上海市長寧區(qū)、嘉定區(qū)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

上海市長寧區(qū)、嘉定區(qū)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若三角形三邊的長度為連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，則稱這樣的三角形為“連續(xù)整邊三角形”．下列說法正確的是（）A．“連續(xù)整邊三角形”只能是銳角三角形B．“連續(xù)整邊三角形”不可能是鈍角三角形C．若“連續(xù)整邊三角形”中最大角是最小角的2倍，則這樣的三角形有且僅有1個(gè)D．若“連續(xù)整邊三角形”中最大角是最小角的2倍，則這樣的三角形可能有2個(gè)2．在數(shù)列中，已知，，則一定（）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．不是等差數(shù)列 D．不是等比數(shù)列3．下列函數(shù)的最小值為的是（）A． B．C． D．4．已知平面平面，直線，直線，則直線，的位置關(guān)系為（）A．平行或相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行?相交或異面5．在等差數(shù)列an中，若a2+A．100 B．90 C．95 D．206．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則通項(xiàng)公式等于()．A． B． C． D．7．若正方體的棱長為，點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，，四面體的體積為，則（）A． B． C． D．8．直線與直線的交點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，定義：若，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列；若，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列．若數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列的所有項(xiàng)都等于，且，則（）A．2018 B．1009 C．1000 D．500二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若、為單位向量，且，則向量、的夾角為_______.（用反三角函數(shù)值表示）12．在中，，，，則的面積是__________.13．設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_________.14．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.15．已知，則的最小值是__________．16．不等式的解集為_____________________。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）證明：.18．已知（且）.（1）若，求的值；（2）若沒有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求.21．已知小島A的周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問有無觸礁的危險(xiǎn)？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

舉例三邊長分別是的三角形是鈍角三角形，否定A，B，通過計(jì)算求出最大角是最小角的二倍的三角形，從而可確定C、D中哪個(gè)正確哪個(gè)錯(cuò)誤．【詳解】三邊長分別是的三角形,最大角為，則，是鈍角，三角形是鈍角三角形，A，B都錯(cuò)，如圖中，，，是的平分線，則，∴，，∴，，又由是的平分線，得，∴，解得，∴“連續(xù)整邊三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一個(gè)，邊長分別為4，5，6，C正確，D錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，考查命題的真假判斷，數(shù)學(xué)上要說明一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例即可，而要說明它是真命題，則要進(jìn)行證明．2、C【解析】

依據(jù)等差、等比數(shù)列的定義或性質(zhì)進(jìn)行判斷?！驹斀狻恳?yàn)椋?，所以一定不是等差?shù)列，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義以及性質(zhì)的應(yīng)用。3、C【解析】分析：利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤，注意“一正二定三相等”的使用法則．詳解：A.時(shí)顯然不滿足條件；B.其最小值大于1．D.令因此不正確．故選C.點(diǎn)睛：本題考查基本不等式，考查通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法．4、C【解析】

根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系，結(jié)合題意，進(jìn)行選擇.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，直線，直線，所以直線沒有公共點(diǎn)，所以兩條直線平行或異面.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即下標(biāo)和相等對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和相等，得到a2【詳解】∵數(shù)列an為等差數(shù)列，a∴a【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差中項(xiàng)，考查基本量法求數(shù)列問題.6、C【解析】

代入求得；根據(jù)可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，關(guān)鍵是能夠利用得到數(shù)列為等比數(shù)列，屬于常規(guī)題型.7、C【解析】

由題意得，到平面的距離不變＝，且，即可得三棱錐的體積，利用等體積法得．【詳解】正方體的棱長為，點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，，如圖所示：點(diǎn)到平面的距離＝，且，所以.所以三棱錐的體積＝．利用等體積法得.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的性質(zhì)，等體積法求三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意，聯(lián)立方程組：，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，在第二象限，選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)體積最大，得到答案.【詳解】取中點(diǎn)，連接當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)二面角為90°故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】

根據(jù)題目給出的定義，分析出其數(shù)列的特點(diǎn)為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求解.【詳解】依題意知是公差為的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，則，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．選C.【點(diǎn)睛】本題考查新定義數(shù)列和等差數(shù)列，屬于難度題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

設(shè)向量、的夾角為，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與定義計(jì)算出的值，利用反三角函數(shù)可求出的值.【詳解】設(shè)向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與定義得，，，因此，向量、的夾角為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算平面向量所成的夾角，解題的關(guān)鍵就是利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12、【解析】

計(jì)算，等腰三角形計(jì)算面積，作底邊上的高，計(jì)算得到答案.【詳解】，過C作于D，則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.13、【解析】

由在區(qū)間上具有單調(diào)性，且知，函數(shù)的對(duì)稱中心為，由知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，所以，，即，所以，解得，故答案為.考點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性、周期性，屬于中檔題.14、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)?，，所以的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．15、【解析】分析：利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成，展開后，利用基本不等式求得y的最小值.詳解：因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則的最小值是，總上所述，答案為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值的情況下求其分式形式和的最值的問題，在求解的過程中，注意相乘，之后應(yīng)用基本不等式求最值即可，在做乘積運(yùn)算的時(shí)候要注意乘1是不變的，如果不是1，要做除法運(yùn)算.16、或【解析】

利用一元二次函數(shù)的圖象或轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組解一元二次不等式.【詳解】由，或，所以或，不等式的解集為或.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，考查計(jì)算能力，屬于基本題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）將已知遞推式取倒數(shù)得，，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）得，再利用基本不等式以及放縮法和等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．【詳解】（1），，可得，即有，可得數(shù)列為公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，即，由基本不等式可得，，即有．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式、考查構(gòu)造數(shù)列法以及放縮法的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）由可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)一元二次方程無實(shí)根可知，解不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）（2）由題意知：無實(shí)數(shù)根，解得：或的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)值求解參數(shù)值、根據(jù)一元二次方程無實(shí)根求解參數(shù)范圍的問題，涉及到一元二次不等式的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.19、（1），；（2）【解析】

(1)通過求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而可以求出首項(xiàng)與公比,即可得到的通項(xiàng)公式;(2)化簡(jiǎn),利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.【詳解】(1)∴,∴,∵,∴,∴,,∵,,∴,從而,∵數(shù)列為等比數(shù)列∴數(shù)列的公比為,從而;(2)∵,,∴∴∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查已知求的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和,考查計(jì)算能力.在通過求的通項(xiàng)公式時(shí),不要忽略時(shí)的情況.20、（1）；（2）.【解析】

（1）對(duì)等式進(jìn)行平方運(yùn)算，根據(jù)平面向量的模和數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合兩角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式求出的值，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合的值求出的值，最后利用兩角和的正弦公式求出的值即可.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，而，所以，因?yàn)?，，所?因此有.【點(diǎn)睛】本題考查了已知平面向量的模求參數(shù)問題，考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，考查了兩角差的余弦公式，考查了兩角和的正弦公式，考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式的