5.6 函數(shù)y=Asin(ωx+ψ)（教學(xué)設(shè)計(jì)）-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)教學(xué)單元第五章三角函數(shù)教學(xué)內(nèi)容5.6.函數(shù)y=Asin(ωx+ψ)教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響；能夠?qū)＝sinx的圖象進(jìn)行交換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的圖象．(難點(diǎn))2．會(huì)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖；能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式．(重點(diǎn))3．求函數(shù)解析式時(shí)φ值的確定．(易錯(cuò)點(diǎn))核心素養(yǎng)1.結(jié)合實(shí)例，探究對(duì)函數(shù)圖象的影響，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；2.結(jié)合實(shí)例，探究對(duì)函數(shù)周期的影響，加深對(duì)周期函數(shù)概念的理解.提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；3.結(jié)合實(shí)例，探究對(duì)函數(shù)圖象的影響，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：將考察參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響的問(wèn)題進(jìn)行分解，從而學(xué)習(xí)如何將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解為若干簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法．難點(diǎn)：ω對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響規(guī)律的概括．學(xué)情分析對(duì)學(xué)生而言，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握了作正弦、余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)作圖法，有了前面的基礎(chǔ)，再對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)還是比較感興趣的．教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情境導(dǎo)入我們知道，單位圓上的點(diǎn)，以(1,0)為起點(diǎn)，以單位速度按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用三角函數(shù)加以刻畫.對(duì)于一個(gè)一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫呢？下面先看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題.問(wèn)題：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌輸工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理。假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．你能用一個(gè)合適的函數(shù)模型來(lái)刻畫盛水筒(視為質(zhì)點(diǎn))距離水面的相對(duì)高度與時(shí)間的關(guān)系嗎？

因筒車上盛水筒的運(yùn)動(dòng)具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．通過(guò)開(kāi)門見(jiàn)山，提出問(wèn)題，利用圖像變換觀察參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響問(wèn)題，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。新知講授【知識(shí)一：常見(jiàn)的函數(shù)圖象變換：】1.探索φ對(duì)y＝sin(x＋φ)圖象的影響為了更加直觀地觀察參數(shù)φ對(duì)函數(shù)圖象的影響，下面借助信息技術(shù)做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)．如圖5.6.4，取A＝１，ω＝１，動(dòng)點(diǎn)M在單位圓O1上以單位角速度按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)．圖5.6.4如果動(dòng)點(diǎn)M以O(shè)0為起點(diǎn)（此時(shí)φ＝０），經(jīng)過(guò)xｓ后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y就等于sinx．以（x，y）為坐標(biāo)描點(diǎn)，可得正弦函數(shù)y=sin在單位圓上拖動(dòng)起點(diǎn)Q0，使點(diǎn)Q0繞點(diǎn)Q1旋轉(zhuǎn)π6到Q1，你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變化？如果使點(diǎn)Q0繞點(diǎn)Q1旋轉(zhuǎn)-π當(dāng)起點(diǎn)位于Q1時(shí)，φ=π6，可得函數(shù)y＝sin(x＋π6)的圖象．進(jìn)一步，在單位圓上，設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別以Q0，Q1為起點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．如果以Q0為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)到達(dá)圓周上點(diǎn)P的時(shí)間為xｓ，那么以Q1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)相繼到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間是(x-π6)ｓ．這個(gè)規(guī)律反映在圖象上就是：如果F（x，y）是函數(shù)y＝sinx圖象上的一點(diǎn)，那么G(x-π6,y)就是函數(shù)y＝sin(x＋π6)圖象上的點(diǎn)，如圖5.6-4所示．這說(shuō)明，把正弦曲線y＝sin分別說(shuō)一說(shuō)旋轉(zhuǎn)-π6,π3,-一般地，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的起點(diǎn)位置Q所對(duì)應(yīng)的角為φ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲線上的所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞０時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜０時(shí)）平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象．2.探索ω（ω＞０）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面，仍然通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)探索．如圖5.6.5，取圓的半徑A=1．為了研究方便，不妨令φ＝π6．當(dāng)ω＝１時(shí)得到y(tǒng)＝sin(x＋π6取ω＝２，圖象有什么變化？取ω＝12呢？取ω＝３，ω＝1取ω＝２時(shí)，得到函數(shù)y＝sin(2x＋π6)的圖象．進(jìn)一步，在單位圓上，設(shè)以Q1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ω＝１時(shí)到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間為x1ｓ，當(dāng)ω＝２時(shí)到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間為x2ｓ．因?yàn)棣兀剑矔r(shí)動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)速是ω＝１時(shí)的２倍，所以x2＝12x1．這樣，設(shè)G（x，y）是函數(shù)y＝sin(x＋π6)圖象上的一點(diǎn)，那么K（12x，y）就是函數(shù)y＝sin(2x＋π6)圖象上的相應(yīng)點(diǎn)，如圖5.6-5示．這說(shuō)明，把y＝sin(x＋π6)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍（縱坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)＝sin(2x＋π6)的圖象．y＝sin(2x同理，當(dāng)ω＝12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)速是ω＝１時(shí)的12倍，以Q1為起點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間是ω＝１時(shí)的２倍．這樣，把y＝sin(x＋π6)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的２倍（縱坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)＝sin(12x＋π6)的圖象．y＝sin(12x＋π6)一般地，函數(shù)的周期是2πω，把y＝sin(x＋φ)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞１時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)０＜ω＜１時(shí)）到原來(lái)的13.探索A（A＞０）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索A對(duì)函數(shù)圖象的影響．為了研究方便，不妨令ω=2,φ=π6．當(dāng)A＝１時(shí)，如圖5.6.6，可得y=sin（2x+改變A的取值，使A?。玻?2，３,1當(dāng)A＝２時(shí)，得到函數(shù)y=2sin（2x+π6進(jìn)一步，設(shè)射線O1Q1與以O(shè)1為圓心、２為半徑的圓交于T1．如果單位圓上以O(shè)1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，以ω＝２的轉(zhuǎn)速經(jīng)過(guò)xｓ到達(dá)圓周上點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2sin（2x+π6）；相應(yīng)地，點(diǎn)T1在以O(shè)1為圓心、２為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)T，點(diǎn)T的縱坐標(biāo)是2sin（2x+π6）．這樣，設(shè)K（x，y）是函數(shù)y=sin（2x+π6）圖象上的一點(diǎn)，那么點(diǎn)N（x，2y）就是函數(shù)圖象y=2sin（2x+π6）上的相應(yīng)點(diǎn)，如圖5.6.6所示．這說(shuō)明，把y=sin（2x+一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞１時(shí)）或縮短（當(dāng)０＜A＜１時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到．從而，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的值域是［－A，A］，最大值是A，最小值是－A你能總結(jié)一下從正弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過(guò)圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）圖象的過(guò)程與方法嗎?一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的圖象，可以用下面的方法得到：先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象；再把正弦曲線向左（或右）平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變），這時(shí)的曲線就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象例１畫出函數(shù)y=12sin（3x-π例2摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖5.6.9，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120ｍ，轉(zhuǎn)盤直徑為110ｍ，設(shè)置有48個(gè)座艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30in．（１）游客甲坐上摩天輪的座艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hｍ，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（２）求游客甲在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)５min后距離地面的高度；（３）若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：ｍ）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到０．１）解：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象；再把正弦曲線向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的13倍，得到函數(shù)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的２倍，這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=12sin（3x下面用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=12sin（3x-π6）在一個(gè)周期（T=2π3）內(nèi)的圖象．令X＝3x-π6，則x分析：摩天輪上的座艙運(yùn)動(dòng)可以近似地看作是質(zhì)點(diǎn)在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，游客距離地面的高度犎呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來(lái)刻畫．解：如圖5.6.10，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（１）設(shè)t=0

min時(shí)，游客甲位于點(diǎn)P（0，-55），以O(shè)P為終邊的角為-π2；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30

min

，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為π15πrad／min，由題意可得H=55sin（π15t-π（２）當(dāng)t＝５時(shí)，H=55sin（π15×5-所以，游客甲在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地面的高度約為37.5ｍ．（３）如圖5.6.10,甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A,B表示，則∠AOB＝2π48＝π24．經(jīng)過(guò)t

min后甲距離地面的高度為H1=55sin（π15t-π2）+65，點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A始終落后π24rad，此時(shí)乙距離地面的高度為H2=55sin（π15t-13π24?=110sinπ48sin（π15t?π48)即t≈7.8（或22.8）時(shí)，?的最大值為110sinπ所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2ｍ．通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的分析解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；課本練習(xí)1.畫出下列函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的