廣西2024屆普通高等學校招生押題卷（一）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西2024屆普通高等學校招生押題卷（一）數(shù)學試題一、選擇題1.等比數(shù)列中，，，則（）A.36 B.32 C.16 D.12〖答案〗A〖解析〗因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以化為，解得，又因為，所以，所以，所以.故選：A2.在中，，.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，所以，又因為，所以，所以，，所以，，，，只有選項C正確；故選：C．3.在中，“”是“為等腰三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由A，B，C分別為的內(nèi)角，得，，即，則，又，則，因此為等腰三角形；反之，為等腰三角形，若，則，此時，所以“”是“為等腰三角形”的充分不必要條件.故選：A4.已知正四棱柱的底面棱長與側棱長之比為1：2，且其外接球的表面積為，則該正四棱柱的側面積為（）A.12 B.24 C.36 D.48〖答案〗D〖解析〗設正四棱柱的底面棱長為a，則側棱長為2a，因為其外接球的表面積為，設其外接球的半徑為R，則，解得，又正四棱柱外接球的直徑為其體對角線，所以，解得，則該正四棱柱的側面積為.故選：D5.已知，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，則，所以．又，即，即，解得，所以，當且僅當，即時，等號成立，即的取值范圍為.故選：D．6.已知函數(shù)，，如圖為函數(shù)的圖象，則可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意可知，函數(shù)的定義域為R，，所以函數(shù)為奇函數(shù)．函數(shù)定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)．對于A，的定義域為，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域為，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)的定義域為，，所以為奇函數(shù)，故C正確；對于D，函數(shù)的定義域為且，故D錯誤；故選：C．7.已知雙曲線的虛軸長為4，C的一條漸近線與曲線在處的切線垂直，M，N為C上不同兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，則（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，即．又因為，則，可得，即曲線在處切線的斜率，由題意可知：雙曲線C的一條漸近線為，即，解得，所以雙曲線C的方程為．以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，連接OM，ON，可知，設直線OM的方程為，可知，則直線ON的方程為，聯(lián)立方程，消去y整理得，即，故，則，同理可得：，所以.故選：A．8.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰好有2022個零點，則n的取值可以為（）A.2025 B.2024 C.1011 D.1348〖答案〗D〖解析〗依題意，，令，則，由，得，顯然，即方程有兩個不等的實數(shù)根，，當時，，，此時在上恰有3個實根，而，因此，則；當時，，，則，，此時在上恰有2個實根，而，于是或，因此或2023，所以n的取值可以為2022或2023或1348.故選：D.二、選擇題9.已知集合.若，且，則集合可以為（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為，所以，所以集合．對于A選項，，，所以A錯誤；對于B選項，，，所以B正確；對于C選項，不等式的解為，則，，所以C正確；對于D選項，不等式等價于，解得，則，，所以D錯誤；故選：BC．10.已知直線與曲線有公共點，則整數(shù)k的取值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗BCD〖解析〗曲線可化為，即，當時，曲線C是以為圓心，為半徑的圓在y軸及y軸右側的部分，直線，則當直線l與曲線C相切時，有，解得或（舍去）；當時，曲線C是以為圓心，為半徑的圓在y軸左側的部分，直線，則當直線l與曲線C相切時，有，解得或（舍去）．綜上，若直線l與曲線C有公共點，則．故選：BCD．11.已知正方體的棱長為，經(jīng)過棱上中點E作該正方體的截面，且，與棱和棱AD的交點分別為F，G，截面將正方體分為，兩個多面體，則（）A.直線與所成角的正切值為B.截面為五邊形C.截面的面積為D.多面體，內(nèi)均可放入體積為的球〖答案〗AC〖解析〗取AD的中點M，連接GM，F(xiàn)M，則，則直線FG與所成角即為直線FG與GM所成角．在中，，，則，即直線FG與所成角的正切值為，所以A選項正確；分別取，，的中點H，N，Q，連接EN，NG，GH，HF，F(xiàn)Q，QE，易證正六邊形GNEQFH即為截面，又正方體的棱長為，所以正六邊形的邊長為2，所以其面積為，所以B選項不正確，C選項正確；對于D選項，根據(jù)對稱性，可知多面體，是兩個完全相同的多面體，不妨設多面體內(nèi)能放入最大球的球心為O，則，球O與截面相切于正方體的中心S，且球O也與以C為頂點的三個面均相切，以C為坐標原點，CD，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設，又，則，解得，，所以，所以不能放入體積為的球，所以D選項不正確．故選：AC．三、填空題12.已知i為虛數(shù)單位，若非零復數(shù)z滿足，則______．〖答案〗〖解析〗設，x，，則，即，解得或（舍去），則，所以．故〖答案〗為：.13.2024年春節(jié)檔電影市場競爭激烈，各大影片爭相上映，票房排名也在不斷更新．截至3月3日上午8點，最新數(shù)據(jù)顯示，《熱辣滾燙》以33.81億元的票房成績穩(wěn)居第一，《飛馳人生2》以32.21億元的成績位列第二，而《第二十條》和《熊出沒·逆轉時空》分別以22.45億元和18.81億元的票房成績排名第三和第四，《年會不能停!》則以10.60億位居第五名，則這五部影片票房的第60百分位數(shù)是______；某影院為了照顧大人和孩子一起觀影的便利，《第二十條》和《熊出沒·逆轉時空》必須連續(xù)安排播放，則不同安排方式共有______種．〖答案〗27.3348〖解析〗將五部影片的票房從小到大排序為10.60，18.81，22.45，32.21，33.81，又，則第60百分位數(shù)是；若《第二十條》和《熊出沒·逆轉時空》連續(xù)安排播放，則不同的安排方式共有（種）．故〖答案〗為：27.33；4814.已知，分別為橢圓的兩個焦點，點P為橢圓C上的動點，I為內(nèi)心，G滿足．若直線IG的斜率不存在，則橢圓C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗因為，所以G為的重心，設，不妨取，又，則，即．設，因為直線IG的斜率不存在，所以軸，所以，即內(nèi)切圓的半徑為，所以，整理得，則橢圓C的離心率，故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD為等腰三角形，，E為側棱PD的中點，F(xiàn)為棱DC上的動點．（1）若∥平面PAC，試確定F的位置，并說明理由；（2）若，求平面PBF與平面AEF夾角的余弦值．解：（1）當F為CD的中點時，平面，理由如下：連接AC，在中，F(xiàn)為CD的中點，E為PD的中點，所以．又因為平面，平面，所以平面．（2）因為平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AD．又為等腰三角形，所以為等腰直角三角形，所以，連接AE，AF，EF，BF，PF，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示，則，，，，，所以，，，，設平面的法向量為，則令，得，，所以，設平面AEF的法向量為，則，令，得，，所以，設平面PBF與平面AEF的夾角為θ，所以，所以平面PBF與平面AEF夾角的余弦值為．16.設函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：．（1）解：當時，，定義域為，所以，令，得，令因為，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以當時，；當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：，即，的定義域為，且．在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，當趨近于0時，，根據(jù)零點存在定理可知，導函數(shù)存在唯一的零點，設該零點為．當時，；當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得最小值．則，即，即，兩邊同時取對數(shù)得，所以，當且僅當，即時，取等號，故當時，，即．17.流感病毒是一種RNA病毒，大致分為甲型、乙型、丙型三種，其中甲流病毒帶來的危害最大，傳染性最強，致死率最高．某藥品科技研發(fā)團隊針對甲流病毒的特點，研發(fā)出預防甲流藥品和治療甲流藥品，根據(jù)研發(fā)前期對動物試驗所獲得的相關有效數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計，隨機選取其中的100個樣本數(shù)據(jù)，得到如下2×2列聯(lián)表：預防甲流藥品病毒合計感染未感染未使用222345使用163955合計3862100（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析預防甲流藥品對預防甲流的有效性；（2）用頻率估計概率（僅保留一位有效數(shù)字），從已經(jīng)感染的動物中，采用隨機抽樣方式每次選出1只，用治療甲流藥品對該動物進行治療，已知治療甲流藥品的治愈數(shù)據(jù)如下：對未使用過預防甲流藥品的動物的治愈率為0.5，對使用過預防甲流藥品的動物的治愈率為0.75．若共選取3只已感染動物，每次選取的結果相互獨立，記選取的3只已感染動物中被治愈的動物只數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．附：，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假設為：預防甲流藥品對預防甲流無效果，根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，根據(jù)小概率值獨立性檢驗，我們推斷零假設不成立，即預防甲流藥品對預防甲流有效果．（2）設事件A表示治療甲流藥品治愈甲流，事件表示未使用過預防甲流藥品，事件表示使用過預防甲流藥品，由題意可得，，且，，則，故治療甲流藥品治愈甲流的概率，則，所以，，，，所以隨機變量X的分布列為X0123P．18.已知圓E恒過定點，且與直線相切，記圓心E的軌跡為，直線與相交于A，B兩點，直線與相交于C，D兩點，且，M，N分別為弦的中點，其中A，C均在第一象限，直線與直線的交點為G．（1）求圓心E的軌跡的方程；（2）直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標？若不是，請說明理由．解：（1）設圓E的圓心．因為圓E恒過定點且與直線相切，即圓心E到點的距離與到直線的距離相等，即圓心E的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以圓心E的軌跡方程為．（2）直線恒過定點．解法一：直線的方程為，直線的方程為，設，，聯(lián)立，消去x整理得，，則，則，則，所以，同理可得．當時，直線的方程為，即．因為，所以直線的方程，故當時，，此時過定點；當時，由，得，此時直線的方程為，同樣經(jīng)過點．綜上，直線恒過定點，該定點為．解法二：設，，由題可知直線，都恒過定點，斜率均存在，不為0，且互相垂直，設直線，，則直線，聯(lián)立，去y整理得，易得，則，則，所以，同理可得．若直線的斜率存在，則，直線，，則直線恒過定點；若直線的斜率不存在，則，得，直線的方程為，則直線恒過定點．綜上，直線恒過定點，該定點為．19.已知集合，，，若，，或，則稱集合A具有“包容”性．（1）判斷集合和集合是否具有“包容”性；（2）若集合具有“包容”性，求的值；（3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64個，，試確定集合C．解：（1）集合中的，，所以集合不具有“包容”性．集合中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，得到的兩數(shù)中至少