河南省信陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年普通高中高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡

上，在本試卷上答題無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上，并用2B鉛筆

將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在相應(yīng)位置.

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非

選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線(xiàn)框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合—J,I1J,則人右一（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】首先求解集合6={-1,0,1},再求集合的交集即可.

【詳解】因?yàn)閒<4n—2（尤<2，

所以5={—1,0,1},又集合A={+

所以AB={-1,0,1},

故選：B.

2.若z=,，則復(fù)數(shù)N在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

z+2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，求出z,即可求解.

、z(2-z)l+2i-12.

［詳解］z=--------------------------=-------------,z=--------1

(2+0(2-0555

I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和為S“，a4=-a5,則^=()

2

A.15B.1C.-1D.-9

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為的利用基本量代換求出Fj'進(jìn)而求解?

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,(d>0).

*.*g=，**,。4=~(^4+，解得：%，。5=2d.

q=&-3d——2d,%+%=~d.

.+(^)x9_2a5x9_4dx9_

S4(%+%)x4(囚+〃4)義4-6?X4

故選：D.

7T

4.已知向量的夾角為]且|〃|=2|,8=(1,1),則々在b上投影向量的坐標(biāo)為()

A.(以間B/UC.[J與D.(1,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算求解作答.

-b

【詳解】依題意，a在》上投影向量為(|a|cos。)一，其中6=〈a,力，

網(wǎng)

7T

所以a在b上投影向量的坐標(biāo)為(2cosj)x

故選：C

5.“x>l”是“l(fā)°gl（x+D<°”的

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷

【詳解】解：當(dāng)尤>1時(shí)，x+l>2,所以10gl（x+D<log”=T<0,

22

當(dāng)10gl（x+l）<0時(shí)，logKx+l）<0=l0gl1,所以x+l>1即>0

222

所以“龍〉1”是“10gl（x+l）<0”的充分不必要條件

2

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查充分條件，必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

6.過(guò)直線(xiàn),=》上的一點(diǎn)「作圓（尤—5）2+（丁—1）2=2的兩條切線(xiàn)/1，4,切點(diǎn)分別為A3,當(dāng)直線(xiàn)

4，4關(guān)于對(duì)稱(chēng)時(shí)，線(xiàn)段外的長(zhǎng)為（）

A.4B.2夜C.76D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，觀察圖形可知圓心與點(diǎn)P的連線(xiàn)垂直于直線(xiàn)y=x,利用這一關(guān)系即可得到

切線(xiàn)的長(zhǎng).

【詳解】如圖所示，圓心為C（5,l）,連接CP,

因?yàn)橹本€(xiàn)4，6關(guān)于v=x對(duì)稱(chēng)，所以cp垂直于直線(xiàn)y=x.

故|。4=號(hào)=20,而|AC|=JL

所以|P4|=yj\CPf-\ACf=V6.

故選：C

7.已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為孔點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，且忸同=5,以PF為直徑的圓截x

軸所得的弦長(zhǎng)為1,則0=()

A2B.2或4C.4D.4或6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程，即可求解.

【詳解】設(shè)圓的圓心為M,與x軸交于點(diǎn)￡3,線(xiàn)段EB的中點(diǎn)為A,軸，由條件可知

|M4|=|)\FA\=^,|w|=^-^-=V6,所以%=26，

由焦半徑公式可知與+言=5,即Xp=5—言，所以代入拋物線(xiàn)方程24=2小一g,

8.隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問(wèn)題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明的上

班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車(chē)，騎共享單車(chē)的概率分別為工，而他自

333

駕，坐公交車(chē)，騎共享單車(chē)遲到的概率分別為--結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕

456

去上班的概率是()

121534

A.—B.—C.一D.-

373757

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)事件A表示“自駕”，事件&表示“坐公交車(chē)”，事件C表示“騎共享單車(chē)”，事件?！氨硎具t到”,

利用全概率公式以及條件概率公式即可得到答案.

【詳解】設(shè)事件A表示“自駕”，事件方表示“坐公交車(chē)”，事件C表示“騎共享單車(chē)"，事件。'表示遲到”,

由題意可知：P(A)=P(B)=P(C)=1,P(D|A)=|,P(D|B)=|,P(D|C)=1,

則尸(Z))=P⑷尸(D|A)+P(3)尸(D|5)+P(C)P(D|C)=,x[w+m+4J=旃,

P(AD)=P(A)P(D|A)=gx；=g,

1

若小明遲到了，則他自駕去上班的概率是P(A|￡>)=?空=尊=9.

JryLJ)。，31

180

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(a?x+0)的圖象如圖所示，M,N是直線(xiàn)y=-1與曲線(xiàn)y=/(x)的兩個(gè)交

2元

點(diǎn)，且則下列選項(xiàng)正確的是()

119

4兀TT

A.①的值為3B.。的值為2C.。的值可以為一D.。的值可以為一

33

【答案】AD

【解析】

2元

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像直接確定A,設(shè)M（X，%）,N（X2,%）,（%>%）結(jié)合眼2=豆，確定。，利用

點(diǎn)的坐標(biāo)確定。的表達(dá)式，然后代入求值即得答案.

【詳解】由函數(shù)/（%）=Asin（@x+。）的圖象可知A=2,

27T2冗

設(shè)“（藥,乂）川。：2，%），（%2>%），由=7可得尤2-玉=7，

令2sin（69x+0）=—1,即sin（GX+0）=-g,

5兀71

結(jié)合圖像可得CDX1+夕=----,Cl）X2+夕=，

66

27r27r2JE

則研馬一百）二[一，即GX-§-=-§-，.?.啰=3,故A正確，B錯(cuò)誤；

47r（4兀\（47r、

將1=一-y=0代入/（%）=Asin（s+0）,即有2sin[--—+1=0,且[一-0）為函數(shù)下降零

點(diǎn)，

4兀7

所以--1+夕=兀+24兀，左￡Z,故/Mg?兀+2E#￡Z,

4兀]

當(dāng)夕=一時(shí)，k=一一，不符合題意，

32

71

當(dāng)夕=—時(shí)，k=-l,符合題意，故C錯(cuò)誤，D正確；

3

故選：AD.

10.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22°C”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)

5天的日平均溫度（單位:。C）的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22；

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體平均數(shù)為24；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體平均數(shù)為26,總體方差為10.8.

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有（）

A.一個(gè)都沒(méi)有B.甲地

C.乙地D.丙地

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差的數(shù)字特征，逐個(gè)判定，即可求解.

【詳解】①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22,

根據(jù)數(shù)據(jù)得出，家底連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為22,22,24,25,26,

其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22,可確定甲地進(jìn)行夏季；

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體平均數(shù)為24,

當(dāng)5數(shù)據(jù)為19,20,27,27,27,可知其連續(xù)5天的日溫度有低于22,所以不確定；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體平均數(shù)為26,

若有低于22,假設(shè)取21,此時(shí)方程就超出了10.8,可知其連續(xù)5天的日溫度均不低于22,

如：22,25,25,26,32,這組數(shù)據(jù)的均值為26,方差為10.8,但是進(jìn)一步擴(kuò)大方差就會(huì)超過(guò)10.8,所以可

判定丙地進(jìn)入夏季.

故選：BD.

H.定義在R上的函數(shù)"X)滿(mǎn)足〃x)+/(4+x)=0,y(2+2x)是偶函數(shù)，/⑴=1,則()

A.“X)是奇函數(shù)B./(2023)=-1

100

C.”力的圖象關(guān)于直線(xiàn)X=1對(duì)稱(chēng)D.\>/(2ZT)=T00

k=\

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性求解即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,???/(2+2x)是偶函數(shù)，-2x)=/(2+2x),

函數(shù)/CO關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，/(-x)=/(4+x),

?.?/(%)+/(4+尤)=0,是奇函數(shù)，則A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,,；/(4+x)=—/(x),/(8+*)=-/(4+x),；./(8+%)=/(%),

〃龍)的周期為8,(2023)=/(253x8—1)=/(—1)=—/(1)=—1,則B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若“力的圖象關(guān)于直線(xiàn)1=1對(duì)稱(chēng)，則〃3)=/(—1),

但是/(—1)=—/(1)=—1,/(3)=/(1)=1,即/?0//?(―1),這與假設(shè)條件矛盾，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,將x=g代入/(2—2x)=/(2+2x),得/?(3)=/(1)=1,

將x=l,代入〃x)+/(4+x)=0,得/(5)=—/(1)=-1,

同理可知/(7)=_/(3)=-L,

又???〃尤)的周期為8,.?./(%)正奇數(shù)項(xiàng)的周期為4，

100

ZV(2"1)=/■⑴+2/■⑶+3/■⑸+…+100/(199)

k=\

=[/(1)+2/(3)+3/(5)+4/(7)]+[5/(9)+6/(11)+7/(13)+8/(15)]--

+[97/(193)+98/(195)+99/(197)+100/(199)]=25x(-4)=-100,則D正確.

故選：ABD.

12.如圖，雙曲線(xiàn)。：/一丁2=/的左右頂點(diǎn)為人，B,P為C右支上一點(diǎn)(不包含頂點(diǎn))，

ZPAB=a,NPBA=(3,ZAPB=y,直線(xiàn)/與。的漸近線(xiàn)交于尸、G,M為線(xiàn)段FG的中點(diǎn)，則

()

A.雙曲線(xiàn)C的離心率為6=后B.尸到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為/

C.tano+tan/?+2tan7=0D.若直線(xiàn)/與31的斜率分別為匕，與，則

k[k、=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)A,根據(jù)等軸雙曲線(xiàn)的離心率即可判斷；對(duì)B,結(jié)合漸近線(xiàn)與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即可；對(duì)C,由

tanor-tan/?=-(-kPB)=-1,結(jié)合tan/=-tan(or+力)即可；對(duì)D結(jié)合點(diǎn)差法即可.

【詳解】對(duì)A,等軸雙曲線(xiàn)的離心率為近，所以A正確，

對(duì)B:雙曲線(xiàn)C：/—/="的漸近線(xiàn)為y=±x,設(shè)P?,%),

p到兩條漸近線(xiàn)的距離為4,由，

則44=民小」/小=B-%L《,所以B錯(cuò).

V2V222

y

對(duì)C：tantz-tan/?=kPA-（-kPB）=------=°Q-2=-1,

XQ+4ZXQ_aXQ—a-a

/八\tana+tanBtana+tan/?

tan/=-tan（or+p=--------------=-------------,

1-tan（2-tanp2

所以tana+tan力+2tany=0,C正確.

對(duì)D：方法1：設(shè)/與雙曲線(xiàn)及其漸近線(xiàn)依次交于E,F,G,H

設(shè)設(shè)廠G（%2,j2）,則Af盧；9,乂；為），

由＜；2n伊T）f+2^=。得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為“^

尤-j=a、'1-k

y=kx+m/,\,mk

由《，，cO（K—1）必+2加質(zhì)+獷=0得FG中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為----

x~-y~=0v'l-k-

所以EH和FG的中點(diǎn)重合，即M為雙曲線(xiàn)弦EH的中點(diǎn)，由點(diǎn)差法得

*2f="2=（+君）-（才-幻=0,

x,+x2_y,-y2

%+%&一々，

設(shè)直線(xiàn)I的斜率為h"乂,OM斜率為k2=衛(wèi)上之

X]-x2玉+x2

則印2=1，所以D正確.

方法2：設(shè)廠G（x2,y2）,/（/,%）,

尤2_2_Q

由22八=（%+々）（七一%）—（％+%）（%—%）=0,

[x--y-=0

：.2x0-2%匕=0=>kA?=1,所以D正確.

故選：ACD

令4a=t(t>1)，則m=n=Int,

所以/n+w=Int-左,令g(t)=Int—#,則=

所以當(dāng)1<I<8時(shí),gr(t)>0；當(dāng)/>8時(shí)，g'⑺<0，

當(dāng)/=8時(shí)，g(。取得最大值g(/)=ln8—2=31n2—2.

故答案為：31n2-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值及應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)

合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！?"+八數(shù)列｛勿｝為公比小于1的等比數(shù)列，且滿(mǎn)足始仇=8,

b2+b3=6,設(shè)c,=4產(chǎn)+三匈，在數(shù)列｛%｝中，若C4Wc"（”eN*）,則實(shí)數(shù)/的取值范圍為

【答案】[T-2]

【解析】

【詳解】在等比數(shù)列也｝中，由々也=8=>4刈=8，又62+4=6，且公比小于1，

.?也=4也=2,"=》=；，因此勿=打尸=4x[]=W,由°=%+1+,"一可,得

42"2?（2）（2）"22

b（a工b、A14

到C"=是?。?"'中最大值，二，4是數(shù)列｛c.｝中的最小項(xiàng)，又勿=上單調(diào)遞減,

%=77+/單調(diào)遞增，.?.當(dāng)。4=。4時(shí)，。4<%，即%是數(shù)列｛%｝中的最小項(xiàng)，則必須滿(mǎn)足

b4<a4<b3,即得<4+/W(g)=>—3</W—2，當(dāng)。4=2時(shí)，c&Wc“,即d<g,二"是

數(shù)列｛&｝中的最小項(xiàng)，則必須滿(mǎn)足%<々<生，即得4+<5+?^-4<?<-3>綜上所述，

實(shí)數(shù)/的取值范圍是[-4,-2],故答案為[T-2].

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.在ABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別是°,6,c,已知。=4且cos2A-cos25=2sinC(sin5-sinC).

(1)若c=3,求sin若；

(2)若BC邊上的高是AH,求8H的最大值.

【答案】(1)sinC=2叵

8

(2)2+^-.

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，再由余弦定理可得A,再由正弦定理求sinC即可；

(2)由三角恒等變換化簡(jiǎn)后，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

由cos2A-cos2B-2sinC(sin5—sinC)可得：

1-2sin2A-1+2sin2B=2sinCsinB-2sin2C

=^>sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，

即：b2-\-c2—a2—bc^>匕十°——￡

2bc2

即cosA=g,又人￡(0,兀)，：.A=^

a@

由正弦定理得：.「csinA3V3.

sinC=-----=-----=---

a48

【小問(wèn)2詳解】

由題意，

【小問(wèn)2詳解】

/(x)的最大值2,

JTJT

/./(C)=sin(2C——)+1=2=CD,得sin(2C——)=1,

66

:.c=~,

3

Q□_Q-V

0.ACD丁uBCD—□.ABC'

.兀?兀1人?兀日n7V3

..—?2??sin—+—?2?6??sin—=—??Z??sin—,BP+Z?=--ab，7

2626232

.11_V3

??---1--------,

ab2

112

4〃+/?=(4〃+b)(—I—)—產(chǎn)

abyJ3

b4〃22/74

=(5+—+—)--T=>(5+4)--=,當(dāng)且僅當(dāng)一二—^,即Z?=2”時(shí)取等號(hào),

aby/3V3ab

又,a+b=^ab，即當(dāng)且僅當(dāng)6=2&，a=0時(shí)取等號(hào)，

2

所以4a+Z?的最小值為6石.

19.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，滿(mǎn)足S”=1一%(〃eN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(一瑤

(2)設(shè)數(shù)列U-前〃項(xiàng)和為北，求心的表達(dá)式.

an

(2)T2n=2n(n+l)

【解析】

cin-1/_\/、/、

【分析】(1)根據(jù)通項(xiàng)與前“項(xiàng)和的關(guān)系可得＜n=-再根據(jù)““+1)%=(77—1)加篙求

an-l〃+1

解即可；

（2）先化簡(jiǎn)2=。2”-1+。2〃，再根據(jù)7k=）+%+&+…+2求解即可.

小問(wèn)1詳解】

當(dāng)”=1時(shí)，。1=1—4],所以q=g.

當(dāng)“22時(shí)，Sn^l-nan,S,i=1—(〃一1)%_1.

/、4〃一1/小

兩式相減得：an=(n-\)an_l-nan,即r=二二i(〃22).

a

n-\幾十1

故九(n+l)a"=(n—\\nan_x=(n-2)(n-1)an_2=...=1x2%=1.

【小問(wèn)2詳解】

因（D=（一1）"仆+1）,令々=為“_1+02”=一（2〃一1）2n+2〃（2〃+1）=4",則

2=4（〃+1）-4〃=4,

???｛仇｝為等差數(shù)列.

F7777〃（"+"）"（4+4"）三Z八

T2>,=4+a+2+-.+勿=--------=—^--=2n（n+l）.

20.某校高一200名學(xué)生的期中考試語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布N（70,7.52）,數(shù)學(xué)成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如

下：

V4O5060708090100數(shù)學(xué)成縝

（I）計(jì)算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語(yǔ)文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高（假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方

圖中各段是均勻分布的）；

（II）如果成績(jī)大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少

人？

（Ill）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從（II）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都

優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（附參考公式）若XN（〃，4）,則尸（〃一b<X<〃+cr）a0.68,

-2cr<X<〃+2cr)a0.96

【答案】（D語(yǔ)文平均分高些；（ID語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為4人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為10人；（in）答案

見(jiàn)解析.

【解析】

【詳解】試題分析：（D根據(jù)組中值與對(duì)應(yīng)區(qū)間概率的乘積和計(jì)算平均數(shù)，再比較大小，（ID先求優(yōu)秀的

概率，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與頻率的乘積得結(jié)果，（ni）先確定隨機(jī)變量取法，再根據(jù)組合數(shù)計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，

列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.

試題解析：（D數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為

0.012x45+0.02x55+0.025x65+0.035x75+0.006x85+0.002x95xl0=65.9

根據(jù)語(yǔ)文成績(jī)的正態(tài)分布知語(yǔ)文平均分為70分，所以語(yǔ)文平均分高些.

（II）語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率為Pi=P（X285）=1—O.96x；=O02,

數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為P2=[0.006x1+0.002jx10=0.05,

語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為200義0.02=4人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為200x0.05=10人

（III）語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的4人，單科優(yōu)秀的有6人，X所有可能的取值為0,1，2,3,

「31CXC21

P(x)=。季［，p(x)=i=^=j

cio°Mo乙

3不i

P(X)=2=^^=—，P(X)=3=T=—

'7Q3o10')%30

X的分布列為

X0123

31

尸(X)

621030

數(shù)學(xué)期望石(X)=0x'+l><L+2xa+3x」-=9

\)6210305

22

21.已知橢圓C：j+==l（a〉6〉0）的離心率為左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)P、。為橢圓上

ab

異于A、3的兩點(diǎn)，：,R43面積的最大值為2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)4>、3。的斜率分別為左、k2,且3K=5網(wǎng).

①求證：直線(xiàn)尸。經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

②設(shè)△PQB和△PQA的面積分別為"、邑，求凡―S?|的最大值.

【答案】（1）土+y2=l

（2）①證明見(jiàn)解析；②*上

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于。、6、c的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓。的方程；

（2）①分析可知直線(xiàn)P。不與y軸垂直，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為*=）+〃，可知〃w±2,設(shè)點(diǎn)P（石,％）、

k5

Q（%,%）?將直線(xiàn)尸。的方程的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出九的值，即可

得出直線(xiàn)P。所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；

②寫(xiě)出內(nèi)-S2I關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得⑸-s?l的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，上鉆的面積取最大值,

且最大值為鄴八;義2"="=2,

￡=2/3

a2a—2

由題意可得<ab=2,解得＜b—\

c2=a2-b2c—A/3

所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+>2=1.

4-

【小問(wèn)2詳解】

解:①設(shè)點(diǎn)尸（%,%）、

若直線(xiàn)尸。的斜率為零，則點(diǎn)P、。關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng)，則匕=-右，不合乎題意.

設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為工=。+〃，由于直線(xiàn)P。不過(guò)橢圓C的左、右焦點(diǎn)，則〃w±2,

x—ty+77/\o9

聯(lián)立《.2*,2_4可得(廠+4b+2奶+"一4=0,

2

[%+4/=4'')''

△=4/〃2一4(/+4)(〃2-4)=16(r+4—7，)>0,可得川</+4,

?土、—r/日21nn~—4?,4—n~/、

由韋達(dá)定理可倚%+%=-丁/，~則91%=—：；—(%+%)，

I+4%+4In

4-n2

&%%-2(ty2+n-2)yl”+(〃-2)%至不(%+%)+("2)%

上2M+2%(步+九+2)%81%+5+2)%4—7()]?%)?(%?2)%

=2—n.(2+.)(4]+y?)—2町]=2—n=5_

2+〃(2—〃)(％+%)+2〃乂2+〃3‘牛用"2，

即直線(xiàn)尸。的方程為x=?！?；，故直線(xiàn)尸。過(guò)定點(diǎn)/1—g,。].

t2

②由韋達(dá)定理可得X+%=”IZ，X%=一近旬，

所以，[S]—S2I=曰AM|-忸—叼=gJ(x+%『—4乂%

_￡k/丫丁,4/+74,4產(chǎn)+15_______4_________

-5也2+4尸入4-『+4-(4/+15)+「管275T1'

，4r+15

t2>0,則J4r+152厲,

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=x+工在「Vi5,+a））上單調(diào)遞增，故4^+15+-^=>+/==嶺叵,

''xL'4+15V1515

Is-史

所以，22~16#—4，當(dāng)且僅當(dāng)/=0時(shí)，等號(hào)成立，

國(guó)-S2I的最大值為孚.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線(xiàn)系或曲線(xiàn)的方

程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（％,用），常利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程）-％=左（％-尤°）或截距式丫=依+6來(lái)證明.

22.已知函數(shù)/(%)二%111￥-；依2_%(4￡2.

+8)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的最大值;

(1)若函數(shù)/(九)在

加m

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)引,々(玉＜/)，且不等式:~〉￡恒成立，求正數(shù)加的取值范圍

(e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【答案】(1)-e

(2)[1,+co)

【解析】

1

【分析】⑴求得/'(x)=lnx-ar由已知可得/在xe二,+”卜恒成立，即竺，

ex

1nx

恒成立，構(gòu)造函數(shù)力(力=—,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而可求得結(jié)果;

leX

In—LQmxm

(2)由占，尤2是方程/'(x)=lnx—依=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求得a=_工，將一＜至，兩邊取自然對(duì)

Xie

1

%1-X2

數(shù)化簡(jiǎn)可得

/、

X

—L+mln%

X,令上二