2022-2023學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下列敘述一定錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值 B．這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的 C．?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值 D．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同3．（5分）有2個(gè)人在一座8層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人從第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開(kāi)電梯的概率為（）A．37 B．67 C．784．（5分）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，將OA→繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到OBA．-3 B．﹣1 C．3 5．（5分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟(jì)南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中（35歲以上含35歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（）A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè) B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上 C．35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多 D．35歲以上的人對(duì)地鐵建設(shè)關(guān)注度更高6．（5分）已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，其中真命題是（）A．若l⊥α，l⊥m，則m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，則m∥n C．若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥m D．l?α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，則α∥β（多選）7．（5分）設(shè)平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a(chǎn)→?c→=c→?b→8．（5分）已知銳角α，β滿足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=3A．α＜π4＜β B．β＜π4＜α二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）（多選）9．（5分）下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=2A．在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i D．z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+2＝0的一個(gè)根（多選）10．（5分）對(duì)于一個(gè)事件E，用n（E）表示事件E中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，則（）A．A與D不互斥 B．A與B互為對(duì)立 C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立（多選）11．（5分）在一次黨建活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁四個(gè)興趣小組舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)小組各派10名同學(xué)參賽，記錄每名同學(xué)失分（均為整數(shù)）情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過(guò)7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙、丙、丁四個(gè)小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是（）A．甲組中位數(shù)為2，極差為5 B．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2 C．丙組平均數(shù)為1，方差大于0 D．丁組平均數(shù)為2，方差為3（多選）12．（5分）如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于點(diǎn)M，N，以下四個(gè)命題中正確的是（）A．四邊形EMFN一定為菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱錐A﹣MENF體積為16D．四邊形EMFN的周長(zhǎng)最小值為2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的圖象關(guān)于點(diǎn)(23π，0)中心對(duì)稱，則|φ14．（5分）如圖所示，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，PA＝AB＝2．現(xiàn)有以下命題：①BC⊥PC；②當(dāng)點(diǎn)C在圓周上由B點(diǎn)逐步向A點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，二面角B﹣PC﹣A會(huì)逐步增大；③當(dāng)點(diǎn)C在圓周上由B點(diǎn)逐步向A點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，三棱錐B﹣PAC的體積的最大值為23其中正確的命題序號(hào)為．15．（5分）在某次模擬測(cè)試中，30名男生的平均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10；20名女生的平均分?jǐn)?shù)是80分，樣本方差是15，則該次模擬考試中這50名同學(xué)成績(jī)的平均分為，方差為．16．（5分）在三棱錐V﹣ABC中，AB，AC，AV兩兩垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P為棱AB上一點(diǎn)，AH⊥VP于點(diǎn)H，則△VHC．面積的最大值為；此時(shí)，三棱錐A﹣VCP的外接球表面積為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π3，P是圓弧上一點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，（1）若|PM|=12，求（2）設(shè)∠AOP＝x，PM，PN的線段之和為y，求y的取值范圍．18．（12分）柜子里有3雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號(hào)為a1，a2，記第2雙鞋左右腳編號(hào)為b1，b2，記第3雙鞋左右腳編號(hào)為c1，c2．如果從中隨機(jī)取出4只，那么（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間Ω，并求恰好取到兩雙鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，則樣本點(diǎn)記為a1b1c1c2，其余同理記之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有兩只左腳，且不能湊兩雙鞋”的概率．19．（12分）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1上的點(diǎn)，A1E＝BF=1（1）證明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）若AC＝AE＝2，求二面角C1﹣CF﹣E的正弦值．20．（12分）在平面凸四邊形（每個(gè)內(nèi)角都小于180°）ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝AD＝2，BC=2，CD=（1）求四邊形ABCD的面積；（2）若M，N為邊AB，CD的中點(diǎn)，求(AB21．（12分）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率p（c）＝0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；（2）設(shè)函數(shù)f（c）＝p（c）+q（c），當(dāng)c∈[95，105]時(shí)，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間[95，105]的最小值．22．（12分）如圖，四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，AB＝2A1B1＝4，E、F分別為DC、BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線O1O垂直于上下底面，且O1O與側(cè)棱所在直線所成的角為45°．（1）求證：BD1∥平面C1EF；（2）線段BF上是否存在點(diǎn)M，使得直線A1M與平面C1EF所成的角的正弦值為32222，若存在，求出線段

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，則（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（sin15°+icos15°）（cos15°+isin15°）＝sin15°cos15°+icos215°+isin215°+i2sin15°cos15°＝sin15°cos15°+i（cos215°+sin215°）﹣sin15°cos15°＝i．故選：D．2．（5分）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下列敘述一定錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值 B．這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的 C．?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值 D．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【解答】解：中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的一般水平，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，如果這兩者差不多，說(shuō)明數(shù)據(jù)分布較均勻，也可以看作近似對(duì)稱，但現(xiàn)在它們相差很大，說(shuō)明其中有異常數(shù)據(jù)，有極端大的值，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的教，可能不止一個(gè)，當(dāng)然可以和中位數(shù)相同，因此只有B項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．3．（5分）有2個(gè)人在一座8層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人從第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開(kāi)電梯的概率為（）A．37 B．67 C．78【解答】解：由題意得，由于每一個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層電梯是等可能的，故兩人離開(kāi)電梯的所有可能情況有7×7＝49種，而兩人在同一層電梯的可能情況有7×1＝7，所以兩人在同一層離開(kāi)電梯的概率為749所以兩人在不同層離開(kāi)電梯的概率為1-1故選：B．4．（5分）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，將OA→繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到OBA．-3 B．﹣1 C．3 【解答】解：設(shè)點(diǎn)A是α終邊上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x0，則|OA|=|OB|=3+1所以sinα=3所以x0故選：A．5．（5分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟(jì)南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中（35歲以上含35歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（）A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè) B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上 C．35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多 D．35歲以上的人對(duì)地鐵建設(shè)關(guān)注度更高【解答】解：由等高條形圖可得：對(duì)于選項(xiàng)A：由左圖知，樣本中男性數(shù)量多于女性數(shù)量，所以男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由右圖知女性中35歲以上的占多數(shù)，從而樣本中多數(shù)女性是35歲以上，從而得到關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由左圖知男性人數(shù)大于女性人數(shù)，由右圖知35歲以下的男性占男性人數(shù)比35歲以上的女性占女性人數(shù)的比例少，所以無(wú)法判斷35歲以下的男性人數(shù)與35歲以上的女性人數(shù)的多少，故C不一定正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由右圖知樣本中35歲以上的人對(duì)地鐵建設(shè)關(guān)注度更高，故D正確．故選：C．6．（5分）已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，其中真命題是（）A．若l⊥α，l⊥m，則m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，則m∥n C．若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥m D．l?α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，則α∥β【解答】解：若l⊥α，l⊥m，則m∥α或m?α，故A錯(cuò)誤；若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，則由線面平行的判定定理與性質(zhì)定理易得m∥n．故B正確；若α⊥β，l?α，m?β，則l與m不一定垂直，故C錯(cuò)誤；若l?α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，則不能得到α∥β．故D錯(cuò)誤．故選：B．（多選）7．（5分）設(shè)平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a(chǎn)→?c→=c→?b→【解答】解：設(shè)b→與a→的夾角為對(duì)于A，當(dāng)θ為銳角時(shí)，a→?c對(duì)于B．當(dāng)θ為銳角時(shí)，a→當(dāng)θ為鈍角時(shí)，a→當(dāng)θ為直角時(shí)，a→對(duì)于C，|a→?對(duì)于D，a→?c故選：BC．8．（5分）已知銳角α，β滿足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=3A．α＜π4＜β B．β＜π4＜α【解答】解：∵sinα﹣cosα=1∴sinα＞cosα，∴α＞π∵tanα+tanβ+3tanαtanβ=∴tan（α+β）=tanα+tanβ∴α+β=π∴β＜π故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）（多選）9．（5分）下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=2A．在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i D．z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+2＝0的一個(gè)根【解答】由z=21-i可得對(duì)于A，點(diǎn)Z為（1，1），故在第一象限，A正確，對(duì)于B，z2＝（1+i）2＝2i，故B正確，對(duì)于C，z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，（1+i）2﹣2（1+i）+2＝2i﹣2﹣2i+2＝0，故D正確．故選：ABD．（多選）10．（5分）對(duì)于一個(gè)事件E，用n（E）表示事件E中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，則（）A．A與D不互斥 B．A與B互為對(duì)立 C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【解答】解：因?yàn)閚（A）+n（D）＝n（A∪D），所以A與D互斥，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)閚（A）+n（B）＝n（A∪B）＝n（Ω），所以A與B互斥且對(duì)立，即選項(xiàng)B正確；由題意知，P（A）=n(A)n(Ω)=60100=35，P（B）=n(B)n(Ω)=40100=2所以P（A∩C）＝P（A）?P（C），即A與C相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)閚（A∩C）＝12，n（C）＝20，且A與B互為對(duì)立，所以n（B∩C）＝20﹣12＝8，所以P（B∩C）=n(B∩C)n(Ω)=8100=225所以B與C相互獨(dú)立，即選項(xiàng)D正確．故選：BCD．（多選）11．（5分）在一次黨建活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁四個(gè)興趣小組舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)小組各派10名同學(xué)參賽，記錄每名同學(xué)失分（均為整數(shù)）情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過(guò)7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙、丙、丁四個(gè)小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是（）A．甲組中位數(shù)為2，極差為5 B．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2 C．丙組平均數(shù)為1，方差大于0 D．丁組平均數(shù)為2，方差為3【解答】解；對(duì)A，因?yàn)橹形粩?shù)為2，極差為5，故最大值小于等于7，故A正確；對(duì)B，如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，則滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過(guò)7分，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，則滿足平均數(shù)為1，方差大于0，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過(guò)7分，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，利用反證法，假設(shè)有一同學(xué)失分超過(guò)7分，則方差大于110×(8-2)故選：AD．（多選）12．（5分）如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于點(diǎn)M，N，以下四個(gè)命題中正確的是（）A．四邊形EMFN一定為菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱錐A﹣MENF體積為16D．四邊形EMFN的周長(zhǎng)最小值為2【解答】解：連接BD，B′D′，MN，AC，EF，顯然AE∥CF，且AE＝CF，所以ACFE為平行四邊形，所以AC∥EF，由題意得AC⊥BD，BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB′⊥AC，∵BD∩BB′＝B，BD，BB′?平面BDD′B′，所以AC⊥平面BDD′B′，則EF⊥平面BDD′B′，EF?平面EMFN，所以平面EMFN⊥平面BDD′B′，故B正確；由正方體的性質(zhì)得平面BCC′B′∥平面ADD′A′，平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN，故MF∥EN，同理得ME∥NF，又EF⊥平面BDD′B′，MN?平面BDD′B′，EF⊥MN，∴四邊形EMFN為菱形，故A正確；對(duì)于C，四棱錐A﹣MENF的體積為：VA-MENF=V對(duì)于D，∵四邊形EMFN是菱形，∴四邊形EMFN的周長(zhǎng)l=4M∴當(dāng)點(diǎn)M，N分別為BB′，DD′的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EMFN的周長(zhǎng)最小，此時(shí)MN=EF=2，即周長(zhǎng)的最小值為4，故D故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的圖象關(guān)于點(diǎn)(23π，0)中心對(duì)稱，則|φ|的最小值為【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的圖象關(guān)于點(diǎn)(2所以2×2π3+φ=則當(dāng)k＝1時(shí)，|φ|的最小值為π6故答案為：π614．（5分）如圖所示，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，PA＝AB＝2．現(xiàn)有以下命題：①BC⊥PC；②當(dāng)點(diǎn)C在圓周上由B點(diǎn)逐步向A點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，二面角B﹣PC﹣A會(huì)逐步增大；③當(dāng)點(diǎn)C在圓周上由B點(diǎn)逐步向A點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，三棱錐B﹣PAC的體積的最大值為23其中正確的命題序號(hào)為①③．【解答】解：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而PC?平面PAC，所以BC⊥PC，故①正確；因?yàn)锽C⊥平面PAC，而BC?平面BPC，所以平面BPC⊥平面PAC，故當(dāng)點(diǎn)C在圓周上由B點(diǎn)逐步向A點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，二面角B﹣PC﹣A恒為90°，故②不正確；因?yàn)镻A＝AB＝2，所以三棱錐B﹣PAC的體積VB-PAC過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交AB于點(diǎn)H，所以S△ABC所以VP-ABC所以求三棱錐B﹣PAC的體積的最大值，即求CH的最大值，當(dāng)點(diǎn)C在圓周上由B點(diǎn)逐步向A點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)H為AB中點(diǎn)時(shí)，CH最大，且CH的最大值為1，所以三棱錐B﹣PAC的體積的最大值為23，故③故答案為：①③．15．（5分）在某次模擬測(cè)試中，30名男生的平均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10；20名女生的平均分?jǐn)?shù)是80分，樣本方差是15，則該次模擬考試中這50名同學(xué)成績(jī)的平均分為74，方差為36．【解答】解：記30名男生得分記為x1，x2，……，x30，20名女生得分記y1，y2，……，y20，所以男生得分平均分x=x1+x2+...+x3030所以女生得分平均分y=y1+y2+...+y2020所以總平均分m=總方差為s2所以此50人該次模擬考試成績(jī)的平均分是74，方差是36．故答案為：74；36．16．（5分）在三棱錐V﹣ABC中，AB，AC，AV兩兩垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P為棱AB上一點(diǎn)，AH⊥VP于點(diǎn)H，則△VHC．面積的最大值為5；此時(shí)，三棱錐A﹣VCP的外接球表面積為148π5【解答】解：設(shè)AP＝x，∵AB，AC，AV兩兩垂直，∴VP=16+∴12VP?AH=12VA?AP，∴由已知可得AC⊥平面VAB，∴AC⊥AH，HC=4+∵VH⊥AH，AH∩AC＝A，∴VH⊥平面AHC，∵HC?平面AHC，∴VH⊥HC，∴VH=16-∴S△VHC=12×VH×當(dāng)且僅當(dāng)4+16x216+三棱錐A﹣VCP的外接球的半徑為r，則（2r）2＝AP2+AC2+AV2=16×1525+∴4πr2=1485故答案為：5；1485π四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π3，P是圓弧上一點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，（1）若|PM|=12，求（2）設(shè)∠AOP＝x，PM，PN的線段之和為y，求y的取值范圍．【解答】解：（1）sin∠POM=12，∠POM∈(0，π所以∠PON=π3-（2）∠POB=πy=sinx+sin(πx+π3∈(π318．（12分）柜子里有3雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號(hào)為a1，a2，記第2雙鞋左右腳編號(hào)為b1，b2，記第3雙鞋左右腳編號(hào)為c1，c2．如果從中隨機(jī)取出4只，那么（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間Ω，并求恰好取到兩雙鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，則樣本點(diǎn)記為a1b1c1c2，其余同理記之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有兩只左腳，且不能湊兩雙鞋”的概率．【解答】解：（1）由題意得，試驗(yàn)的樣本空間為：Ω＝{a1a2b1b2，a1a2b1c1，a1a2b1c2，a1a2b2c1，a1a2b2c2，a1a2c1c2，a1b1b2c1，a1b1b2c2，a1b1c1c2，a1b2c1c2，a2b1b2c1，a2b1b2c2，a2b1c1c2，a2b2c1c2，b1b2c1c2}，設(shè)A表示事件“恰好取到兩雙鞋”，則A＝{a1a2b1b2，a1a2c1c2，b1b2c1c2}，所以n（Ω）＝15，n（A）＝3，故事件“恰好取到兩雙鞋”的概率為P(A)=3（2）由（1）知，事件M“取出的鞋子中至少有兩只左腳”為：M＝{a1a2b1c1，a1a2b1c2，a1a2b2c1，a1b1b2c1，a1b1b2c2，a1b1c1c2，a1b2c1c2，a2b1b2c1，a2b1c1c2，b1b2c1c2}，所以n（Ω）＝15，n（M）＝10，故事件“取出的鞋子中至少有兩只左腳，且不能湊兩雙鞋”的概率為P（M）=1019．（12分）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1上的點(diǎn)，A1E＝BF=1（1）證明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）若AC＝AE＝2，求二面角C1﹣CF﹣E的正弦值．【解答】解：（1）證明：取BC的中點(diǎn)O，連接OA，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，不妨設(shè)AB＝2a，AA1＝3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：C（﹣a，0，0），A(0，3a，0)，F(xiàn)（a，0，1），E（0，3CF→=（2a，0，1），CE→=（a，3a，2），CA→=（a設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為n→=（x，y，則n→?CF→=2ax+z=0n→?CE∴平面CEF的一個(gè)法向量為n→=（﹣1，-3設(shè)平面ACC1A1的一個(gè)法向量為m→=（m，n，則m→?CA→=am+3an=0m∴平面ACC1A1的一個(gè)法向量為m→=（﹣1，因?yàn)閙→?n→=-3+3=0，所以平面（2）因?yàn)锳C＝AE＝2，由（1）可得a＝1，即n→=（﹣1，易知平面CFC1的一個(gè)法向量為OA→=（0，∴cos＜n→，∴二面角C1﹣CF﹣E的余弦值為64∴二面角C1﹣CF﹣E的正弦值為10420．（12分）在平面凸四邊形（每個(gè)內(nèi)角都小于180°）ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝AD＝2，BC=2，CD=（1）求四邊形ABCD的面積；（2）若M，N為邊AB，CD的中點(diǎn)，求(AB【解答】解：（1）△ABD中，BD2＝AB2+AD2﹣2AB?ADcosA＝4+4﹣8cosA＝8﹣8cosA，在△BCD中，BD因?yàn)锳+C＝180°，所以cosA＝﹣cosC，所以8-8cosA=8+43所以cosA＝0，因?yàn)?°＜A＜180°，所以A＝90°，C＝90°，所以S四邊形ABCD（2）法1：因?yàn)镸N→=MB所以MN→因?yàn)锳B→所以(AB21．（12分）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c