陜西省漢中市2023-2024學(xué)年高三年級下冊教學(xué)質(zhì)量第二次檢測文科數(shù)學(xué)試卷試題及答案

漢中市2024屆高三年級教學(xué)質(zhì)量第二次檢測考試

數(shù)學(xué)（文科）

（命題學(xué)校：鎮(zhèn)巴中學(xué)）

本試卷共23小題，共150分，共4頁.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域

內(nèi).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體

工整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在

草稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=4+i,貝i]z的虛部為（）

333.

A.—B.——C.—1D.--i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷，利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)與四則運算求得Z,從而得解.

【詳解】依題意，設(shè)2=。+歷（a,Z?wR）,

因為z（l+i）=4+i,所以（a+歷）（l+i）=4+i,

即（a—Z?）+（a+Z?）i=4+i,

5

a=-

a-b=42

所以《…，解得

533

則2=——i,z的虛部為——.

222

故選：B.

2.已知全集。={xeZ|—3<x<3},集合A={-2,0,2},5={-1,0},貝0(AuB)=()

A.{-3,1}B.{-3,3}

C.{-3,1,3}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，求出全集U,再利用集合的運算，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為。={xeZ|—3Wx<3}={—3,—2,—1,0,1,2},又AD3={—2,—1,0,2},

所以-B)={—3,1},

故選：A.

3.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME-7)的會徽圖案，會徽的主題圖案是由如圖2所示的一

連串直角三角形演化而成的，其中。4=44=&&=?=44=1，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)

作下去，則第九個三角形的面積為()

【答案】B

【分析】記。,OA,...,%的長度構(gòu)成的數(shù)列為{4},依題意可得尺=%+1,即可得到{%是以1

為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而求出。“，再由面積公式計算可得.

【詳解】記。V。勾的長度構(gòu)成的數(shù)列為{4},

由題意知，04=44=44=3=44=1，且0A4，044,…，044都是直角二角形，

所以q=i,且吊=。3+1,所以數(shù)列｛d｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以a；=l+（n-l）xl=H,

由%>0,所以為=

所以第九個三角形的面積為34X1-----.

2

故選：B.

x-y-2<0

4.若實數(shù)％,）滿足約束條件3x+y—220,則z=2x+3y的最小值為（）

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，再數(shù)形結(jié)合求出目標函數(shù)的最優(yōu)解，即可得解;

x-y-2<0

【詳解】由約束條件3%+y-220作出可行域如圖,

x-2y>0

3x+y—2=0x=l

聯(lián)立，解得?則A。,-1).

x-y-2=0U=T

21

化目標函數(shù)z=2x+3y為y=—至九+12

由圖可知，當直線y=-?x+』z過A時，直線在>軸上的截距最小,

33

則z有最小值為2xl+3x(-1)=-1.

故選：C.

5.已知函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，則/（尤）的解析式可能是（

X

-x-sinxx-COSX

A./(%)=B.于(x)=

erere+ex

%+sinxX+COSX

c./(%)=D./W=

eA+e^e+ex

【答案】C

【解析】

7T

【分析】依題意可得了(%)為奇函數(shù)，即可排除B、D,由函數(shù)在°<x<5上的函數(shù)值的特征排除A.

【詳解】由圖可知/(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則/(力為奇函數(shù),

一X—sinX

對于A：小)=赤二定義域為R,

當0<%<3時一x-sinxvO,+e-x>0，所以不符合題意，故A錯誤;

對于B：/⑴=黃黃定義域為R'

-x-cos(-x)_-X-cosX

/(-x)=w-/(x)且/(-%)

e-x+eYe-%+?e/—工

所以/Xx)==為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故B錯誤;

e+e

._，/、x+cosx?“，4,

對于D：/(%)=———^定義域為R,

e+e

門—X+cos(—X

/(-)=-hV—X+cosX

八一工^-/(x)!,/(-%)*/(%),

e+ee-%+Ie

x+cosx

所以/(%)=為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故D錯誤;

erer

一，/、x+smx.、-r+sin(-x)_x+sinx

對于C：f(x)=-...-定義域為R,y(-x)=一/⑴，

e+e+ee'+eT

。/、x+smx、，上.「包

所以/(%)=———十為奇函數(shù),

e+e

且當0<%<3時x+sinx>0,ex+e-x>0，所以/(%)>。，符合題意，故C正確;

故選：C

6.已知也〃為兩條直線，內(nèi)尸為兩個平面，mua,nu0,mLn,則/_L，是。，，的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用面面垂直的判定定理，可得充分性成立，再通過舉例說明得不出根，，，即可得

出結(jié)果.

【詳解】若"2，，，因為mU&,所以。即由根，分可以得到，

若。_L力，如圖，在正方體中，取平面AD2A為平面平面ABC。為平面尸，

取AR為直線機，CD為直線九，顯然有機<=。,"<=尸,〃2_1_",a工/3,但〃z與萬不垂直，即由

。_1，得不到小1_，，

小￡)i

O

BC

故選：A.

22

7.己知雙曲線C:--2=1(4>0/>0)的左右焦點分別為4,E,曲線C上的點M滿足

ab

uionuuun幾

FiMF2M=Q,ZMFiF2=-,則雙曲線的離心率為()

6

A.73+1B.73C.拽

D.73-1

3

【答案】A

【解析】

uuanuuuu幾

【分析】利用4M?M"=0,NM4K=—,可得|加片|=岳，|M"l=c,結(jié)合雙曲線的定義，即可求得

6

雙曲線的離心率.

uuunuuun幾

【詳解】因為《M?7y/=0,NM大與二一，所以從用,般，

6

又比局=2c,所以|加可|=限,IMF21=c,

所以|MH|—IM\=&-c=2a,

c2I-

則e=1=m=j3+l,即雙曲線離心率為6+1.

故選：A.

8.一組樣本數(shù)據(jù)為,々,工，犬4，匕的平均數(shù)為元，方差為$2,標準差為S,下列說法正確的是（

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為了3

B.3Xj+1,3X2+1,3X3+1,3X4+1,3X5+1的平均數(shù)為3元

2

C.%+1,x2+L/+1,%4+1,%5+1的方差為5+1

D.3%,3%,3&,3%4,3毛的標準差為3s

【答案】D

【解析】

【分析】利用中位數(shù)的意義判斷A；計算平均數(shù)判斷B；計算方差判斷CD.

5_

22

【詳解】依題意，+x2+Xj+x4+x5=5x,(x,--x)=5s,

i=l

對于A,數(shù)據(jù)看,%2，%3，%4，％5不一定是按大小順序排列而成的，A錯誤；

對于B3%]+1+3%2+1+3%3+1+3%4+1+3%5+115%+53一+]B

,-p項+1+九2+1+%3+1+x4+1+犬5+15%+5—

xyfjc，---------------------------------------------------------------------------------------=%+11,

55

]5_15_

￡￡[(茗+1)-(％+1)]2=￡￡(Xj-X)2=S?,C錯誤；

5i=i5j=i

222

對于D,3也上3玉?3與t3血丁39=，工￡（3%,.-3x）=-^L9（x;-x）=95,

55,=i5;=1

所以3匹,3X2,3退,3X4,3X5的標準差為3s,D正確.

故選：D

9.函數(shù)/0）=25詁（0》+。）［0〉0,0＜。＜；｝勺圖象如圖所示，P,Q為圖象上兩點，對于向量

ULUU

rr7i

a=（l^aPQ=-,為了得到g（%）=2sin4x的圖象，需要將/（幻圖象上所有點的坐標（）

2

7T

A,橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移一個單位

JT

B.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移一個單位

17T

C.橫坐標縮短到原來的;（縱坐標不變），再向右平移一個單位

/A

1TT

D,橫坐標縮短到原來的9（縱坐標不變），再向右平移二個單位

/16

【答案】D

【解析】

71

【分析】根據(jù)圖象及題設(shè)條件，求出。,0,從而得到/（x）=2sin（2x+w），再利用圖象的平移變換，即

可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)/（X）的最小正周期為T,如圖，易知尸（二,2）,2（-+-,0）,所以PQ=（7,一2）,

884'4

rruun兀T兀2兀

又a=（l,0）,a-PQ=—,所以一=—,得到7=兀，所以一=兀，即。=2,

444co

兀）7T7T7T

［—,2I,所以2xw+o=,+2E,左wZ,即。=^+2左兀,ZwZ,

TT7r7L

又0＜°＜］,所以"=得到/（x）=2sin（2x+i）,

為了得到g（x）=2sin4x的圖象，需要將了⑺圖象上所有點的坐標橫坐標縮短到原來的g（縱坐標不

jr

變），再向右平移一個單位,

16

故選：D.

10.已知；〃：/+丁2_2工—2y—2=0,直線/：2x+y+2=0,P為/上的一動點，A,B為M上任意

不重合的兩點，貝hosNAPB的最小值為（）

A2君R_46。

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析得當E4,PB分別為圓的切線，且最小時，/AP5最大，此時cosNAPB最小，

再利用二倍角公式即可得解.

【詳解】由題意得：M的標準方程為（x—1y+（y—1）2=4,所以圓心半徑為2,

=亞＞2,所以直線/與相離,

所以當B4，PB分別為圓的切線，且作。|最小時,

\AM\2JT

sinZAPM=J：r最大，又0</APM<—,則NAPM最大,

\PM\\PM\2

所以NAPB=2NAR欣最大，此時cos/APB最小，

止匕時cosZAPB=cos2ZAPM=1-2sin2ZAPM=l-2x(-^)2=-|.

故選：D.

——3尤2—2xx?0

11.已知函數(shù)/"(%)={'—，8(%)=/(無)一如有4個零點，則機的取值范圍為()

Inx,x>0

A.(―,—)B.(-2,0]U{—}C.(-2,0]U{—}D.(-oo,0]U(—,—)

4ee44e

【答案】C

【解析】

【分析】確定x=0是函數(shù)g(x)的零點，在xwO時，利用函數(shù)零點的定義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)//(x)=/@,

X

利用導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求出范圍.

【詳解】由g(x)=o,得mx=/(x),而當尤=0時，/(尤)=0,即0是g。)的一個零點,

?__3x_2,x<c0—x21—3x—2,%<0

當％w0時，m=------=<In%令/z(x)=hnx八

%----,x>0----,x>0

、%、x

依題意，直線丁二機與函數(shù)y=/z(x)的圖象有3個公共點，

3113

當xv0時，h｛x)=—X2—3x—2=—(%H—『H—<—，當且僅當%=—時取等號,

2442

、“八47/、Inx上口/口7,/、1-lnx

當兀>0時，fi(x)=---，求導(dǎo)得無(冗)=---z—，

XX

當0<x<e時，/(%)>0,當工>6時，〃(%)<0,

因此函數(shù)及(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，/z(e)=->-,

e4

當0<xVl時，九(%)工/1)=0,當1>1時，力(%)>。恒成立，

在同一坐標系內(nèi)作出直線丁=機與函數(shù)y=力(%)的圖象,

觀察圖象知，當—2<帆<0或m=工時，直線>=根與函數(shù)y=〃(x)的圖象有3個公共點,

4

則當—2<加<0或加=工時，方程7〃=上有3個解，即g(x)=/(x)一如有4個零點，

4x

所以加的取值范圍為一2〈根<0或m=—.

4

故選：C

2

12.已知正項數(shù)列｛4｝的前w項和為耳，且25“=4+一，數(shù)列出｝的前w項積為7；且7；=S；,下列

說法錯誤的是（）

A.Sn=^B.｛〃｝為遞減數(shù)列

C%24=|^||D.an=y/2（4n-sjn-l）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)4與S,及久與7；的關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義及通項公式，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

2

【詳解】當〃=1時，2q=q+—,解得q=±也（負舍），

41

2

當“22時，2S“=S〃—S1+三——,即S,；-S〉］=2,且S；=2,

~*\一1

所以數(shù)列｛s；｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，

所以S：=2+2-（ra-1）=2?,

又an>0,所以S"="?,故A正確；

當〃之2時，有a”=J2（=-1）=后（6-Ja-l）,

取”=1時，q=->/］_］）=此式也滿足％,

故數(shù)列｛4｝的通項公式為4=虛（赤-Jn-1），故D正確；

因為數(shù)列出｝的前“項積為北且乙=S；,

所以T"=a也也…b,=S-=2n,

當〃=1時，4=2,

&=2〃=q=〃-l+l=i+J_

當時，b”

Tn_x2（n-l）n—Xn—1n—1

2,n=l

顯然〃=1不適用，故數(shù)列｛4｝的通項公式為2=<l+-i—,n>2,

n-1

顯然4=4=2,所以數(shù)列｛2｝不是遞減數(shù)列，故B錯誤,

20242024

由當時,,得%24=故C正確,

2024-12023

故選：B.

b,n=l

CL.M—1{

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用4=Tcc和%=<Z2,結(jié)合等差數(shù)列的

定義及通項公式即可求解.

第n卷（非選擇題共為分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量滿足16|=a|,且a是單位向量，若cos&b〉=1~，則|a-26|=

【答案】3

【解析】

【分析】利用向量的夾角公式及向量的模公式即可求解.

【詳解】因為。是單位向量，

所以同=1,16|=|a|=x1=S',

又因為cos〈5,/?〉~~~，

產(chǎn)夕V3；.力_

所以cos〈a,b〉=NM=§,即（t=牛，解得。力=1，

所以|a—2b|=_4a.A+4卜|=-4xl+4x（VJ）=3.

故答案為：3.

14.繼淄博燒烤、哈爾濱凍梨后，最近天水麻辣燙又火了.據(jù)了解天水麻辣燙店內(nèi)菜品一般由竹簽串起成

捆擺放，人們按照自己的喜好選好后遞給老板，進行調(diào)制.某麻辣燙店內(nèi)有西蘭花、香菇、豆皮、海帶、

白菜等菜品，一游客打算從以上5種蔬菜中隨機選擇不同的3種，則西蘭花和海帶被選中的概率為

3

【答案】—##0.3

10

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型求解即可.

【詳解】由題意，設(shè)五種食材分別為"c,d,e,則基本事件空間為

{(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,J),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e)},

共10個基本事件，其中含有西蘭花和海帶的有(a,A,d),(a,c,d),(a,d,e),3個基本事件，所以

3

故答案為：—

10

15.已知三棱錐4—8。。,45=4。=40=2,3。=班>=。。=3,則三棱錐A—BCD的外接球表面積

為.

【答案】1671

【解析】

【分析】由題意知，該三棱錐為正三棱錐，取底面的中心連接AM,則球心。落在AM上，求出棱錐的

高，由此得到關(guān)于外接球半徑的方程求解即可.

【詳解】如圖：

U

由題意知，底面一ABC為等邊三角形，設(shè)M為其中心,

則=3x3=百，

3

又AB=AC=AD=2,

所以該三棱錐為正三棱錐，

所以AM=^AB2-BM2=1-

所以外接球半徑H>40,

則外接球球心在AO的延長線上，

所以O(shè)A=OB=R,則3/=尺一1,

所以在RtABOM中，OB?=OM?BM?，

即7?2=(6『+(氏—1)2,解得R=2,

所以外接球表面積為S=4兀/?2=16兀

故答案：1671.

16.已知A,B是拋物線C：V=4x上異于原點的兩點，且以|AB|為直徑的圓過原點，過"(0,4)向直線

AB作垂線，垂足為"，求10Hl的最大值為.

【答案】40

【解析】

【分析】結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，推得為%=-16,設(shè)出直線A3的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定

理，求出直線A3所過定點，再結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解，

【詳解】依題意，設(shè)B(手,為)，

以|4耳為直徑的圓過原點，則04。2=爺_+乂％=0,解得%為=-16,

易知直線AB的斜率不為0,不妨設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,

丫？=

聯(lián)立廣，化簡整理可得4。-4加=0,

x=ty+m

所以弘％=Tm=—16,解得根=4,

故直線A3恒過定點P(4,0),

因為NMOP=90°,則。，P,H,M四點共圓,

即點”在以為直徑的圓(除原點外)上運動,

此時該圓直徑為|PM|=A/42+42=4夜，

故|。"|的最大值為該圓的直徑，即4夜.

故答案為：4A歷.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決關(guān)鍵是，利用向量垂直的性質(zhì)與韋達定理求得直線A3所過定點，從而

得解.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,請從下列條件中選擇一個條件作答：（注：如果

選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.）

①記ABC的面積為S,且由A5-AC=2S；②已知asin3=Z7COS（A—'）.

6

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若為銳角三角形，且。=癡，求.ABC周長的取值范圍.

【答案】（1）A=j;

（2）（3五+跖3閑.

【解析】

【分析】（1）選①，利用數(shù)量積的定義及三角形面積公式求解；選②，利用正弦定理邊化角，再利用差角的

余弦化簡即得.

（2）利用正弦定理化b+c為角8的函數(shù)，再利用三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍.

【小問1詳解】

選條件①，由百AB-AC=2S，得J§Z?ccosA=2x；Z?csinA,整理得tanA=g,而0<4<兀，

所以4

JT7T

選條件②，由Qsin3=/?cos（A——）及正弦定理，得sinAsin3=sin3cos（A——）,

66

而sinB>0,則sinA=cos（A-'）=^-cosA+—sinA，整理得tanA=6，而0vA<兀，

622

所以A=*

【小問2詳解】

兀上=」=1=正=2立

由（1）知4=H，由正弦定理得sin5sinCsinAsin71，

Sm3

因此A+c=272sinB+2A/2sinC=20[sinB+sin（1+B）]

則走<sin(3+C)〈l，于是30<b+c<2后，3叵+屈<a+b+c￡3瓜,

26

所以_A6C周長的取值范圍是(3行+卡,3nL

18.2024年03月04日《人民日報》發(fā)表文章《開展全民健身實現(xiàn)全民健康》，文中提到：體育鍛煉要從

小抓起.“讓孩子們跑起來”“要長得壯壯的、練得棒棒的”“體育鍛煉是增強少年兒童體質(zhì)最有效的手

段”……習(xí)近平總書記的殷殷囑托，牢牢印刻在廣大教育工作者和孩子們的心中.某學(xué)校為了了解學(xué)生體

育鍛煉的情況，隨機抽取了"名同學(xué)，統(tǒng)計了他們每周體育鍛煉的時間，作出了頻率分布直方圖如圖所

示.其中體育鍛煉時間在(4,6］內(nèi)的人數(shù)為50人.

(1)求九及。的值(々的取值保留三位小數(shù))；

(2)估計該校學(xué)生每周體育鍛煉時間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)我們把每周體育鍛煉時間超過8小時的學(xué)生稱為“運動達人”，為了了解“運動達人”與性別是否有關(guān)

系，我們對隨機抽取的〃名學(xué)生的性別進行了統(tǒng)計，得到如下2x2列聯(lián)表：

非運動達人運動達人總計

男生30

女生70

總計

補全2x2列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認為成為“運動達人”與性別有關(guān)?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246635

【答案】(1)”=200,a=0.200

⑵7=6.8

(3)列聯(lián)表見解析，沒有

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件得到衛(wèi)=0.25,即可求出九值，再利用小矩形面積之和為1,即可求出。值；

n

(2)利用頻率分布圖中平均值的計算方法，即可求出結(jié)果；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，得出運動達人的總?cè)藬?shù)，即可得出列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表計算出K?值，即可

求出結(jié)果.

【小問1詳解】

因為體育鍛煉時間在(4,6］內(nèi)的人數(shù)為50人，所以處=0.125x2=0.25,解得〃=200,

n

又由(0.050+0.125+a+0.075+0.050)x2=l,得到a=0.200.

【小問2詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖，知該校學(xué)生每周體育鍛煉時間的平均值為：

x=(3x0.050+5x0.125+7x0.200+9x0.075+11x0.050)x2=6.8.

【小問3詳解】

由(1)知力=200,運動達人共有200x(0.15+0.1)=50,所以女生運動達人有20人，

得到列聯(lián)表如圖：

非運動達人運動達人總計

男生8030110

女生702090

總計15050200

又K2=n(ad-bc)2

200(80x2。-70x30)2:理*673<2.7。6,

(〃+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)150x50x110x90297

所以沒有90%的把握認為成為“運動達人”與性別有關(guān).

19.己知：如圖，三角形ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=A3=2CD=2,

(1)證明：。尸〃平面ABC；

(2)求點8到平面AD廠的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)41

【解析】

【分析】⑴取AE中點G,連接。G、FG,由三角形中位線的性質(zhì)得到FG〃M，進一步得到EG〃平

面ABC,再由已知證出四邊形ACDG為平行四邊形，從而得到。G〃平面ABC,即可得到平面?；谿//

平面ABC,從而得證；

(2)先證出5石，平面AD尸，進而得出點B到平面AD戶的距離為跳5,即可求解.

【小問1詳解】

如圖：

B

取AE中點G,連接。G、FG,

廠是班的中點，

:.FG//AB,

又〔ABu平面ABC,FG<Z平面ABC,

.?.PG〃平面ABC,

AE和CD都垂直于平面ABC,

AE//CD,

又AE=2,CD=1,:.AG^CD,

則四邊形ACDG為平行四邊形，

DG//AC,

又?.ACu平面ABC,￡)G(Z平面ABC,

DG//平面ABC,

又FG\DG=G,FG,￡>Gu平面平面DFG,

二平面G〃平面ABC，

QFu平面WG,

.?.DE〃平面ABC；

【小問2詳解】

AE=2CD,

EG=AE-CD=2-1^1,DG=AC=2,

在直角ZkOEG中，DE=y/EG2+DG2=71+4=75-

在直角△BCD中，BD=ylCD2+BC2=JT+4=45-

:.DE=BD,又產(chǎn)為郎的中點，

.-.DF±BE，

又AE=AB,：.AF±BE,

AF\DF=F,ARDEu平面AD尸

.?.BE，平面AD產(chǎn)，

即點B到平面ADF的距離為BF，

因為BE=A/A￡2+AB2=6+22=2應(yīng),

所以BF=1BE=?.

2

20.已知橢圓。：?+斗=1（。〉6〉0）的離心率為?2,短軸長為2挺.

ab2

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）已知點”（加,0）,加￡（一〃,〃），過點”且斜率不為。的直線/交橢圓于P,。兩點，當

11

--------1------=--2時，求機的值.

\MP\\MQ\

22

【答案】（1）二+匕=1

42

⑵m=±^2

【解析】

【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及〃，b,。之間的關(guān)系，列出等式求解即可;

（2）設(shè)出直線/的方程和P,。兩點的坐標，將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、弦長公式和

換元法進行求解即可.

【小問1詳解】

因為橢圓。的離心率為變,

短軸長為2夜，

2

￡=交

a2a—2

所以?=2四解得<b=y/2,

tz2=Z?2+C2C=y/2

所以橢圓C的標準方程為三+匕=1；

42

【小問2詳解】

因為直線/過點M且斜率不為0,

不妨設(shè)直線/的方程為x=ty+m,尸（%,州）,Q（X2,y2）,

x=ty+m

聯(lián)立y2，消去x并整理得(產(chǎn)+2))?+2力孫+/一4=0,

—+—=1

[42

此時A=(2力徨)2—4(r+2)?(“-4)=8(2產(chǎn)一〃22+4)>0,貝UW<2r+4，-2<m<2,

2tmm2-4

所以%+y

2產(chǎn)+2，必%-j+2

因為點尸在直線/上，所以%=。1+相,

因為加（7%,0）,所以|“？|="（改_〃2）2+犬=J產(chǎn)+1|%|,

同理得|MQ|=Jd+i|必

11111、1|y|+1%|

斫以------1-------=-,-(z-----1-----)=_?-

iMei\MP\ixiiy2i#TTi%%i'

又為為=33且一2<加<2,即加2—4<0,所以當,為異號，

111產(chǎn)+2

此時----1----=_-----?，

\MQ\\MP\77714-加I%-%I

I?2tm丫.m2-4、/—,2產(chǎn)+4-療

因為1%_%|=+

111t2+2二后,2』+4—7??i2萬，2產(chǎn)+4-療

所以----+-----=f-------------------7X2,2-------5------=,---------------------Z---------

\MQ\\MP\7?7T4-m2r+24-m2

不妨令〃=4一加2（〃>o）,則叵74n=i,整理得(2_w)[(2+〃)/+川=o,

ny/t2+1

當且僅當1=2,即4—冽2=2時，等號成立,

故加=±A/2?

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（外,%）,（%2，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程，注意A的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為七+%、x,x2（或%+為、%%）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

21.已知函數(shù)/（%）=ndnx+l-x.

（1）證明：加=1時，y（x）wo恒成立；

（2）證明：-+-+-+-+-<11171（"eN*且"22）.

234n

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）把m=1代入，對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可求函數(shù)的最值，進而可證;

（2）利用（1）中結(jié)論得到lnxNl-工，合理進行賦值，即可證明.

X

【小問1詳解】

當m=1時，/（x）=lnx+l-x（x>0）,f\x）=--1,

x

當龍〉i時，rcxxo,〃丈）單調(diào)遞減，當。<%<1時，f（x）>o,/a）單調(diào)遞增，

則％=i是函數(shù)的極大值點，也就是最大值點，

故/（x）</（l）=O,即/（x）W0恒成立；

【小問2詳解】

由（1）知，lnx+1—x<0,

將不等式中x替換為得in'+l-工40,gp-lnx+l--<0,

XXXX

所以InxNl-L,當且僅當工=1,即》=1時，等號成立，

人幾…H,n-11

令x=------,貝Uln------->1----------=—,

n-ln-1nn

111134n

所以一+—+—++—<ln2+ln—+ln—++ln------=]nn,故不等式成立.

234n23n—1

【點睛】結(jié)論點睛：兩個常見的重要不等式:

（1）lnx<x-l；（2）ex>x+\.

（-）選考題：共