第4章《數(shù)列》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）-高二數(shù)學(xué)精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)第4章《數(shù)列》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．在數(shù)列中，，，則（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列先遞減后遞增 D．?dāng)?shù)列先遞增后遞減【答案】A【分析】由數(shù)列遞推式求出，可判斷，將兩邊平方得，判斷與同號(hào),結(jié)合，可判斷，即得答案.【詳解】由，，得，，且可知．再由，兩邊平方得①，則②，②﹣①得：，∴，∵，∴與同號(hào),由，可知，，即，可知數(shù)列單調(diào)遞減．故選：A．2．已知數(shù)列滿足：，，.若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2022【答案】A【分析】令，則，再根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得到，即可求出答案.【詳解】令，則故，為常數(shù)，故數(shù)列是等差數(shù)列故選：A.3．若為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且為等比數(shù)列，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)分別求得的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，即得答案.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故，所以，又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故選：D.4．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C5．在等比數(shù)列中，已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其充分條件，必要條件的定義求解即可.【詳解】∵公比，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴且，∴且，即“”是“”的充分不必要條件．故選：A．6．我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識(shí)，知道數(shù)學(xué)歸納法可以用來(lái)證明與正整數(shù)n相關(guān)的命題.下列三個(gè)證明方法中，可以證明某個(gè)命題對(duì)一切正整數(shù)n都成立的是（

）①成立，且對(duì)任意正整數(shù)k，“當(dāng)時(shí)，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且對(duì)任意正整數(shù)k，“成立”可以推出“成立”③成立，且對(duì)任意正整數(shù)，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于①，對(duì)任意正整數(shù)k，“當(dāng)時(shí)，均成立，則當(dāng)時(shí)，成立，故①可證明某個(gè)命題對(duì)一切正整數(shù)n都成立；對(duì)于②，因?yàn)椋闪?，成立，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，成立，當(dāng)為偶數(shù)數(shù)時(shí)，成立，所以②可以證明某個(gè)命題對(duì)一切正整數(shù)n都成立；對(duì)于③，因?yàn)槌闪ⅲ瑢?duì)任意正整數(shù)，成立，所以也成立，又成立，成立，則也成立，所以③可以證明某個(gè)命題對(duì)一切正整數(shù)n都成立.故選：D.7．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．8．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此求得，然后利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（

）A． B．C．， D．【答案】ACD【分析】根據(jù)，，的值，可得，利用累加法可得，再計(jì)算前項(xiàng)的和可判斷A；由遞推關(guān)系可判斷B；由可判斷C；利用裂項(xiàng)求和可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，……，，以上個(gè)式子累加可得：，所以，故選項(xiàng)A正確；由遞推關(guān)系可知：，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)，，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.10．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則成立D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立【答案】AD【分析】由逆否命題與原命題為等價(jià)命題可判斷AC，再根據(jù)題意可得若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立，據(jù)此可對(duì)B作出判斷；同理判斷出D的正誤.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.若成立，則成立，故A正確；對(duì)于B：若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.故若成立，則成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時(shí)，均有成立，故D正確.故選：AD11．已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】ABC【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對(duì)于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最?。划?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；對(duì)于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對(duì)于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)于任意的，都有B．對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】A由遞推式有上，結(jié)合恒成立，即可判斷：B反證法：假設(shè)為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.【詳解】A：由，對(duì)有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯(cuò)誤；C：由且，當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，數(shù)列遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列遞減；所以時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；D：由C分析知：時(shí)且數(shù)列遞減，即時(shí)，正確.故選：ACD填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則【答案】【分析】?jī)蛇呁?，令，則有且，則有，即可得；【詳解】，令，則，∴又，，∴；故答案為：；14．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由到時(shí)，左邊應(yīng)添加因式．【答案】【分析】分別求出和時(shí)左邊的式子，比較兩個(gè)表達(dá)式前后的區(qū)別即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以左邊應(yīng)添加因式為.故答案為：.15．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.①；②【答案】（答案不唯一）【分析】可構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)公比為，由條件，可知公比為負(fù)數(shù)且，再取符合的值即可得解.【詳解】可構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，可知公比為負(fù)數(shù)，因?yàn)椋?，所以可取設(shè)，則.故答案為：.16．已知的前項(xiàng)和為，，，則.【答案】【分析】根據(jù)題意令和，代入整理可得，利用并項(xiàng)求和結(jié)合等差數(shù)列求和運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則為偶數(shù)，為偶數(shù)，可得，，兩式相加可得：，故，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求，并證明是等差數(shù)列；(2)求．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用與前n項(xiàng)和的關(guān)系，由可得的值，即可求得的值；根據(jù)相減法求得為常數(shù)，證明其為等差數(shù)列；（2）由（1）中數(shù)列為等差數(shù)列，對(duì)進(jìn)行奇偶討論，即可求得.【詳解】（1）解：已知，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以．因?yàn)棰伲寓冢冢俚?，，整理得，，所以（常?shù)），，所以是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列．（2）解：由（1）知，，，．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，.18．設(shè)，，…，均為非負(fù)實(shí)數(shù)，證明：若，則均有．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法步驟證明即可.【詳解】下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時(shí)，左邊，成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)，原命題成立，即對(duì)任意的非負(fù)實(shí)數(shù)，，…，，只要滿足，就有．③當(dāng)時(shí)，若，把看作一個(gè)整體，則有．由②可知，故，即結(jié)論對(duì)也成立．綜上可得原命題成立．19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：(2)若，求正整數(shù)的所有取值.【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)證明為定值即可；（2）先根據(jù)（1）求出，再利用錯(cuò)位相減法求出，從而可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以，則，由，得，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，由，，則當(dāng)時(shí)，，所以若，正整數(shù)的所有取值為.20．已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.21．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意正整數(shù)n，有2Sn＝nan，且a2＝3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)m，若ak＜2m＜ak＋1，則在ak和ak＋1兩項(xiàng)中插入2m，由此得到一個(gè)新數(shù)列{bn}，求{bn}的前40項(xiàng)和.【答案】(1)(2)1809【分析】（1）由得出數(shù)列的遞推關(guān)系，然后由連乘法求得通項(xiàng)；（2）考慮到，，從而確定的前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來(lái)自，其他6項(xiàng)由組成，由此分組求和．【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時(shí)，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，也滿足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來(lái)自.故.22．已知數(shù)列滿足，其前8項(xiàng)的和為64；數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記，求．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件得到等差數(shù)列的公差，利用前項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式，設(shè)出公比，得到方程，求出公比，寫成通項(xiàng)公式；（2）寫出的通