新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

第I卷(選擇題)

一、選擇題

,1

Z=1H—

1.已知復(fù)數(shù)i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

k答案》D

K解析工z=l+-=l+-^=l-i

ii

則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-1),在第四象限，

故選：D.

2.已知集合/={1,2,3,4},N={x,eM},則McN=()

A.{1}B.{1,2}C.{1,4}D.0

［答案』B

(解析X因為"={1,2,3,4}4=卜—6"},

所以N={±1,+V2,+y/3,±2),

所以"N={1,2},故選：B.

3.“x>2”是“％>3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案XB

k解析U「x>2%x>3,

；?“x>2”是“x>3”不充分條件;

又x>3=x>2,

..“%>2”是“x>3”的必要條件.

綜上，“x>2”是“x>3”的必要不充分條件.故選：B

4.拋物線/=2/?過點（2,2）,則焦點坐標為（）

A.（0,0）B.g，o）C.加D.（1,0）

[答案工c

K解析工因為拋物線產(chǎn)=2內(nèi)過點（2,2）,所以4=4。，故p=l,

故y2=2x,故焦點坐標為o],故選：C.

5.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項為1,公比為心前幾項和為S"，若｛S,,+l｝也是等比數(shù)列，則4=

（）

A.-2B.gC.1D.2

（答案1D

k解析U由題意可知，4=1,a?=q,%=/，

若｛q｝為常數(shù)列，則，+1=2,S2+1=3,S3+1=4,不為等比數(shù)列，與題意不合;

a"-1

若4片1,貝IS,,=q?工一-q"-1

q-1q-1

若｛S〃+l｝也是等比數(shù)列，則(S〃+l)2=(S,T+1)(S0+I+1),H>2,?eN*.

anfq11+q-^\_q"f+q-2qn+i+q-i

、q-i)q-iq-i

2q"("2)=(q-2)(q"T+qn+l)nq『'("-2)(q=0,

解得4=2或q=l（舍去）.故選：D.

6.設(shè)x>0,函數(shù)丁=%2+%—7,丁=2"+%-7,丁=1082了+%-7的零點分別為。,。,（:，則

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

(答案》A

2v

K解析U分別令y=x+x-7=0,y=2+x-7=0,y=log2x+x-7=0,

貝I%2=-x+7,2'=-x+7,log2%=—x+7,

x

則a,O,C分別為函數(shù)y=-％+7與函數(shù)y=%2,y=2,y=log2X圖象交點的橫坐標,

分別作出函數(shù)y=%2,_y=—x+7,y=2*,y=log2X的圖象，如圖所示，

由圖可知，a<b<c.

故選：A.

7.已知角以0°<。<360°)終邊上A點坐標為(sin310°,cos310°),則夕=()

A.130°B.140°C.220°D,230°

K答案UB

K解析H因為sin310°<0,cos310°>0,

所以角a的終邊在第二象限,

cos310°cos(3600-50°)cos50°

又因為tana=--------=----；----------?=--------

sin310°sin(360°-50°)-sin50°

cos(140°-90°)sin140。

=tan140°,

--sin(140°-90°)cos140°

且0°<a<360。,

所以a=140°.故選：B.

8.設(shè)占是函數(shù)/(%)=]3+依2+l+1的兩個極值點，若％+3々=-2,則。=()

A.0B.1C.2D.3

k答案』C

K解析工由題意得廣(%)=3三+2依+1,又是函數(shù)的兩個極值點，

2〃]

則再,9是方程3x2+2ax+1=0的兩個根，故%+%=—I,=§

又%1+3%2=—2,則犬1=一3%2—2,即％入2=(—3%2—2)%2=；，則％21

3

-1c

則X]=—1,所以西+々=—3—1=....-,解得<7=2,

止匕時A=42—4x3xl=4>0.故選：C.

二、選擇題

9.9知函數(shù)〃力=二；：g(x)=e，；e*,則()

A.函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)g(x)是奇函數(shù)

C.函數(shù)/(x)與g(x)的圖象關(guān)于原點對稱

D.g(2x)=[〃x)T+[g(x)T

(答案XABD

K解析U對于A,丁=6'?=-er均為R上的增函數(shù)，故=在R上單調(diào)遞增,

故A正確.

對于B,令F(x)=〃x)g(x)=^~/—,其中％eR,

而網(wǎng)一耳=士二:亡=一外力，故廠(可為R上的奇函數(shù)，故B正確.

對于C,/(。)=0,故/(x)的圖象過原點，

若函數(shù)/(%)與g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則g(x)的圖象也過原點，

但g(O)=l,矛盾，故函數(shù)/(x)與g(x)的圖象不關(guān)于原點對稱，故C錯誤.

對于D，[〃x)T+[g(x)T=(-)：(e'+er)；g^=g(2x)，

故D正確，故選：ABD.

10.數(shù)學(xué)中有個著名的“角谷猜想”，其中數(shù)列｛/｝滿足：%=m(加為正整數(shù)),

多，當(dāng)4為偶數(shù)時

a)

n+\

3%+1,當(dāng)4為奇數(shù)時

A.機=5時，4=1

2

B.m=5時，在所有?！暗闹到M成的集合中，任選2個數(shù)都是偶數(shù)的概率為二

C.%=4時，加的所有可能取值組成的集合為“={8,10,64}

D.若所有％的值組成的集合有5個元素，則m=16

(答案IABD

k解析》對于A,當(dāng)m=5時，貝ijq=5,4=16,%=8,4=4%=2,%=1，故A正確;

對于B,當(dāng)m=5時，則%=5,4=16,%=8,%=4,%=2,g=1,%=4,/=2,

所以數(shù)列{4}從第4項起，是以3為周期的周期數(shù)列，

所以所有0的值組成的集合為{1,2,4,5,8,16},

從中任選2個數(shù)都是偶數(shù)的概率為||=2=|,故B正確；

對于C,當(dāng)%=4時,

若為為奇數(shù)，則3a4+1=4,故4=1,

若氏為偶數(shù)，則《=4,故%=8,

若。4=1，貝！J?=l或3%+1=1,所以。3=2或。3=0（舍去），

由。3=2,得=2或34+1=2,所以出=4或%=g（舍去）,

由%=4,得5=4或3%+1=4,所以q=8或4=1,

若〃4=8,則母=8或3%+1=8,所以〃3=16或”3=］（舍去）,

由。3=16,得%~=16或3。2+1=16,所以々2=32或%=5（舍去），

2

Q1

由%=32,得事=32或34+1=32,所以[=64或。1=當(dāng)（舍去），

由g=5,得言=5或34+1=5,所以4=10或弓=：（舍去），

綜上所述，q=1或。1=8或。1=10或％=64,

所以加的所有可能取值組成的集合為“=｛1,8,10,64｝,故C錯誤;

對于D,若所有%的值組成的集合有5個元素，則集合中的元素為L2,4,8,16,

右*Q]=1,貝jjQ2=4,Q3=2,Q4=1，

所以數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，

此時所有用,的值組成的集合只有3個元素，不符題意；

右%=4,則2=2,%=1,。4=4,

所以數(shù)列｛%,｝是以3為周期的周期數(shù)列，

此時所有用,的值組成的集合只有3個元素，不符題意；

若。1=2,則g=1,%=4,。4=2,%=1，所以數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列,

此時所有%的值組成的集合只有3個元素，不符題意；

若=8,貝I%=4,%=2,%=1，〃5=4,4=2,

所以數(shù)列｛4｝從第2項起，是以3為周期的周期數(shù)列，

此時所有用,的值組成的集合只有4個元素，不符題意；

若％=16,貝U%=8,%=4,/=2,%=L/=4,%=2,

所以數(shù)列｛%,｝從第3項起，是以3為周期的周期數(shù)列，

此時所有用,的值組成的集合有5個元素，符合題意，

所以若所有明的值組成的集合有5個元素，則m=16,故D正確.故選：ABD.

11.已知點4（—1,0）,5（1,0）,直線AM,剛/相交于點且它們的斜率之和是2.設(shè)動

點”（羽y）的軌跡為曲線。，則（）

A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.x的范圍是｛尤卜/。｝,丁的范圍是R

c.曲線。與直線y=x無限接近，但永不相交

D.曲線。上兩動點P（a,Z?）,Q（c,d）,其中a<0,c>0,則|尸。1mhi=2也e'—2

K答案》ACD

K解析X設(shè)M（x,y）,由題意頻^M=2,

即上+上=2,化簡得孫=必—1,即丁=二二l=x—L（xw0且xw±l）,

x+1x-1xX

對于A,將（一九,一y）代入得一y=—%---,BPy=x-—,

所以曲線。關(guān)于原點對稱，故A正確；

對于B,由A選項知，犬的范圍是且XW±1｝,故B錯誤；

對于C,由y=x----,得y一1二—，

xx

當(dāng)x->+8時，一工一>0,即y-x—。，

x

當(dāng)元一—8時，一工―0,gpy-x^0,

x

所以曲線c與直線>=%無限接近，但永不相交，故c正確；

對于D,要使|尸。|最小，則曲線c在尸,。兩點的切線平行，

由y=%—‘，得y'=l+《，貝！Jl+4=l+4，所以片二。2,

xxac

因為av0,c>0,所以。二一。，

則尸］—c,—c+—|,2|GC—|,

所以|PQ|=J（2c）2+[2c-=J8c2+-^-8>閭8c2--8=2,20—2，

當(dāng)且僅當(dāng)8c2=：,即0=竹時取等號，

所以|P0min=2,2后_2，故D正確.故選：ACD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題

223

12.已知雙曲線——會=1（。〉0力〉0）的漸近線方程為丁=?]%,則其離心率為.

K答案X-

4

223

k解析》因為雙曲線——￡=1（?！?/〉0）的漸近線方程為丁=?1工，

所以一=—，所以離心率e=Jl+乂=3.故K答案』為：一.

a4ya244

13.正方體ABC。-A/G2的棱長為2,內(nèi)壁是光滑的鏡面.一束光線從A點射出，在正

方體內(nèi)壁經(jīng)平面5CG用反射，又經(jīng)平面ADD]A反射后到達G點，則從A點射出的入射光

線與平面BCC用的夾角的正切值為.

K答案x迪

2

k解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A（O,0,0）,^（2,2,2）,5（2,0,0）,則G關(guān)于平面A。，A的對稱點M（—2,2,2）,

而A關(guān)于平面BBgC的對稱點的坐標為N（4,0,0）,

設(shè)直線NM與平面BB?C的交點分別為T，則入射光線為AT,

設(shè)T（2,加,〃），則存在實數(shù)；I,使得MN=XMT，

6=42

所以(6,—2,—2)=4(4,加—2,〃—2),故—2=2(加—2),故＜

-2=A(n-2)n=—

因為A3,平面8與C|C,故4r與平面B4GC所成的角為NA7B,

而gfu平面BBC。，故5TJ_AB,故tan/ATB=￡2.故K答案》為：迫，

22

14.已知AHH.AQA五個點，滿足：AA+1-4+14+2=o(n=i,2,3),|4A,+』4+A+2|

=〃(〃=1,2,3),則|AA|的最小值為.

K答案U1

K解析H因為，4+』4+14+2卜〃(〃=1,2,3),

所以A4MAi=1，14A憶4|=2,|4/4聞=3,

~13

由題意設(shè)IA4l=x,貝1JIA2A31=—，|AA|=2%J4聞=,

XhX

設(shè)4（0,0）,如圖，因為求14AI的最小值,

A2x

則4（無,0）,A。,一）,&（一羽一），A（一%,一^―），

xx2x

所以144『=三+'?2'?止=1，當(dāng)且僅當(dāng)/=止，即*=三時取等號，

所以144I的最小值為L故k答案》為：L

四、解答題

15.已知;?(x)=(2x+l)ln%—、，曲線/(x)在x=l處的切線方程為丫=奴+氏

(1)求見。；

(2)證明/(%)<以+/?.

2

(1)解：由/(%)=(2%+1)1皿一1■可得

/"(x)=21nx+(2x+l)—-x=21nx-x+—+2,

則/'(1)=2,所以曲線/(%)在點x=l處的切線斜率為左=2,

又因為/(1)=一[，所以切線方程為：y+；=2(x—1),即y=2x—

所以a=2力=—?.

2

24

⑵證明：要證明〃X)WG:+/7,只要證(2x+l)hw—卞―2X+|40,

丫251

設(shè)g(x)=(2x+l)lnx-----2%+—,則g'(%)=21IIXH----%,

22%

令/z(x)=21ru+，—X'則〃⑺=2-_]=_(1)?0,

所以丸⑴在(0,+8)上單調(diào)遞減，又丸⑴=0,

所以當(dāng)xe(0,1)時，〃(x)〉0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+oo)時，//(%)<0,則g(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

所以g(x)Wg(l)=。，所以/(x)War+Z?.

16.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,將△A3。沿對角線3。進行翻折，得到三

棱錐A-BCZZE是A3中點，歹是OE中點，P在線段AC上，且注7/平面BCD.

(2)若ABLCD,求平面ABC與平面AC尸的夾角的余弦值.

解：(1)如圖，取跳的中點連接AfRMF,

因為斤是OE中點，所以MF7/BD,

又MF(Z平面6CD，BDu平面BCQ,

所以〃平面BCD，

又尸尸〃平面BCD,MFcPF=F,MF,PFu平面PMF,

所以平面PMF//平面BCD,

又平面ABCc平面=,平面BCD平面ABC=BC，

所以PM7/3C,

,APAM°

所err以——=——=3；

PCMC

（2）因為ABJ.CO,BC_LCD,ABcBC=5,AB,BCu平面ABC,

所以CD1平面ABC,又ACu平面ABC,所以COJ_AC,

則AC=742-32=幣>

則4。2+.2=§。2,所以AB^AC,

如圖，過點A作AHL3C于點H,

7

4

如圖，以點C為原點建立空間直角坐標系,

則A0,：,乎,B（0,4,0）,C（0,0,0）,D（3,0,0）,E0,y,^,F

3233幣,

故"/叮73p?j、0=

設(shè)平面AC尸的法向量為〃=(%,y,z),

f7,3占n

n-CA=-y-\------z=0

則有《44

a3,23

n-CF=-x-\yH------z=0n

21616

令z=V7，則y=-3,x=2f

所以〃=(2,—3,J7),

因為x軸1平面ABC，則可取加=(1,0,0)為平面ABC的一條法向量,

?,i_|m-n|_2_75

故cosm,n\=~j-7—r=------尸二——,

11|m||n|1x2755

所以平面ABC與平面AB的夾角的余弦值為好.

17.某果園產(chǎn)蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為4:1.

(1)若選擇分層抽樣，抽出100個蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300,

小果的單果平均重量為190克，方差為320,試估計果園蘋果的單果平均重量、方差；

(2)現(xiàn)用一臺分選機進行篩選，已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為10%,把小果

篩選為大果的概率為5%,經(jīng)過分選機篩選后，現(xiàn)從篩選出來的“大果”里隨機抽取一個，問

這個“大果”是真的大果的概率.

41

解：(1)100個蘋果中，大果的個數(shù)為§乂100=80,小果的個數(shù)為《xl00=20,

設(shè)大果的單果平均重量為(，方差為s；,小果的單果平均重量為石，方差為學(xué),

則X=240,s；=300,兀=190,s；=320,

則100個蘋果的平均重量為卷(80x240+20x190)=230,

100個蘋果的方差為：

2

52=—x300+(240-230)2+20x320+704.

100

故估計果園蘋果的單果平均重量為230、方差為704；

（2）記事件A：放入水果分選機的蘋果為大果，事件4：放入水果分選機的蘋果為小果,

記事件B:水果分選機篩選的蘋果為“大果"，貝『'大果是真大果”為A13,

則P（A）=:「（&）=5P（網(wǎng)A）=i-]=]，網(wǎng)網(wǎng)4）=1,

由全概率公式可得：

p⑻=p（4），（網(wǎng)A）+P（4"（叫4）=3'+35=看,

尸（刎=尸（A）尸（冏4）=+\=!|，

0-網(wǎng)40-18>10°-72

因此,（Al）P（B）257373

18.在ABC中，點M,N分別為BC,AC的中點,.與527交于點G,AM=3,ZMAB

=45°.

（1）若AC=50，求中線BN的長；

（2）若..ABC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍.

解：（1）因為點/為的中點，所以2A〃=AB+AC，

則AC=2AM—AB，即AC?=432_4AM..+,

即50=4x9-4乂3義,5卜*+,31，解得：|AB|=70或|AB|=-0（舍去），

11O

又因為3N=A2V—AB=5AC—AB=]X（2AM—AB）—AB=AMAB,

-2-29-2.2r-Q333

BN=AM-3ABAM+-AB,即BAT=9—3x3x7&x注+=義49><2='，

4242

3A/74

2

122

（2）^GMCN~AMC~AGN~AMCAMC~T?

|X|XMX3X^=^|AB|

因為AABC是銳角三角形，所以NA是銳角，即A§.AC>0，

即AB-(2AM—AB)>0,所以卜31—3行?<0,得0<,母<3拒，

是銳角，即BAf.B4>0，即(AM-AB>AB<0,

所以3,5卜4—卜31<0，得

/C是銳角，即C4-MB〉0，BP(AB-2AAf).(AB-AAf)>0,

所以3A"-A瓶+2卜冠『〉o,得1一券?+18〉0，

所以,qeR,綜上：浮<?<30，所以SG“cN=#|A8|e(m，3]

19.在平面直角坐標系xQy中，重新定義兩點4(%,%),5(兀2，%)之間的“距離”為

I明=|wf1+1%-%|,我們把到兩定點耳(―。,0),我(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)

2a(a>c)的點的軌跡叫“橢圓”.

(1)求“橢圓”的方程；

(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

(3)設(shè)c=La=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A,過工

作直線交。于加,N兩點，_AMN的外心為。，求證：直線。。與的斜率之積為定值.

⑴解:設(shè)“橢圓”上任意一點為尸(羽y),則歸耳|+|%|=2a,

即以+\+?|+,一'+國=2a,gp|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),

所以“橢圓”的方程為|x+c|+卜—c|+2可=2a(a>c>0)；

(2)解:由方程|x+c[+卜_4+2H=勿，得2H=2a_|x+c|_|x—c],

因為耳20,所以2。一卜+4—上一420,即2a習(xí)x+c|+|x-c|

x<-c[-c<x<c[x>c

所以「或4c或4c，

-x-c-x+c<2a[x+c-x-^c<2a[x+c+x-c<2a

解得—a<x<a,

由方程卜+c|++21yl=2Q,^|x+c|+|x—c|=2Q—2H,

-2x,x<-c

即2〃-21yl=<2c,-c<%<c,所以2〃一2322(