同角三角函數(shù)基本關(guān)系教案 人教A版數(shù)學(xué)必修四第一章

第一章三角函數(shù)1.2任意角的三角函數(shù)1.2．1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課型：新授課課時：第一課時1、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)：通過觀察猜想出兩個公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)過程，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握基本關(guān)系式在兩個方面的應(yīng)用：1）已知一個角的一個三角函數(shù)值能求這個角的其他三角函數(shù)值；2）證明簡單的三角恒等式。2.過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察——猜想——證明的科學(xué)思維方式；通過公式的推導(dǎo)過程培養(yǎng)學(xué)生用舊知識解決新問題的思想；通過求值、證明來培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力；通過例題與練習(xí)提高學(xué)生動手能力、分析問題解決問題的能力以及其知識遷移能力。3.情感、態(tài)度與價值觀：經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用。難點(diǎn)：同角三角函數(shù)函數(shù)基本關(guān)系在解題中的靈活選取及使用公式時由函數(shù)值正、負(fù)號的選取而導(dǎo)致的角的范圍的討論。3、專家建議在公式的推導(dǎo)中，教師是用創(chuàng)設(shè)問題的形式引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)關(guān)系式，多讓學(xué)生動手去計(jì)算，體現(xiàn)了"教師為引導(dǎo),學(xué)生為主體,體驗(yàn)為紅線,探索得材料,研究獲本質(zhì),思維促發(fā)展"的教學(xué)思想；通過兩種不同的例題的對比，讓學(xué)生能夠明白到關(guān)系式中的開方，是需要考慮正負(fù)號，而正負(fù)號是與角的象限有關(guān)，角的象限題目可以直接給出來，但有時是需要已知條件來推出角可能所在的象限，通過分析，把本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)解決了；課堂在完成例題及變式時要給予學(xué)生充分的時間思考與嘗試，故對學(xué)生的檢測只能安排在課后的作業(yè)中，作業(yè)可以檢測學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容掌握的情況，能否靈活運(yùn)用知識進(jìn)行合理的遷移，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題中存在的問題‘4、教法與學(xué)法1．教法：采取誘思探究性教學(xué)方法，在教學(xué)中提出問題，創(chuàng)設(shè)情景引導(dǎo)學(xué)生主動觀察、思考、類比、討論、總結(jié)、證明，讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人，在主動探究中汲取知識，提高能力。2．學(xué)法：從學(xué)生原有的知識和能力出發(fā),在教師的帶領(lǐng)下，通過合作交流,共同探索,逐步解決問題.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須注重概念、原理、公式、法則的形成過程，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)。5、教具：計(jì)算機(jī)，多媒體投影，黑板6、教學(xué)過程設(shè)計(jì)6.1創(chuàng)設(shè)情境引入課題【師】我們看下面一個問題【板書/PPT】計(jì)算下列各式的值答案：1,1，，【師】思考：【板書/PPT】問題1：從以上的過程中，你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律？問題2：你能否用代數(shù)式表示這兩個規(guī)律？6.2自主學(xué)習(xí)推導(dǎo)公式【師】我們證明一下【板書/PPT】1．證明公式：（同角三角函數(shù)基本關(guān)系）（1）、平方關(guān)系:（2）、商的關(guān)系: 回憶：任意角三角函數(shù)的定義？學(xué)生回答：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）則：sin=y；cos=x，引導(dǎo)學(xué)生注意：單位圓中所以：sin2+cos2=；= 由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：

（1）商數(shù)關(guān)系：（2）平方關(guān)系：說明：①注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如等；②注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如；③對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用），如：，，等。6.3小組合作及時訓(xùn)練一、求值問題【師】我們看一下例1【板書/PPT】例1．已知，并且是第三象限角，求．變式1、已知，求．解：（1）∵，∴又∵是第三象限角，∴，即有，從而【師】我們看一下變式【板書/PPT】變式1∵，∴，又∵，∴在第一或四象限角。當(dāng)在第一象限時，即有，從而，；當(dāng)在第四象限時，即有，從而，．【師】我們看一下變式【板書/PPT】變式2.已知，求和解：∵，，∴，即有，又∵為非零實(shí)數(shù)，∴為象限角。當(dāng)在第一、四象限時，即有，從而，；當(dāng)在第二、三象限時，即有，從而，．總結(jié)：已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開平方時，漏掉了負(fù)的平方根。【師】我們看一下例2【板書/PPT】例2、已知，求（1）解：（1）強(qiáng)調(diào)（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以,將分子、分母轉(zhuǎn)化為的代數(shù)式；

2“化1法”可利用平方關(guān)系，將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)系化歸為的分式求值；二、化簡【師】我們看一下例3【板書/PPT】例3．化簡．【師】我們看一下變式【板書/PPT】變式、化簡小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：（1）盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時，常將式子中的“1”作巧妙的變形，三、證明恒等式【師】我們看一下例4【板書/PPT】例4．求證：．證法一：由題義知，所以．∴左邊=右邊．∴原式成立．證法二：由題義知，所以．又∵，∴．證法三：由題義知，所以．∴．總結(jié)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等于另一邊；（2）證明左右兩邊同等于同一個式子；（3）證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立。題型四利用sinα±cosα與sinαcosα的關(guān)系【師】我們看一下例5【板書/PPT】例5已知0<α<π，sinα＋cosα＝，求tanα的解：由sinα＋cosα＝eq\f(1,5) ①得sinαcosα＝－eq\f(12,25)<0， 又0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，則sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,25))))＝eq\f(7,5) ②由①②解得sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)， 所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).【師】我們看一下變式【板書/PPT】變式4已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0的兩個根(a∈R)．求sin3θ＋cos3θ的值．解依題意，方程判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0∴a≤0或a≥4，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝a，,sinθ·cosθ＝a，))∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝a2，即a2－2a－1＝0∴a＝1－eq\r(2)或a＝1＋eq\r(2)(舍去)，即sinθ＋cosθ＝sinθ·cosθ＝1－eq\r(2).sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－eq\r(2))[1－(1－eq\r(2))]＝eq\r(2)－2.【題后反思】(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”．它們的關(guān)系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判斷它們的符號．6.4總結(jié)反思，深化認(rèn)識1.同角三角函數(shù)的三組關(guān)系式的前提是“同角”，因此……．2.諸如，，……它們都是條件等式，即它們成立的前提是表達(dá)式有意義3.利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進(jìn)行分類討論．6.6作業(yè)布置：1.課本P21A組10、11、122.優(yōu)化設(shè)計(jì)本節(jié)6.7當(dāng)堂檢測1.若sinθ>0，化簡：eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(tanθ－sinθ,tanθ＋sinθ))解∵eq\r(\f(tanθ－sinθ,tanθ＋sinθ))＝eq\r(\f(\f(sinθ,cosθ)－sinθ,\f(sinθ,cosθ)＋sinθ))＝eq\r(\f(sinθ－sinθcosθ,sinθ＋sinθcosθ))＝eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＝eq\r(\f(1－cosθ2,1＋cosθ1－cosθ))＝eq\r(\f(1－cosθ2,sin2θ))＝eq\f(1－cosθ,sinθ)∴原式＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\f(1－cosθ,sinθ)＝1.2.若sinA＝eq\f(4,5)，且A是三角形的一個內(nèi)角，求eq\f(5sinA＋8,15cosA－7)的值．解：∵sinA＝eq\f(4,5)>0，∴A為銳角或鈍角，當(dāng)A為銳角時，cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(3,5)，∴原式＝6.當(dāng)A為鈍角時，cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\f(3,5)，∴原式＝eq\f(5×\f(4,5)＋8,15×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－7)＝－eq\f(3,4).3.已知，求解：（1）方法①方法②同角三角函數(shù)基本關(guān)系式一、公式二、例題例21、sin2+cos2=1;