全國(guó)理數(shù)第36課 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第36課直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

普查講36直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

（1）（2019匯編，5分）設(shè)a,b,/是不同的直線，a,￡是不同的平面，則下列說(shuō)法：

①若a_L￡,lua,則八夕；

②若aua,bua,aLl,bld,則/_La；

③若a〃￡,Ila,則切;

④若a與平面a相交，且〃與a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，則。，/

其中錯(cuò)誤的是.（只填序號(hào)）

答案：①②④

解析：對(duì)于①，平面a內(nèi)，只有垂直于平面。與s的交線的直線才與平面?垂直，故①

錯(cuò)；

對(duì)于②，只有a與8相交，才有LLa,若。與。平行，則/與a的位置關(guān)系不確定，故

②錯(cuò)；

對(duì)于③，由面面平行的性質(zhì)，可知③正確；

對(duì)于④，a與a相交且。與a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，則a可能與a斜交，故④錯(cuò).

（2）（經(jīng)典題，7分）如圖36—2,在三棱臺(tái)ABC-DE尸中，平面8CFE_L平面ABC,ZACB

=90°,BE=EF=FC=l,BC=2.求證：平面力CFD

圖36—2

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：如圖，延長(zhǎng)BE,CF交于一點(diǎn)K.

?.?平面BCFE_L平面ABC,AC1BC,平面8CFEn平面A8C=BC,ACu平面ABC,

."CJL平面BCK.

又BFu平面BCK,4c.（3分）

'JEF//BC,BE=EF=FC=l,BC=2,△8CK為等邊三角形，且尸為CK的中點(diǎn),

.,.3F_LCK.（6分）

又CKACA=C,二平面ACFD.（7分）

(3)(2018浙江節(jié)選，6分)如圖36—3所示，已知多面體ABC-4山C”A—B\B,C,C

均垂直于平面ABC,ZABC=120°,A1A=4,C,C=1,AB=BC=B1B=2.證明：A?，平面

A\B\C\.

4.

圖36-3

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：（法一）由題意，23,平面ABC,

（BA,BC}=120°,AA\=2BB\,科=4甌，

所以而區(qū)=端+或+京1=坊|+礪，

命=GC+CB+BBt--BC+^BBi,

BBrBC=Q,8Bi-BA=0.

又48「=麗1一心，

所以A8L?瓦凡=（詬i-或）?（說(shuō)i+或）

=函2一前=4_4=0,（2分）

―?―?—?—?（—*1—?、

1"zx—?—?1?一A1…A11,?

=*f+BA?BC—BB、.BC-QBBVBA

2

=1BB1+BABC

111

1—?c">—?AA

='BB]『+|8A|?|8C|?COS（BA,BC）

=1X22+2X2X（^-1）

=0,（4分）

所以AB|JL8A，AB|±C,Bi，

又因?yàn)锽iA|CG5=B1,B\A},GB|U平面ASG，所以AB」平面A百G.（6分）

（法二）由AA|,BB\,Cg垂直于平面ABC,AB,8C,ACu平面ABC,得441LAB,BBJAB,

CCt±BC,BBJBC,CC」AC,AA}//BB\//CC\.

又AA|=4,BB]=2,CC\=1,

所以四邊形A83|Ai和四邊形BBCC為直角梯形.

由48=2,A4|=4,BBi=2,易得ABi=A】Bi=2吸,

所以A居+AB；=/L4；,

所以A8，A|B].（2分）

由BC=2,BB\—2,CC|-1,易得B\C\

在△ABC中，AB=BC=2,NABC=120。，

ZABCr-

貝nUlAC=24Bsin——=2小，

所以在RtAACC1中，____________

AGfjAdC俏3（2?。?+戶川行,

所以AC^=AB；+B|C?,所以ABi_LBCi.（4分）

又因?yàn)锳l為n&G=C，A|8j,B|C|U平面A|B|G，

所以平面ABG.(6分)

(4)(經(jīng)典題，6分)如圖36—5,已知空間四邊形A8CD中，AC=BC,AD=BD,BEA.CD,

E為垂足，作于H求證：AHLCD.

圖36—5

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：如圖，取AB的中點(diǎn)F,連接CF,DF,AE.

"：AC=BC,：.CF1,AB.

\'AD=BD,J.DFLAB.

又；CFClDF=F,,平面CDF.

又CCu平面CDF,J.ABLCD.^分）

又：CDLBE,ABHBE=B,CQ_L平面A8E.

又AHu平面ABE,，A”J_CD（6分）

(5)(2016全國(guó)1,12分)如圖36—6,已知正三棱錐P—ABC的側(cè)面是直角三角形，以=

6,頂點(diǎn)P在平面A8C內(nèi)的正投影為點(diǎn)/),。在平面以8內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延

長(zhǎng)交A8于點(diǎn)G.

圖36—6

(I)證明：G是A8的中點(diǎn)；

(II)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影以說(shuō)明作法及理由)，并求四面體POE尸的

體積.

答案：(I)見(jiàn)證明過(guò)程

(11)在平面以8內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交附于點(diǎn)尸，F(xiàn)即為E在平面B4c內(nèi)的正投

4

影，理由略；5

解：(I)證明：在平面ABC內(nèi)的正投影為。，

.?.PZ)JL平面A8C.

又A8u平面ABC,

，AB_LPD（2分）

,/D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,

平面PAB.

又ABu平面以B,.".ABIDE.

又PDCDE=D,平面PED.

；PGu平面PE￡>,；.A8_LPG.（4分）

又三棱錐P-ABC為正三棱錐，

：.PA=PB,；.G是AB的中點(diǎn).（5分）

（H）如圖，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作尸8的平行線交以于點(diǎn)F,尸即為E在平面以C內(nèi)

的正投影.

理由如下：由已知可得尸PB1.PC.

'：EF//PB,：.EF±PA,EFLPC.

又見(jiàn)CPC=P,

；.￡：尸，平面％C,即點(diǎn)尸為E在平面用C內(nèi)的正投影.（8分）

連接CG,FD.

,/P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,

二。是正三角形ABC的中心.

2

由（I）知，G是A8的中點(diǎn)，在CG上，且CD=]CG.

?.?正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，

B|JPCIPA,PC1PB,且B4npB=P,

；.PC_L平面PAB.

又OEJL平面以8,：.DE//PC,

21

.,.PE=§PG,Z）E=5PC.（10分）

又?.?三棱錐P-ABC是正三棱錐，且咫=6,

：.DE=2,PG=3小,PE=2@

易知APEF為等腰直角三角形，

可得EF=PF=2,

1114

因此四面體PDEF的體積V=X2X2X2X2=j.（12分）

2.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

（6）（2017山東，12分）由四棱柱ABC。一AibCQi截去三棱錐G—后得到的幾何

體如圖36—8所示，四邊形ABCD為正方形，。為4c與8。的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，4E_L

平面ABCD.

圖36-8

（1）證明：A|0〃平面81c￡>i；

（II）設(shè)M是。。的中點(diǎn)，證明：平面A|EM_L平面

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：（I）如圖，取用。的中點(diǎn)G,連接4G,CG.

:四邊形ABC￡>為正方形，。為AC與BO的交點(diǎn)，

.".AiGHOC,

：.四邊aOCGA是平行四邊形，

：.A}O//CG.（3分）

又：人心仁平面8C。，CGu平面B]CQ].

〃平面BC￡>].（5分）

c.

BOu平面ABC。，

：.A\ELBD.

又,：BD〃B\D\,

：.A]ELB\D\.（J分）

是OO的中點(diǎn)，E為A。的中點(diǎn)，C.EM//AO.

與8。為正方形的對(duì)角線，

：.BD±EM.

又,：BD〃B\D\,...B|D|_LEM.（10分）

又AECEM=E,A\E,EMu平面AiEM,

.?.Bi。/平面AiEK（U分）

又平面B|CQi，

平面A|EMJ_平面B|CD].（12分）

（7）（經(jīng)典題，7分）如圖36—9,在四棱錐P-ABC。中，。為4B的中點(diǎn)，平面POCJ_平

（flABCD,AD//BC,ABVBC,BA=PB=BC=AB=2,AO=3.求證：平面以B_L平面ABCD

圖36—9

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：\'PA=PB,。為AB的中點(diǎn)，AB=2,

：.PO±AB,AO=BO=1.（1分）

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE〃A8交A。于E,

'：AD//BC,AB±BC,

四邊形A8CE是矩形，

：.ADLAB,AE=BC=2,CE=AB=2.

又：AZ）=3,：.DE=\,

：.CD=\CF+DD=^4+\=鄧,

0C=、加+旅=、1工4=小,

OD=ylAO2+AD2=yjl+9=\[\d,

顯然。Z^uOC^+C）niO,二。。，。。.。分）

?.?平面POCJ_平面ABCD,平面尸。CA平面ABCD=OC,

，CQ_L平面POC.

又POu平面POC,

：.CDA.PO,（5分）

易知A8與CQ相交,

，POmABCD.

又?.JOu平面PAB,

，平面以B_L平面ABCDJJ分）

（8）（經(jīng)典題，5分）下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.如果平面a，平面那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面夕

B.如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面夕

C.如果平面a_L平面y,平面￡_L平面y,aC￡=/,那么/_L平面y

D.如果平面a_L平面萬(wàn)，那么平面。內(nèi)所有直線都垂直于平面￡

答案：D

解析：對(duì)于A,平面a與平面￡相交，則平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于交線，且這些平

行于交線的直線都與平面￡平行，故A正確；

對(duì)于B,假設(shè)平面a內(nèi)存在直線垂直于平面￡,則由面面垂直的判定定理可得平面。與

平面萬(wàn)垂直，與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，所以在平面。內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

￡,故B正確；

對(duì)于C,由面面垂直的性質(zhì)，可知該結(jié)論是正確的；

對(duì)于D,由面面垂直的性質(zhì)定理，知平面a內(nèi)垂直于兩平面交線的直線垂直于平面夕，

故D錯(cuò)誤.

（9）（2018遼寧丹東模擬改編，6分）如圖36—10所示，四棱錐P-4BC。中，側(cè)面附BJ_

底面A3CD,PA=PB,。為A2中點(diǎn)，0￡>_LPC.求證：OC_LPD

圖36-10

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：連接。P.

因?yàn)楸?PB,。為AB中點(diǎn)，所以O(shè)PLAB.

又因?yàn)閭?cè)面勿8,底面A8C。，且側(cè)面以BC底面ABCD=AB,所以0「_1底面ABCD.（.2

分）

又因?yàn)镺Du底面ABCD,OCu底面ABCD,

所以O(shè)P_LO。，OPLOC.

又因?yàn)?O_LPC,PCHOP=P,PC,OPu平面OPC,

所以O(shè)D_L平面OPC.

又因?yàn)镺Cu平面OPC,

所以O(shè)￡?，OC.（4分）

又因?yàn)镺PCOD=O,OP,0￡>u平面OP。，

所以O(shè)C_L平面OPD.

又因?yàn)镻Ou平面OPD,所以O(shè)C_LPD（6分）

3.空間幾何體中的綜合問(wèn)題

a.平面圖形的折展過(guò)程中的線面關(guān)系

（10）（2018北京豐臺(tái)二模，5分）如圖36—12所示，在矩形A8C。中，AB=4,AD=2,E

為邊A8的中點(diǎn).將△ADE沿DE翻折，得到四棱錐4一。EBC.設(shè)棱AQ的中點(diǎn)為M,在翻

折過(guò)程中，有下列三個(gè)命題：

4EB

圖36-12

①總有〃平面AQE；

②三棱錐C—4DE的體積的最大值為羋；

③存在某個(gè)位置，使OE與AC所成的角為90。.

其中正確的命題是.（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

答案：①②

解析：取QC的中點(diǎn)為F,連接FM,FB.

小

“E

因?yàn)楹螢锳C的中點(diǎn)，F(xiàn)是QC的中點(diǎn)，

所以MF//A\D.

又因?yàn)镸FC平面AQE,AQu平面AQE,

所以MF〃平面AQE.

因?yàn)镋,尸是矩形ABCQ的對(duì)邊A8,C￡>的中點(diǎn),

所以DFHEB,

所以四邊形BEQF是平行四邊形，所以FB〃DE.

又因?yàn)槭矫鍭QE,OEu平面AQE,

所以FB〃平面AQE.

又因?yàn)橛檬?/8=凡MF,尸Bu平面M8凡

所以平面〃平面A,DE.

又因?yàn)?Mu平面M8F,所以8W〃平面AQE,

所以①正確.

當(dāng)平面A|￡>E與底面ABCZ）垂直時(shí)，點(diǎn)C到平面AQE的距離最大，即三棱錐底面4QE

上的高最大，所以三棱錐C-A}DE的體積取得最大值.

在矩形ABC￡>中，AB=4,A￡>=2,E為邊AB的中點(diǎn)，易知力EJLEC.

又因?yàn)槠矫?DELL底面A8CZ）,平面AQECI底面4BCD=￡>E,ECu平面ABC。，

所以ECJ_平面AQE,

所以EC為底面AtDE上的高.

易得EC=2?

所以三棱錐C—AOE的體積的最大值為/xyz>AEEC=gx；><2X2X2q5=華，

所以②正確.

假設(shè)存在某個(gè)位置，使。E與AC所成的角為90。.

因?yàn)镺E_LEC,DEVAxC,ECDA|C=C,EC,A|Cu平面A]EC,

所以DE_L平面AEC.

因?yàn)锳iEu平面A|EC,所以。E_LA|E,BPAELDE,與RtaAE。中，/4E￡><90。矛盾,

所以③不正確.

故答案為①②.

（11）（2018四省名校高三第一次大聯(lián)考，12分）如圖36—13所示，在Rtz^ABC中，ZC=

90°,AC=4,BC=2,E是AC的中點(diǎn)，尸是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且赤=7&（0<2<1）,沿

BE將△CEB翻折至△DE8,使得平面OE8_L平面ABE.

圖36-13

（I）當(dāng)4=（時(shí)，證明：EF_L平面DEB；

（II）是否存在九使得三棱錐。一BEF的體積是坐？若存在，求出2的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：（I）見(jiàn)證明過(guò)程（H）存在使得三棱錐。一BE尸的體積是當(dāng)

解：（I）證明：在△A8C中，ZACB=90°,BPACLBC,則BOJ_OE.

取BF的中點(diǎn)N,連接CM交BE于點(diǎn)M.

當(dāng)/=%寸，/是AN的中點(diǎn)，而E是AC的中點(diǎn)，

.?.EF是△ANC的中位線，

：.EF//CN.（2分）

又在△BEF中，N是的中點(diǎn)，

.?.M為EB的中點(diǎn).

在RtZSBCE中，EC=BC=2,

.\CM1BE,即CALLBE,.,.EF_L2E.（4分）

又?平面OBE_L平面ABE,平面O8EC平面ABE=BE,EFu平面ABE,

；.E尸1.平面DBE.（5分）

（II）存在A=；,使得三棱錐D-BEF的體積是坐（6分）

連接DM,由（I）知:.DM上BE.

又,/平面平面ABE,平面OBED平面ABE=BE,OMu平面DBE,

平面ABE,即DM是三棱錐D~BEF的高，且DM=CM=?7分）

（法一）過(guò)E作EHLAB于點(diǎn)H,則S^ABE=^AE-BC=^ABEH,

即gx2X2=gx^S.E“，可得E”=￥<8分）

假設(shè)存在滿足題意的九則三棱錐O—BEF的體積為

V=；SABEF，DM=!X，BF.EH.DM=!X：.BF.^^X也=當(dāng),解得BF=\[5,

竺_2巾一巾」分）

■-A~AB~2^5一2.⑴力）

故存在使得三棱錐。-8EF的體積是乎.（12分）

（法二）為AC的中點(diǎn)，

SA，AEB=2^AABC=2X2X2X4=2.

又?.?萬(wàn)'=冠（0<1<：1）,：.FB=（]~A）AB,

*'?SA￡FB=（1—2）SZ\4￡B=2（1一2）.（8分）

假設(shè)存在滿足條件的八，則三棱錐D—BE尸的體積為V=1-S^EFB-X2（1-A）X^2=

乎，解得力=；.（H分）

故存在使得三棱錐D-BEF的體積為亭.（12分）

b.垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題

（12）（經(jīng)典題，7分）如圖36—15,三棱錐尸一ABC中，弘1.平面ABC,AB=1,AC=2,

PM

NBAC=60。.證明：在線段PC上存在點(diǎn)M,使得ACLBM,并求標(biāo)的值.

圖36-15

答案：見(jiàn)證明過(guò)程，烷PMCI

證明：如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)8作BNLAC,垂足為N,在平面附C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)N

作MN〃訊交PC于點(diǎn)M,連接8”.（2分）

?.?必_L平面ABC,ACu平面ABC,

C.PA^LAC,：.MNLAC.

又?：BNLAC,BNC\MN=N,

；.AC_L平面MBN.

又平面MBN,

：.ACA.BM.（5分）

在Rt/\BAN中，AN=AB-cosZBAC=^,

3

:.NC=AC-AN=2-

'：MN//PA,

,,MC-NCF"力

（13）（2018北京東城二模改編,6分）如圖36—16所示,在三棱柱ABC-A|8JG中，側(cè)棱

垂直于底面，ACLBC,BC=CCi，E,尸分別為AB”8c的中點(diǎn).在棱CG上是否存在一

點(diǎn)G,使得平面B|EG,平面ACiF?說(shuō)明理由.

圖36-16

答案：在棱CG上存在點(diǎn)G,且G為CG的中點(diǎn)

解：當(dāng)G為CG的中點(diǎn)時(shí);平面&EGJ?平面4G尸.（1分）

連接EG,GB\.

聲7

Q.—B

在正方形BBiGC中，因?yàn)榉睪分喻為BC,CG的中點(diǎn),

易得△BIGGZ/XGCF,

所以NCGF+N8|GG=90。，

所以BiG_LG凡

在三棱柱ABC—ASG中，因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，

所以CG，平面ABC.

又因?yàn)锳Cu平面ABC,所以CGJ-AC

又因?yàn)镃2_LAC,CC|CBC=C,CC”BCu平面BCGS，

所以AC,平面BCGB1.（3分）

因?yàn)锳C〃AiG，所以A|G_L平面BCG5.

因?yàn)锽|Gu平面BCGBI，所以AG_L8IG.

因?yàn)?GnGF=G，A1G，GFu平面AC/，

所以8|G_L平面AGE

因?yàn)锽iGu平面SEG,

所以平面平面A,C,F.（6分）

C.平行與垂直的綜合問(wèn)題

（14）（2018山東泰安二模，12分）如圖36-17所示，在三棱柱ABC-A^Q中，四邊形

A41&B為菱形，AB=AC=BC,D,E,尸分別為人&,CG，AA的中點(diǎn).

cECt

圖36-17

（I）求證：DE〃平面A18C；

（H）若平面ABC_L平面山，求證：AByVCF.

答案：（I）見(jiàn)證明過(guò)程（H）見(jiàn)證明過(guò)程

證明：（I）（法一）設(shè)ABi與48相交于0,連接?！?gt;,OC.

cEc.

因?yàn)樗倪呅蜗嘞?為菱形，所以。為的中高

又因?yàn)?。是AS的中點(diǎn)，

所以。?！?81，OD=^BB\.

因?yàn)锽8i〃CG，BB尸CG，E是CG的中點(diǎn)，

所以CE〃8B|,CE=/BI，

所以CE〃O。，CE=OD,

所以四邊形0￡>EC是平行四邊形，

所以O(shè)C〃Q￡（4分）

又OCu平面ABC,力E<Z平面ABC,

所以。E〃平面4BC.（6分）

（法二）設(shè)8叢的中點(diǎn)為P,連接EP,DP.

AFA,

又因?yàn)榱κ茿/i的中點(diǎn)，所以。P〃AB.

因?yàn)锳|Bu平面A歸C,OK平面AfC,

所以QP〃平面AiBC（2分）

因?yàn)樗倪呅蜝CCB是平行四邊形，E,P分別為CG，BBi的中點(diǎn)，所以易得四邊形BCEP

是平行四邊形，所以EP〃BC.

因?yàn)锽Cu平面ABC,EP2平面ABC,

所以EP〃平面4BC.（4分）

又因?yàn)镋PClOP=P,EP,CPu平面EPQ,

所以平面EPD〃平面A18C.

又因?yàn)镈Eu平面EPD,所以O(shè)E〃平面418c.（6分）

（H）因?yàn)樗倪呅蜛A向8為菱形，所以A8_L4B.

取A8的中點(diǎn)M,連接M凡MC.

因?yàn)镸,F分別為A3,441的中點(diǎn)，

所以MF//MB,所以分）

因?yàn)椤?BC為等邊三角形，M是48的中點(diǎn)，

所以CM1AB.

又平面ABCJ_平面平面A8CC平面A4i8|B=A8,CMu平面4BC,所以CM_L

平面A41sB.

又ABE平面AAiBiB,所以CM_LABi.（10分）

又CMCMF=M,CM,MFu平面CMF,

所以ABj_L平面CMF.

又CFu平面CMF,

所以A5JLCE（12分）

（15）（經(jīng)典題，13分）如圖36—18,已知AC是圓。的直徑，點(diǎn)B,。在圓。上，見(jiàn)，平

ffiABCD,E是PC的中點(diǎn)，ZDAC=ZAOB.

圖36-18

（I）證明：8E〃平面布Q；

（II）求證：平面8E0_L平面PCD

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：（I）：。是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，

C.OE//PA.

'：0E（Z平面以Q,孫u平面網(wǎng)￡>,

；.0E〃平面PAD.（2分）

?；NDAC=ZAOB,：.OB//AD.

?..。84平面以。，AOu平面必。，

；.OB〃平面附D（4分）

又；OBnOE=。，平面BEO〃平面以D

YBEu平面BEO,〃平面用。.（6分）

（H）：AC是圓O的直徑，；.C￡>_LAD

平面ABCZ）,：.CD±PA.

y.'：PAQAD=A,；.CD_L平面出D（9分）

;平面8EO〃平面.*.CZ）_L平面BEO.

?rCQu平面PCQ,...平面BEO_L平面PCD.（\3分）

d.幾何法求點(diǎn)到平面的距離

（16）（2018全國(guó)H,12分）如圖36-20所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2巾,PA

=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

（I）證明：PO_L平面ABC；

（11）若點(diǎn)加在棱8（7上，且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.

答案：（I）見(jiàn)證明過(guò)程（II）及

解：（1）證明：（法-）如圖,連接OR

因?yàn)樵赼ABC中，AB=BC=2巾,AC=4,

所以AM+BCAMA不，所以8c.

又因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，

所以O(shè)B=OA=OC=2.（2分）

因?yàn)樵凇骶W(wǎng)C中，PA=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn),

所以P0_L4C,PO=2，I（4分）

又因?yàn)槭?=4,所以尸O2+OB2=PB2,所以POJ_OB

又因?yàn)锳C,OBu平面ABC,ACQOB=O,

所以PO_L平面ABC.（6分）

（法二）如圖，取BC中點(diǎn)N,連接PN,ON.

因?yàn)樵凇鰽BC中，AB=BC=2?AC=4,

所以ABZ+BCAMAC2,所以AB_LBC.

因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，

所以0N〃A8,所以O(shè)NLBC.Q分）

因?yàn)樵凇鱌BC中，PB=PC,N為BC的中點(diǎn),

所以PN1.BC.

又因?yàn)镺N,PNu平面POMONCPN=N,

所以BC_L平面PON.

因?yàn)镻Ou平面PON,所以BCJ_PO.（4分）

因?yàn)樵凇饕訡中，PA=PC,。為AC的中點(diǎn)，

所以POLAC.

又因?yàn)锳C,8Cu平面ABC,ACC]BC=C,

所以PO_L平面A8C.（6分）

（H）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CGLOM,垂足為G.

由（I）得尸0_1_平面ABC.

又「Ou平面POM,所以平面POM_L平面ABC.

又因?yàn)镃G_LOM,CGu平面ABC,平面POMD平面ABC=OM,

所以CGL平面POM,即點(diǎn)C到平面POM的距離為CG的長(zhǎng).（8分）

易得在△OCM中，OC=2,CM=|8C=華，NACB=45。，

所以O(shè)M=7。&+C序-20c.e環(huán)COS/0cM=攣（10分）

因?yàn)閊OCCMsinZOCM=\oMCG,

b,,OC-CM-sinZOCM4小八

所以CG=------而------=-^-.（12分）

（17）（經(jīng)典題，12分）如圖36—21,四棱錐P—ABCQ中，側(cè)面以。是邊長(zhǎng)為4的正三角

形，且與底面垂直，底面A8CZ）是菱形，且/ABC=60。，M為PC的中點(diǎn).

圖36-21

（I）求證：PCLAD；

（H）求點(diǎn)。到平面PAM的距離.

答案：（I）見(jiàn)證明過(guò)程（II）空野

解：（I）證明：如圖，取A。的中點(diǎn)0,連接OP,OC,AC.

依題意可知，△以。，△4C。均為正三角形，

AOCLAD,0P_LAD（3分）

又,.?ocnop=o,...AZ）_L平面POC.

又「Cu平面POC,：.PCLAD.（5

（11）由（I）可知POLAD,?.,平面B4D_L平面ABC。,

平面以。（~1平面ABCD=AD,POu平面PAD,

平面ABC。，即PO為三棱錐P-ACQ的高.（7分）

由題意得以=AC=4,為尸C的中點(diǎn)，.?.AMLPC

在RtZSPOC中，PO=OC=2小，:.PC=2?,PM：m,

...在△%（;中，PC邊上的高4知=木尸前=回，

的面積S^AC^PC-AM=^X2y/6Xy[ib^2y[i5,（9分）

△AC￡>的面積SAACD=^D-0C=1X4X273=4^3.

點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離.

設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h,

由yD-PAC=Vp-ACD?得卜HC?仁聶9PO,即:X2VB./?=gx45X2小，解得仁斗五,

即點(diǎn)D到平面PAM的距離為警.（12分）

e.幾何法解決簡(jiǎn)單空間角問(wèn)題

（18）（2018浙江，4分）已知四棱錐S-A8CD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB

上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.設(shè)SE與8c所成的角為仇,SE與平面ABCD所成的角為。2,二面角&A8-C

的平面角為。3，則（）

A.仇WaW&B.彷忘仍忘仇

C.仇忘彷忘&D.82W83W81

答案：D

解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為M,正方形ABCD的中心為點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC交CZ）于點(diǎn)

F,取EF的中點(diǎn)N,連接SO,SM,SN,ON,OM,OE,如圖.

所以NSEN即為SE與BC所成的角，即仇=ZSEN.

因?yàn)樗睦忮FS-4BCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，

所以該四棱錐為正四棱錐，所以SO,底面ABCZ）,

所以SE與平面ABCD所成的角為NSEO,即仇=ZSEO.

因?yàn)辄c(diǎn)。為正方形ABCD的中心，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，SA=SB,

所以O(shè)M_LAB,SMJLAB,

所以NSMO是二面角S-AB-C的平面角，

即仇=/SMO.

易證四邊形EM0N為矩形，且ENLSN,

故tand=tan/SEN=^=晶N器?

又因?yàn)閠ane2=tanNSEO=^^W^^,tan03=tanZSMO—so

OMf

所以tan&Wtan仇Wtan仇.

根據(jù)正切函數(shù)在區(qū)間(o,號(hào)上單調(diào)遞增，

可知乙w仇W仇.故選D.

(19)(2018天津，13分)如圖36—23所示，在四面體ABC。中，△A8C是等邊三角形,

平面ABC_L平面ABD,點(diǎn)M為棱A8的中點(diǎn)，AB=2,AD=2小,ZBAD=90°.

(I)求證：ADlfiC；

(II)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

(HI)求直線CD與平面A3。所成角的正弦值.

答案：(I)見(jiàn)證明過(guò)程(II)需31)坐

解：(I)證明：因?yàn)槠矫鍭8C_L平面ABD,A￡)u平面ABD,平面A8CD平面AB￡>=AB,

ADVAB,

所以ADJ>平面48c.

又因?yàn)锽Cu平面A8C,

所以AO，BC.(3分)

(II)取棱AC的中點(diǎn)N,連接MN,ND.

又因?yàn)镸為棱A3的中點(diǎn)，所以MN〃BC.

所以NOMM或其補(bǔ)角)為異面直線BC與所成的角.(5分)

在RtzXZMM中，AM=\,AD=2小,

故DM=y)AD2+AM2=V13.

因?yàn)锳D_L平面ABC,ACu平面ABC,所以AD_LAC

在Rt/XZMN中，AN=\,

故仃.

在等腰三角形OMN中，MN=1,

三MNrrz

則cosN￡)MN=DM=26，

所以異面直線BC與MD所成角的余弦值為噤.(8分)

(HI)連接CM因?yàn)閍ABC為等邊三角形，M為邊A8的中點(diǎn),

所以CMLAB,CM=4

又因?yàn)槠矫鍭BC_L平面ABC,平面ABCC平面CMu平面ABC,所以CM_L

平面ABD,

所以/CDM即為直線CD1平面ABD所成的角.（11分）

在RtZ^CAQ中，CD=NAC2+AD2=4.

CM、行

在RtZXCM。中，sinZCDM=-^=-Y，

即直線8與平面AB。所成角的正弦值為坐.（13分）

隨堂普查練36

I.（2018黑龍江齊齊哈爾模擬，12分）如圖36—25所示，在直三棱柱48C—A181G中，

BC=BBi，ZBAC^ZBCA^~ZABC,點(diǎn)E是A|B與A5的交點(diǎn)，點(diǎn)。在棱AC上，BXC//

平面A\BD.

圖36-25

（I）求證：BD±A|C;

（II）求證:平面ABC.

答案：（I）見(jiàn)證明過(guò)程（II）見(jiàn)證明過(guò)程

證明：（1）連接￡。

因?yàn)槠矫鍭BCC平面41BD=E￡>,B〕C〃平面A由。，B〕Cu平面AB〕C,所以8C〃ED（1

分）

由題意知點(diǎn)￡為A%的中點(diǎn)，

所以。為AC的中點(diǎn).（2分）

因?yàn)?8AC=/8C4=；NABC,

所以AB=BC,所以BO_LAC.

由A|A_L平面ABC,8￡>u平面ABC,得4A_L8D

又A|ADAC=A,A|A,ACu平面A“G，

所以BOL平面4|ACG.（4分）

因?yàn)锳Cu平面AACG，所以BC_L41c.（5分）

（II）因?yàn)?8AC=ZBCA^ZABC,

所以AB=BC,ABLBC.

因?yàn)?2j_L平面ABC,BCu平面ABC,所以3C_L8B1.

又因?yàn)锳BCBB|=B,AB,B8|U平面AB81A1,

所以BCJ_平面ABB,.

又因?yàn)锳BC平面A881A”所以8C，A81.（8分）

易知直三棱柱的側(cè)面4B8A為矩形，

又BB產(chǎn)BC,AB^BC,

所以矩形4384是正方形，所以A8，AI8（10分）

又因?yàn)?CnAiB=8,BC,A|Bu平面AiBC,

所以A8JL平面A|8C.（12分）

2.（2017全國(guó)HI,5分）在正方體ABCD-A|B|CQ|中，E為棱CZ）的中點(diǎn)，則（）

A.A\E1.DC\B.AtElBD

C.AiE±BCiD.AiELAC

答案：C

解析：（法一）由題意知，4E在平面ABC。上.；在正方形BBCC中，B\C,BG為對(duì)

角線，...BiUlBG.又由正方體的性質(zhì)有481?平面88|GC，BGu平面B8CC，，A|B|J_BG.

又.,.8GJL平面ABCDYAiEu平面ABC。，...AiELBCi.故選C.

（法二MiE在平面B8IGC內(nèi)的投影為SC,在正方形BBiGC內(nèi)有8C|_LB|C,根據(jù)三垂

線定理有AiELBG，故選C.

3.（2018山東聊城模擬，5分）設(shè)a,產(chǎn)表示兩個(gè)不同的平面，，"為平面a內(nèi)的一條直線,

則是“a邛”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：根據(jù)面面垂直的判定定理得，若mua,則aJ_.,故充分性成立；若

a,aj_￡,則小_L￡不一定成立.故"…”是“a，/T的充分不必要條件.

4.（2017北京，14分）如圖36—26,在三棱錐尸一ABC中，PALAB,PA1BC,ABLBC,

PA=AB=BC=2,。為線段4c的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

圖36-26

（I）求證：PAVBD-,

（II）求證：平面平面出C：

（III）當(dāng)陽(yáng)〃平面8DE時(shí)，求三棱錐E—8CZ）的體積.

答案：（1）（II）見(jiàn)證明過(guò)程（111）|

解：（I）證明：'：PAA.AB,必_LBC,且4Bn8C=B,

平面ABC.（2分）

又；BOu平面ABC,：.PA±BD（3分）

（II）證明：,:AB=BC,。是AC的中點(diǎn)，：.BD±AC.（4

由（I）知以_LBQ,且以AAC=A,

平面布C.（6分）

BDE,二平面8￡>E_L平面B4C.（8分）

（IH）：刑〃平面BOE,B4u平面用C,平面8QEC平面以C=Q￡,，〃￡>￡（10分）

又?.?。是AC的中點(diǎn)，.為尸C的中點(diǎn).

=%=48=8C=2,AB1BC,:.DE=1,BD=DC=巾.

由（I）知，必_L平面ABC,DE_L平面A8C.（12分）

三棱錐E-BCD的體積V￡-BCD=|X|B￡>OCDE=1.（14分）

5.（2016全國(guó)H,12分汝口圖36—27,菱形ABCQ的對(duì)角線AC與BO交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,

B分別在AO,CDk,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)、H,將△￡）￡：尸沿EF折到△ZTEF的位置.

（I）證明：AC±HD,；

（H）若AB=5,AC=6,AE=1,0。=2小,求五棱錐少一"CFE的體積.

答案：（I）見(jiàn)證明過(guò)程（H）替

解：（I）證明：?.?四邊形ABCD是菱形，

：.ACYBD,AD=CD.

APCF

又，而=歷，"-AC//EF,：.EF1,HD,（3分）

：.EF±HD',.?.AC_LHZX（5分）

CHAF1

（II）Etl（I）知EF//AC,

由A8=5,AC=6,得AO=3,DO=BO=^AB1~ACT^^,

：.OH=1,D'H=DH=3.

于是Ozy2+O42=（26）2+］2=9=Q，H2,

故OD」OH8分）

由（I）知AC_LfflZ；ACJ_BD,BDQHD'=H,

，AC_L平面BHD'.又OOu平面BHD',：.ACLOD'.

JL'JOD'LOH,ACQOH=O,OOJ_平面ABCD（9分）

..絲=型=3.E=2

?AC—OOF，.?"一］，

11Q69

；?五邊形ABCFE的面積S=S菱形ABCQ—S△的=/X6X8一爐］義3=彳，

五棱錐D'-ABCFE的體積卜=/5.?！?9*2吸=彎叵.（12分）

6.（2018北京，14分）如圖36—28所示，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為矩形,

平面B4￡）_L平面ABCQ,PALPD,PA=PD,E,F分別為AO,PB的中點(diǎn).

圖36-28

（I）求證：PEIBC；

（II）求證：平面平面PC￡＞；

（HI）求證：EF〃平面PCD

答案：見(jiàn)證明過(guò)程

證明：（I）因?yàn)橛?尸。，E為AD的中點(diǎn)，

所以PE1ADX2分）

又因?yàn)槠矫娉觥?■平面ABCD,

平面以。0平面ABCD^AD,尸Eu平面PAD,

所以PE_L平面ABCD

又因?yàn)?Cu平面ABCD,所以PE±BC.（4分）

（II）因?yàn)樗倪呅蜛88為矩形，所以C0LAD

由（I）可知PE_L平面ABCD,

且C/）u平面ABCD,所以CDLPE.

又因?yàn)镻ECAO=￡：,PE,ADu平面P4O,

所以C￡）_L平面PAD.

又因?yàn)锳Pu平面以D,所以APJ_CD（7分）

又因?yàn)锳P_LPD,PDHCD^D,PD,CDu平面PCD,

所以APL平面PCD

又因?yàn)锳Pu平面PAB,

所以平面B4B_L平面PCD.（9分）

（111）（法一）取PC的中點(diǎn)M,連接FM,DM.

因?yàn)槭瑸镻8的中點(diǎn)，所以尸M〃8c且FM=*BC.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC〃A￡＞且BC=AD

又因?yàn)镋為力。的中點(diǎn)，所以EO〃BC且EO=±BC,

所以FM//ED且FM=ED,

所以四邊形E尸例。為平行四邊形，（12分）

所以EF//DM.

又因?yàn)镺Wu平面PCD,EfV平面PCD,

所以EV〃平面PCD.（14分）

（法二）取BC的中點(diǎn)N