第06講事件的相互獨(dú)立性條件概率全概率及貝葉斯公式（教師版）

第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率、全概率及貝葉斯公式（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第21題,12分利用全概率公式求概率求離散型隨機(jī)變量的均值2023年新Ⅱ卷，第12題,5分獨(dú)立事件的乘法公式獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題利用互斥事件的概率公式求概率2023年全國(guó)甲卷（理），第6題,5分計(jì)算條件概率無(wú)2022年新I卷，第20題,12分計(jì)算條件概率獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題2022年新Ⅱ卷，第19題,12分計(jì)算條件概率頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)利用對(duì)立事件的概率公式求概率2021年新I卷，第8題,5分獨(dú)立事件的判斷無(wú)2020年全國(guó)甲卷（理），第19題,12分獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用及概率無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握事件的相互獨(dú)立性關(guān)系及其辨析2.會(huì)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算3.會(huì)條件概率的計(jì)算全概率及貝葉斯概率的計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合條件概率、全概率及貝葉斯概率綜合考查，需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)知識(shí)講解事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立．互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時(shí)，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對(duì)任意的事件有考點(diǎn)一、獨(dú)立事件的判斷1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某家庭有三個(gè)孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨(dú)立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個(gè)男孩；事件：該家庭最多有一個(gè)女孩；則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對(duì)立 B．事件A與事件互斥且對(duì)立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件A與事件相互獨(dú)立【答案】D【分析】先列出生3個(gè)小孩包含的基本事件數(shù)及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件數(shù)，再利用互斥，對(duì)立和獨(dú)立事件所滿足的關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一作出判斷.【詳解】生3個(gè)小孩的總事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8個(gè)基本事件，事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6個(gè)基本事件，事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4個(gè)基本事件，事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4個(gè)基本事件，A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以事件與事件互斥且對(duì)立，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以事件A與事件B不互斥，不對(duì)立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，故，故事件與事件不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)橛?個(gè)基本事件，所以，又，所以，D正確.故選：D2．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則（

）A．乙與丙相互獨(dú)立 B．乙與丁相互獨(dú)立C．甲與丙相互獨(dú)立 D．甲與乙相互獨(dú)立【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概念及判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意得，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回地取撲克牌兩次的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)是，顯然事件丙與丁是對(duì)立事件，兩次取出的撲克牌花色相同包含的基本事件數(shù)為，則事件丙的概率，所以事件丁的概率，對(duì)于A中，事件乙與丙同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以乙與丙不相互獨(dú)立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，事件乙與丁同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以乙與丁不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，事件甲與丙同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以甲與丙不相互獨(dú)立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，事件甲與乙同時(shí)發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以甲與乙相互獨(dú)立，D正確．故選：D．3．（2023春·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．與不互斥且相互獨(dú)立 B．與互斥且不相互獨(dú)立C．與互斥且不相互獨(dú)立 D．與不互斥且相互獨(dú)立【答案】ABD【分析】根據(jù)事件的互斥與獨(dú)立的定義對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)可以同時(shí)發(fā)生，與不互斥；故A正確；對(duì)于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即與不相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和最大為8，即與不能同時(shí)發(fā)生，即與互斥，故B正確；對(duì)于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即與不相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為5，第二次的點(diǎn)數(shù)4點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為9，即與可以同時(shí)發(fā)生，即與不互斥，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和的奇偶，即與相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為2，第二次的點(diǎn)數(shù)3點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時(shí)發(fā)生，即與不互斥，故D正確.故選：ABD.4．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（

）A．與互為對(duì)立 B．與互斥C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】ACD【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】先編號(hào)：紅球?yàn)椋浊驗(yàn)?，不放回依次取出兩個(gè)，基本事件有，共種，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.A選項(xiàng)，，所以與互為對(duì)立事件；B選項(xiàng)，，所以與不是互斥事件；C選項(xiàng)，事件“”，所以，所以與相互獨(dú)立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，事件“”，，所以與相互獨(dú)立，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）有6個(gè)大小相同的小球，其中1個(gè)黑色，2個(gè)藍(lán)色，3個(gè)紅色．采用放回方式從中隨機(jī)取2次球，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍(lán)球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則（

）A．甲與乙相互獨(dú)立 B．甲與丙相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．乙與丁相互獨(dú)立【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互獨(dú)立事件的定義判斷作答.【詳解】依題意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球兩次的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)是，顯然事件丙與丁是對(duì)立事件，兩次取出的球顏色相同含有的基本事件數(shù)為，事件丙的概率，事件丁的概率，對(duì)于A，事件甲與乙同時(shí)發(fā)生所含的基本事件數(shù)為6，其概率，甲與乙相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，事件甲與丙同時(shí)發(fā)生所含的基本事件數(shù)為9，其概率，甲與丙不獨(dú)立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件乙與丙同時(shí)發(fā)生所含的基本事件數(shù)為8，其概率，乙與丙不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件乙與丁同時(shí)發(fā)生所含的基本事件數(shù)為4，其概率，乙與丁不獨(dú)立，D錯(cuò)誤.故選：A2．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，“A，B，C兩兩獨(dú)立”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】舉特例驗(yàn)證即可.【詳解】解析：一方面，考慮含有等可能的樣本點(diǎn)，.則，故兩兩獨(dú)立，但，故此時(shí)，不成立.另一方面，考慮含有等可能的樣本點(diǎn)，.則，故不獨(dú)立，也即兩兩獨(dú)立不成立.綜上，“兩兩獨(dú)立”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，A表示事件“第一次向上一面的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次向上一面的數(shù)字是2”，C表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是7”，D表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是8”，則（

）A．C與D相互獨(dú)立 B．A與D相互獨(dú)立C．B與D相互獨(dú)立 D．A與C相互獨(dú)立【答案】D【分析】根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義判斷.【詳解】由題意知，，所以C與D不相互獨(dú)立，，所以A與D不相互獨(dú)立，，所以B與D不相互獨(dú)立，，所以A與C相互獨(dú)立，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷事件A與B是否相互獨(dú)立，根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義關(guān)鍵看是否成立.4．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）（多選）有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（

）A．A與B互斥 B．C與D對(duì)立C．B與C相互獨(dú)立 D．B與D相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的概念判斷即可.【詳解】設(shè)采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：，，，，，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件：，，，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件：，，，，，，，有個(gè)，顯然當(dāng)出現(xiàn)，時(shí)事件、同時(shí)發(fā)生，故事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即事件與互斥，又事件與包含所有的結(jié)果，所以C與D對(duì)立，故B正確；又，，，所以，所以事件與相互獨(dú)立，故C正確；又，，，所以，所以事件與相互獨(dú)立，故D正確.故選：BCD.考點(diǎn)二、獨(dú)立事件的乘法公式1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某老師為了獎(jiǎng)勵(lì)考試成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)，在微信群里發(fā)了一個(gè)拼手氣紅包.已知甲、乙、丙三人搶到的紅包金額超過(guò)1元的概率分別為，則這三人中至少有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式結(jié)合獨(dú)立事件的概率除法公式分析運(yùn)算.【詳解】三人搶到的紅包都超過(guò)1元的概率為，三人中僅有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為，所以三人中至少有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為.故選：A.2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】討論甲獲勝時(shí)比賽的場(chǎng)次，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】若比賽兩場(chǎng)甲獲勝，則概率為；若比賽三場(chǎng)甲獲勝，則概率為；甲獲得冠軍的概率.故選：D.3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測(cè)）甲箱中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個(gè)球放入乙箱，然后再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)球．假設(shè)事件“從乙箱中取出的兩球都是白球”，“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，“從乙箱中取出的兩球一個(gè)是白球一個(gè)是黑球”，其對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率加法和組合數(shù)的計(jì)算公式，分類討論，分別求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)白球，可得，當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)白球，可得，所以；當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)黑球，可得，當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)黑球，可得，所以；當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鲆话滓缓谇?，可得，?dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鲆话滓缓谇颍傻?，所以，綜上可得，.故選：C.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則此時(shí)連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）對(duì)于一個(gè)事件E，用表示事件E中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D中，，，則（

）A．A與D不互斥 B．A與B互為對(duì)立 C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】利用古典概型相關(guān)知識(shí)，以及互斥事件，對(duì)立事件概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】對(duì)于A：，，，與互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：A與B互為對(duì)立，故B正確；對(duì)于C：，，，，A與C相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D：,，，又，，，B與C相互獨(dú)立，故D正確；故選：BCD.6．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若三個(gè)元件、、按照如圖的方式連接成一個(gè)系統(tǒng)，每個(gè)元件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)元件正常工作且、中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，若元件、正常工作的概率依次為、，且這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為，則元件正常工作的概率為.【答案】/【分析】設(shè)元件正常工作的概率為，當(dāng)系統(tǒng)正常工作時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)正常工作，、中至少有一個(gè)正常工作，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】設(shè)元件正常工作的概率為，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)正常工作，、中至少有一個(gè)正常工作，由題意可得，系統(tǒng)正常工作的概率為，解得.故答案為：.7．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)），甲、丙兩位同學(xué)都答錯(cuò)的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對(duì)的概率是.若各同學(xué)答題正確與否互不影響.則甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對(duì)這道題的概率為.【答案】【分析】設(shè)甲同學(xué)答對(duì)的的事件為A，答錯(cuò)的事件為，乙同學(xué)答對(duì)的事件為B，答錯(cuò)的事件為，丙乙同學(xué)答對(duì)的事件為C，答錯(cuò)的事件為，根據(jù)題意，由求得，再由求解.【詳解】解：設(shè)甲同學(xué)答對(duì)的事件為A，答錯(cuò)的事件為，設(shè)乙同學(xué)答對(duì)的事件為B，答錯(cuò)的事件為，乙同學(xué)答對(duì)的事件為C，答錯(cuò)的事件為，因?yàn)榧淄瑢W(xué)答對(duì)的概率是，甲、丙兩位同學(xué)都答錯(cuò)的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對(duì)的概率是，所以，解得，所以甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對(duì)這道題的概率為:，，故答案為：8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒(méi)有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可；（2）分析比賽情況，根據(jù)和事件的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局的概率即為甲、乙、丙各勝1局的概率.設(shè)甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨(dú)立，設(shè)比賽完3局時(shí)，甲、乙、丙各勝1局為事件，則，則，所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.（2）設(shè)甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，設(shè)比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則，，，，，，所以.所以，已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，甲獲得最終勝利的概率為.9．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時(shí)，在保持40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來(lái)一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽即總決賽就無(wú)法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來(lái)從敗者組殺上來(lái)拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡(jiǎn)單研究一下兩個(gè)賽制．假設(shè)四支隊(duì)伍分別為，其中對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為．最初分組時(shí)同組，同組．(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計(jì)算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？【答案】(1)；；(2)淘汰賽制獲得冠軍概率為，雙敗賽制獲得冠軍概率為；雙敗賽制下，會(huì)使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對(duì)強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對(duì)的．【分析】（1）若拿冠軍則只需要連贏兩場(chǎng)，對(duì)于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，然后根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式分別算出在不同賽制下拿冠軍的概率，然后作差進(jìn)行比較.【詳解】（1）記拿到冠軍分別為事件淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場(chǎng)即可拿到冠軍，因此，對(duì)于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，因此．（2）記兩種寒制下獲得冠軍的概率分別為，則.而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此，，.則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，.若，雙敗賽制下，隊(duì)伍獲得冠軍的概率更大，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會(huì)變小，若，雙敗賽制下，以伍獲得冠軍的概率更小，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會(huì)變大，綜上可知：雙敗賽制下，會(huì)使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對(duì)強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對(duì)的．1．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知某口袋中放有大小、質(zhì)地完全相同的紅球和白球各若干個(gè)，若有放回地從口袋中每次摸取1個(gè)球，連續(xù)摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，則（

）A． B．C． D．，大小不確定【答案】B【分析】設(shè)口袋中有紅球個(gè)，白球個(gè)，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式，分別求得，，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)口袋中有紅球個(gè)，白球個(gè)，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以.故選：B.2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在一段時(shí)間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲乙兩人各自行動(dòng)，則在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是（

）【答案】C【分析】利用對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【詳解】依題意，在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙都不去參觀博物館的概率為，所以在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是．故選：C.3．（2023·河南·校聯(lián)考二模）某知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽需要三人組隊(duì)參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，每個(gè)階段比賽中，如果一支隊(duì)伍中至少有一人通過(guò)，則這支隊(duì)伍通過(guò)此階段.已知甲、乙、丙三人組隊(duì)參加，若甲通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，乙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，丙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，且三人每次通過(guò)與否互不影響，則這支隊(duì)伍進(jìn)入決賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得這支隊(duì)伍通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率為，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算可得出結(jié)果.【詳解】“至少有一人通過(guò)”的對(duì)立事件為“三人全部未通過(guò)”，則這支隊(duì)伍通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率為，所以他們連續(xù)通過(guò)初賽和復(fù)賽的概率為，即進(jìn)入決賽的概率為.故選：B4．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）（多選）甲、乙兩人參加消防安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)共設(shè)三輪，在每輪活動(dòng)中，甲、乙各回答一題，若一方答對(duì)且另一方答錯(cuò)，則答對(duì)的一方獲勝，否則本輪平局．已知每輪活動(dòng)中，甲、乙答對(duì)的概率分別為和，且每輪活動(dòng)中甲、乙答對(duì)與否互不影響，各輪活動(dòng)也互不影響，則（

）．A．每輪活動(dòng)中，甲獲勝的概率為B．每輪活動(dòng)中，平局的概率為C．甲勝一輪乙勝兩輪的概率為D．甲至少獲勝兩輪的概率為【答案】ABD【分析】由事件的相互獨(dú)立性，計(jì)算概率即可判斷.【詳解】根據(jù)題意可得，甲獲勝的概率為：，故A正確；乙獲勝的概率為，所以平局的概率為，故B正確；所以3輪活動(dòng)中，甲勝一輪乙勝兩輪的概率為：，故C不正確；甲至少獲勝兩次的概率為故D正確.故選：ABD.5．（2023·貴州遵義·校考模擬預(yù)測(cè)）公司要求甲、乙、丙3個(gè)人在各自規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成布置的任務(wù)，已知甲、乙、丙在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)的概率分別為，，，則3個(gè)人中至少2人在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)的概率為．【答案】【分析】由互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解．【詳解】3個(gè)人中至少2人在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，即在規(guī)定時(shí)間內(nèi)3人中恰有2人完成任務(wù)或3人都完成任務(wù)．概率為．故答案為：．6．（2023·安徽合肥·二模）第十九屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉行．為了讓更多的同學(xué)了解亞運(yùn)會(huì)，學(xué)校團(tuán)委舉行了“迎亞運(yùn)，猜謎語(yǔ)”活動(dòng)．甲、乙兩位同學(xué)組隊(duì)代表班級(jí)參加此次迷語(yǔ)競(jìng)猜活動(dòng)．比賽共兩輪，每人每輪各猜一個(gè)謎語(yǔ)．已知甲每輪猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為，乙每輪猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為，若甲、乙兩人每輪猜對(duì)謎語(yǔ)與否互不影響，前后兩輪猜對(duì)謎語(yǔ)結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在此次比賽中共猜對(duì)3個(gè)謎語(yǔ)的概率為．【答案】【分析】討論甲乙猜對(duì)的個(gè)數(shù)情況利用概率公式計(jì)算即可.【詳解】甲乙共猜對(duì)3個(gè)謎語(yǔ)有如下兩種情況：甲猜對(duì)一個(gè)，乙猜對(duì)兩個(gè)，其概率為：；或甲猜對(duì)兩個(gè)，乙猜對(duì)一個(gè)，其概率為：，故甲、乙兩人在此次比賽中共猜對(duì)3個(gè)謎語(yǔ)的概率為.故答案為：7．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·統(tǒng)考二模）甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校進(jìn)行籃球比賽，各出一個(gè)代表隊(duì)，簡(jiǎn)稱甲隊(duì)、乙隊(duì)、丙隊(duì)．約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個(gè)隊(duì)，另一隊(duì)輪空；每場(chǎng)比賽的勝隊(duì)與輪空隊(duì)進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)隊(duì)下一場(chǎng)輪空，直至有一隊(duì)被淘汰；當(dāng)一隊(duì)被淘汰后，剩余的兩隊(duì)繼續(xù)比賽，直至其中一隊(duì)被淘汰，另一隊(duì)最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊(duì)首先比賽，丙隊(duì)輪空．設(shè)甲隊(duì)與乙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.5，甲隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.6，乙隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，乙隊(duì)獲勝概率為0.4．記事件A為甲隊(duì)輸，事件B為乙隊(duì)輸，事件C為丙隊(duì)輸，(1)寫出用A，B，C表示“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件，并求其概率；(2)寫出用A，B，C表示“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的事件，并求其概率；(3)求“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽”的概率．【答案】(1)事件為ACAC，概率為；(2)事件分別為BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率為；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，寫出所求事件，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答.（2）比賽四場(chǎng)結(jié)束的事件是三個(gè)互斥事件的和，寫出該事件，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解作答.（3）由（2），利用對(duì)立事件求出概率作答.【詳解】（1）依題意，，“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件為ACAC，所以.（2）“比賽四場(chǎng)結(jié)束”共有三種情況，分別是：“甲隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件BCBC；“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件ACAC；“丙隊(duì)上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)”為事件ABAB和事件BABA，所以，“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的概率為．（3）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽，所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為.8．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）某足球俱樂(lè)部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球?yàn)橐惠?球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時(shí)候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無(wú)需出場(chǎng)罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn),由甲隊(duì)球員先罰球,甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為,乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.(1)求每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率;(2)若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分,甲隊(duì)暫時(shí)以2:0領(lǐng)先,求甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率.【答案】(1)(2)【分析】(1)每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球.(2)甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過(guò)1分,即四輪罰球結(jié)束時(shí)比分可能為2:1或2:2或3:2.【詳解】（1）設(shè)每一輪罰球中,甲隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為;乙隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為.設(shè)每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的事件為C,由題意,得在每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球,則,故每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率為.（2）因?yàn)榧钻?duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過(guò)1分,即四輪罰球結(jié)束時(shí)比分可能為2:1或2:2或3:2.①比分為2:1的概率為.②比分為2:2的概率為.③比分為3:2的概率為.綜上,甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率為.考點(diǎn)三、條件概率的計(jì)算1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.【詳解】由題意，，由，是互斥事件知，，所以，故選：A．2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B為互斥事件，事件C滿足：，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)概率加法公式和條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)锳，B互斥，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．故選：B．3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）算盤是我國(guó)一類重要的計(jì)算工具．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個(gè)位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠至梁上，十位未撥動(dòng)，百位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105．現(xiàn)將算盤的千位撥動(dòng)一粒珠子至梁上，個(gè)位、十位、百位至多撥動(dòng)一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動(dòng)．設(shè)事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題目條件，分別算出，，然后代入公式，即可得到本題答案.【詳解】千位有1、5兩種選擇，百位、十位、個(gè)位有0、1、5三種選擇，事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，要使得表示的四位數(shù)為偶數(shù)，則末位應(yīng)該是0，可得，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，要使得表示的四位數(shù)為偶數(shù)且四位數(shù)大于5050，則千位是5，百位應(yīng)該是1或5，個(gè)位是0，可得，故.故選：A4．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？级＃ǘ噙x）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)古典概型概率的求法及條件概率，互斥事件概率求法，可以分別求得各選項(xiàng).【詳解】,故A正確；，故B正確；，故C正確；，，，故D錯(cuò)誤.故選:ABC5．（2023·廣東揭陽(yáng)·惠來(lái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，：“甲分配到學(xué)?！保皇录骸耙曳峙涞綄W(xué)?！?，則（

）A．事件與互斥 B．C．事件與相互獨(dú)立 D．【答案】BD【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AC；利用古典概率計(jì)算判斷B；計(jì)算條件概率判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，甲分配到學(xué)校的事件與乙分配到學(xué)校的事件可以同時(shí)發(fā)生，即事件與不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲分配到，，三個(gè)學(xué)校是等可能的，則，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，，顯然，因此事件與相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)BC知，，D正確.故選：BD6．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）記A，B為隨機(jī)事件，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若事件A，B互斥，，，B．若事件A，B相互獨(dú)立，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BC【分析】對(duì)于A，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的性質(zhì)分析判斷即可，對(duì)于B，根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于CD，根據(jù)條件概率的公式和對(duì)立事件的性質(zhì)分析判斷.【詳解】，∴，A錯(cuò).，B對(duì).令，，，∴，，∴，，∴，C對(duì).，D錯(cuò)，故選：BC.7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）（多選）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式可得.【詳解】對(duì)于A：，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，∴，，故B正確；對(duì)于C：，，∴，故C正確.對(duì)于D：，，∴，∴，∴，所以D正確.故選：BCD.8．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）1886年5月1日，芝加哥的二十一萬(wàn)六千余名工人為爭(zhēng)取實(shí)行八小時(shí)工作制而舉行大罷工，經(jīng)過(guò)艱苦的流血斗爭(zhēng)，終于獲得了勝利.為紀(jì)念這次偉大的工人運(yùn)動(dòng)，1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國(guó)際在巴黎舉行代表大會(huì)，會(huì)議上宣布將五月一日定為國(guó)際勞動(dòng)節(jié).五一勞動(dòng)節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長(zhǎng)假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是【答案】/【分析】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，根據(jù)題目條件先分別求出，然后由條件概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，因?yàn)橐阎自谖逡婚L(zhǎng)假期間值班2天，所以丙和乙分別值班一天、兩天或兩天、一天，所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有種，又因?yàn)榧自谖逡婚L(zhǎng)假期間連續(xù)值班兩天，可以是第1，2兩天或第2，3兩天或第3，4兩天或第4，5兩天，所以甲在五一長(zhǎng)假期間值班2天且甲連續(xù)值班的方案共有種，所以由條件概率公式得.故答案為：.9．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)事件A，B，，，，則.【答案】【分析】首先求出，則，則，最后利用對(duì)立事件的求法即可得到答案.【詳解】依題意得，所以故，所以.故答案為：.10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，那么．【答案】/【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.1．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．兩兩不互斥 B．C．與B是相互獨(dú)立事件 D．【答案】B【分析】對(duì)于A，由互斥事件的定義判斷，對(duì)于B，由條件概率的公式求解即可，對(duì)于C，由獨(dú)立事件的定義判斷，對(duì)于D，由求解【詳解】對(duì)于A，由題意可知，，不可能同時(shí)發(fā)生，所以，，兩兩互斥，所以A不正確；對(duì)于B，由題意可得，所以，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以，所以與B不是相互獨(dú)立事件，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知D是錯(cuò)誤的.故選：B.2．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）某校團(tuán)委組織“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走”主題征文比賽，評(píng)審結(jié)果顯示，獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量之比為，男生的征文獲獎(jiǎng)數(shù)量分別占一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑目倲?shù)的，，.現(xiàn)從所有獲獎(jiǎng)?wù)魑闹腥稳∫黄?，記“取出一等?jiǎng)的征文”為事件，“取出男生的征文”為事件，“取出女生的征文”為事件，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量比例，可以設(shè)出數(shù)量，進(jìn)而表示出獲獎(jiǎng)總數(shù)，再根據(jù)男女獲一、二、三等獎(jiǎng)比例，分別算出獲獎(jiǎng)數(shù)量，對(duì)于、用古典概型公式即可判斷，對(duì)于、用條件概率公式即可判斷.【詳解】解：因?yàn)楂@得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量之比為，那么不妨設(shè)獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量分別為，，，則獲獎(jiǎng)總數(shù)為.因?yàn)槟猩恼魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別占一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑目倲?shù)的，，，所以男生的一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別為，，，則女生的一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別為，，，現(xiàn)從所有獲獎(jiǎng)?wù)魑闹腥稳∫黄?，記“取出一等?jiǎng)的征文”為事件，“取出男生的征文”為事件，“取出女生的征文”為事件，則，，，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以選項(xiàng)正確.故選：.3．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市順德區(qū)容山中學(xué)校考階段練習(xí)）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C為互斥事件C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件求出，由互斥事件的定義、相互獨(dú)立事件的判定和條件概率公式進(jìn)行逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，則有不同的安排方法，事件“甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有種方法；若跳高比賽安排1人，則有種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有種，則，同理，若安排甲、乙同時(shí)參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有種不同的安排方法，所以，因?yàn)?，事件A與B不相互獨(dú)立故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在安排甲參加跳高比賽的同時(shí)安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有種，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C4．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?球，記事件A＝“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B＝“從乙袋中任取2球全是白球”，則（

）A．事件A與事件B相互獨(dú)立 B．C． D．【答案】CD【分析】由古典概型概率計(jì)算公式，以及條件概率公式分項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?球可知：從甲袋中任取1球?qū)σ掖腥稳?球有影響，事件A與事件B不是相互獨(dú)立關(guān)系，故A錯(cuò)誤；從甲袋中任取1球是紅球的概率為：，從甲袋中任取1球是白球的概率為：，所以乙袋中任取2球全是白球的概率為：，故B錯(cuò)誤；，所以，故C正確；，故D正確.故選：CD5．（2023秋·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（多選）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)和事件的概率公式和條件概率公式逐個(gè)分析求解即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，所以D正確，故選：ACD6．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）一個(gè)袋子中有編號(hào)分別為的4個(gè)球，除編號(hào)外沒(méi)有其它差異.每次摸球后放回，從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.設(shè)“第一次摸到的球的編號(hào)為2”為事件，“第二次摸到的球的編號(hào)為奇數(shù)”為事件，“兩次摸到的球的編號(hào)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．事件與事件相互獨(dú)立C． D．事件與事件互為對(duì)立事件【答案】AC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由古典概型的概率公式得，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題得，事件與事件不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D,舉例說(shuō)明事件與事件不是對(duì)立事件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，兩次摸到的球的編號(hào)之和能被3整除的基本事件有，共5個(gè)，由古典概型的概率公式得，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題得,,所以，事件與事件不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D,如果第一次摸到編號(hào)為1的球，第二次摸到編號(hào)為4的球，則事件A和B都沒(méi)有發(fā)生，所以事件與事件不是對(duì)立事件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）表示“政府推出購(gòu)買電動(dòng)汽車優(yōu)惠補(bǔ)貼政策”；事件表示“電動(dòng)汽車銷量增加”，，.一般來(lái)說(shuō)，推出購(gòu)車優(yōu)惠補(bǔ)貼政策的情況下，電動(dòng)汽車銷量增加的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠補(bǔ)貼政策時(shí)增加的概率要大.基于以上情況，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．.【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，直接根據(jù)題意即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，利用條件和對(duì)立事件的概率公式即可判斷出正誤；對(duì)于選項(xiàng)C和D，根據(jù)條件和條件概率公式，再進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可判斷出正誤.【詳解】根據(jù)題意知，故選項(xiàng)正確；由，得到，即，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；又由知，，化簡(jiǎn)得到，所以選項(xiàng)C正確；又由，得，所以，即，即，即，故D正確；故選：ACD.8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┈F(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)人到九嶷山?陽(yáng)明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，求出4人去4個(gè)不同的景點(diǎn)的總事件數(shù)，事件的總數(shù)和事件的總數(shù)，可求出，然后利用條件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，4人去4個(gè)不同的景點(diǎn)，總事件數(shù)為，事件的總數(shù)為，則，事件和事件同時(shí)發(fā)生，即“甲去了九嶷山，另外3人去了另外3個(gè)不同的景點(diǎn)”則事件的總數(shù)為，所以，所以，故答案為：9．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則．【答案】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式結(jié)合條件概率分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，所以.故答案為：.10．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知甲罐中有個(gè)紅球、個(gè)黑球，乙罐中有個(gè)紅球、個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則．【答案】/【分析】由題意可求，，再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式求解即可．【詳解】因?yàn)榧坠拗杏袀€(gè)紅球、個(gè)黑球，所以，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋海键c(diǎn)四、全概率公式及應(yīng)用1．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某餐館在網(wǎng)站有200條評(píng)價(jià)，好評(píng)率為，在網(wǎng)站有100條評(píng)價(jià)，好評(píng)率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，這家餐館的好評(píng)率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算可得.【詳解】解：由已知可得這家餐館的好評(píng)率為.故選:C.2．（2023春·云南·高三階段練習(xí)）有張獎(jiǎng)券，其中張可以中獎(jiǎng)，現(xiàn)有個(gè)人從中不放回地依次各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎(jiǎng)券被抽到的可能性相同，記事件“第個(gè)人抽中中獎(jiǎng)券”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與互斥 B．C． D．【答案】C【分析】利用互斥事件的定義、全概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】事件與可以同時(shí)發(fā)生,根據(jù)互斥事件的定義,A錯(cuò)誤;由全概率公式得,故B錯(cuò)誤;由概率的乘法公式得,故C正確;根據(jù)題意,所以,故D錯(cuò)誤.故選:C.3．（2023·河北衡水·河北棗強(qiáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)甲乘汽車?動(dòng)車前往某目的地的概率分別為，汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘火車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘動(dòng)車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知.由全概率公式得。故選：C4．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）有兩個(gè)書架，第一個(gè)書架上有4本語(yǔ)文書，6本數(shù)學(xué)書，第二個(gè)書架上有6本語(yǔ)文書，4本數(shù)學(xué)書．先從第一個(gè)書架上隨機(jī)取出一本書放到第二個(gè)書架上，分別以和表示從第一個(gè)書架上取出的書是語(yǔ)文書和數(shù)學(xué)書的事件；再?gòu)牡诙€(gè)書架上隨機(jī)取出一本書，以表示第二個(gè)書架上取出的書是語(yǔ)文書的事件，則（

）A．事件與事件相互獨(dú)立 B．C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)選項(xiàng)A：根據(jù)事件的獨(dú)立性概念判斷即可；對(duì)B，根據(jù)條件概率公式求解即可；對(duì)C，根據(jù)全概率公式求解即可；對(duì)D，根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：發(fā)生時(shí)B發(fā)生的概率是，不發(fā)生時(shí)B發(fā)生的概率是，由事件的獨(dú)立性概念知，事件與事件B不相互獨(dú)立，A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，B正確；對(duì)選項(xiàng)C：，C正確；對(duì)選項(xiàng)D：，D正確；故選：BCD．5．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)一模）（多選）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起，第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．隨機(jī)取一個(gè)零件，記“零件為次品”，“零件為第臺(tái)車床加工”，，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，故C正確；對(duì)于D：由上可得，又因?yàn)?，故D錯(cuò)誤，故選：BC．6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在某地A、B、CA、B、C三個(gè)縣區(qū)的人數(shù)比分別為4：3：3，先從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，這個(gè)人患流感的概率是.【分析】患流感的人可能來(lái)自三個(gè)地方，利用條件概率公式求解.【詳解】設(shè)事件D為此人患流感，，，分別代表此人來(lái)自A、B、C三個(gè)地區(qū)，根據(jù)題意可知：，，，，，，.故答案為：7．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開2號(hào)箱之前，主持人先打開了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲的選擇之外的一個(gè)空箱子.(1)計(jì)算主持人打開4號(hào)箱的概率；(2)當(dāng)主持人打開4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選1號(hào)或3號(hào)箱？（以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）【答案】(1)(2)甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.【分析】（1）設(shè)出事件，根據(jù)已知條件得出事件的概率以及條件概率，然后根據(jù)全概率公式即可得出答案；（2）根據(jù)條件概率公式，求出抽獎(jiǎng)人甲選擇各個(gè)箱子，獲得獎(jiǎng)品的概率，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)分別表示1，2，3，4號(hào)箱子里有獎(jiǎng)品，設(shè)分別表示主持人打開號(hào)箱子，則，且兩兩互斥.由題意可知，事件的概率都是，，，，.由全概率公式，得.（2）在主持人打開4號(hào)箱的條件下，1號(hào)箱?2號(hào)箱?3號(hào)箱里有獎(jiǎng)品的條件概率分別為，，，通過(guò)概率大小比較，甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.8．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車床所加工的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(3)參照第（2）問(wèn)給出判斷，求第1，2，3臺(tái)車床操作員對(duì)加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.(2)(3)第1，2臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)，第3臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān).【分析】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺(tái)車床加工”，則，且，，兩兩互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；（2）“求次品為第1臺(tái)車床所加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率由條件概率公式計(jì)算可得答案；（3）由條件概率公式計(jì)算可得答案；【詳解】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺(tái)車床加工”，則，且，，兩兩互斥，根據(jù)題意得，，，，，，，由全概率公式，得；（2）“求次品為第1臺(tái)車床所加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，；（3）根據(jù)（2），，故第1，2臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)，第3臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān).1．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機(jī)選取一箱，再?gòu)脑撓渲须S機(jī)取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，，然后根據(jù)題意求出，,的值，再根據(jù)全概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，,則由題意知，，,,所以故選：C2．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎幪?hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個(gè)球，設(shè)事件為第一次取出的球?yàn)閕號(hào)，事件為第二次取出的球?yàn)閕號(hào)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率及全概率公式即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析【詳解】由題意可得，故B正確；對(duì)于A，表示在第一次取出的球?yàn)?號(hào)的前提下，第二次取出的球?yàn)?號(hào)的概率，所以，故A正確；對(duì)于C，表示在第一次取出的球?yàn)?號(hào)的前提下，第二次取出的球?yàn)?號(hào)的概率，所以表示在第一次取出的球?yàn)?號(hào)的前提下，第二次取出的球?yàn)?號(hào)的概率，所以，應(yīng)用全概率公式,有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，利用條件概率可得，解得，故D正確故選：C3．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥【答案】BD【分析】根據(jù)已知得出，然后即可根據(jù)概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，由全概率公式可得，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)已知，即可計(jì)算，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可知，，，兩兩互斥，故D項(xiàng)正確.故選：BD.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃ǘ噙x）甲箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，事件和分別表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，事件表示由乙箱取出的球是紅球，則（

）A．事件與事件相互獨(dú)立 B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意得到，，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式和條件概率的公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，可得，，對(duì)于A中，由，且，可得，所以事件與事件不相互獨(dú)立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由A項(xiàng)可得，所以C不正確；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：BD.5．（2023·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）現(xiàn)有甲?乙兩個(gè)箱子，甲中有2個(gè)紅球，2個(gè)黑球，6個(gè)白球，乙中有5個(gè)紅球和4個(gè)白球，現(xiàn)從甲箱中取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是紅球，黑球和白球的事件，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩兩互斥.B．根據(jù)上述抽法，從乙中取出的球是紅球的概率為.C．以表示由乙箱中取出的是紅球的事件，則.D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同時(shí)再?gòu)募紫淙〕鲆磺颍瑒t取出的兩球都是紅球的概率為.【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，利用利用互斥事件意義判斷A；利用全概率公式求出概率判斷B；利用條件概率公式計(jì)算判斷C；利用概率的乘法公式及互斥事件的概率加法公式計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，，對(duì)于A，事件，不可能同時(shí)發(fā)生，即，因此事件，互斥，同理：事件，，事件，互斥，故A正確；對(duì)于B，從乙箱中取出的是紅球的事件為，則，因此，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，C正確；對(duì)于D，取出乙箱中一球的同時(shí)再?gòu)募紫淙〕鲆磺?，取出的兩球都是紅球的事件可以分拆成2個(gè)互斥事件的和，記甲箱中取紅球入乙箱，再?gòu)囊蚁淙〖t球、甲箱中取紅球的事件為，則，記甲箱中取黑球或白球入乙箱，再?gòu)囊蚁淙〖t球、甲箱中取紅球的事件為，則所以所求概率為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.6．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一位飛鏢運(yùn)動(dòng)員向一個(gè)目標(biāo)投擲三次，記事件“第次命中目標(biāo)”，，，，則.【答案】【分析】由題意，計(jì)算條件概率，利用全概率公式，求得答案.【詳解】由題意，，，則；，，則；故答案為：.7．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過(guò)小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒(méi)有平局）(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)的概率；(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場(chǎng)的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)事件“種子選手第局上場(chǎng)”，事件“甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；（2）設(shè)事件“種子選手未上場(chǎng)”，事件“甲隊(duì)獲得勝利”，計(jì)算出、的值，利用貝葉斯公式可求得的值.【詳解】（1）解：設(shè)事件“種子選手第局上場(chǎng)”，事件“甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)”.由全概率公式知，因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故，，，.所以，所以甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)的概率為.（2）解：設(shè)事件“種子選手未上場(chǎng)”，事件“甲隊(duì)獲得勝利”，，，，，因?yàn)?

由（1）知，所以.所以，已知甲隊(duì)獲得最終勝利，種子選手上場(chǎng)的概率為.8．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在問(wèn)卷調(diào)查中，被采訪人有可能出于隱私保護(hù)而不愿意如實(shí)填寫問(wèn)卷，導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)失真.某校高三級(jí)調(diào)查學(xué)生對(duì)飯?zhí)梅?wù)滿意情況，為保護(hù)學(xué)生隱私并得到真實(shí)數(shù)據(jù)，采取如下“隨機(jī)化回答技術(shù)”進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查：一個(gè)袋子中裝有五個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)黑球，3個(gè)白球、高三級(jí)所有學(xué)生從袋子中有放回的隨機(jī)摸兩次球，每次摸出一球.約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問(wèn)卷，若相同則按方式Ⅱ回答問(wèn)卷”.方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問(wèn)卷中答“是”，否則答“否”；方式Ⅱ：若學(xué)生對(duì)飯?zhí)梅?wù)滿意，則在問(wèn)卷中答“是”，否則答“否”.當(dāng)所有學(xué)生完成問(wèn)卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)答“是”，答“否”的比例，用頻率估計(jì)概率，由所學(xué)概率知識(shí)即可求得該校高三級(jí)學(xué)生對(duì)飯?zhí)梅?wù)滿意度的估計(jì)值.(1)若某班有50名學(xué)生，用X表示其中按方式Ⅰ回答問(wèn)卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)若該年級(jí)的所有調(diào)查問(wèn)卷中，答“是”與答“否”的比例為，試估計(jì)該年級(jí)學(xué)生對(duì)飯?zhí)玫臐M意度.（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）【答案】(1)(2)【分析】（1）按方式Ⅰ回答問(wèn)卷，即兩次摸到的球的顏色不同，該班50名學(xué)生中按方式Ⅰ回答問(wèn)卷的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，運(yùn)用公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（2）記事件A為按方式Ⅰ回答問(wèn)卷,事件B為按方式Ⅱ回答問(wèn)卷,事件C為在問(wèn)卷中回答“是”,利用全概率公式計(jì)算條件概率.【詳解】（1）每次摸到白球的概率為，摸到黑球的概率為，每名學(xué)生兩次摸到的球的顏色不同的概率，由題意可得，該班50名學(xué)生中按方式Ⅰ回答問(wèn)卷的人數(shù)，所以的數(shù)學(xué)期望.（2）記事件A為按方式Ⅰ回答問(wèn)卷,事件B為按方式Ⅱ回答問(wèn)卷,事件C為在問(wèn)卷中回答“是”,由（1）知，，，因?yàn)?，由全概率公式，即，解得，故根?jù)調(diào)查問(wèn)卷估計(jì)，該校高三級(jí)學(xué)生對(duì)飯?zhí)梅?wù)滿意度.考點(diǎn)五、貝葉斯概率公式及應(yīng)用1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“狼來(lái)了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽說(shuō)過(guò)：小孩第一次喊“狼來(lái)了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第二次喊“狼來(lái)了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第三次狼真的來(lái)了，但是這個(gè)小孩再喊狼來(lái)了就沒(méi)人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠(chéng)實(shí)的，則他出于某種特殊的原因說(shuō)謊的概率為；小孩是不誠(chéng)實(shí)的，則他說(shuō)謊的概率是．最初人們不知道這個(gè)小孩誠(chéng)實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠(chéng)實(shí)的概率是．已知第一次他說(shuō)謊了，那么他是誠(chéng)實(shí)的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)事件表示“小孩誠(chéng)實(shí)”，事件表示“小孩說(shuō)謊”，則，，，，則，，故，故.故選：D2．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨(dú)立C． D．【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意求出，判斷A選項(xiàng)；B選項(xiàng)，利用全概率公式求出，得到，判斷事件事件與事件B不相互獨(dú)立，得到D選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，利用條件概率公式求解即可.【詳解】由題意得，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，即，故事件事件與事件B不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤，D正確；，所以C錯(cuò)誤；故選：D3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件相互獨(dú)立 B．C． D．【答案】BD【分析】由題設(shè)求出、，利用條件概率公式、全概率公式判斷B、C、D，根據(jù)是否相等判斷事件的獨(dú)立性.【詳解】由題意，，，先發(fā)生，此時(shí)乙袋有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，則，先發(fā)生，此時(shí)乙袋有4個(gè)紅球，4個(gè)白球和3個(gè)黑球，則，先發(fā)生，此時(shí)乙袋有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，則，所以，B正確；，，，C錯(cuò)誤；則，，，A錯(cuò)誤；，D正確.故選：BD4．（2023秋·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為．【答案】【分析】利用貝葉斯公式即可求得答案.【詳解】記事件：車床加工的零件為次品，記事件：第臺(tái)車床加工的零件，則，，，，，，任取一個(gè)零件是次品的概率為如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為.故答案為：.1．（2023·湖北武漢·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為（

）【答案】A【分析】設(shè)表示該汽車是貨車，表示該汽車是客車，即得，，設(shè)表示貨車中途停車修理，表示客車中途停車修理，則，，利用條件概率計(jì)算公式能求出今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率．【詳解】設(shè)表示該汽車是貨車，表示該汽車是客車，則，，設(shè)表示貨車中途停車修理，表示客車中途停車修理，則，，表示一輛汽車中途停車修理，則，今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為：．故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球．若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率為B．第二次抽到3號(hào)球的概率為C．如果第二次抽到的是1號(hào)球，則它來(lái)自2號(hào)盒子的概率最大D．如果將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的放法有300種【答案】AB【分析】計(jì)算條件概率判斷A；利用全概率公式計(jì)算判斷B；利用貝葉斯公式求解判斷C；求出不同元素的分組分配種數(shù)判斷D作答.【詳解】記第一次抽到第i號(hào)球的事件分別為，則有，對(duì)于A，在第一次抽到2號(hào)球的條件下，則2號(hào)球放入2號(hào)盒子內(nèi)，因此第二次抽到1號(hào)球的概率為，A正確；對(duì)于B，記第二次在第i號(hào)盒內(nèi)抽到3號(hào)球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到3號(hào)球的事件為，，B正確；對(duì)于C，記第二次在第i號(hào)盒內(nèi)抽到1號(hào)球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到1號(hào)球的事件為，，第二次的球取自盒子的編號(hào)與第一次取的球的號(hào)數(shù)相同，，，，即第二次抽到的是1號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)盒子的概率最大，C不正確；對(duì)于D，把5個(gè)不同的小球分成3組的不同分組方法數(shù)是種，將每一種分組方法分成的小球放在3個(gè)盒子中有種不同放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的放法種數(shù)是種，D不正確.故選：AB3．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）學(xué)校給每位教師隨機(jī)發(fā)了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40％，次品率為5％，第2份占總數(shù)的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機(jī)拿了一個(gè)發(fā)現(xiàn)是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為．【答案】【分析】利用貝葉斯公式即可.【詳解】設(shè)事件B為“拿的蘋果是次品”，為“拿的蘋果來(lái)自第i份”，則，，，，所以，所求概率為．故答案為：4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某考生回答一道有4個(gè)選項(xiàng)的選擇題，設(shè)會(huì)答該題的概率是，并且會(huì)答時(shí)一定能答對(duì)，若不會(huì)答，則在4個(gè)答案中任選1個(gè).已知該考生回答正確，則他確實(shí)會(huì)答該題的概率是.【答案】【分析】利用條件概率和全概率公式即可.【詳解】設(shè)考生會(huì)答該題為事件A，不會(huì)答為事件B，該考生回答正確為事件C；則：,,故答案為：【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校對(duì)高三男生進(jìn)行體能抽測(cè)，每人測(cè)試三個(gè)項(xiàng)目，1000米為必測(cè)項(xiàng)目，再?gòu)摹耙w向上，仰臥起坐，立定跳遠(yuǎn)”中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試，則某班參加測(cè)試的5位男生測(cè)試項(xiàng)目恰好相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算抽取方式的種數(shù)，得到其中一種抽取方式的概率，計(jì)算5人都抽取這一結(jié)果的概率，再把所有類型的結(jié)果相加即可.【詳解】從“引體向上，仰臥起坐，立定跳遠(yuǎn)”中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試，有種結(jié)果，其中抽得“引體向上，仰臥起坐”這兩項(xiàng)的概率為，5位男生都抽到這兩項(xiàng)概率為，同理，5位男生都抽到“引體向上，立定跳遠(yuǎn)”這兩項(xiàng)和5位男生都抽到“仰臥起坐，立定跳遠(yuǎn)”這兩項(xiàng)的概率都是，所以5位男生測(cè)試項(xiàng)目恰好相同的概率為.故選：B.2．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接受信號(hào)為1的概率為（

）【答案】B【分析】運(yùn)用全概率公式及對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)A=“發(fā)送的信號(hào)為0”，B=“接收到的信號(hào)為0”，則=“發(fā)送的信號(hào)為1”，=“接收到的信號(hào)為1”，所以，，，，，，所以接收信號(hào)為0的概率為：，所以接收信號(hào)為1的概率為：.故選：B.3．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）一個(gè)不透明的袋中裝有4個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，事件A：“這3個(gè)球的顏色各不相同”，事件B：“這3個(gè)球中至少有1個(gè)黑球”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用分類加法與分步乘法分別求得、，再結(jié)合條件概率的公式計(jì)算即可.【詳解】