上海市楊浦區(qū)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)二模質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

上海市楊浦區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.已知集合/=（0,4）,5=（1,5）,則/口8=.

2.設(shè)拋物線/=8x的準(zhǔn)線方程為.

3.計(jì)算2-:i?=______（其中i為虛數(shù)單位）.

3+1

4.若sincz='，則cos2a=.

3----------------

5.已知二項(xiàng)式+其展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為.

6.各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛4｝滿足：%=2,%+%=12,則通項(xiàng)公式為與=.

7.正方體ABCD-ABCn中，異面直線AB與0G所成角的大小為.

,、2"—1,xV0,

8.若函數(shù)g(x)=|\c為奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x),xe（0,+oo）的值域?yàn)?/p>

[y(x),x>o

9.設(shè)復(fù)數(shù)4與z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4與Z2,若4=l+i,z2=i-Zi,則「乙卜.

10.有5名志愿者報(bào)名參加周六、周日的公益活動(dòng)，若每天從這5人中安排2人參加，則恰

有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有種.

11.某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘米.現(xiàn)將

它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為

考慮安全隱患，堆放高度不得高于3;米，若堆放占用場(chǎng)地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)

2

為.

OO-OT

12.已知實(shí)數(shù)。滿足：①ae[0,2;t）；②存在實(shí)數(shù)6,c（a<6<c<2兀），使得。，b,c是等差數(shù)

列，cos6,cosa,cose也是等差數(shù)列.則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

試卷第1頁，共4頁

二、單選題

13.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+網(wǎng)上為嚴(yán)格增函數(shù)的是()

A./(x)=-lnxB.C./(x)=gD./(x)=—

14.已知實(shí)數(shù)。，b,d滿足：a>b>0>c>d,則下列不等式一定正確的是()

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

15.某區(qū)高三年級(jí)3200名學(xué)生參加了區(qū)統(tǒng)一考試.已知考試成績(jī)X服從正態(tài)分布"(loo,/)

(試卷滿分為150分).統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的

3

7,則此次考試中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為()

4

A.350B.400C.450D.500

16.平面上的向量￡、石滿足：同=3,問=4,￡,九定義該平面上的向量集合

A={x^x+a\<\x+~b\,x-a>工?瓦給出如下兩個(gè)結(jié)論：

①對(duì)任意"eZ，存在該平面的向量ZeN，滿足卜-4=0.5

②對(duì)任意Ze/，存在該平面向量才任/，滿足卜-2|=0.5

則下面判斷正確的為()

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確C.①正確，②正確

D.①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤

三、解答題

17.如圖，P為圓錐頂點(diǎn)，O為底面中心，A,B,C均在底面圓周上，且AA8C為等邊三

角形.

(1)求證：平面PQ4_L平面尸BC；

(2)若圓錐底面半徑為2,高為2收，求點(diǎn)A到平面的距離.

試卷第2頁，共4頁

18.已知/(x)=sincox{co>0).

⑴若y=/(x)的最小正周期為2兀，判斷函數(shù)尸(x)=/(x)+/(x+攵的奇偶性，并說明理由；

7T

(2)已知。=2,中，a,b,c分別是角A,B,。所對(duì)的邊，若/(N+§)=0,a=2,

b=3,求c的值.

19.某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)

方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第

一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間不超

過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：分鐘)

繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

31612355789

522170022478

4432218477

44322110901

(1)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的第75百分?jǐn)?shù)；

(2)獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個(gè)人，求選出的兩個(gè)人均為優(yōu)秀的概率;

(3)根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間，兩種生產(chǎn)方式優(yōu)秀與合格的人數(shù)填入下面的2x2列

聯(lián)表:

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計(jì)

優(yōu)秀

合格

總計(jì)

根據(jù)上面的2x2列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異?

n(ad-be)2

淇中〃=Q+b+c+d，P(z2>3.841)^0.05).

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

20.已知橢圓一5+。1(“>6>0)的上頂點(diǎn)為工(0,1),離心率e等，過點(diǎn)尸(-2,1)的

直線/與橢圓r交于8,C兩點(diǎn)，直線/8、/C分別與X軸交于點(diǎn)“、N.

試卷第3頁，共4頁

⑴求橢圓r的方程；

(2)已知命題“對(duì)任意直線/,線段兒w的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，求兒w的重心坐標(biāo)；

(3)是否存在直線/,使得S△的=2Swc?若存在，求出所有滿足條件的直線/的方程；若不

存在，請(qǐng)說明理由.(其中S/協(xié)、S"c分別表示小九w、"BC的面積)

21.函數(shù)了=/(x)、N=g(x)的定義域均為K,若對(duì)任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)。，b,均有

〃a)+g(6)>0或〃6)+g(a)>0成立,則稱了=/(x)與了=g(x)為相關(guān)函數(shù)對(duì).

⑴判斷函數(shù)/卜)=尤+1與g(x)=f+l是否為相關(guān)函數(shù)對(duì)，并說明理由；

⑵已知/(X)=e、與g(x)=-x+左為相關(guān)函數(shù)對(duì)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)已知函數(shù)了=/(x)與了=g(x)為相關(guān)函數(shù)對(duì)，且存在正實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR,均有

求證：存在實(shí)數(shù)加,〃(加<〃)，使得對(duì)任意尤，均有/(無)+g(x)2-喘“

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.(1,4)

【分析】利用交集運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】集合4=(0,4),8=(1,5),所以/c3=(l,4).

故答案為：（1,4）

2.x——2

【分析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可.

【詳解】由拋物線方程/=8芯可得20=8,則勺2,故準(zhǔn)線方程為x=-2.

故答案為x=-2

【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線的方法，屬于基礎(chǔ)題.

r11.

3.------1

22

a+bi(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(bc-ad)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算z=進(jìn)行運(yùn)算即可.

c+di(c+di)(c-di)c2+d2

【詳解】由題f

3+i(3+i)(3-i)1022,

故答案為：

7

4.-

9

17

【詳解】cos2a=1-2sin2a=l-2x(—)2=—.

5.45

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得令r=2即可求解.

【詳解】由題意知，（l+xT展開式的通項(xiàng)公式為&|=C；0K,

令r=2,得C；0=45,

即含x?的項(xiàng)的系數(shù)為45.

故答案為：45

6.2"

【分析】利用給定條件，求出等比數(shù)列｛%｝的公比，再寫出通項(xiàng)公式.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛g｝的公比為%q>0,由%=2,%+%=12,得。闖+%才=12,

答案第1頁，共11頁

則+g_6=0,解得q=2,

所以a“=a/T=2".

故答案為：2"

7T

7.450/-

4

【分析】根據(jù)給定條件，利用異面直線所成角的定義求解即得.

【詳解】正方體48GA中，CD//AB,因此/CD。異面直線與。G所成的角

或其補(bǔ)角，

而/￡C￡>=90\CD=CCl,因此ZCDQ=45°.

所以異面直線與所成角的大小為45。.

故答案為：45°

8.（0,1）

【分析】由奇函數(shù)定義可得了=/(x)解析式，即可求得值域.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，貝l|g(-x)=-g(x)=2T-l=1；j-1,所

以g(x)=l-(夕，所以/(==1一(夕，工?0,叱)時(shí)〃》)值域?yàn)?0,1).

故答案為：(0,1).

9.2

【分析】由題設(shè)結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法求出Z2,再借助復(fù)數(shù)的幾何意義求出結(jié)果.

【詳解】依題意，z2=i-(l+i)=i-l,則Z2-Z]=i-1-(l+i)=-2,

所以|存卜饞；_西卜2.

故答案為：2

答案第2頁，共11頁

10.60

【分析】從5人中選1人兩天都參加，再?gòu)挠嘞?人中選2人分派到周六、周日參加，并列

式計(jì)算即得.

【詳解】從5人中選1人兩天都參加，有C；種方法，再?gòu)挠嘞?人中選2人分派到周六、

周日參加，有A；種方法，

所以不同安排方式共有C;A；=5x12=60(種).

故答案為：60

11.134

【分析】由題設(shè)信息，第一層有加根，共有〃層，利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式列出關(guān)系式，

再借助整除的思想分析計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)第一層有加根，共有"層，則加+*1=2024,

〃(25+〃-1)=4048=2*xllx23,顯然〃和2機(jī)+〃一1中一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，

「"=11]〃=161〃=23伍=11]〃=16\n-23

則2工加+,〃-1=326版8或，2m+,n-\1=2”532或1m=1776A'即1m=17Q9或1加=11Q9或I加=7777，

顯然每增加一層高度增加56厘米,

\n=\\廠

當(dāng)《，”時(shí)，6=10x5^+10^96.6厘米＜150厘米，此時(shí)最下層有189根；

\m=179

[n=16廣

當(dāng)｛-c時(shí)，〃=15X5G+10B139.9厘米＜150厘米，此時(shí)最下層有134根；

[加=119

伍=23廠3

當(dāng)《"時(shí)，”=22x5/+10。200.52＞150厘米，超過二米，

[m=772

所以堆放占用場(chǎng)地面積最小時(shí)，最下層圓鋼根數(shù)為134根.

故答案為：134

12.(arccosg,兀)

【分析】設(shè)等差數(shù)列6,c的公差為加，根據(jù)給定條件，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得

tan竺=3tanb,由正切函數(shù)性質(zhì)可得相隨6增大而增大，再由。的臨界值點(diǎn)得6=3+兀，代

22

入利用二倍角的余弦求解即得.

答案第3頁，共11頁

【詳解】設(shè)等差數(shù)列。也。的公差為冽,a=b-m,c=b+m,依題意，cosa-cosb=cosc-cos”，

2b—m—TYI

于是cos(b-m)-cosb=cos(Z)+m)-cos(/7-m),整理得-2sin-----sin——=-2sinbsinm,

22

m

即nnsi-n(---b)sm—=si-nbzsi?nm=2cs.mb7si.n沈—cos—,因m止匕rrsi-n—cos匕i一cos—sinft=2sin/>cos—,

2222222

即有tan—=3tan6,則加隨6增大而增大，而機(jī)>0

2

當(dāng)ae(0,兀)，6€(私|^)時(shí)，c到達(dá)2兀時(shí)是臨界值點(diǎn)，此時(shí)6=1+兀,

代入得2cos。=cost—+TT)+cos2TI,即2cos〃=-cos—+1,整理得4cos22+cos2—3=0,

2222

而3E(0巴)，解得cosg=3,貝!Jcosa=2COS2@-l=』，a=arccos—,

2224288

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是。e(arccosi71).

o

故答案為：ae(arccos^,K)

o

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)所列式子，借助函數(shù)單調(diào)性分析。的臨界值點(diǎn)

是解決本問題的關(guān)鍵.

13.D

【分析】利用解析式直接判斷單調(diào)性的方法，逐項(xiàng)分析得解.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)=-In%在(0,+8)上單調(diào)遞減，A不是;

,I\l-x,x<l

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=x-1=17在(0,1］上單調(diào)遞減，B不是；

對(duì)于C,函數(shù)〃x)=L在(°，+⑹上單調(diào)遞減，C不是；

對(duì)于D,函數(shù)/0)=-工在(0,+oo)上為嚴(yán)格增函數(shù)，D是.

X

故選：D

14.C

【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.

【詳解】對(duì)于ABD,取Q=2,b=l,c=—2,d=—4,滿足。>b>0>c>d,

a+d=—2<—1—Z?+<?9ad——8<—2—be,cic=—4=bd,ABD專昔；

對(duì)于C,a>b>0>c>d,則a+c>6+d,C正確.

故選：C

15.B

答案第4頁，共11頁

【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出成績(jī)不低于120分的概率，再進(jìn)行估計(jì)

得解.

【詳解】依題意，P(80<X<120)=0.75,而X服從正態(tài)分布NQOO,工),

因此尸(X>120)=|-1P(80<X<120)=0.125,

所以此次考試中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為3200x0.125=400.

故選：B

16.C

【分析】根據(jù)給定條件，令Z=(3,0),各=(0,4),設(shè)以=(加,〃)，利用向量模及數(shù)量積的坐標(biāo)

表示探求也”的關(guān)系，再借助平行線間距離分析判斷得解.

【詳解】由|萬|=3,|1|=4,不妨令〃=(3,0),3=(0,4),設(shè)x=(九〃),

\x+a\<\x+b\9得|x+〃+司2,而x+〃=(冽+3,〃)，x+3=(冽,〃+4),

則(加+3)2+n2<m2+(麓+4)2,整理得6加-8〃-7<0,由得3冽一4〃〉0,

|0-(-7)1

平行直線6加一8〃-7二0和3加一4〃二0間的星巨離為d==0.7,

V62+82

到直線6冽-8〃-7=0和直線3冽-4〃=0距離相等的點(diǎn)到這兩條直線的距離為0.35,

如圖，陰影部分表示的區(qū)域?yàn)榧螦,因此無論2是否屬于A,都有旨-q=0.5,

所以命題①②都正確.

故選：C

“八3m—4〃=。/

%機(jī)-8〃-7=0

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知幾個(gè)向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標(biāo)系中，借助向

量的坐標(biāo)表示，利用代數(shù)方法解決.

17.(1)證明見解析

⑵2亞

答案第5頁，共11頁

【分析】(1)連接尸o,NO,根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)判定、面面垂直的判定推

理即得.

(2)連接尸作于證明AH_L平面尸BC,再計(jì)算即得.

【詳解】(1)連接尸。，/。交3C于點(diǎn)由“8C為等邊三角形，得。是的中心,

則/。工8C,

而尸。工平面/BC,BCu平面/BC,則尸。工3C,又尸0|"|/0=。,尸0,/0匚平面48。，

因此平面尸CM,又BCu平面P8C,

(2)連接尸M,作于H,由(1)知5C/平面尸CM,///u平面尸。/,則BC_L加/,

而2Cn尸"=M,2C,尸“u平面PBC,則AH1平面PBC,

顯然M0=g/o=i,po=2V2?貝UPM=JPCP+〃。2=3=/〃，

ifnZAMH-ZPMO,于是■之RtA尸MO,因此/〃=尸0=20，

所以點(diǎn)A到平面尸3c的距離為2VL

18.(1)非奇非偶函數(shù)，理由見解析；

力3A/3±V7

【分析】(1)利用給定周期求出/(X),再利用奇偶函數(shù)的定義判斷得解.

(2)利用已知求出角A,再利用余弦定理求解即得.

【詳解】(1)由y=/(x)的最小正周期為2兀，得。=三=1,則注x)=sinx,

271

..71

于是F(x)=sinx+sin(x+—)=sinx+cosx,

F(-x)+F(x)=sin(-x)+cos(-x)+sinx+cosx=2cosxw0；

F(-x)-F(x)=sin(-x)+cos(-x)-sinx-cos%=—2sinxw0,

所以函數(shù)2x)非奇非偶函數(shù).

答案第6頁，共11頁

(2)當(dāng)①=2時(shí)，則/(x)=sin2x,/(/+?=sin(2Z+-^-)=0,

在。中，Q=2,6=3,則0＜4＜］，有＜2/+-,

于是2/+?=兀，解得/=自，由余弦定理得/=c?+62一2仍cos1，

36

即4=。?+9一3百c,整理得02一3戊+5=0,解得c=3=土⑺,

2

所以c=36±6.

2

19.(1)88.5

⑵工

v720

(3)有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異

【分析】(1)將這40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，取第30人和第31人時(shí)間的平均值即可.

(2)利用古典概型的方法即可求得概率.

(3)利用列聯(lián)表代入公式即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意，將這40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，

61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78,

81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94

40x75%=30,故取第30人和第31人時(shí)間的平均值為配士絲=88.5；

2

(2)設(shè)選出的工人為優(yōu)秀為事件A,第一種正產(chǎn)方式A的基本事件數(shù)是2個(gè)，

第二種生產(chǎn)方式A的基本事件數(shù)是10個(gè)，

所以獨(dú)立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個(gè)人，選出的兩個(gè)人均為優(yōu)秀的概率為

P；=1

04。20-

(3)

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式總計(jì)

優(yōu)秀21012

合格181028

總計(jì)202040

答案第7頁，共11頁

n(ad-be)?40(20-180)2

z2=?7.619>3,841,

(q+b)(c+d)(a+c)(b+d)12x28x20x20

故有95%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的工作效率有顯著差異.

丫2

20.⑴1+/=i

4￡

(2)

353

(3)x+2y=0

【分析】(1)依題意可得6=1,e=±=業(yè),再由02=.2一62,即可求出。，從而得到橢圓

a2

方程；

(2)依題意不妨取直線/為夕=-云-1,聯(lián)立直線與橢圓方程，求出8、C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而

求出M、N的坐標(biāo)，再求出的重心坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線/：＞-1=左。+2)(左＜0),3區(qū),乂)，C(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、

列出韋達(dá)定理，由直線的方程得均，同理得到由面積的關(guān)系得到

+2(/+X2)+4=2，從而求出左.

2k

【詳解】(1)依題意6=1,e=±=顯,又°2=/-62,

a2

解得。=2,所以橢圓「的方程為?+/=1；

(2)因?yàn)槊}“對(duì)任意直線/,線段血W的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，

r2f__8

—+y2=1X-f=0

可以取直線/為尸-x-1,由4-，解得「或x,,

.3[了=一1

[y=-x-lJ^=-

所以4一%|1,C(0,-l),

貝/皿：＞=；工+1,所以可(一4,0),曝：x=0,所以N(0,0),

一1411

設(shè)的重心為G,貝U%=§(-4+0+0)=_§，PG=§(。+0+1)=§，

所以即A/AW的重心坐標(biāo)為.

(3)依題意可得直線/的斜率存在、不為0且斜率為負(fù)數(shù)，

設(shè)直線/：y-l=《(x+2)(后＜0),2(項(xiàng),弘)，C?,%)(國(guó)40,迎片0,必W1,%W1),

答案第8頁，共11頁

yVi—1—x,—Xc

則直線43：了-1=------無，令y=o,得X"=------同理可得：x=—二；

國(guó)7i-iNy2T

~-x-xx,x2x.-x

所以=97}7=77?c、779二廠z入7

%—1%一1k(5+2)k(x2+2)k(/+2)(X2+2)

設(shè)直線/與軸交于。點(diǎn)，則。(左+所以|/。|=左，，

V0,21),11-2S.=l|AGV|=y-『。、

2k(Xj+2)(x2+2)

S"8C=^\AQ\(X2-X1),

因?yàn)镾/UMV=2S^BC>故得(再+2)(X2+2)=xYx2+2(Xj+x1)+^=—^(\),

y=kx+2k+\

2222

由，■-x2(1+4^)X+(16k+8A:)x+16^+16^=0,

——+y2=1

14

16左2+8左16/+16左

貝！JX]+%=—X,Xy=~

1+4左2121+4/

16〃+16左32〃+原+4,

代入①得解得后=±g，

2

1+4后21+4廿2k

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(西,乂)、(%,%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或>)的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為國(guó)+%、占々的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

21.(1)是，理由見解析；

(2)k>-l

(3)證明見解析;

【分析】(1)由.v=/(x)與y=g(x)不為相關(guān)函數(shù)對(duì)，得到;■(a)+g(b)V0且/?伍)+g(a)V0,

從而若為相關(guān)函數(shù)，由/(a)