云南省2024屆高三“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考卷（三）數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

2024屆“3+3+3”高考備考診斷性聯(lián)考卷（三）

數(shù)學(xué)

滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1n

1.已知集合人=3丁=8｝,集合8=｛引，=4,則AB=（）

A0BRC.（0,+oo）D.（-oo,0）

2.若復(fù)數(shù)z=（l+i）（2+i）,則z模為（）

A.2B.75C.3D.V10

3.已知等差數(shù)列｛4｝滿足：q=1,%+%0=18,S,為數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，則品=（）

A.18B.45C.90D.180

4.從2022年秋季學(xué)期起，云南省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，從2025年起普通高考將實(shí)施“3+1+2”模式，

其中3是指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門統(tǒng)一高考科目，1是指從物理或歷史科目中選擇1門，2是指從思想政治、

地理、化學(xué)、生物任選2門，小明將要在2025年參加高考，則小明參加考試科目可能有（）種情況.

A.12B.36C.6D.18

5.非零向量a/，則。必＜0是a與匕所成角為鈍角的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

6.若sin6+sin8+1）=^，則sin[e+《]=

A.1B.2C.-D.正

2233

7.如圖，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圓面是底，圓的半徑記為R,垂直于截面的直徑被截

得的一段叫做球冠的高，記為H,則球冠的曲面面積S=2兀球。是棱長(zhǎng)為1的正方體

ABCD—AB'C'D'的棱切球，則球。在正方體A5CD—A'5'C'D'外面部分曲面的面積為（）

A2（V2-l）7iB,4（V2-l）7iC,6（A/2-1）TID,3（夜-1）兀

8.已知函數(shù)y（x）=_|x2—x（lnx4—l）,a,beR,且在區(qū)間（0,+°）上單調(diào)遞增，則2a+b的最

小值為（）

1

A.0B.-C.In2D.-1

e

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.已知函數(shù)/（x）=sin（公r+0）,o>>O,0€（O,兀），如圖，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)可力」）則

兀

B.（p=—

6

11

C.工=7崇7r是函數(shù)/（尤）的一條對(duì)稱軸

J.乙

D.函數(shù)〃尤）在區(qū)間E，音上單調(diào)遞增

10.已知棱長(zhǎng)為1的正方體A3CD-AB'C'D',點(diǎn)P是面對(duì)角線BC'上的任一點(diǎn)，則AP+尸。的值可能

是（）

QA/6+A/2

A.6B.2■-2-D.2+V2

11.已知定義在R上的函數(shù)/（%）,對(duì)任意的羽y滿足

f^x+f(x+y))+f(xy)^x+f(x+y)+yf(x),下列說(shuō)法正確的是(

A.若“X）為一次函數(shù)，則/⑼=。

B.若"X）為一次函數(shù)，則/（1）=1

C.若不是一次函數(shù)且"0）=0,貝iJ/（—1）=—1

D.若““不是一次函數(shù)且/⑼=0,則/⑴=1

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

1V

12.己知正數(shù)乂丁滿足x+y=4,則--2的最小值為,

x4

13.已知在JLBC中，NA=120，且AB=3,AC=5,。是8。上的一點(diǎn)，且AD1AB，則應(yīng)＞=

14.現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,3的盒子，標(biāo)號(hào)為1的盒子里面有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球

和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里面取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里面取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，則

3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球的概率為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15.4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”.某高校為了了解全體師生閱讀時(shí)間的分配情況，對(duì)

全校師生進(jìn)行抽樣問(wèn)卷調(diào)查日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），得到樣本數(shù)據(jù)，并繪制如圖所示的頻率分布

直方圖.

，領(lǐng)率/加跑

0.)5

024681012141618口平均閱讀

時(shí)的/小時(shí)

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生日平均閱讀時(shí)間7；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表)

(3)將(2)所得到的日平均閱讀時(shí)間7保留為整數(shù)，并根據(jù)頻率分布直方圖估算師生日平均閱讀時(shí)間的

方差CT2.

16.己知數(shù)列｛4｝,q=1,an+1=Sn+1(?..1,z?eZ).

(1)求4；

(2)令2=唾4包名為數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和，求人

4

17.如圖，已知在斜三棱柱ABC—中，ABLECAM'A是邊長(zhǎng)為2的菱形，且

7T

NABB'=，B'C=BC.

3

(1)求證：平面A5m_L平面ABC；

(2)若AC=是AC的中點(diǎn)，2￡A'=5￡P(guān)，求"與平面A,BE1所成線面角的正弦值.

18.已知函數(shù)/(%)=(x—2)e*+］冗2一儀.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)了(%)的最小值；

(2)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

22

19.己知橢圓C：T+2=l(a〉b〉0)的離心率為g，上、下頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形面積為

出,過(guò)點(diǎn)P(T—3)作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A,反

(1)求橢圓C的方程；

(2)求A3所在直線的方程；

\PQ\\PQ\

(3)過(guò)點(diǎn)尸作直線/交橢圓。于",N兩點(diǎn)，交直線A5于點(diǎn)Q，求上+舄的值.

\PM\|PN|

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1,已知集合人=｛巾=間，集產(chǎn)小廠回，則AB=()

A.0B.RC.(0,+oo)D.(-oo,0)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得集合A3,結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)y=ln%,解得x>0且值域R,所以集合A=(O,+s),B=R,

所以AC5=(0,+8).

故選：C.

2.若復(fù)數(shù)2=(l+i)(2+i),則z的模為()

A.2B.75C.3D.710

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得z=l+3i,結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)z=（l+i）（2+i）=l+3i,所以忖=#+32=JI5.

故選：D.

3.己知等差數(shù)列｛%｝滿足：%=1,%+&）=18,S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則$9=（）

A.18B.45C.90D.180

【答案】B

【解析】

【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得。9,進(jìn)而利用等差數(shù)列的前九項(xiàng)和即可求解.

【詳解】由。8+40=18,得2a9=18,即佝=9,

于是S9=9（a；%）=45.

故選：B.

4.從2022年秋季學(xué)期起，云南省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，從2025年起普通高考將實(shí)施“3+1+2”模式，

其中3是指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門統(tǒng)一高考科目，1是指從物理或歷史科目中選擇1門，2是指從思想政治、

地理、化學(xué)、生物任選2門，小明將要在2025年參加高考，則小明參加考試的科目可能有（）種情況.

A.12B.36C.6D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意可知：小明共有C；xC；=12種情況.

故選：A.

5.非零向量。力，則a.b<0是。與人所成角為鈍角的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義，即可確定答案.

【詳解】當(dāng)4與b方向相反時(shí)，入。<0,所以是。與人所成角為鈍角非充分條件;

當(dāng)a與匕所成角為鈍角時(shí)，由a0=|4?卜卜05。，故a.b<0是。與匕所成角為鈍角的必要條件，

故選：B.

6.若sinO+sin6*+^=^-,則sin[e+《]=（）

A.1B.走C,-D.由

2233

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用兩角和與差的三角函數(shù)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由sin8+sin[e+3]=sin（e+5—工]+sin（e+5+5]=2sinf6>+—\os—=—,

L3jL66jL66j[6j62

即25皿（8+￡）><￥=￥，所以sin[e+t]=g.

故選：A.

7.如圖，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圓面是底，圓的半徑記為R,垂直于截面的直徑被截

得的一段叫做球冠的高，記為〃，則球冠的曲面面積S=27iHH.球。是棱長(zhǎng)為1的正方體

ABCD—A?。'。'的棱切球，則球。在正方體A5CD-ABC'。'外面部分曲面的面積為（）

A.2（V2-l）7iB,4（V2-l）7iC.6（后一1）兀D,3（四一1）兀

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)正方體A3CD-AB'C'D'的棱切球半徑為r,利用幾何關(guān)系可求出球冠的高〃，再求出R,

代入球冠的曲面面積S=271;陽(yáng)，即可得出答案.

【詳解】如圖，正方體與正方體的棱切球形成六個(gè)球冠，

正方體ABCD-AB'CD'的棱切球半徑為廠，則2r=*式于=近，

所以r=—,又球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半;,

22

1J?-11

則“=廠一上=三」，又2R=1,所以氏=二

2

"4=3

22

故選：D.

8.已知函數(shù)/■（%）=?!x2—x（lnx—Z?—l）,a,beR,且〃％）在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增，則2a+b的最

小值為（）

1

A.0B.-C.In2D.-1

e

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為?+32Inx在（0,+"）上恒成立，對(duì)于使得2。+/?取得最小值時(shí)，直線

y=ax+b和函數(shù)y=ln%的圖象相切，求得y=In%上的一點(diǎn)（^,liu0）的切線方程為y=-x+lwc0-i,

xo

29

得到2a+62—+ln%o-l,令g"）=—+hu-1,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.

X。%

【詳解】由/（x）=￡x2—x（lnx—沙—1）區(qū)間（0,+“）上單調(diào)遞增，

所以/'（x）=av+bTnx?0在（0,+s）上恒成立，即ax+匕之Inx在（0,+“）上恒成立，

對(duì)于使得2a+5取得最小值時(shí)，直線y=ax+b和函數(shù)y=ln%的圖象相切，

1,,1

又由y=ln%,可得了=一，貝1|丁1=而=一，

xxo

可得y=ln%在點(diǎn)(/Juq)的切線為y-In%。=—(x-%),即,=一了+1叫)-1,

令a=—,b=IIIXQ—1,所以2〃+bN---F1ILV0—1,

。1。c

令g(x)=—+lnx—l(x>0),所以g'(x)=----2=~2~,

JCJCXX

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，g,(x)<0；當(dāng)xe(2,+e)時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+")上單調(diào)遞增，所以8。焉=8(2)=1112,

所以2a+Z?的最小值為ln2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：

1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；

2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

9.已知函數(shù)/(x)=sin(Gx+0),G>O,0￡(O,兀)，如圖，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)《喂■」)，j,則

o)-2

11

c.x=彳或7r是函數(shù)/(x)的一條對(duì)稱軸

7兀1371

D.函數(shù)/(九)在區(qū)間

77'五上單調(diào)遞增

【答案】AD

【解析】

71,1,嗚,0得周期，進(jìn)而得0；將點(diǎn)Au代入可得。的值；由

【分析】由A

12

兀]=sin^7r+^1來(lái)可判斷x=得不是對(duì)稱軸；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可求/(%)的單調(diào)遞增

區(qū)間.

【詳解】由/(x)=sin(aa+0)及過(guò)得三一方=：=g即7=兀，

2兀

所以17二兀，又口＞0，解得①=2,故A正確;

兀代入，得sin12x會(huì)+9)=1,

又點(diǎn)A

12

所以—(p——F2foi,kEZJ,又G>0,0￡(0,兀)，于是/=—，故B不正確;

623

兀sin]3■兀+§?卜1,故C不正確;

由/(x)=sin2x+-，則/

3

JTJTJTSjTJT

由2E——<2x+-<2k7i+-,keZ,得E——<x<hi+—,k^Z

312r12r

57t兀

于是/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為-石+而,五+防T,keZ,令左=1可知D正確.

故選：AD.

10.已知棱長(zhǎng)為1的正方體A5CD—A'5'CD',點(diǎn)P是面對(duì)角線上的任一點(diǎn)，則AP+PC的值可能

是()

A.GB.2C.「丁D.,2+收

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)尸所在的特殊位置，分別求出AP+尸C,可得答案.

【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在頂點(diǎn)B處時(shí)，AP+PC=AB+BC=2,故B選項(xiàng)正確；

當(dāng)點(diǎn)尸在線段的中點(diǎn)時(shí)，AP=Jl2+f—=—，PC=—，AP+PC=^+拒，故C選

\2222

項(xiàng)正確;

把三角形5CC沿BC展開(kāi)，使點(diǎn)C與A民UD'在同一平面,

當(dāng)點(diǎn)P為6C與AC的交點(diǎn)時(shí)，AP+PC>AC,

在ABC中，AB=BC=1,ZABC=135°,

所以3=6+叱—2AB?BCcosZABC=2+0，

所以AP+尸。的最小值為J2+J5，故D選項(xiàng)正確；

因?yàn)?2+及>也，故A選項(xiàng)不正確?

故選：BCD.

11.已知定義在R上的函數(shù)/(%),對(duì)任意的乂丁滿足

/(%+/(X+y))+/(孫)=x+/(x+y)+W(x),下列說(shuō)法正確的是()

A.若“力為一次函數(shù)，則/⑼=0

B.若“X)為一次函數(shù)，則/⑴=1

C.若〃尤)不是一次函數(shù)且"0)=0,則/(—1)=—1

D.若“X)不是一次函數(shù)且/⑼=0,則/⑴=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，令/(x)=ox+b,列出方程組，求得值，得到函數(shù)的解析式，再結(jié)合賦值法,

求得/'(—I),/(I)的值，即可求解.

【詳解】若"X)為一次函數(shù),令"x)=ox+b,

22

由/(%+/(%+y^+f(^xy^=f(<x+a(x+y')+b^+f(<xy^=ax+ax+ay+ab+b+axy+b

又由x+f^x+y^+yf^x)=x+a(x+y)+b+axy+by,

因?yàn)?(尤+/(x+y))+/(w)=x+/(x+y)+j/(x)，

a2=1

可得a2(x+y)+(a+l)b=x+(a+b)y,a2-a+b,

(<7+l)Z?=0

解得a=LZ?=O或a=-l,Z?=2,

當(dāng)a=l,b=O時(shí)，f(%)=x；當(dāng)a=_1,Z?=2時(shí)，/(x)=2—x,

所以當(dāng)為一次函數(shù)時(shí)，"0)=0或"0)=2,所以A不正確；

令x=l,可得/。)=1,所以B正確；

令y=l,則/(x+/(x+l))=x+/(x+l),因?yàn)?(0)=0,

令x=—1,所以/(—1)=-1,所以C正確；

令y=—L則/(%+/(%_1))+/(_%)=%+/(*_1)_/(尤)，

由/(0)=0,令x=l,所以=故D正確.

故選：BCD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

1V

12.已知正數(shù)乂丁滿足x+y=4,則一一2的最小值為.

x4

【答案】0

【解析】

1v14—X1X

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到―-4=------=-+--1,結(jié)合基本不等式，即可求解.

x4X4X4

【詳解】由正數(shù)x，y滿足x+y=4,可得y=4-X,

所以工—1=L—上方=工+'—122」4—1=0,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=2時(shí)取等號(hào)，

x4X4X4V4

1V

所以一-2的最小值為0.

x4

故答案為：0.

13.己知在.ABC中，NA=120,且A5=3,AC=5,。是5。上的一點(diǎn)，且則3￡)=

429

【答案】

【解析】

【分析】先利用余弦定理求出BC，再利用余弦定理求出cos8,再解RtAABD即可.

【詳解】在ABC中，NA=120，且AB=3,AC=5,

由余弦定理得3c②=9+25—2x3x5x1—g)=49,即BC=7,

9+49-253311AB42

則cosB=-------------=—=一，又cosB=——,所以一

2x3x74214BD11

故答案為：—.

14.現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為L(zhǎng)2,3的盒子，標(biāo)號(hào)為1的盒子里面有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球

和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里面取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里面取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，則

3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球的概率為.

【答案堵

【解析】

【分析】設(shè)4：從標(biāo)號(hào)為1的盒子中取出的2個(gè)球中有i個(gè)紅球，i=0,l,2,B：3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅

球和2個(gè)白球，則8=&3\BA^B,由概率的乘法公式和全概率公式可得

P(6)=P(⑷4)P(4)+P(四A)P(A)+P(⑷4)。(4)，再由古典概型分別求出對(duì)應(yīng)結(jié)果，代入

計(jì)算即可得到答案.

【詳解】設(shè)4：從標(biāo)號(hào)為1的盒子中取出的2個(gè)球中有i個(gè)紅球，，=0,1,2,

B：3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所以5=43\B\A,B,

則p(5)=口A5u=尸(45)+P(A5)+P(45)

=P(B\4)P(4)+P但A)P(A)+P3&)P(4)

__Z2_.1DINZ.NZ_|__v___?Z2_.__x^^3

z^i2z^i2z^i2z^12i2

L4^-4'-,4L4^-4J4

11221111

=-X—+—X—+—X—=—.

62336218

故答案為：—.

18

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15.4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”.某高校為了了解全體師生閱讀時(shí)間的分配情況，對(duì)

全校師生進(jìn)行抽樣問(wèn)卷調(diào)查日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），得到樣本數(shù)據(jù)，并繪制如圖所示的頻率分布

（1）求頻率分布直方圖中。的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生日平均閱讀時(shí)間7；（每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表）

（3）將（2）所得到的日平均閱讀時(shí)間7保留為整數(shù)，并根據(jù)頻率分布直方圖估算師生日平均閱讀時(shí)間的

方差

【答案】（1）47=0.1

(2)9.16(小時(shí))

(3)9；13.28.

【解析】

【分析】(1)由頻率分布直方圖概率之和為1,求解即可；

(2)由頻率分布直方圖平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；

(3)由頻率分布直方圖的方差公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由概率和為1得：2x(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,

解得a=0.1.

【小問(wèn)2詳解】

由題意知，亍為全校師生日平均閱讀時(shí)間，則

F=0.04x1+0.06x3+0.1x5+0.1x7+0.3x9+0.2x11+0.1x13+0.08x15+0.02x17=9.16,

所以全校師生日平均閱讀時(shí)間為7=9.16(小時(shí)).

【小問(wèn)3詳解】

將『保留整數(shù)則亍土9,由題意知：

/=0.04x(1—9)2+0.06x(3—9>+0.1x(5-9)2+0.1x(7-9)2+0.3x(9-9)2

+0.2x(11—9)2+0.1x(13—+0.08x(15-9)2+0.02x(17-9)2=13.28

所以估算師生日平均閱讀時(shí)間的方差為13.28.

16.已知數(shù)列｛4｝,/=La.=S“+1(幾

(1)求?！ǎ?/p>

⑵令包=返鄉(xiāng)旦,,為數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和，求7“.

【答案】(1)a,=2-

n—1

(2)I；=4-(〃+2)1

【解析】

【分析】(1)利用?！?1=5.+1得到⑸=5“_1+1,再用兩式相減可得a.=2%,由于此時(shí)〃》2,所以

需要對(duì)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，。2=1+1=%+1=2。1，最后可判斷｛4｝是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng);

(2)先求出勿="義(3],再利用錯(cuò)位相減法來(lái)求出它的前〃項(xiàng)和.

【小問(wèn)1詳解】

由%+i=S“+l("2L〃eZ),

所以當(dāng)時(shí)，有。"=5,一+1,兩式相減得：an+x-an^Sn-Sn_^an,

即4+1=2%.

又有a?=S】+1=%+1=2%,

所以｛4｝是以％=1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以4=2"!

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知：b=1OgA+1=/zxf-^,

所以卜唔卜2也卜拈j+

畤=l*B+2*?+3x(疝

上面兩式相減得：

-nx-HX2-(/7+2)

1——

2

n-\

所以＜=4一("+2)

17.如圖，已知在斜三棱柱A5C—A3'C'中，是邊長(zhǎng)為2的菱形，且

71

NABB'=，B'C=BC.

3

A'

C'

B'r

.\P

(1)求證：平面ABRA_L平面ABC；

(2)若AC=是AC的中點(diǎn)，2EA=5EP，求AP與平面A,BE所成線面角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵交.

2

【解析】

【分析】(1)先由線面垂直的判定定理證明A5，平面B'AC得到AB，AC,再證明班'，平面ACQ，

得到AC±BB，進(jìn)而由面面垂直的判定定理證明結(jié)果即可；

(2)利用(1)的結(jié)論建立如圖所示坐標(biāo)系，求出平面A'BE的法向量，代入線面角的向量公式，求出結(jié)果

即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖，連接45',取58'的中點(diǎn)Q，連接42,。。，

由為菱形，所以

又由A'BLB'C，且AB'CB'CM",AB'u平面B'AC,B'Cu平面B'AC,

所以A3,平面B'AC,故而A3LAC①.

TT

又由/ABB'=§,所以A33'為等邊三角形，

所以

由所以CQL55',且A。CQ=Q,AQu平面ACQ,CQu平面AC。,

所以班‘，平面ACQ，所以ACJ_33'②，

由①②班'八46=6，88u平面ABB'A，A5u平面ABfi'A，所以ACJ_平面ABB'A',ACu平

面ABC,

故而平面ABBA±平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

如圖，取A'3’的中點(diǎn)產(chǎn)，連接■，

由（1）知：AB±AC,AC±AF,

由產(chǎn)為A'B'的中點(diǎn)，則AFLA5'，即AFLAB,

由平面ABBA，平面ABC,平面ABBAc平面ABC=AB,AFu平面AB5'A,

所以A/，平面ABC,所以AB,AC,AF兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由A6=AC=2,

所以A(0,0,0),3(2,0,0),4(—1,0,唐)，石(0,1,0),

所以E3=(2,—1,0),43=(3,0,一居.

設(shè)？(不，為，Z。),^2EA'=5EP>得：2(-l,-l,^j=5(x0,y0-l,z0),

f

232百2320、

所以毛=--,y=M，z（）所以AP=-，

0r5,5-5-,

72.EB—0

設(shè)平面A3E的法向量為〃=(%,%,zj,貝".....

、7n-A,B=0

令占=1,則乂=2,4=若，所以〃=（1,2,6卜

令。為AP與平面ABE所成線面角,

\n-AP\2J2

所以sin。=cos―-L=T-『=—，

\n\-\AP\V8xVl2

所以AP與平面ABE所成線面角的正弦值為—.

2

18.已知函數(shù)/"(同式工一戶+孩一一辦.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)了(%)的最小值；

(2)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

【答案】(1)最小值/(1)=—e

(2)答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求解；

(2)求出/'(%),對(duì)。分情況討論即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，由/(x)=(x—2)e",所以/'(x)=(x—l)e"

當(dāng)尤<1時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)尤>1時(shí)，f\x)>0；

所以/(%)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(%)的最小值為/⑴二―e；

【小問(wèn)2詳解】

由/(%)=(%-2)ex+-1x2-tzx,

所以/'=(%-l)e"+a(x-1)=(尤-l)(e"+a).

①當(dāng)aNO時(shí)，若xe(—oo,l)時(shí)，/'(x)<0,

所以〃力為(-8,1)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

若xe(l,+8)時(shí)，/^%)>0,所以“力為(1,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù),

②當(dāng)ae(-e,0)時(shí)，ln(-a)<l,

若xe(_oo,ln(-a))時(shí)，

所以了(%)為(-8,ln(-〃))上的單調(diào)遞增函數(shù)，

若xe(ln(-a),l)時(shí)，/,(x)<0,

所以〃力為(in(—a),1)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

若時(shí)，制x)>0,所以“力為(1,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

③當(dāng)a=-e時(shí)，In(-a)=1,

對(duì)VxeR，ra)20,所以〃尤)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

④當(dāng)ae(-00,-e)時(shí)，In(-?)>1,

若le(—8,1)時(shí)，>0,所以“X)為(—8,1)上的單調(diào)遞增函數(shù)；

若x4l,ln(—⑼時(shí)，/'(x)<0,所以〃力為a))上的單調(diào)遞減函數(shù)；

若xe(ln(—a),+oo),/'(X)〉0,所以f(%)為(ln(—a),+oo)上單調(diào)遞增函數(shù).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題(2)關(guān)鍵在于對(duì)。分類討論.

22

19.已知橢圓C:二+==1(?！?〉0)的離心率為；，上、下頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形面積為

ab

6過(guò)點(diǎn)P(T—3)作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B.

(1)求橢圓。的方程；

(2)求A5所在直線的方程；

\PQ\\PQ\

(3)過(guò)點(diǎn)P作直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)Q,求焉的值?

\PM\|PN|

22

【答案】(1)—+^=1

43

(2)%+y+l=0

⑶2

【解析】

【分析】⑴由題意可得?"技解方程求出即可得出答案.

（2）先證明過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程的形式，再求得過(guò)點(diǎn)A,3的切線方程，從而得到直線A3的方程.

22

（3）令"（&,%）,N（%4，y4），設(shè)直線/的方程為：丁=左（1+4）—3,聯(lián)立橢圓C的方程?+=

y=k(x+4]-32—4k

求出七+七,馬―4，再令。（％,%）,解方程組<1?，解得七二———表示出