)，故直線與平面BCCiB1所成

角為乙AB[O,即sin/4BiO=譽(yù)，求得BB1=3,取為81cl中點，則力粗工JL平面BCCiB「以01

為坐標(biāo)原點，分別以。1為，0.0,0送1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出

平面B&D,平面CiaD的法向量，利用向量夾角公式求得結(jié)果.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴由題意可知e=；=熱4(0,-b),

又4到圓上距離最大值為2-(-b)+l=3+b=3+y/~3,

???b=V-3?

(a2=b2+c2

又上=工’

la2

解得a2=4,b2=3.

(2)若。點與F點重合，則;l不存在,

若。點與尸點不重合，

??,點F到直線MN和PQ的距離相等，且F在直線％=It,

%N+kpQ=0,

設(shè)。由題意可知直線MN,PQ的斜率均存在且不為0,

設(shè)直線MN的方程為y-m=/q(x-l),(七工0),

(y-m=/c(x-1),

l3x2+4y2x=12，得(也1，

設(shè)”(如，加)，N(xN,yN),

mil.8々_1Q4/c_l、

WJXM+%/V=—^—2,xM-xN=—^—2,

又|DM|=7l+ZcF，|DN|=7l+k/

|DM|?|DN|=(l+k_l,

設(shè)直線PQ的方程為y—m=k2(x-l)(/c2*0),

同理可得|DP|?|DQ|=(1+k_2

又ki=一心,

：.|DM|?\DN\=\DP\-\DQ\,

故/I=1.

所以存在這樣的4=1,使得|DM|?|DN|=A\DP\■\DQ\.

【解析】(1)根據(jù)4到圓上距離最大值為3+C，求出b，再根據(jù)離心率及a?=及+?2,得到方程

組，解得即可；

(2)若。點與F點重合顯然不成立，若。點與F點不重合，依題意可得kMN+kpQ=0，設(shè)直線MN的

方程為y-m=ki(x-1),(自彳0),M(xM/yM),N(xN,yN'),聯(lián)立直線與橢圓方程，列出韋達(dá)定

理，表示出|DM|,\DN\,即可得到|DM|?|DN|,同理得到|DP|?|DQ|,即可得解.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔

題.

21.【答案】解：(1)函數(shù)/Xx)的定義域為(一8,1),((為=2%-4=

1—X1—X

設(shè)。(%)=-2/+2%—a,令g(%)=0,4=4—8a,

當(dāng)440時，即a2；,f(%)<0,八%)在(一8,1)單調(diào)遞減，

當(dāng)Z>0時，即，a<；,令g(x)=0,得與=匕畢豆，血=匕早四，

4ZZ

若aW0,<1,x2>由廣(x)V0即g(x)<0,得出％W(―8,與).

由>0即g(%)>0,得出％e(xlf1).

1

當(dāng)

O<Q<時

2-由/(%)<0即g(x)<0,得出%e(-00,x^)u(%2,1).

由/'(%)>0即g(%)>0,得出％6(%1，%2).

綜上所述：當(dāng)a封時，函數(shù)f(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)aW0時，函數(shù)f(x)在(一8,一'『a)上單調(diào)遞減,在(一'了,1)上單調(diào)遞增,

W

當(dāng)0<a<凱寸，函數(shù)/(x)在(一8,廣2。)上單調(diào)遞減,

在(三尹,1±手馬上單調(diào)遞增；在(止手紅,1)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知:當(dāng)0<a<；時,

/=三尹，%2=匕￡號是函數(shù)“X)兩個極值點，

有X1+X2=1,X1%2=p此時，<X2<

要證明f(Xi)-a》2>-a,只要證明一刀2>-1>

■(%1)—X2=3[好+aln(l-xj]-x2