8.6.1直線與直線垂直課件高一下學期數學人教A版2

8.6空間直線、平面的垂直

8.6.1直線與直線垂直

回顧與引入

前面我們學習空間直線、平面的平行關系，事實上，垂直關系也是空間直線、平面之間的一種特殊位置關系，它在研究空間圖形問題中具有重要的作用．

類比平行關系的研究過程和方法，本節(jié)將研究空間直線、平面之間的垂直關系，研究的重點仍然這些垂直關系的判定和性質．

首先請大家回顧一下，空間直線、平面的位置關系，我們是按怎樣的順序進行研究的？

線線→線面→面面.

對于空間中兩條直線的位置關系我們前面已經學習過，你還能想嗎？平行相交共面異面

對于平行直線和相交直線，我們在初中就比較熟悉了，所以我們將把本節(jié)的重點放在如何刻畫兩條異面直線的位置關系上.知識探究(一)

問題1：在如圖所示的正方體中，直線A'C'

和直線A'D'

都

與直線AB

異面，但是A'C'

和A'D

的位置又是不同的，如何描述這種差異呢？BDCA'B'C'D'A

思考(1)：我們知道，在平面幾何中，我們是如何來刻畫兩條相交直線的位置關系——一條直線相對于另一條直線的傾斜程度的？

在一個平面內，兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角）.

它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度．通過兩條直線所成的角(或夾角）

問題1：在如圖所示的正方體中，直線A'C'

和直線A'D'

都

與直線AB

異面，但是A'C'

和A'D

的位置又是不同的，如何描述這種差異呢？BDCA'B'C'D'A

思考(2)：類比這種方法，你認為該如何來刻畫異面直線間的位置差異嗎？

由于兩條異面直線并不相交，所以無法直接得到它們所成的角(或夾角).

但我們可以利用“空間圖形平面化”的思路，尋求一個平面角來代替它．

先在空間中任取一個點，

然后分別將兩條異面直線平移到這個點相交，或者過這個點分別作這兩條異面直線的平行線.

用這兩條相交直線所成的角來刻畫異面直線的位置關系.

BDCA'B'C'D'A

不管這個點的位置如何，由等角定理可知，對同一對異面直線，這個平面角都是相等的.

思考(3)：對同一對異面直線，用以上方法得到的平面角相等嗎？

思考(4)：用以上

的方法，請你說說直線A'C'

和A'D'

相對于直線AB

的位置差異嗎

問題1：在如圖所示的正方體中，直線A'C'

和直線A'D'

都

與直線AB

異面，但是A'C'

和A'D

的位置又是不同的，如何描述這種差異呢？平移直線A'C'

、AB，

得到的平面角都為45°平移直線A'D'

、AB，

得到的平面角都為90°

因此用這樣的角是可以表示直線A'C'

，A'D'與異面直線AB

在位置上的差異的.

思考(5)：我們把用這種方法得到的角稱為異面直線所成的角(或夾角)，你能用說說什么是異面直線所成的角嗎？其范圍是多少？特殊情況又是什么？異面直線所成的角1.定義:

已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′//a，b′//b，我們把直線a′，b′所成的角(或夾角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．2.范圍：（0°，90°]3.特殊情況：

若兩條異面直線的夾角為90°，我們就說這兩條異面直線互相垂直．返回知識探究(二)

問題2：有了異面直線所成角的定義后，請你想想對于空間的任意兩條直線a，b，，它們所成角的范圍是怎樣的？為什么？(1)當a，b平行時，(2)當a，b相交時，(3)當a，b異面時，我們規(guī)定a，b所成的角為0°。綜上，空間的任意兩條直線所成角的范圍為[0°，90°].

相交所得的4個角中，不大于的90°（即(0°，90°]

）角為a，b所成的角.

與a，b分別平行的兩條相交直線所成的角（即(0°，90°]

）為a，b所成的角.兩條直線垂直1.定義：

若兩條直線所成的角為90°，則稱這兩條直線垂直.2.種類：

相交垂直，異面垂直。知識探究(三)

問題3：根據異面直線所成角的定義，結合空間幾何平面化的思路，你認為求異面直線所成角的過程是怎樣的？1.作(找)：

恰當地選擇一個點（經常在其中一條線上取點），作(找)出（常用平移法)異面直線所成的角(或其補角)；

常利用三角中位線、平行四邊形等性質，來作(找)異面直線的平行線，從而構造出此角.

2.證：

證明所作(找)的角(或其補角)就是所求異面直線所成的角；

關鍵也是證明角的邊線與異面直線平行(或重合）.

3.算：

通過解三角形或其他方法，求出以上所構造的角的大??；

若如此角為鈍角，則其補角才是所求角.求異面直線所成角的一般步驟一作二證三計算簡稱：返回例1.如右圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？

(2)求直線BA′與CC′所成角的大小.

(3)求直線BA′與AC所成角的大小.例析BDCA'B'C'D'A解:(1)AB,BC,CD,DA,

A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.∵ABCD-A′B′C′D′中是正方體,

∴CC′//BB′,

∴∠B′BA為直線BA′與CC′所

成的角.又∵∠B′BA=45°.

∴直線BA′與CC′所成角的大

小為45°.

連接A′C′,BC′.∵ABCD-A′B′C′D′中是正方體,

∴

ACC′A′是平行四邊形，

即AC//C′A′,

∴∠BA′C′為直線BA′與AC

所成的角.∵在正方體ABCD-A′B′C′D′

中，△A′BC′是正三角形，

∴∠BA′C′=60°，

即直線BA′與AC所成的角

等于60°.(2)(3)思考：由(1)知，垂直于同一直線的兩條直線平行嗎？

例2.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O1為底面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD．

思考(1)：證明“AO1⊥BD”的實質是證明什么？異面直線AO1與BD所成角為90°.

思考(2)：根據題目條件，如何作出AO1與BD所成角？

根據題目條件易知，四邊形BDD1B1是平行四邊形，只需連接B1D1即可.AFEDCB思考(1)：證說說你是怎么考慮作AB，CD平行線？

取AC的中點，連結EM，FM.

一般地，已知中點需要作平行線時，我們就采取見中點取中點的方式，作出三角形的中位線.解：

取AC

的中點M

，連接FM、EM.∵F、M分別是BC和AC

的中點，∴FM//AB，且∴∠EMF就是異面直線AB

和CD所成的角或其補角.在△EFM中，

∴直線AB

和CD所成的角為180°-135°=45°.

思考(2)：你認為此題在哪些地方容易出錯?練習√×BDCA'B'C'D'A2.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'

各棱所

在的直線中(1)與直線AB垂直的直線有_____條；(2)與直線AB異面且垂直的直線有_____條；(3)與直線AB和A'D'都垂直的直線有____條；(4)與直線AB和A'D'都垂直且相交的直線是____.844AA'（教材P148練習第1，2題）1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號中畫√，正確的在括號

中畫×(1)如果兩個平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也

與已知直線垂直.()(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行.()3.在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=BC=1，AA'=

，

求異面直線AD'與DB'所成角的余弦值．

連接BD、B'D'.由ABCD-A'B'C'D'

是長方體知∴

BDD′B′是平行四邊形，

即連BD'與B'D'交于一點E，且E是BD、B'D'的中點.取AB的中點F，連接EF.則

∴∠DEF就是異面直線AD'與DB'所成的角或其補角.連接DF.

∴直線AD'與DB'所成角的余弦為解：課堂小結

1.本節(jié)課我們研究了哪一些內容，是按怎樣的路徑進行研究的？異面直線所成角，空間直線垂直的定義.這些內容我們主要是按從“一般到特殊”的路徑進行的.2.什么是異面直線所成的角，它與兩條相交直線所成的角有何不同？定義中蘊含了什么樣的數學思想本？

相交直線所成的角是指兩條相交直線相交所得的銳角或直角，而異面直線所成的角是兩條異面直線平移到相交后，再用相交直線所成的角來表示。

這其中蘊含了“化歸和轉化”的思想方法：4.請你進一步完善空間直線的位置關系？3.求異面直線所成角的一般過程是怎樣的？

空間中的問題

異面直線所成的角