2025屆吉林省吉林市第五十五中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆吉林省吉林市第五十五中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知點(diǎn)在正所確定的平面上，且滿足，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．2．已知,,,是球球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面,,，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3．閱讀如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入時(shí)，輸出的（）A．6 B． C．7 D．4．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.若的面積為，則角=（）A． B．C． D．5．某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：)進(jìn)行檢測(cè)，如下圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為()A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.756．某中學(xué)高一從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2019年第三十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，他們?nèi)〉贸煽?jī)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是84，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．77．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A． B． C． D．8．連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上與反面向上各一次的概率是（

）A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)m，n滿足不等式組則關(guān)于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的兩根之和的最大值和最小值分別是()A．7，－4 B．8，－8C．4，－7 D．6，－610．已知等差數(shù)列的公差d＞0，則下列四個(gè)命題：①數(shù)列是遞增數(shù)列；②數(shù)列是遞增數(shù)列；③數(shù)列是遞增數(shù)列；④數(shù)列是遞增數(shù)列；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在三棱錐中，它的每個(gè)面都是全等的正三角形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，分別記與，所成角為，，則的取值范圍為_(kāi)_________．12．在中，給出如下命題:①是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿足，則是的垂心；②是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)一定過(guò)的重心；③是內(nèi)一定點(diǎn)，且，則；④若且，則為等邊三角形，其中正確的命題為_(kāi)____（將所有正確命題的序號(hào)都填上）13．在上，滿足的的取值范圍是______.14．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)______.15．把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，則所得的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為_(kāi)_______16．設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．記公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知=2，是與的等比中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．18．某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如表所示．組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組5第2組①第3組30②第4組20第5組10（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試，求：第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率．19．設(shè)是一個(gè)公比為q的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求q；（2）若數(shù)列前4項(xiàng)的和，令（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．從含有兩件正品和一件次品的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求：（1）一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間．（2）取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率21．已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，（1）求證：；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)向量滿足的條件確定出P點(diǎn)的位置，再根據(jù)三角形有相同的底邊，確定高的比即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即點(diǎn)在邊上，且，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到距離的，故的面積與的面積之比為.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，三角形的面積，屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)截面法，作出球心O與外接圓圓心所在截面，利用平行四邊形和勾股定理可求得球半徑，從而得到結(jié)果.【詳解】如圖，的外接圓圓心E為BC的中點(diǎn)，設(shè)球心為O，連接OE，OP，OA，D為PA的中點(diǎn)，連接OD.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，且平面，則//，由為等腰三角形可得，又，所以//，則四邊形ODAE是矩形，所以=，而，中，根據(jù)勾股定理可得，所以該球的表面積為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積問(wèn)題，幾何體的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題，關(guān)鍵是球心位置的確定，必要時(shí)需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.3、D【解析】

根據(jù)程序框圖，依次運(yùn)行程序即可得出輸出值.【詳解】輸入時(shí)，，，，，，，輸出故選：D【點(diǎn)睛】此題考查程序框圖，關(guān)鍵在于讀懂框圖，根據(jù)結(jié)構(gòu)依次運(yùn)算，求出輸出值，尤其注意判斷框中的條件.4、C【解析】

由三角形面積公式,結(jié)合所給條件式及余弦定理,即可求得角A.【詳解】中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,則由余弦定理可知而由題意可知,代入可得所以化簡(jiǎn)可得因?yàn)樗怨蔬x:C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式的應(yīng)用,余弦定理邊角轉(zhuǎn)化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義即可求出．根據(jù)頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左右兩邊頻率相等，列出等式，求出中位數(shù)即可．【詳解】：根據(jù)頻率分布直方圖，得平均數(shù)為1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71，∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1，0.3+0.08×1＝0.7＞0.1；∴中位數(shù)應(yīng)在20～21內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3+（x﹣20）×0.08＝0.1，解得x＝22.1；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．6、C【解析】

由均值和中位數(shù)定義求解．【詳解】由題意，，由莖葉圖知就是中位數(shù)，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數(shù)，解題關(guān)鍵是讀懂莖葉圖．7、C【解析】

試題分析：從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型8、C【解析】

利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由題意，連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，基本事件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中情況，出現(xiàn)正面向上與反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共2種，所以的概率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中解答中熟練利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】由題意得，方程的兩根之和，畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由，可得，此時(shí)，由，可得，此時(shí)，故選A.10、B【解析】

對(duì)于各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列，計(jì)算第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差，看此差的符號(hào)，再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結(jié)論．【詳解】設(shè)等差數(shù)列，d＞0∵對(duì)于①，n+1﹣n＝d＞0，∴數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．對(duì)于②，數(shù)列，得，，所以不一定是正實(shí)數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，是假命題．對(duì)于③，數(shù)列，得，，不一定是正實(shí)數(shù)，故是假命題．對(duì)于④，數(shù)列，故數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用遞增數(shù)列的定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

作交于，連接，可得是與所成的角根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，作交于，同理可得，根據(jù)，的關(guān)系即可得解.【詳解】解：作交于，連接，因?yàn)槿忮F中，它的每個(gè)面都是全等的正三角形，為正三角形，，，是與所成的角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)．作交于，同理可得，則，∵，∴，得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題.12、①②④．【解析】

①:運(yùn)用已知的式子進(jìn)行合理的變形，可以得到，進(jìn)而得到，再次運(yùn)用等式同樣可以得到,，這樣可以證明出是的垂心；②：運(yùn)用平面向量的減法的運(yùn)算法則、加法的幾何意義，結(jié)合平面向量共線定理，可以證明本命題是真命題；③：運(yùn)用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量共線定理，結(jié)合面積公式，可證明出本結(jié)論是錯(cuò)誤的；④：運(yùn)用平面向量的加法幾何意義和平面向量的數(shù)量積的定義，可以證明出本結(jié)論是正確的.【詳解】①:，同理可得：,，所以本命題是真命題；②:，設(shè)的中點(diǎn)為，所以有，因此動(dòng)點(diǎn)一定過(guò)的重心，故本命題是真命題；③:由，可得設(shè)的中點(diǎn)為，,,故本命題是假命題；④:由可知角的平分線垂直于底邊，故是等腰三角形，由可知：，所以是等邊三角形，故本命題是真命題，因此正確的命題為①②④.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的加法的幾何意義和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合思想.13、【解析】

由，結(jié)合三角函數(shù)線，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以滿足的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)線的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.15、，【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的對(duì)稱中心，得到答案.【詳解】由題意，把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得，再把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，可得，把函數(shù)縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，可得，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對(duì)稱中心的求解，其中解答中熟練三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意將已知中的向量都用為起點(diǎn)來(lái)表示，從而得到32，分別取AB、AC的中點(diǎn)為D、E，可得2，利用平面知識(shí)可得S△AOB與S△AOC及S△BOC與S△ABC的關(guān)系，可得所求.【詳解】∵，∴32，∴2，分別取AB、AC的中點(diǎn)為D、E，∴2，∴S△AOBS△ABFS△ABCS△ABC；S△AOCS△ACFS△ABCS△ABC；S△BOCS△ABC，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減法運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，解答本題的關(guān)鍵是利用向量關(guān)系畫(huà)出助解圖形．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）an=2n（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，可以求出公差，這樣就可以求出求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，用裂項(xiàng)相消法求出求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．【詳解】解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得：d=2（d≠0），∴an=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，∴=．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式．重點(diǎn)考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和．18、（1）人，，直方圖見(jiàn)解析；（2）人、人、人；（3）.【解析】

（1）由頻率分布直方圖能求出第組的頻數(shù)，第組的頻率，從而完成頻率分布直方圖．（2）根據(jù)第組的頻數(shù)計(jì)算頻率，利用各層的比例，能求出第組分別抽取進(jìn)入第二輪面試的人數(shù)．（3）設(shè)第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，利用列舉法能出所有基本事件及滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型求得概率．【詳解】（1）①由題可知，第2組的頻數(shù)為人，②第組的頻率為，頻率分布直方圖如圖所示，

（2）因?yàn)榈诮M共有名學(xué)生，所以利用分層抽樣在名學(xué)生中抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：第組：人，第組：人，第組：人，所以第組分別抽取人、人、人進(jìn)入第二輪面試．（3）設(shè)第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，則從這六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有種選法，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，其中第組的位同學(xué)中至少有一位同學(xué)入選的有種，分別為：，，，∴第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分直方圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查概率的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19、（1），（2）或【解析】

（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，得到，解得答案.（2）討論和兩