浙教版七年級數(shù)學(xué)下冊專題17分式方程及分式方程的應(yīng)用壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題17分式方程及分式方程的應(yīng)用壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一分式方程的定義】 1【考點二解分式方程】 2【考點三根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)的值】 5【考點四分式方程無解問題求參數(shù)的值】 7【考點五列分式方程】 9【考點六分式方程的實際應(yīng)用】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一分式方程的定義】例題：（2023秋·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列方程中不是分式方程的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）下列方程：①；②（為常數(shù)，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點二解分式方程】例題：（2023秋·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）解下列分式方程：(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）解下列分式方程：(1)(2)2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）解方程(1)(2)【考點三根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)的值】例題：（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的分式方程的解為負數(shù)，則的取值范圍是______________．2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解不超過6，且關(guān)于的不等式組有且僅有四個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)的和________．【考點四分式方程無解問題求參數(shù)的值】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的方程無解，則__________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的方程，無解，則的值為_______________2．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程（1）若此方程無解，則m的值為___；（2）若此方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍為___．【考點五列分式方程】例題：（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）山西省寧武縣被命名為“中國高原莜麥之鄉(xiāng)”．莜麥?zhǔn)鞘澜绻J(rèn)的營養(yǎng)價值很高的糧種之一，對預(yù)防和治療高血壓、糖尿病等多種疾病，促進新陳代謝有明顯功效．某莜麥標(biāo)準(zhǔn)化種植基地在改良前種植總產(chǎn)量可以達到，經(jīng)過改良后，平均每畝產(chǎn)量是原來的1．5倍．若改良后種植總產(chǎn)量不變，但種植畝數(shù)減少25畝，求改良前平均每畝的產(chǎn)量．若設(shè)改良前平均每畝的產(chǎn)量為，則可列方程為__________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）勞動教育是全面發(fā)展教育體系的重要組成部分，是大中小學(xué)必須開展的教育活動．某校積極響應(yīng)，開設(shè)校園農(nóng)場．七年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，八年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，七年級學(xué)生人數(shù)是八年級學(xué)生人數(shù)的1.5倍．求七、八年級各有多少名學(xué)生．若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則可列分式方程為_______．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）有一項工程，甲單獨做正好按期完成，乙單獨做則要超期3天才能完成．現(xiàn)甲、乙合做2天，余下由乙單獨做正好按期完成，問甲單獨做需要幾天完成？若設(shè)甲單獨做需要天完成，則根據(jù)題意可列方程____________．【考點六分式方程的實際應(yīng)用】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）某社區(qū)計劃對面積為2000平方米的區(qū)域進行綠化招標(biāo)，甲、乙兩個工程隊中標(biāo)，全部綠化工作由甲、乙兩個工程隊來完成，已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化面積的2倍，并且在獨立完成面積為400平方米區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天．(1)求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積是多少平方米；(2)若甲隊每天綠化費用是0.6萬元，乙隊每天綠化費用為0.2萬元，如果施工總費用不超過11萬元，那么乙工程隊至少需施工多少天？【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）無錫地鐵號線一期工程全長公里，設(shè)個站點，起自漁父島站，串聯(lián)蠡湖未來城、無錫主城區(qū)、南長街、坊前、梅村等地．某站點由兩個工程隊一起建設(shè)了個月，剩下的部分由隊單獨建設(shè)，還需個月．(1)若隊單獨建設(shè)需要個月，隊單獨建設(shè)需要多少時間？(2)若隊單獨建設(shè)的時間為個月（），試分析說明兩隊誰的施工速度更快．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）某公司需將一批材料運往工廠，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，甲型貨車每輛裝載量是乙型貨車的倍，若甲、乙兩種型號貨車各裝載1500箱材料，甲型貨車比乙型貨車少用40輛．(1)甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱材料？(2)經(jīng)初步估算，公司要運往工廠的這批材料不超過1110箱．計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共60輛，且乙型貨車的數(shù)量不大于甲型貨車數(shù)量的2倍，該公司一次性將這批材料運往工廠共有哪幾種租車方案？【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知方程：①，②，③，④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解分式方程，去分母后得到（）A． B．C． D．3．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于的無實數(shù)解，則的值是（）A．5 B． C．1 D．4．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)重要著作之一，為元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”．大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株橡？（椽，裝于屋項以支持屋頂蓋材料的木桿）設(shè)這批椽有x株，則符合題意的方程是（）A． B． C． D．5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且二、填空題6．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）方程的解是________________．7．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）若分式方程有增根，則的值是________．8．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）某店用元購進一批商品，很快售完，該店又用了元購進第二批同種商品，第二批的價格比第一批多元/件，數(shù)量比第一批多．設(shè)第一批購進的數(shù)量為件，則可列分式方程為___________．9．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解是負數(shù)，則m的取值范圍是_______．10．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）定義一種新運算，當(dāng)時，．若，則______．三、解答題11．（2023春·江蘇·八年級期中）解方程：(1)；(2)．12．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）解分式方程：(1)(2)13．（2023春·江蘇南京·八年級南京外國語學(xué)校?？计谥校┮阎P(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)時，求方程的解；(2)若關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是______．14．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于的分式方程(1)若分式方程的根是，求的值(2)若分式方程有增根，求的值(3)若分式方程有無解，求的值15．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）重慶市萬州區(qū)為創(chuàng)建文明城市，打造美麗萬州，某街道計劃將一條長米的道路改造成智慧公路．(1)通過工程招標(biāo)，該工程由甲隊單獨施工，計劃工期天，施工米后，為了按期完工，甲隊改進了技術(shù)，施工效率提高了，剛好按時完工，求技術(shù)改造前甲隊每天施工多少米？(2)在某次新的改造任務(wù)中，乙、丙兩隊決定合作施工，通過工程招標(biāo)，乙隊獲得了米的改造工程，丙隊獲得了米的改造工程，乙、丙兩個工程隊同時開始施工，施工初期，乙工程隊每天比丙工程隊多施工米，乙工程隊在完成米改造任務(wù)后，通過技術(shù)改進使工作效率比原來提高了，乙、丙兩隊同時完工，求丙工程隊平均每天施工的米數(shù)．16．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┫乳喿x下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)觀察上述方程的解，猜想關(guān)于的方程的解是________；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于的方程的解是________；(3)由（2）可知，在解方程：時，可以變形轉(zhuǎn)化為方程的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．專題17分式方程及分式方程的應(yīng)用壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一分式方程的定義】 1【考點二解分式方程】 2【考點三根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)的值】 5【考點四分式方程無解問題求參數(shù)的值】 7【考點五列分式方程】 9【考點六分式方程的實際應(yīng)用】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點一分式方程的定義】例題：（2023秋·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷即可．【詳解】解：A，B，D選項中的方程，分母中不含未知數(shù)，所以不是分式方程，故不符合題意；C選項方程中的分母中含未知數(shù)，是分式方程，故符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列方程中不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的概念逐項判斷即可找出正確答案．【詳解】解：分式方程需同時滿足3個條件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，觀察可知，選項ABD均滿足上述三個條件，故都是分式方程，選項C分母中沒有未知量，不屬于分式方程，故答案為：C．【點睛】本題考查分式方程的概念，熟練掌握分式方程的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）下列方程：①；②（為常數(shù)，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)分式方程的定義對各小題進行逐一分析即可．【詳解】①分母中含未知數(shù)，是分式方程；②（為常數(shù)，且）分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；③分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；④分母中含未知數(shù)，是分式方程；⑤分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；綜上，①④是分式方程，共有2個，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的定義，判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)，注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母．【考點二解分式方程】例題：（2023秋·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）解下列分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)解分式方程的基本步驟求解即可．(2)根據(jù)解分式方程的基本步驟求解即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘，得化簡，得解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解故是原方程的解．（2）方程兩邊同乘以，得：，解得：．檢驗：當(dāng)時，，故是分式方程的解．【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）解下列分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分式方程兩邊同時乘以去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程兩邊同時乘以去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，去分母，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，經(jīng)檢驗是原方程的解；（2）解：，去分母，得，去括號，得，合并同類項，得，即，經(jīng)檢驗是原方程的解．【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）解方程(1)(2)【答案】(1)無解(2)【分析】（1）先去分母，把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解；（2）先去分母，把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．【詳解】（1）解：去分母得：解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴原方程無解；（2）解：∴去分母得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴原方程的解為．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟，并注意驗根是解題的關(guān)鍵．【考點三根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)的值】例題：（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】先化分式方程為整式方程得到，求得方程的解，根據(jù)解的屬性，方程的增根兩個角度去求解即可．【詳解】∵，去分母，得，解得．∵分式方程的解為正數(shù)，且方程的增根為，∴，解得且，故選B．【點睛】本題考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范圍，熟練根據(jù)解的屬性，增根的意義建立不等式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的分式方程的解為負數(shù)，則的取值范圍是______________．【答案】且【分析】直接解分式方程，然后根據(jù)分式方程的解為負數(shù)，結(jié)合求出答案．【詳解】解：，去分母得：，解得：，∵分式方程的解是負數(shù)，∴且，即且，解得：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解不超過6，且關(guān)于的不等式組有且僅有四個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)的和________．【答案】【分析】先解分式方程，求得分式方程解，再由分式方程的解不超過6，得且，解得：且、，然后解不等式組得，根據(jù)不等式組有四個整數(shù)解，得，解得：，所以且，又因為m為整數(shù)，則，，即可求解．【詳解】解：解方程，得，∵的解不超過6，∴且，解得：且、，解不等式組，得，∵不等式組有四個整數(shù)解，∴，解得：，∴且，∵m為整數(shù)，∴，，∴符合條件的整數(shù)的和為：，故答案為：．【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況和不等式組的整數(shù)解求字母系數(shù)值，熟練掌握解分式方程和不等式組是解題的關(guān)鍵．【考點四分式方程無解問題求參數(shù)的值】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的方程無解，則__________．【答案】或【分析】首先方程兩邊都乘，整理可得方程：，然后分析的情況，再利用關(guān)于的方程無解，得，繼而求得答案．【詳解】解：兩邊都乘以，得，整理，得，當(dāng)=0時，即時，方程無解；當(dāng)≠0時，，∵關(guān)于的方程無解，∴(+1)(-1)=0，解得：=1或=-1，當(dāng)=-1時，，解得：；當(dāng)=1時，，此時無解；∴或．故答案為：或．【點睛】本題考查分式方程的解，分式方程無解有兩種情況：①相應(yīng)的整式方程無解;②求出的整式方程的解是原分式方程的增根，也就是使原分式方程的分母為0的根．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的方程，無解，則的值為_______________【答案】或或．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程求得，由分式方程無解求出m的值即可．【詳解】關(guān)于的方程無解或或或解得：或或故答案為：或或．【點睛】本題考查了分式方程無解的情況，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程（1）若此方程無解，則m的值為___；（2）若此方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍為___．【答案】

-6

m＜－2且m≠－6【分析】（1）先將分式方程化為整式方程，再求．（2）先表示分式方程的解，再求范圍．【詳解】（1）原方程兩邊同乘得：．．方程無解，，．．．故答案為：．（2）由（1）知：．．方程的解為正數(shù)．．．，．．且．故答案為：且．【點睛】本題考查分式方程的解，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是求解本題的關(guān)鍵．【考點五列分式方程】例題：（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）山西省寧武縣被命名為“中國高原莜麥之鄉(xiāng)”．莜麥?zhǔn)鞘澜绻J(rèn)的營養(yǎng)價值很高的糧種之一，對預(yù)防和治療高血壓、糖尿病等多種疾病，促進新陳代謝有明顯功效．某莜麥標(biāo)準(zhǔn)化種植基地在改良前種植總產(chǎn)量可以達到，經(jīng)過改良后，平均每畝產(chǎn)量是原來的1．5倍．若改良后種植總產(chǎn)量不變，但種植畝數(shù)減少25畝，求改良前平均每畝的產(chǎn)量．若設(shè)改良前平均每畝的產(chǎn)量為，則可列方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)改良后種植總產(chǎn)量不變，但種植畝數(shù)減少25畝，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)改良前平均每畝的產(chǎn)量為，則，改良后平均每畝的產(chǎn)量為，由題意，得：；故答案為：．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）勞動教育是全面發(fā)展教育體系的重要組成部分，是大中小學(xué)必須開展的教育活動．某校積極響應(yīng)，開設(shè)校園農(nóng)場．七年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，八年級學(xué)生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，七年級學(xué)生人數(shù)是八年級學(xué)生人數(shù)的1.5倍．求七、八年級各有多少名學(xué)生．若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則可列分式方程為_______．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)，得出七年級有1.5x名學(xué)生，再表示出每個年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量，根據(jù)八年級比七年級人均多建立方程．【詳解】解：若設(shè)八年級有x名學(xué)生，則七年級有1.5x名學(xué)生，八年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，七年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，已知八年級學(xué)生比七年級學(xué)生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，則有．故答案為：．【點睛】此題考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是理清題目中的數(shù)量關(guān)系．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）有一項工程，甲單獨做正好按期完成，乙單獨做則要超期3天才能完成．現(xiàn)甲、乙合做2天，余下由乙單獨做正好按期完成，問甲單獨做需要幾天完成？若設(shè)甲單獨做需要天完成，則根據(jù)題意可列方程____________．【答案】【分析】設(shè)甲單獨做需x天，則乙單獨做需天，再根據(jù)甲、乙合做2天，余下由乙單獨做正好按期完成列出方程即可．【詳解】解：設(shè)甲單獨做需x天，則乙單獨做需天，由題意得：，故答案為：【點睛】此題考查了由實際問題抽象出分式方程找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題用到的關(guān)系為：工作時間工作總量工作效率，當(dāng)題中沒有一些必須的量時，為了簡便，應(yīng)設(shè)其為1．【考點六分式方程的實際應(yīng)用】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）某社區(qū)計劃對面積為2000平方米的區(qū)域進行綠化招標(biāo)，甲、乙兩個工程隊中標(biāo)，全部綠化工作由甲、乙兩個工程隊來完成，已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化面積的2倍，并且在獨立完成面積為400平方米區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天．(1)求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積是多少平方米；(2)若甲隊每天綠化費用是0.6萬元，乙隊每天綠化費用為0.2萬元，如果施工總費用不超過11萬元，那么乙工程隊至少需施工多少天？【答案】(1)乙工程隊每天能完成綠化的面積為，甲工程隊每天能完成綠化的面積為(2)乙工程隊至少需施工10天【分析】（1）設(shè)乙工程隊每天能完成綠化的面積為，則甲工程隊每天能完成綠化的面積為，根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率結(jié)合在獨立完成面積為區(qū)域的綠化時甲隊比乙隊少用4天，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)乙工程隊需施工y天，則甲工程隊需施工天，根據(jù)總費用=甲隊每天所需費用×甲隊工作時間+乙隊每天所需費用×乙隊工作時間結(jié)合施工總費用不超過11萬元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）（1）解：設(shè)乙工程隊每天能完成綠化的面積為，則甲工程隊每天能完成綠化的面積為，根據(jù)題意得：，解得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴答：乙工程隊每天能完成綠化的面積為，甲工程隊每天能完成綠化的面積為．（2）解：設(shè)乙工程隊需施工天，則甲工程隊需施工天，根據(jù)題意得：，解得：．答：乙工程隊至少需施工10天．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）無錫地鐵號線一期工程全長公里，設(shè)個站點，起自漁父島站，串聯(lián)蠡湖未來城、無錫主城區(qū)、南長街、坊前、梅村等地．某站點由兩個工程隊一起建設(shè)了個月，剩下的部分由隊單獨建設(shè)，還需個月．(1)若隊單獨建設(shè)需要個月，隊單獨建設(shè)需要多少時間？(2)若隊單獨建設(shè)的時間為個月（），試分析說明兩隊誰的施工速度更快．【答案】(1)(2)隊的施工速度更快【分析】（1）根據(jù)題意找出等量關(guān)系列方程即可得到方程；（2）根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系列方程解方程，再利用作差法即可得到正確結(jié)果．【詳解】（1）解：隊單獨建設(shè)需要個月，隊單獨建設(shè)需要個月，根據(jù)題意可得方程：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解，∴原分式方程的解為，答：若隊單獨建設(shè)需要個月，隊單獨建設(shè)需要個月．（2）解：設(shè)隊單獨建設(shè)需要個月，根據(jù)題意得：，解得：，∴，∵，∴，即，∴隊的施工速度更快．【點睛】本題考查了分式方程應(yīng)用，分式方程的運算法則，作差法比較大小等相關(guān)知識點，審清題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）某公司需將一批材料運往工廠，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，甲型貨車每輛裝載量是乙型貨車的倍，若甲、乙兩種型號貨車各裝載1500箱材料，甲型貨車比乙型貨車少用40輛．(1)甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱材料？(2)經(jīng)初步估算，公司要運往工廠的這批材料不超過1110箱．計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共60輛，且乙型貨車的數(shù)量不大于甲型貨車數(shù)量的2倍，該公司一次性將這批材料運往工廠共有哪幾種租車方案？【答案】(1)甲型號貨車每輛可裝載25箱材料，乙型號貨車每輛可裝載15箱材料(2)該公司共有2種租車方案，方案1：租用20輛甲型號貨車，40輛乙型號貨車；方案2：租用21輛甲型號貨車，39輛乙型號貨車【分析】（1）設(shè)乙型貨車每輛可裝載x箱材料，甲型貨車每輛可裝載箱材料，得方程，即可得答案；（2）設(shè)租用m輛甲型貨車，則租用輛乙型貨車，得不等式組，即可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)乙型貨車每輛可裝載x箱材料，甲型貨車每輛可裝載箱材料，依題意得：，解得：，檢驗：把代入，∴是原方程的解，∴甲型號貨車每輛可裝載25箱材料，答：甲型號貨車每輛可裝載25箱材料，乙型號貨車每輛可裝載15箱材料．（2）設(shè)租用m輛甲型貨車，則租用輛乙型貨車．依題意得：，解得：．又∵m為正整數(shù)，∴m可以取20，21，∴該公司共有2種租車方案，方案1：租用20輛甲型號貨車，40輛乙型號貨車；方案2：租用21輛甲型號貨車，39輛乙型號貨車．【點睛】本題考查了分式方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知方程：①，②，③，④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：①，是分式方程；②，是整式方程；③，是分式方程；④，是整式方程，則分式方程的個數(shù)是2．故選：C．【點睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解分式方程，去分母后得到（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分式方程左右兩邊同乘去分母得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：去分母得：．故選：B．【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于的無實數(shù)解，則的值是（）A．5 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)分式方程無解的條件：去分母后所得整式方程無解，或者解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0，進行求解即可．【詳解】解：方程去分母得：，解得：，當(dāng)時，分母為0，方程無解，即，解得：，若關(guān)于的無實數(shù)解，則的值是，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程無解的條件：去分母后所得整式方程無解，或者解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0，熟練掌握該條件是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)重要著作之一，為元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”．大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株橡？（椽，裝于屋項以支持屋頂蓋材料的木桿）設(shè)這批椽有x株，則符合題意的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用單價=總價÷數(shù)量，可求出一株椽的價錢為文，結(jié)合“少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢”，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解∶這批?的價錢為6210文，這批椽有株，一株椽的價錢為文，又每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】先解分式方程得，然后令，且，計算求解即可．【詳解】解：，兩邊同時乘以得，，去括號得，，移項合并得，，系數(shù)化為1得，，令，且，解得，且，，綜上，，且，故選：C．【點睛】本題考查了解分式方程．解題的關(guān)鍵在于正確的運算并檢驗．二、填空題6．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）方程的解是________________．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：，移項，合并同類項得：，解得：，檢驗：將代入，則是原方程的根．故答案為：．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．7．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）若分式方程有增根，則的值是________．【答案】【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，再由分式方程有增根得到，然后將x的值代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：原式分式方程去分母得：，由分式方程有增根，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的增根，掌握增根的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）某店用元購進一批商品，很快售完，該店又用了元購進第二批同種商品，第二批的價格比第一批多元/件，數(shù)量比第一批多．設(shè)第一批購進的數(shù)量為件，則可列分式方程為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：第一批商品進價第二批商品的進價，然后列出相應(yīng)的分式方程即可．【詳解】第一批購進的數(shù)量為件，則第二批購進的數(shù)量為件，根據(jù)題意得．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出響應(yīng)方程．9．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解是負數(shù)，則m的取值范圍是_______．【答案】且【分析】首先求出關(guān)于的分式方程的解，然后根據(jù)解為負數(shù)，求出的取值范圍即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項得：合并同類項得：，解得：，∵分式方程的解是負數(shù)，，，∴，且，即，解得：且∴且．故答案為：且．【點睛】此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握；解答此題的關(guān)鍵是正確得出分母不為0．10．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）定義一種新運算，當(dāng)時，．若，則______．【答案】4或【分析】根據(jù)題中所給新定義運算可分類進行求解．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)時，則，解得：，經(jīng)檢驗當(dāng)時，，且∴是原方程的解；當(dāng)時，則，解得：，經(jīng)檢驗當(dāng)時，，且∴是原方程的解；故答案為4或．【點睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·江蘇·八年級期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)無解(2)【分析】（1）先約去分母化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解；（2）先約去分母化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以得，得，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴是增根，∴原分式方程無解；（2）方程兩邊同時乘以，得，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴是原方程的解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟，并注意要檢驗是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】（1）方程兩邊都乘以得，，解得，，檢驗后即可得到答案；（2）方程兩邊都乘以得，，解得，檢驗后即可得到答案．【詳解】（1）方程兩邊都乘以得，，解得，，檢驗：當(dāng)時，，∴是原分式方程的解；（2）方程兩邊都乘以得，，解得，，檢驗：當(dāng)時，，∴是增根，∴原分式方程無解．【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·江蘇南京·八年級南京外國語學(xué)校?？计谥校┮阎P(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)時，求方程的解；(2)若關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是______．【答案】(1)(2)且．【分析】（1）將代入分式方程，解分式方程的即可求解；（2）先解分式方程，然后依據(jù)分式方程有解且解為非負數(shù)，建立不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，∴，∴，∴，∴，去分母得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，故方程的