基本不等式及其應(yīng)用（十大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新教材新高考）（解析版）

第04講基本不等式及其應(yīng)用

目錄

考情分析

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

「基本不等式

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理一-幾個(gè)重要的不等式

-均值定理

-題型一：基本不等式及其應(yīng)用

一題型二：直接法求最值

-題型三：常規(guī)湊配法求最值

一題型四：消參法求最值

-題型五：雙換元求最值

提升?必考題型突破

—題型六：T的代換求最值

一題型七：齊次化求最值

-題型八：利用基本不等式證明不等式

-題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

一題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問(wèn)題的最值

真題感悟

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考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

（1）了解基本不等式的推導(dǎo)高考對(duì)基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考

過(guò)程.查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，

2022年II卷第12題，5分

（2）會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、

2021年乙卷第8題，5分

單的最值問(wèn)題.求最值和求取值范圍的問(wèn)題.

2020年天津卷第14題，5分

（3）理解基本不等式在實(shí)際

問(wèn)題中的應(yīng)用.

基本不等式I：若a,beR,則a-2+b⑵2ab,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)

基本不等式及其應(yīng)用基本不等式基本不等式2：若a,b￡R+,則a+b?2/ab,

K當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)?

?夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1、基本不等式

如果°>0,匕>0,那么巴心，當(dāng)且僅當(dāng)4=6時(shí)，等號(hào)成立.其中，"叫作a,b的算術(shù)平均

22

數(shù)，而叫作。，的幾何平均數(shù).即正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1:若a,bwR,則。2+62、2“6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；

基本不等式2：若a,bwR*,則"*"4^（或a+bN2&i^）,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取等號(hào).

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積

為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

【解題方法總結(jié)】

1、幾個(gè)重要的不等式

（1）a2>0（aeR）,&i>0（a>0）,|a|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果則巴心之而（當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“=”）.

2

特例：a>0,a+—>2;—+—>2（a,Z?同號(hào)）.

aba

第2頁(yè)共20頁(yè)

（3）其他變形：

①/+/上+?（溝通兩和4+6與兩平方和"+廿的不等關(guān)系式）

2

②abM（溝通兩積而與兩平方和4+加的不等關(guān)系式）

2

③油（等）（溝通兩積油與兩和4+6的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：［ZjV痣y（a,beR+）即

ab

調(diào)和平均值v幾何平均值4算數(shù)平均值4平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

2、均值定理

已知x,y^R+.

（1）如果x+y=S（定值），則孫4苫上）=y（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即“和為定值，積有最

大值”.

（2）如果q=尸（定值），則x+”2而=2再（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積為定值，和有最

小值”.

3、常見(jiàn)求最值模型

模型一：2^/mn（m>0,n>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x="時(shí)等號(hào)成立；

xVm

模型二：mx-\———=m（x-a）——-——I-ma>2^l~mi+ma（jn>0,n>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x-a=.—時(shí)等號(hào)成立；

x-ax-avm

模型二：——=-1——（a>0,c>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立；

ax+bx+c以+6+92^1ac+bNa

x

模型四：尤（"一?（”士竺）2=4（加>0,〃>0,0<x<‘），當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等

mm24mm2m

號(hào)成立.

.提升?必考題型歸納

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

【解題方法總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)

證.

例1.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖

第3頁(yè)共20頁(yè)

所示圖形，在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)。為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

設(shè)=BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

。A

a

A.~Y~-(a>0,Z7>0)B.-<y[ab(^>0,Z?>0)

C.*p^(a>0,b>0)

D./+/>2y[ab(a>0,&>0)

【答案】C

【解析】由圖知：OC=^AB=^,OD=\OB-BD\=^-b

在加△OCD中,CD^yjoC2+OD-=

即哈月[（。>0i），

所以O(shè)CWOD,

故選：C

例2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知尤，y都是正數(shù)，且x/y,則下列選項(xiàng)不恒成立的是（）

xy-

A.B.-+->2

yx

c.~^<y/xyD.xy+—>2

x+yxy

【答案】D

【解析】x,y都是正數(shù)，

由基本不等式，干上向，2+->2,受《苧=而，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成

2xyx+y2Vxy

立，而題中xHy,因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；

孫+’22中當(dāng)且僅當(dāng)孫=1時(shí)取等號(hào)，如x=[,y=2即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立.

xy2

故選：D.

例3.（2023?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí)）下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知正。，求定的最小值；解答過(guò)程：>22卮=2；

②求函數(shù)>=聲言的最小值；解答過(guò)程：可化得y=〃=+[±122；

第4頁(yè)共20頁(yè)

③設(shè)x>l,求〉=尤+二7的最小值；解答過(guò)程：y^x+—>2,P^,

x-1x-l\x-l

當(dāng)且僅當(dāng)x=々即X=2時(shí)等號(hào)成立，把X=2代入2、叵得最小值為4.

x-lVx-l

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

Z7h

【解析】對(duì)①：基本不等式適用于兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)必<。，7與一均為負(fù)值,

ba

/7h

當(dāng)且僅當(dāng)f=即。=6<0時(shí)等號(hào)成立，故①的用法有誤，故①錯(cuò)誤;

ba

對(duì)②：J=y/x2+4+-j==>2,

VX2+4

當(dāng)且僅當(dāng)，Y+4=J1+4，即4r&=1時(shí)取等號(hào)，

但77工22,則等號(hào)取不到，故②的用法有誤；

22

對(duì)③：x>l,x—1>0,y=x-i------=A—1H---------F122A/2+1,

x—1x—1

當(dāng)且僅當(dāng)％-1=近，即X=0+1時(shí)取等號(hào)，故③的用法有誤；

故使用正確的個(gè)數(shù)是0個(gè)，

故選：A.

題型二：直接法求最值

【解題方法總結(jié)】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

例4.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若無(wú)，yeR+,且x+2y=3,則孫的最大值為

【答案】［9

8

【解析】由題知，無(wú)，yeR+，且x+2y=3

因?yàn)閤+2y22yJx-2y,

所以3N2jx-2y,

9

所以928孫，即肛Vg,

8

33

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=9，y=］時(shí)，取等號(hào),

24

第5頁(yè)共20頁(yè)

Q

故答案為：—

O

例5.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若“，b>0,且必=a+6+3,則仍的最小

值是.

【答案】9

【解析】因?yàn)閍+6=-3W（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立），

所以（瘋了-2而-320,

所以（dab—3）（Jab+1）2。,所以JabN3,所以

所以油的最小值為9.

故答案為：9

例6.（2023?天津南開(kāi)?統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)。>0力>0,。+6=1,則2"+2"的最小值為.

【答案】20

【解析】:?！?。，b>0,a+b=l,

2"+2"N2也"x2"=2J2"+"=20，當(dāng)且僅當(dāng)2"=2"即。=b=g時(shí)取等號(hào).

故答案為：20.

題型三：常規(guī)湊配法求最值

【解題方法總結(jié)】

1、通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例7.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若x>-2,則=X的最小值為.

【答案】0

【解析】由x>-2,得x+2>0,—1—>0,

尤+2

所以無(wú)）=尤+^~=彳+2+^——2N2\J（尤+2）x,-2=0,

X+2X+2yX+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+2=一1即x=-1時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：0

4

例8.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知x>0,則2X+；；~~；的最小值為_(kāi)________.

2x+l

【答案】3

44I41

【解析】2x+-------=2尤+1+----------1>2.（2x+l）------------1=3,當(dāng)且僅當(dāng)2x+l=2,即苫=—時(shí)，等號(hào)成立.

2x+l2x+lV2x+l2

故答案為：3.

第6頁(yè)共20頁(yè)

例9.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若尤>1,貝卜/+2「+2的最小值為

x-1

【答案】2遙+4/4+2出

【解析】由X>1,則x—1>O.

H^J%2+2X+2=（X-1）2+4（%-1）+5,

所以匕空工=（了-1）+2+4^2必-1>工+4=2岔+4,

x-1I7x-1V尤T

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=即尤=?+1時(shí)等號(hào)成立，

x-1

故二匕+2的最小值為2君+4.

故答案為：2百+4.

例10.（2023?上海浦東新?高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式％2+以+CN03>1）的解

1+2b+4c

集為R，則的最小值為_(kāi)________.

0-1

【答案】8

【解析】因?yàn)椴坏仁奖?法+003>1）的解集為R,貝必二/一船“二建幺，

因?yàn)閎>l,所以6-1>0,

.l+26+4c、/+26+1(/?-1)2+4(&-1)+444

>?--------->---------=------------------=S-1)+~-+422J(b-1)x---+4=8.

b-1b-1b-1b-1vb-1

4

當(dāng)且僅當(dāng)人—1=「，即6=3時(shí)，取到等號(hào).

b-1

故答案為：8

題型四：消參法求最值

【解題方法總結(jié)】

消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解

題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！

例11.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)°,。滿足"+2a-2=0,則4a+6的最小值是（）

A.2B.40-2C.473-2D.6

【答案】B

2

【解析】由a6+2a—2=。，得a=,

b+2

所以4°+6=-^-+6=-^-+（6+2）-2..2/-^-.（6+2）-2=40-2,

b+2b+2\b+2

第7頁(yè)共20頁(yè)

當(dāng)且僅當(dāng)a=±,±=6+2,即°=也涉=2行一2取等號(hào).

b+2b+22

故選：B.

例12.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若x,yeR+,（x-y）2=（xy）3,則工+工的最小值為_(kāi)__________.

尤y

【答案】2

【解析】

因?yàn)椋▁-?=（盯了且x,yeR+,則兩邊同除以（xy）,,得（,」>=孫，

y%

又因?yàn)椋?+工）2=（，-2）？+4-'-=孫+4-1-22」孫-4-1-=4,當(dāng)且僅當(dāng)孫=41，即x=2+0,y=2-0時(shí)

xyyxxyxyxyxy

等號(hào)成立，所以'+,26=2.

%y

故答案為：2

例13.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知兀>0,>>0,滿足爐+2盯-2=0,則2x+y的最小值是.

【答案】V6.

［解析】由1+2孫一2=0,得'=^1=，_鼻，xe（0,V2）

所以2x+y=2x+^_±=在+色.工=2,口=&.

JC22JCV2xV2

當(dāng)且僅當(dāng)空」即工=包時(shí)等號(hào)成立，

2x3

所以2x+y的最小值是

故答案為：底.

題型五：雙換元求最值

【解題方法總結(jié)】

若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的

分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系.

1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例14.（2023?浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)。>0,6>0,若片+〃一耳b=i,則、&2一油的最大值為（）

A.3+73B.20C.1+^/3D.2+石

【答案】D

【解析】解：法一：（基本不等式）

設(shè)c=6a—b,則6a?-ab=a（由a-b）=ac,

第8頁(yè)共20頁(yè)

條件一百+c2-y/3ac=1，

所以y/3ac+1=a2+c2>2ac，即QCW2+V3.

故選：D.

法二：(三角換元)由條件(a-也6)2+1〃=1,

回A

a----b=cosc/

2a=cos6+A/3sin0

故可設(shè)，即<

Z?=2sin6

—=sin6^

2

>

上十八,c遼cos6+V3sin6>>0?口八八5TT

由于〃>0,b>o,故〈，解得o<e<L

2sin6>>06

所以,卜普獷

所以6a2-的=6+25苗2642+6,當(dāng)且僅當(dāng)0=?時(shí)取等號(hào).

故選：D.

4n+h

例15.(2023?天津南開(kāi)?一模)若a>0,Z?>0,c>0,a+Z?+c=2,則-+----的最小值為

a+bc

【答案】2+20

【解析】由題意，a>Q,b>0,c>0,a+Z?+c=2得：a+b=2-c,

設(shè)2-c=m,c=〃,O>0,〃>0),則加+〃=2,

4Q+b42-c421421

a+bc2—cc2—ccmn

m+n42、<c2nmice2幾mn；

=-------x(z—+-)-1=3+—+——1>2+2/-=2+2。2,

2mnmn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)“二2",即相=4-2^^,幾=c=時(shí)取得等號(hào)，

故」7+巴吆的最小值為2+2收，

故答案為：2+20

例16.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知。>0,/>0,。+26=1,則一二+二v取到最小值為

3a+46a+3b

【答案】?

2-1

34+〃=1s

【解析】令a+2b=X(3a+4b)+〃(a+3Z?)=(3%+〃)a+(42+3/z)〃,/.{=>{,

‘42+3//=22

第9頁(yè)共20頁(yè)

11/11231「2(〃+3份3〃+4。

-----------1------=--(----------+-------)?[-(3a+46)+—(〃+3b)]=-+-[—---------+---------]

3a+4ba+3b3〃+4。a+3b55553a+4ba+3b

廠a+2b=l

二+2卜(〃+3勿3〃+44士31,當(dāng)且僅當(dāng)｛2(〃+3勿3〃+4b時(shí)，等號(hào)成立,

55V3。+4ba+3b5-----------------------

3〃+48a+3b

即4r+T:的最小值是上還.

3a+4ba+3b5

題型六：“1”的代換求最值

【解題方法總結(jié)】

1的代換就是指湊出1,使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)程

中要特別注意等價(jià)變形.

1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例17.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）若直線2+==1（。>0,6>0）過(guò)點(diǎn)（2,3）,貝i]2a+b的最小值為_(kāi)_____

ab

【答案】7+4用46+7

【解析】???直線:+看=1（。>0力>0）過(guò)點(diǎn)（2,3）,

.,.24+6=(20+6)仕+3]=7+殳+”之7+4上網(wǎng)=7+4有,當(dāng)且僅當(dāng)6=島，即a=2+G6=2用3

\ab)ab\ab

時(shí)取等號(hào).

的最小值為7+4B

故答案為：7+4石.

4-2b1

例18.（2023?河北?IWJ二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a>0,〃>0,。+2〃=3,則-----H不■的最小值為_(kāi)_________.

a2b

【答案】|7

【角星析]a>0,〃>0,a+2b=3,

4-2/?11f.2ba

(〃+2〃)=1+-2+—+——

a2ba2b3a2b3alb33

34-2b17

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2二時(shí)取等號(hào)，則丁+力勺最小值為.

,7

故答案為：—

例19.（2。23?湖南衡陽(yáng)?高三?？计谥校┮咽?>>2,且標(biāo)+尸7,則喜+￡的最小值為一.

第10頁(yè)共20頁(yè)

【答案】1

【解析】因?yàn)?x+y=7,所以3x-l+y-2=4,

5g=1

即

44

13x-1v-2

因?yàn)閥＞2,所以下＞。,2r＞。,

1111、/31丫-2、

-------+-------=(z--------+-------)(-------+-——)

3x-lj-23x-lv-244

,+上"+上7/+2Iy-2x31=1

44(31)4(y—2)42'4(3x-l)4(y—2)'

當(dāng)且僅當(dāng)一二2n二*

即尤=l,y=4時(shí)取等號(hào).

4（3x-l）4（y-2）

11

所以=1+亦的最小值為1.

故答案為：1

41

例2。.（2。23.山東青島.局三山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)“少滿足R+相=1,

則。+2）的最小值為

【答案】8

41

【解析】因?yàn)?T而

Br±：S+6)+(Hl)T]

所以a+26=

.114（Z?+1）a+b/4（Z?+1）a+b

=4+1-1+—-----L+------>4+2—------L-------=8，

a+bb+1Ava+bb+1

當(dāng)且僅當(dāng)險(xiǎn)土D=",即。=43=2時(shí)，取等號(hào)，

a+b。+1

所以。+2）的最小值為8.

故答案為：8.

題型七：齊次化求最值

【解題方法總結(jié)】

齊次化就是含有多元的問(wèn)題，通過(guò)分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)

行求解.

例21.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)〃也c,a+A=3,則與ac+彳3c+'的3最小值為_(kāi)______________

babc+1

【答案】2遙-2/-2+246

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【解析】由正實(shí)數(shù)a,b,a+b=3,可得3=絲土城

2(a+/?)

a+-....-Q

所以3c333

-----1-------1----c--x-(-+—)+—ex-------——+---

babc+1babc+labc+l

4/+2ab+Z??34〃+b3

=ex-------------1----=cx(---1---+—)+----

3abc+13b3a3c+1

"4〃b、c素54,當(dāng)且僅當(dāng)+5即“力4時(shí)取等號(hào)'

ffi]—+—>2

3b3〃

,,ac3c342、3c/1、3c

故一+—+---->(?(—+—)+---=2(c+l)+------2

babc+l33c+lc+l

>2^/6-2,

當(dāng)且僅當(dāng)2（c+l）=W時(shí),即，邛T時(shí)取等號(hào),

故答案為：22

例22.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）己知a,6為正實(shí)數(shù)，且2a+6=l,則^+三的最小值為

a2b

【答案】6

2a4a+2ba(lba\、與2ba,

【解析】由已知條件得,—l---=+——=——+——+4>2j-----+4A=6,

a2ba2ba2ba2b

當(dāng)且僅當(dāng)絲==,即a=],b=!時(shí)取等號(hào).

a2b55

故答案為：6.

2孫孫

例23.（2023?天津紅橋?高三天津市復(fù)興中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x>0,y>0,則X*2+4/+f+y了的最大值

是

【答案】名旦

3

2xyxy21

22+22H------x八

【解析】x+4yx+y2+-2十)，設(shè)￡0),

y

y

2

212/3(7+2t)3(r+一)

所以原式=+—j-=--------卜一

/+4Z2+l/+5/+4r+5+g

tH—tH—

令〃=r+2?>o),〃z2V2.

第12頁(yè)共20頁(yè)

3u3/332A/2

所以原式=l?+l—f―r-r--9r--3

M+--A/23-

u2V24

(函數(shù)y="+，在[20,+oo)上單調(diào)遞增)

U

故答案為：—

3

題型八：利用基本不等式證明不等式

【解題方法總結(jié)】

類(lèi)似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明.

例24.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))利用基本不等式證明：已知。，瓦c都是正數(shù)，求證:

^a+b)(b+c)(c+a)>?>abc

【解析】〔a，b，c都是正數(shù)，:.a+b>2s[ab>0(當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)取等號(hào))；b+c>2sfbc>0(當(dāng)且僅當(dāng)b=

時(shí)取等號(hào))；c+a>2s[ca>0(當(dāng)且僅當(dāng)c=。時(shí)取等號(hào));

.■.(a+Z?)(Z?+c)(c+a)>2-Jab-Zsibc-2\[ca=8abe(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)),

即(a+b)(6+c)(c+a)>8abc.

例25.(2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知無(wú)，》z為正數(shù)，證明:

(1)若冷Z=2,則卓+；

xy"z2+2=2

(2)若2%+y+2z=9,則//+zz之9.

【解析】(1)因?yàn)閷Oz=2,所以4=*42二，

x2

同理可得"丁，》三

222,,111x2+y2+z2

所以—+_+一?

xyz222叱

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立.

(2)x2+y2+z2+12+22)(x2+j2+z2)>-^(2x+y+2z)2,

因?yàn)?x+y+2z=9,所以Y+V+z?之9,當(dāng)且僅當(dāng)犬=2y=z時(shí)等號(hào)成立.

例26.(2023?四川廣安?高三校考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/⑴=疝+1|+,+川，若/⑺<3的解集為[〃』.

⑴求實(shí)數(shù)加，及的值；

19

(2)已知。涉均為正數(shù)，且滿足丁+丁+2冽=0,求證：16?2+Z?2>8.

2ab

【解析】(1)因?yàn)椤▁)<3的解集為卜1],所以〃1)43,即3+|1+根區(qū)3,所以|1+〃40,

又|1+加|2。，所以1+m=0,即加=一1.

第13頁(yè)共20頁(yè)

所以/(x)=|2尤+1|+|尤—1|,

當(dāng)—時(shí)，/(%)=—2%—1—x+1=—3%?3得入2—1,貝!J—1Vx<—,

22

當(dāng)—《x?1時(shí)，f(x)—2x+1—x+1—x+2^3,—?xK1,

22

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=2x+l+x-l=3x<3,得x<l,不成立，

綜上所述：〃外<3的解集為［-1,1］,

因?yàn)?％)<3的解集為［九』.所以〃=-1.

1?

(2)由(1)知，m=—l所以--1—=2(ti>0,Z?>0),

92ab

所以2=工+222、^|=義，當(dāng)且僅當(dāng)。=(,6=2時(shí)，等號(hào)成立，

2ab\2abyfab2

所以出?21,

所以161+從上2加奇=8必28,當(dāng)且僅當(dāng)。=:,匕=2時(shí)，等號(hào)成立.

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

【解題方法總結(jié)】

1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最值問(wèn)題.

2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件.

3、注意實(shí)際問(wèn)題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等.

例27.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開(kāi)，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生

態(tài)”為主題.某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的

化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本丁(元)與月處理量x(噸)之

間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為y=gx2-200x+80000,且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為

100元.

(1)該單位每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位

不虧損？

【解析】(1)由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為)=L+幽2-20022、除亞叵-200=200；

x2xV2x

當(dāng)且僅當(dāng)］x=,即x=400時(shí)等號(hào)成立，

2x

故該當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.

(2)不獲利，設(shè)該單位每個(gè)月獲利為S元，則

第14頁(yè)共20頁(yè)

S=1OOx-y=1OOx-]；尤2_200x+8OOOOj=-1x2+3OOx-80000=（尤_3ooj_35OOO,

因?yàn)閤e[400,600],貝1JSe[-80000,-40000],

故該當(dāng)單位每月不獲利，需要國(guó)家每個(gè)月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.

例28.（2023?貴州安順?高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可

利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處

理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為/（x）=gx2-200X+80000.

（1）該單位每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？

（2）該單位每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？

【解析】（1）該單位每月的月處理成本：

/（尤）=萬(wàn)f-200x+80000=5（%-200）2+60000,

因100〈》工600,函數(shù)/（刈在區(qū)間[100,200]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（200,600]上單調(diào)遞增，

從而得當(dāng)x=200時(shí)，函數(shù)取得最小值，BP/（x）mta=/（200）=60000.

所以該單位每月處理量為200噸時(shí)，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.

（2）由題意可知：/（尤）=gf-200x+80000（1004x4600）,

每噸二氧化碳的平均處理成本為：/區(qū)=-+幽2_200>202222_200=200

x2xV2x

當(dāng)且僅當(dāng);=更儂，即x=400時(shí)，等號(hào)成立.

所以該單位每月處理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低，為200元.

例29.（2023?湖北孝感?高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）截至2022年12月12日，全國(guó)新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破

44200000人?疫情嚴(yán)峻，請(qǐng)同學(xué)們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.

（1）我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并己進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段?已知這種新藥在

注射停止后的血藥含量c（r）（單位：mg/L）隨著時(shí)間f（單位：h）.的變化用指數(shù)模型。（"=?「如描述，

假定某藥物的消除速率常數(shù)笈=0.1（單位：h-1）,剛注射這種新藥后的初始血藥含量c0=2000mg/L,且這

種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時(shí)才會(huì)對(duì)新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥,

求該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為多少小時(shí)？（精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：1112-0.693,ln3蟲(chóng).099）

第15頁(yè)共20頁(yè)

(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個(gè)房間是長(zhǎng)方體，且有一面靠墻，底面積為48“平方米(。>0),

側(cè)面長(zhǎng)為x米，且%不超過(guò)8,房高為4米.房屋正面造價(jià)400元/平方米，側(cè)面造價(jià)150元/平方米.如果不計(jì)

房屋背面、屋頂和地面費(fèi)用，則側(cè)面長(zhǎng)為多少時(shí)，總價(jià)最低？

h-lf

【解析】(1)由題意得，c(?)=coe~=2000e°,

設(shè)該藥在病人體內(nèi)的血藥含量變?yōu)?000mg/L時(shí)需要是時(shí)間為％,

由c&)=2000e』s>1000,得,

故-O."2-ln2,等a6.93h.

該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為6.93h.

(2)由題意，正面長(zhǎng)為玉米，故總造價(jià)y=400x4x/+2xl50x4x,即y=^^+1200x,(0<xV8).

XXX

由基本不等式有y=768°°。+1200XW2、陛也X1200X,當(dāng)且僅當(dāng)型％=1200x,即x=8夜時(shí)取等號(hào).

xVxx

故當(dāng)86<8,即x=86時(shí)總價(jià)最低；

當(dāng)8夜>8,即時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，%=8時(shí)總價(jià)最低；

綜上，當(dāng)0va<l時(shí)，x=86時(shí)總價(jià)最低；當(dāng)時(shí)，尤=8時(shí)總價(jià)最低.

題型十：與平方和、ab有關(guān)問(wèn)題的最值

【解題方法總結(jié)】

利用基本不等式變形求解

例30.(多選題)(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)。，6滿足"+從二必+i,則()

A.a-b>-lB.a-b<^-

3

7171

C.ab>——D.ab<—

33

【答案】BC

【解析1a1+b2=ab+1,

當(dāng)必>0時(shí)，a2+b2>lab^>ab+l>2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l或。=6=一1時(shí)等號(hào)成立，得。<"W1,

當(dāng)"<0時(shí)，a2+b2>-2ab=>ab+\>-lab^ab>--,當(dāng)且僅當(dāng)“=迫/=一走或°=一走,》=立時(shí)等號(hào)

33333

成立，得-

當(dāng)aZ?=O時(shí)，由=]〃+i可得々=0/=±1或少=o,a=±i

綜合可得一：4必41,故C正確，D錯(cuò)誤；

a~+Z?2—2ab=1—ab——(a—=1—ab——1—(a—b)2=ab,

第16頁(yè)共20頁(yè)

當(dāng)時(shí)，1—（a_b）?2_；=>（q—b）?Vg=_2^Ma-bM2個(gè),故A錯(cuò)誤，B正確;

故選：BC.

例31.（多選題）（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）己知。>0,人>0,且。+5=1,貝U（）

A.一+6的最小值為4