上海市2023-2024學(xué)年高二年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試題

上海市向明中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知圓錐的母線長為3,底面半徑為2,則圓錐的體積為一.

2.兩條直線ox-3y-l=0與2x_（a-l）y+l=0平行，則實數(shù)。=-

3.已知焦點在x軸上的橢圓二+《=1離心率為正，則實數(shù)加等于一.

m42

4.設(shè)函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)為/'（x）,若/'（x°）=。，則1加/（%+2〃）一/（/）=—,

20h

5.在正四棱柱48CZ）-48|CQ|中，AB=BC=544=1，則異面直線與￡）與所成

角的余弦值為一.

2

6.雙曲線》2_乙=1的兩條漸近線夾角的余弦值為

4

7.已知函數(shù)/0）=2/'（3）子一|一+出，貝—.

8.若對任意實數(shù)上，直線丘+y-左+1=0與圓尤2+/+加x+2y+m+4=0至少有一個交點,

則實數(shù)機(jī)的取值范圍是—.

9.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收

天線的口徑/8=6,深度=2,信號處理中心尸位于焦點處，以頂點。為坐標(biāo)原點，

建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,若尸是該拋物線上一點，點°（裝,2），則

試卷第11頁，共33頁

10-如圖.即一/RC'A'E■'為正六棱柱,若從該正六棱柱的6個側(cè)面的12條面對角

線中，隨機(jī)選取兩條，則它們共面的概率是—.

11.若函數(shù)/（x）=sinx+“cosx在（孝上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為_

12.已知雙曲線［一/=15>0,6>0）的焦點分別為月、區(qū),州為雙曲線上一點，若

HMF。號，OM嗎b,則雙曲線的離心率為一.

二、單選題

13.已知拋物線尤2=匕上一點尸的橫坐標(biāo)為4,則點尸到焦點的距離為（）

A.4B.2C.6D.8

試卷第21頁，共33頁

14.已知函數(shù)/@）=工3_2辦2+/%+1在x=l處有極小值，貝1J。的值為（）

A.1B.3C.1或3D.?或3

15.已知點〃為正方體力臺⑺一/避］。。］內(nèi)部（不包含表面）的一點.給出下列兩個命題:

%:過點〃■有且只有一個平面與和Bq都平行；

%：過點〃至少可以作兩條直線與AA,和qG所在的直線都相交.

則以下說法正確的是（）

A.命題?是真命題，命題％是假命題B.命題心是假命題，命題%是真命題

C.命題名，見都是真命題D.命題心，％都是假命題

16.已知直線（：x+my—3機(jī)—1=0與，2：—3”?+1=0相交于點線段是圓C：

（尤+1）2+壯+1）2=4的一條動弦，且⑷=26，則疝.礪的最小值為（）

A-6-472B.3-72C-5+VsD-75-1

三、解答題

17.已知車輛啟動后的一段時間內(nèi)，車輪旋轉(zhuǎn)的角度和時間（單位：秒）的平方成正比，

且車輛啟動后車輪轉(zhuǎn)動第一圈需要1秒.

（1）求車輪轉(zhuǎn)動前2秒的平均角速度；

（2）求車輪在轉(zhuǎn)動開始后第3秒的瞬時角速度.

AA

18.如圖，在三棱柱/區(qū)叫仁中，必，平面/5C,ZBAC=~,l=AB=AC=l

2

CQ的中點為a.

試卷第31頁，共33頁

(1)求直線BB\與平面AtBC所成角；

⑵求點”到平面43c的距離.

19.己知雙曲線G過點(-4,30)且與雙曲線c二一片=1有共同的漸近線，K,且分別

2,23

是￡的左、右焦點.

⑴求G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點P是C1上第一象限內(nèi)的點，求麗.麗的取值范圍.

20.如圖，將一根直徑為3的圓木鋸成截面為矩形的梁.矩形的高為力，寬為“已知梁的

(1)將少表示為方的函數(shù)，并寫出定義域;

試卷第41頁，共33頁

(2)求b的值使得抗彎強(qiáng)度最大.

22-622cX

21.雙曲線U.方=1(。>0,6>0)的離心率為圓°:x+>=2與軸正半軸交于點

八，點「(亞，在雙曲線,上.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵過點T作圓0的切線交雙曲線C于兩點“、N’試求的長度；

(3)設(shè)圓。上任意一點P處的切線交雙曲線C于兩點叔、N,試判斷1PM.歸陷是否為定值?

若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.4-兀

3

【分析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征求得其高，再利用其體積公式即可得解.

【詳解】因為圓錐的母線長為/=3,底面半徑為廠=2，

則圓錐的高為〃=g=石，

所以圓錐的體積為工m匆=l_5x7=也.

333

故答案為：運(yùn).

3

2.3

【分析】根據(jù)直線平行列式求得Q_3或〃-，，并代入檢驗.

【詳解】由題意可得：_40_1)=_6,解得。=3或°=-2，

若0=3,則兩直線方程分別為3x-3y-l=0、2x-2y+l=0,

兩直線平行，符合題意；

若。=-2，則兩直線方程分另I為2x+3y+l=0、2x+3y+l=0,

兩直線重合，不符合題意；

綜上所述：fl_3.

故答案為：3.

3.8

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得'五=』2,解之即可.

yfm2

【詳解】由題意焦點在X軸上的橢圓片+片=1離心率為正,

m42

答案第11頁，共22頁

可得Y記解得機(jī)=8.

故答案為：8.

4,2a

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得1向〃/+2〃)-/(%).

2。h

【詳解】因為/(%)=〃，則

盛山―一盛金”"缶心.

故答案為:

5.叵

7

【分析】法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.

法二：在正四棱柱4gCD-43￡。］下方補(bǔ)一個完全相同的正四棱柱/BCD-lB'C'。'，連

接所以/"D耳或其補(bǔ)角為異面直線NA與。耳所成的角，利用余弦定理求解?

【詳解】

法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則/(G,o,o),A(0,0,1),0(0,0,0),四

答案第21頁，共22頁

則函=卜百,0,1),西=(每百,1),

AD'DB、-2

cosV7

所以7，

所以，異面直線/〃與°片所成角的余弦值為立.

7

法二：如圖，在正四棱柱/8CZ)_481Goi下方補(bǔ)一個完全相同的正四棱柱

ABCD-A'B'C'D'，

連接

因為AA7/DD、,AA'=DD』所以四邊形AA'DDl為平行四邊形，

則A'DHADl-所以4或其補(bǔ)角為異面直線AD｛與所成的角,

7_4+7-7_V7

在A四中,A，D2+BQ?-4B；

"cosZA'DBX=

2ADBQ2X2XV77

所以，異面直線,2與所成角的余弦值為

故答案為：立.

7

答案第31頁，共22頁

3

6.-/0.6

5

【分析】根據(jù)雙曲線方程得出兩條漸近線方程，由兩方程斜率與傾斜角的關(guān)系結(jié)合兩直線

夾角范圍得出夾角，根據(jù)兩角差的正切公式得出夾角的正切值，即可由同角三角函數(shù)關(guān)系

結(jié)合范圍得出答案.

2=1h—QX

【詳解】由雙曲線方程Y—匕句可得，,且焦點在軸上,

4

2k

則雙曲線--匕=1的兩條漸近線為〉=±-x=±2x,

4a

作大致圖形如下,

乙FqB=2>1,則“。呂>-,

兀兀

22

兩直線的夾角范圍為0,-

2

/.NBOC為兩條漸近線的夾角,

tanZF2OC-tanZF2OB_-2-2_4

tanZ.BOC=tan(ZT^OC-ZF2OB^=

1+tanZF2OCtanZF2OB1+2x(-2)3

答案第41頁，共22頁

tanZ5°C=S^I=i，解得c°sZ。。總,

則由＜

sin2ZBOC+cos2NBOC=1

兀

???ZBOC<~,

2

3

/.cosZBOC=—

5

故答案為：|

7v

【分析】對/(x)求導(dǎo)，再代入x=3,從而求得((3)=1,進(jìn)而得到〃x)=2尤-：d+lnx,

由此計算可得了(I).

741

【詳解】因為/(x)=2r(3)-x-*x2+lnx,所以尸(x)=2/13)--x+—,

99x

則((3)=2/(3)-^+；,解得：/'(3)=1,

所以/(x)=2x-^x2+lnx,則/(l)=2--1+lnl=^.

故答案為：

8.(-oo,-2)

【分析】將原問題轉(zhuǎn)換為直線所過的定點在圓內(nèi)或者圓上，由此列出不等式即可求解?

答案第51頁，共22頁

【詳解】由題意可知直線去+尸左+1=0經(jīng)過的定點為。如

則定點在圓內(nèi)或者圓上的時候滿足題意，

所以仔+（-1）2+加一2+m+44。=加"一2,

又X?+J?+加x+2〉+加+4=0表示圓?

所以加2+4_4加+4）〉0，解得加＞6或加＜-2;

綜上，7W€（-??,-2）?

故答案為：（_oo,_2[

9.3

【分析】由題意可知點億3）在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義

求歸尸1+1尸q的最小值,

【詳解】設(shè)拋物線的方程為丁=2阿2〉0），

因為"8=6,M0=2,所以點,（2,3）在拋物線上，所以9=切，故？，

4

o

所以拋物線的方程為V=；x,

所以拋物線的焦點飛,0）,準(zhǔn)線方程為x=-（,

在方程中取x=￡可得/=哈＞4,所以點。在拋物線內(nèi)，

過點P作尸尸，與準(zhǔn)線垂直，p為垂足，點。作00與準(zhǔn)線垂直，。為垂足，

答案第61頁，共22頁

則歸尸|=|尸尸1,所以忸同+忸@=忸尸[+忸0閆02[="+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂

88

直時等號成立，

所以|PF|+|P9的最小值為3.

故答案為：3.

10.—

11

【分析】根據(jù)題意，相交時分為：在側(cè)面內(nèi)相交，兩個相鄰面相交于一個點，相隔一個面

中相交于對角線延長線上，分別分析幾種情況下對角線共面的個數(shù)，再利用古典概型的概

率計算公式，計算結(jié)果即可.

【詳解】由題意知，若兩個對角線在同一個側(cè)面，因為有6個側(cè)面，所以共有6組，

若相交且交點在正六棱柱的頂點上，因為有I2個頂點，所以共有12組，

若相交且交點在對角線延長線上時，如圖所示，連接AD,C'D,E'D,AB',AF',

先考慮下底面，根據(jù)正八邊形性質(zhì)可知EP///O//8C,所以E'F'//AD//B'C，

答案第71頁，共22頁

且E"'=8'C'w4D，故40。力共面，且ADEN'共面，

故/尸，，￡(￡■，相交，且C7)，/夕相交，故共面有2組，

則正六邊形對角線AD所對應(yīng)的有2組共面的面對角線，

同理可知正六邊形對角線BE，0尸所對的分別有兩組，共6組，

故對于上底面對角線4°，B'E'，C尸同樣各有兩組，共6組，

若對面平行，一組對面中有2組對角線平行，三組對面共有6組，

所以共面的概率是6+12：12+6=6_.

C；211

故答案為：--

11

【分析】轉(zhuǎn)化為了'""0,或/'(x)WO,asinx'cosx,當(dāng)、(/，兀］時即求

a＞［---］，當(dāng)xe［兀,乂］時即求aW(---］-

Itanx人axI6)

【詳解】f\x)=cosx-tzsinx，

函數(shù)/0)=5垣苫+℃05X在［手5_1上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),

所以/(x)Z0,或r(x)W0，

當(dāng)x=7t時，/，㈤,=_fr(&)＞不符合題意；

答案第81頁，共22頁

由廣⑴40時，得QsinxNcosx，

當(dāng)xe停用)時,sin”。，所以此熹在xe存，小恒成立，

即求此(一^-］，因為、.女,兀］，所以tanx］_G,0),也、

(tanxjgxI3)tanx('3,

所以.“蟲;

3

當(dāng)4吟)時,一＜。,所以公高在《用上恒成立,

即求日熹L因為.兀曰,所以

即找百；

綜上所述，一近waw3

3

故答案為：?

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是由廣(X)20,或r(x)40,轉(zhuǎn)化為求最值的問題?

12.男

2

【分析】設(shè)|及名|=斗|〃與|=弓，先利用余弦定理得4b2=3q弓，然后根據(jù)

MO=1(^+ME),兩邊同時平方得4/+牝=猙1,再結(jié)合劭~=3注可得答案.

答案第91頁，共22頁

【詳解】不妨設(shè)點"在第一象限，設(shè)I峭1=后崢1=2,又/甲組=^,

所以鹵用2=1孫『+|"『一2|町口.|cosgl=d+r；-2陋（一（

=r\+r2+44=（。一弓）2+34G=4Q2+3陋=4c2，

所以4b2=3弓弓，

因為°為百工的中點，所以初=；（詆+麗），BP2Md=MFl+MF2）

――----"2/----------->\2-----?2-----------------*1

所以4Mo=\MFX+MF^=MF[+2MFCMF2+MF2

=rrr+r28"

\~\2i=（彳-G『+04=4Q2+r\r2=

3

所以4Q2+±〃=%1,即4/=8",即"=2加=2。2—2〃

33

所以3/=2C2,則￡=逅.

a2

故答案為：圾

13.A

【分析】由題意求得拋物線準(zhǔn)線方程以及點尸縱坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線定義即可求解.

答案第1。1頁，共22頁

【詳解】由題意拋物線d=8y的準(zhǔn)線為尸-2,點P的縱坐標(biāo)為由=￡=2，

P88

所以點尸到焦點的距離即點P到拋物線準(zhǔn)線的距離為力+2=4.

故選：A.

14.A

【分析】由/G)在處有極小值可知，r(i)=o解出。的值，并根據(jù)單調(diào)性驗證.

【詳解】因為〃x)=x3-2a/+。21+1'

所以f(x)=3x2-4ax+a29

因為函數(shù)/(x)=Y—2Q/+Q2X+I在％=i處有極小值，

所以/'(1)=3-4Q+/=。，解得a=l或。=3,

當(dāng)a=1時，f(x)=3x2-4%+1=(3x-1)(x-1)?

當(dāng)時，X/或X>1,當(dāng)/'3<。時，|<X<1,

33

〃x)在x=l處取到極小值，符合題意；

當(dāng)a=3時，^^)=3%2-12x+9=3(x-l)(x-3),

當(dāng)/時，x<l或x>3,當(dāng)/，(x)<0時，l<x<3，

/(同在》=1處取到極大值，不符合題意：

綜上：。的值為L

故選：A.

15.A

【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)異面直線定義和線面平行判斷即可.

答案第111頁，共22頁

【詳解】已知點M■為正方體4BCD-44GD內(nèi)（不包含表面）的一點，過點初的平面為

a，

對于名,在平面44Q。與平面班℃之間與平面與平面平行的平面均與

和坊G平行，如平面。

,當(dāng)點M■為正方體488-48［。1°內(nèi)（不包含表面）的一點，滿足要求的平面有且只有

一個，故命題/是真命題；

對于%，點”在正方體48CD_44GD］內(nèi)部（不包含表面），假設(shè)過點M至少可以作兩

條直線與N4和&G所在的直線都相交，則由平面的基本性質(zhì)可得N4，BQM在同一平

面內(nèi)，與N4和月G異面矛盾，所以假設(shè)錯誤，所以命題％是假命題―

故選：A.

16.A

【分析】根據(jù)直線所過定點和4知癥.礪=0，由此得欣軌跡是以G（2,2）為圓心，

右為半徑的圓（不含點（3,3）），由垂徑定理和圓上點到定點距離最小值的求法求得

答案第121頁，共22頁

\CD\,\MD\＞結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得疝.標(biāo)最小值?

【詳解】由圓的方程知：圓心半徑r=2;

由4:x+叼-3zn-l=0得:(x-l)+w(y-3)=0,〃恒過定點E(l,3)；

由4：mx-y-3"?+l=0得：加(x-3)+(l-y)=0，.工恒過定點尸(3,1)；

由直線方程可知：：.MELMF,即加.赤=0，

設(shè)”(x,y)，貝I庇=0_x,3_y)，赤=(3-尤,1一回，

.?.邁?礪=(l-x)(3-x)+(3-y)(l-y)=(P整理得：(無一21+(y_2『=2，

即點舊的軌跡是以G(2,2)為圓心，也為半徑的圓，又直線4斜率存在，

點軌跡不包含(3,3)；

若點。為弦48的中點，則疝+施=2祝5，位置關(guān)系如圖：

，M

連接C",由14^=26知：卬==1，

貝1JP^LT"CLTcqTCG卜/一l=J（2+l1+（2+l）2一后一1=2收7,

答案第131頁，共22頁

------??/?\/■-?\?2/??\??*

:.MA.MB=（MD+DA）（MD+DB）=MD+（DA+DB）.MD+DA?DB

=jWD2-3＞（2V2-l）2-3=6-4V2（當(dāng)'在°』）處取等號），

^MA-MB的最小值為6-4VL

故選：A.

17-（%兀

【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，得到y(tǒng)=〃2,待定系數(shù)法求出解析式，從而計算出車輪轉(zhuǎn)動前

2秒的平均角速度；

（2）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的意義得到答案.

【詳解】（1）設(shè)車輪旋轉(zhuǎn)的角度為歹，車輛啟動后車輪轉(zhuǎn)動的時間為/秒，

則y=kt29

由題意得，=1時，y=2兀，

即27tL2k9解得無=2兀，

故＞=2位2,車輪轉(zhuǎn)動前2秒的平均角速度為2兀-X2=4兀,

2-0

（2）y=2jtt2＞y'=47tr,

由導(dǎo)函數(shù)的意義可得車輪在轉(zhuǎn)動開始后第3秒的瞬時角速度為4兀什12兀?

答案第141頁，共22頁

18⑴?百

1O-v1farcsin——

3

呼

【分析】(1)利用法向量方法求線面角；

(2)利用法向量方法求點面距.

【詳解】(1)平面NBC,N8,NCu平面N8C,

:.AA^AB,AAiVAC且已知皿c=~則

2

故以A為坐標(biāo)原點，分別以/5,4C,441所在直線為'J/軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

于是,8(1,0,0),C(0,1,0),4(0,0,1),耳(1,0,1),，(0,1,?，

則BBX=(0,0,1),45=(l,0,-l),5C=(-1,1,0)-

設(shè)平面48c的一個法向量為］=(x,y,z)，

n-Ali=x-z=0工=1y=z=l

則%?任r+乃。'令,則

答案第151頁，共22頁

所以3=（1,1,1），設(shè)直線AB］與平面4BC所成的角為。，

?—.I胸?司173

川1r網(wǎng)桐1x63

所以直線與平面48c所成角為arcsm迫.

3

（2）由（1）知平面48c的一個法向量為"=（1』」），且函=（0,0,g

H&BC?_1

則點到平面的距離*」c""L3

\n\66

故所求點，到平面48c的距離為3.

6

J“2

19.⑴上一匕之

46

⑵（一6,+8）

【分析】（1）由共漸近線方程設(shè)法將點代入直接求解；

（2）向量坐標(biāo)化，由點在雙曲線上化簡整理為二次函數(shù)求得范圍.

將代入可得，，g"解得一

「22

a的標(biāo)準(zhǔn)方程為上一匕=i.

46

答案第161頁，共22頁

(2)設(shè)P(x，y),則一11

1

丁點尸在第一象限，；.x>2,且片(_&U,o”F2(Vio,O)

222

PF]■PF2=(-V10-x,-y)■(V10-x,-y)=x-10+j=^-x-16e(-6,+<?),

圖.而的取值范圍是(-6,+oo).

20.^)w=-b--b3,定義域為(°，3)

26

⑵6

【分析】（1）由勾股定理可得出〃2=9.〃，即可得出少關(guān)于/）的函數(shù)，結(jié)合實際情況寫

出該函數(shù)的定義域；

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)少=36-」/的單調(diào)性，即可得出該函數(shù)取最大值時對應(yīng)的“的值.

26

【詳解】（1）由勾股定理可得62+/=9，則〃2=9-/，

所以，W=-bh2^-b（9-b2）=-b--b3,其中即該函數(shù)的定義域為（0，3）.

（2）對函數(shù)少=36-」/求導(dǎo)得少，=3一』〃=上也，由心=°可得6=6,列表如下：

26222

b（。,、

-

n+0

增極大值減

所以，當(dāng)6=當(dāng)時，〃取得極大值，亦即最大值，且匕1a*=6

答案第171頁，共22頁

2

21.⑴工2-幺=1

2

⑵巾=4

⑶1PM卜|印為定值，^-\PM\-\PN\=2

【分析】（1）由離心率為6，可得b=6a,再由點7（血，8）在雙曲線。上可得出“的

值，由此可得出雙曲線0的方程；

（2）求出兩條切線的方程，進(jìn)而求出兩切線與雙曲線C的交點坐標(biāo)，結(jié)合兩點間的距離公

式可求得|肱\^；

（3）線斜率存在時，設(shè)出其方程并與雙曲線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、三角形相似可得

1PM為定值，驗證切線斜率不存在的情況作答.

【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線。的半焦距為0,依題意，￡=V3,即有c=則

a

b=\jc2—a2=y[2a'

因為點T（亞，⑹在雙曲線。上，則2-三=1,可得"I則6=伍=四

a2a

c2

因此，雙曲線。的方程為/一匕=1.

2

（2）解：當(dāng)切線的斜率不存在時，切線的方程為》=血，此時，圓心。到直線.逝的距

答案第181頁，共22頁

離為行，合乎題意,

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為了一挺=后卜一血)，即米-/-而+收=0,

|V2-V2/c|「卜=0y=