2024屆安徽省阜陽市皖江聯(lián)盟高三模擬預測數(shù)學試題含答案

姓名座位號

（在此卷上答題無效）

2024屆安徽省阜陽市皖江名校聯(lián)盟高三模擬預測數(shù)學試題數(shù)學

本試卷共4頁，19題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

考生注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合A={—1,0,1},B=[y\y=2x,x&A],則（）

A.AB={1}B.A.B={-1,0,1}C.BcAD.AoB

V2y2

2.已知雙曲線一J=1的焦距為4,則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為（

3m

A石nn屈

A.B.----C.-----D.------

333

4

3.記a=244,b=0.4^,c=log042,則（）

X.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bY）.a<c<b

4.已知空間中不過同一點的三條直線/，祖，n.ul,m,“共面”是“/,/〃，〃兩兩相交”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知復數(shù)z滿足z2+z+l=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z=1B.z+z=1C.z—z=1D.z3=1

6.在二項式g）的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數(shù)項為，B.各項的系數(shù)和為64

4

C.第3項的二項式系數(shù)最大D.奇數(shù)項二項式系數(shù)和為-32

7.在平面直角坐標系x0y中，已知向量OA與03關(guān)于y軸對稱，若向量a=(l,0)滿足

.2?

OA+a-AB=0,記A的軌跡為￡,貝U()

A.E是一條垂直于x軸的直線B.E是兩條平行直線

C.E是一個半徑為1的圓D.E是橢圓

1(］)

8.設正數(shù)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S”=51a,+『J(〃cN*),則()

A.｛4｝是等差數(shù)列B.｛S“｝是等差數(shù)列C.｛a〃｝單調(diào)遞增D.｛S〃｝單調(diào)遞增

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.設離散型隨機變量x的分布列如表，若離散型隨機變量y滿足y=2x-1,則()

X01234

P0.10.4X0.20.2

A.x=0.2B.E(X)=2,D(X)=1.8

C.E(X)=2,D(X)=1.4D.E(Y)=3,D(Y)=7.2

IT

10.已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+e)(A>0,a)>0,\(p\<~)的部分圖象如圖所示，且圖中陰影部分的

面積為4兀，貝?。?)

A"(x+兀)=/(%)

B.點|詈,0］是曲線y=/(X)的一個對稱中心

7兀

C.直線x是曲線y=/(x)的一條對稱軸

6

D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

11.拋物線爐=8y的焦點為尸，準線為直線/,過點E的直線交拋物線于A,3兩點，分別過A,8作

拋物線的切線交于點P,于點A,班'，/于點8,則()

A.點P在直線y=T上B.點尸在直線上的投影是定點

C.以A8為直徑的圓與直線AB相切D」A.+1的最小值為2

\PF\4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知Igx+lgy=2,則x+y的最小值為.

13.已知三棱錐P—ABC的外接球為球0,PC為球。的直徑，且PC=2,PA=PB=6AB=1,

則三棱錐P-ABC的體積為.

14.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)

a(n):VnGN\為〃的所有正因數(shù)之和，如。(6)=1+2+3+6=12,則b(20)=；

四、解答題：共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知函數(shù)/(x)=cos(0x+°)［ty〉0,—0］的最小正周期為兀,且函數(shù)/(%)的圖象向左平移巳個

單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù).

牛

1

1........二.

2

~0Z2ITIlir"~

,6-i2-IT

(1)求函數(shù)了(無)的解析式，并通過列表、描點在給定坐標系中作出函數(shù)/(X)在［0,兀］上的圖象；

(2)在銳角ZVIBC中，a,b,c分別是角A,B,。的對邊，若=-----,求/(B)的值域

cosBcosC

16.(15分)

籃球運動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》SFSA全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4月13

日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進行13站比賽.

(1)為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計部門在某地隨機抽取了男性和女性各100名進行調(diào)

查，得到2x2列聯(lián)表如下：

喜愛籃球運動不喜愛籃球運動合計

男性6040100

女性2080100

合計80120200

依據(jù)小概率值c=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)?

(2)某?；@球隊的甲、乙、丙、丁四名球員進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者

都等可能將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第〃次

觸球的概率為匕，則［=1.

(i)證明：數(shù)列｛匕是等比數(shù)列；

(ii)判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.

n(ad-be)?

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)

如圖，在圓臺。。中，/用，AB分別為上、下底面的直徑，且4與〃45，AB=2A4，CG為異于

AAr8月的一條母線.

(1)若〃為AC的中點，證明：GM〃平面AB51A；

(2)若0。=3,AB=4,ZABC=30°,求二面角A——0的正弦值.

18.(17分)

已知函數(shù)/(x)=ox"-61nx,其中。>0.

(1)若曲線y=/(x)在點(1,1)處的切線方程為y=l,求的最小值；

(2)若2對于任意x>0均成立，且g(a)=〃+總的最小值為1,求實數(shù)左.

a

19.(17分)

22

如圖，各邊與坐標軸平行或垂直的矩形ABCD內(nèi)接于橢圓E：++9=l(a〉6〉0),其中點A,B分

別在第三、四象限，邊A。，與x軸的交點為A/1，M2.

(1)若A3=3C=1,且AZ2為橢圓E的焦點，求橢圓E的離心率；

(2)若是橢圓E的另一內(nèi)接矩形，且點A也在第三象限，若矩形ABCD和矩形4片。|2的面

積相等，證明：|。4『+|Q4『是定值，并求出該定值；

(3)若ABCD是邊長為1的正方形，邊AB,與y軸的交點為加3，%,設￡(7=1,2,…，

100

100)是正方形ABCD內(nèi)部的100個點，記4=力.㈤，其中左=1，2,3,4.證明：4,d2,

i=l

d3,《中至少有兩個小于81.

數(shù)學參考答案及評分標準

、選擇題:

題號1234567891011

答案ABCBDACDBDABCBCD

【解析】

1.依題意A={—1,0,1},B={y|y=2\xeA)=H,l,2l,因此AB={1},選項A正確

2.因為雙曲線上-J=l的焦距為4,所以3+7后=22,解得m2=1,所以則該雙曲線經(jīng)過一、三象限

3m2

的漸近線的斜率為選項B正確.

4

3.顯然0<。=2-°-4<2°=1,/?=0.4^>0.4°=1,c=log042<log04l=0,故選項C正確.

4.依題意，直線/，根，〃不過同一點，因此，若加，〃兩兩相交”則必有加，〃共面（由

三個交點確定的平面）"，但若加，〃共面”，有可能有兩條直線平行，與第三條之間分別相交，但此

時，“/,/〃，〃兩兩相交”結(jié)論錯誤，故選項B正確.

5.因為z2+Z+l=0,所以z3—l=(z—1)卜2+z+l)=0,從而z3=l,選項D正確.

6.（?—的展開式通項為7；M=瑪?（五）6-'1—g[=瑪[—g]當r=2時，常數(shù)項為

C：1—g]=￡,選項A正確；令x=l,得各項的系數(shù)和為（1—g]=},選項B錯誤；展開式共7

項，二項式系數(shù)最大應為第4項，故選項C錯誤；依題意奇數(shù)項二項式系數(shù)和為

16

C：+C：+C：+C：=wZC；=32,選項D錯誤.

2/=0

.?2?

7.不妨設點A的坐標為(x,y),OA=(x,y),OB=(-x,y),由。A+a.AB=0可得o￡+y?-2x=0,

即（x—1）2+;/=1,故選項c正確.

if1)|1『—；令

.依題意a+—―—nSS,=i,

8nS“=—nnn2ns.=Sn”—nS-i“i+0-----cl---n"n+S,i

/I%J?〃一1

n=l,解得工=1,從而Sj=〃,Sn=G，冊=品7n_\，易知選項D正確.

9.因為0.1+04+x+02+02=L所以尤=0.1，A選項錯誤;

0+1+2+3+4~

由E(X)=OxO.l+lxO.4+2xO.l+3xO.2+4xO.2=2,而乂=------------------=2,

5

故O(X)=(0—2)2x0.1+(l—2)2x0.4+(2—2)2x0.1+(3—2)2x0.2+(4—2)2x02=1.8,

因此選項B正確；

又y=2X—1,所以，￡(Y)=2￡(X)—1=3,D(y)=4D(X)=7.2,故C錯D對.

10.由題意，A=2f4T=4兀，所以T=—=兀，即G=2,

CD

又y(0)=l,所以2sin0=l,可得。=弓，因止匕/(x)=2sin[2x+g

顯然，函數(shù)周期為兀，/(x+^)=/(%),選項A正確;

若xe(烏即烏<x<羽，則@<5+0<2，函數(shù)先減再增，D錯誤.

U4J4433

11.依題意焦點F的坐標為(0,2),準線為直線l;y=-2,

不妨設A8(/，%)，直線的方程為y=fcc+2,

聯(lián)立y=Ax+2與爐=8y,得％之-8Ax-16=0,從而再+々=8攵，x(x2=-16,

11

由題意，y——x9,yr=—x9

84

故拋物線過點A,8的切線方程分別為y—%=；X](x—xj,y—%=；X2(X—X2),

解得點尸的坐標為[土產(chǎn),-2],故A錯誤；

因為AB-PF=0,所以？FLAB,

即點P在直線AB上的投影是點尸(定點)，故選項B正確；

可證RtZXAEP也RtZXA'EP,RtABFP^RtA^FP,因此?=AP=6'P,

即以A5'為直徑的圓與直線AB相切，選項C正確；

對于選項D,因為|45|=必+%+4=84？+8,|PF|=716^+16=4^2+1)

從『好L-

9

單調(diào)性易知，t=l,函數(shù)取最小值一.D正確.

4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2013,中14.42；1）（3向—1）.（第一空2分，第二空3分）

【解析】

12.依題意無>0,y>0,xy=100,所以九+y22j^=20,等號成立當且僅當x=y=10.

13.如圖，易知NB4C=NPBC=90°,AC=BC=1,

作于點“，易知9AH=BH=—,

2

AH?+BH?-AB?1

cos/AHB=

2AHBH3

S=LAHBH-smZAHB=-x^^=—,

MHB2834

故三棱錐P-ABC的體積為:SPC=與.

3MHB6

14.cr(20)=l+2+4+5+10+20=(2°+2+22)(5°+5)=42

b(6")=(l+2+4++2")(l+3+9++3n)=1(2n+1-l)(3,!+1-l).

四、解答題:

15.（13分）

解：(1)函數(shù)/(%)的最小正周期7=——=兀，?,.G=2,

0)

向左平移后/[x+巳]=cos[2x+g+o]為偶函數(shù)，且—■!＜夕＜0,:.(p=-^,

故/(x)解析式為/(x)=cosj2x-^j.

列表如下:

715兀2兀11兀

X0兀

I12T~n

兀713兀571

兀

2%--一§0

32~2T

f(x)10-10

22

/(x)=cos2x-|k[0,兀]上的圖象如圖所示:

_bc

(2)-------=-------,/.(2a-b)cosC-ccosB,

cosBcosC

1兀

即2acosC=Z?cosC+ccos5,解得cosC=—,即。=—,

23

7T7T

又因為“BC是銳角三角形，所以一＜B＜一,

故0＜28—]＜g,即/(x)=cos[23—m]e]—；,l]

16.(15分)

解：(1)假設“°：喜愛籃球運動與性別獨立，即喜愛籃球運動與性別無關(guān).

200x(60x80-20x40)2

根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得％2==-y-＞10.828="ooi,

100x100x80x120

依據(jù)小概率值c=0.001的獨立性檢驗，我們推斷“0不成立,

即能認為喜愛籃球運動與性別有關(guān)，從此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.

(2)(i)由題意,

PP+

n=n-\=+J，

所以憶：=-m

13［1］31

又wO,所以匕――是以一為首項，——為公比的等比數(shù)歹U.

14414j43

(ii)由⑴,

所以%=;3?11

44

故甲第25次觸球者的概率大.

17.（15分）

解：（1）證明：連接AG-

因為4耳，分別為上、下底面的直徑，且4與〃45.

所以AA］，BB-CG為圓臺母線且交于一點?因此A，A，C,G四點共面.

因為圓臺。&中平面ABC//平面，

平面A41clC［平面ABC=AC,平面A41Go平面=AG，

所以AC〃AG，

又因為4片〃45,45=24與，所以篝=妥=3，

從而6=g=!，即G為。C的中點.

PCPA2

在△PAC中，4為AC的中點，所以〃/招.

因為三平面,。］口《平面43514，

所以〃平面AB514.

（2）以。為坐標原點，0B,。0］分別為y,z軸，過點。且垂直與平面的直線為x軸，建立

空間直角坐標系。-孫z.

因為NABC=30°,所以NAOC=60°,所以A(0,—2,0),C(6,—1,0),Q(0,0,3),

因為OC=(G,—1,0),所以。￡=:OC=

—故G再」3

2222

IJ7

所以GC=T，-3「

%-OC—0,

設平面ocq的法向量為4=a，X，zJ,貝k

々?CC=0,

也%-％=o,_

即《、ni,所以平面OCG的一個法向量為4=（i,6,°）?

~x1~~y\~^z\=o，

、乙乙

又AC=（百,L0）,設平面AC￡的法向量為巧=（X2，%，Z2），

+%=0，

n?-AC=0,

所以《2即《

n2-CC=0,

所以平面oca的一個法向量為%=i,-A

設二面角M-CC.-O的大小為0,

從而sin0=^1-cos2<>=>：：

所以二面角M-CC.-O的正弦值為理。.

18.(17分)

解：（1）①由題意，且了（%）的定義域為（0,+8）

a2xa-b

f'(x)=a2xa-1--

Xx

/(1)=1,a=l,a=l,

依題意《即從而＜

r(i)=o,a2—b—0^b=l,

故/(x)=x-lnx,/\x)=――,

x

從而函數(shù)于（X）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,內(nèi)）上單調(diào)遞增,

所以/(%)*="1)=1?

bb

(2)依題意，xa—Inx>3%-2,其中a>0,記/z(%)=x"—Inx-3%+2,貝！J/z(x)20,

aa

因為飄1)=0,h(x)>h(I)f即為1)是=%)的極小值也是最小值,故"(1)=0,

bb

而〃(九)=依"一1--------3,所以〃-----3=0,解得6=/—3〃，

axa

此時h(x)=/一(〃一3)In犬一3%+2(%>0),

若0v〃<3,則x―>0時，xa—>0,Inx—>—oo,—(a—3)Inx―>—oo,—3x+2—>2,

即力(%)fTO,與/z(%)NO矛盾!

蓼/“、?-i。一3.axa-3x-a+3a(xfl-l)-3(x-l)

右aN3,h\x)-ax---