江西省南昌市東湖區(qū)第十中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

江西省南昌市東湖區(qū)第十中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，是的中點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知，那么()A． B． C． D．3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為2的直線在y軸上的截距為（）A． B． C．3 D．54．兩圓和的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切5．在長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．6．已知直線：是圓的對(duì)稱軸.過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（）A．2 B． C．6 D．7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的值為（）A． B． C． D．8．某防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，與采用分層抽樣的辦法抽取樣本.某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人9．對(duì)于空間中的兩條直線，和一個(gè)平面，下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問(wèn)各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問(wèn)五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，某人在高出海平面方米的山上P處，測(cè)得海平面上航標(biāo)A在正東方向，俯角為，航標(biāo)B在南偏東，俯角，且兩個(gè)航標(biāo)間的距離為200米，則__________米.12．已知一圓臺(tái)的底面圓的半徑分別為2和5，母線長(zhǎng)為5，則圓臺(tái)的高為_______.13．如圖,貨輪在海上以的速度沿著方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為150°的方向航行.為了確定船位,在點(diǎn)B觀察燈塔A的方位角是120°,航行半小時(shí)后到達(dá)C點(diǎn),觀察燈塔A的方位角是75°,則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離為______nmile14．設(shè)在的內(nèi)部，且，的面積與的面積之比為______．15．三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，，平面，，，球的表面積為，則的表面積為_______．16．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的側(cè)面積為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線與平行.（1）求實(shí)數(shù)的值：（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，它被直線，所截的線段的中點(diǎn)在直線上，求的方程.18．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和值域；（2）設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，，求的值.20．已知.（Ⅰ）化簡(jiǎn)；（Ⅱ）已知，求的值．21．正四棱錐中，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求異面直線和所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由題意知，所以，解得，所以，故選D.2、C【解析】試題分析：由，得.故選B．考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式．3、B【解析】

寫出直線的點(diǎn)斜式方程，再將點(diǎn)斜式方程化為斜截式方程即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為2，故點(diǎn)斜式方程為：，化簡(jiǎn)得：，故直線在y軸上的截距為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線的方程，解題關(guān)鍵是應(yīng)熟知直線的五種方程形式，屬于基礎(chǔ)題,4、B【解析】

由圓的方程可得兩圓圓心坐標(biāo)和半徑；根據(jù)圓心距和半徑之間的關(guān)系，即可判斷出兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由圓的方程可知，兩圓圓心分別為：和；半徑分別為：，則圓心距：兩圓位置關(guān)系為：相交本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定；關(guān)鍵是明確兩圓位置關(guān)系的判定是根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的長(zhǎng)度關(guān)系確定.5、D【解析】

由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線,所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

為平面的一個(gè)法向量．

．

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系,利用向量方法解決立體幾何問(wèn)題．6、C【解析】試題分析：直線l過(guò)圓心，所以，所以切線長(zhǎng)，選C.考點(diǎn)：切線長(zhǎng)7、D【解析】

由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可.【詳解】解：由可得，則，①又，所以，即，所以②由①②可得：，由余弦定理可得,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及余弦定理的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了兩角和的正弦公式，屬中檔題.8、D【解析】由分層抽樣的辦法可知在名學(xué)生中抽取的男生有，故女生人數(shù)為，應(yīng)選答案D．9、C【解析】

依次分析每個(gè)選項(xiàng)中兩條直線與平面的位置關(guān)系，確定兩條直線的位置關(guān)系即可.【詳解】平行于同一平面的兩條直線不一定相互平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，平行于平面的直線不一定與該平面內(nèi)的直線平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，垂直于平面的直線，垂直于與該平面平行的所有線，故選項(xiàng)C正確，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面位置關(guān)系的辨析，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又,則,故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

根據(jù)題意利用方向坐標(biāo)，根據(jù)三角形邊角關(guān)系，利用余弦定理列方程求出的值．【詳解】航標(biāo)在正東方向，俯角為，由題意得，．航標(biāo)在南偏東，俯角為，則有，．所以，；由余弦定理知，即，可求得（米．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查方向坐標(biāo)以及三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，考查余弦定理應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．12、4【解析】

根據(jù)圓臺(tái)軸截面等腰梯形計(jì)算．【詳解】，設(shè)圓高為，由圓臺(tái)軸截面是等腰梯形得：，即，，故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查求圓臺(tái)的高，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A臺(tái)的性質(zhì)，圓臺(tái)軸截面是等腰梯形．13、【解析】

通過(guò)方位角定義，求出，，利用正弦定理即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，可知,,，因此可得，由正弦定理得：，求得，即答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，難度不大.14、1:3【解析】

記,，可得：為的重心，利用比例關(guān)系可得：，,，結(jié)合：即可得解.【詳解】記,則則為的重心，如下圖由三角形面積公式可得：，,又為的重心，所以，所以所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的向量結(jié)論，還考查了轉(zhuǎn)化能力及三角形面積比例計(jì)算，屬于難題.15、【解析】

根據(jù)題意可證得，而，所以球心為的中點(diǎn)．由球的表面積為，即可求出，繼而得出的值，求出三棱錐的表面積．【詳解】如圖所示：∵，平面，∴，又，故球心為的中點(diǎn)．∵球的表面積為，∴，即有．∴，．∴，，，．故的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

先求出四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理可求出四棱錐的高，然后由圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，可知四條側(cè)棱的中點(diǎn)連線為正方形，其對(duì)角線為圓柱底面的直徑，圓柱的高為四棱錐的高的一半，分別求解可求出圓柱的側(cè)面積.【詳解】由題可知，四棱錐是正四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱的中點(diǎn)連線為正方形，邊長(zhǎng)為，該正方形對(duì)角線的長(zhǎng)為1，則圓柱的底面半徑為，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)為2，則四棱錐的高為，故圓柱的高為1，所以圓柱的側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】

（1）利用兩直線平行的條件進(jìn)行計(jì)算，需注意重合的情況。（2）求出到平行線與距離相等的直線方程為，將其與直線聯(lián)立，得到直線被直線，所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，可得直線的方程?！驹斀狻浚?）∵直線與平行，∴且，即且，解得.（2）∵，直線：，：故可設(shè)到平行線與距離相等的直線方程為，則，解得：，所以到平行線與距離相等的直線方程為，即直線被直線，所截的線段的中點(diǎn)在上，聯(lián)立，解得，∴過(guò)點(diǎn)∴，的方程為：，化簡(jiǎn)得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線的位置關(guān)系以及直線斜率、直線的一般方程的求解等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行的條件，直線的斜率公式，平行線間的距離公式，屬于中檔題。18、（1）；（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得所求和．【詳解】解：（1）∵，即，，∴為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即；∵，即有，∴為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，即；（2），∴，∴，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．19、（1）周期，值域?yàn)椋唬?）.【解析】

（1）利用二倍角降冪公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用周期公式求出函數(shù)的最小正周期，并求出函數(shù)的值域；（2）先由的值，求出角的值，然后由結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的余弦公式求出的值．【詳解】（1）∵且，∴所求周期，值域?yàn)?；?）∵是的三個(gè)內(nèi)角，，∴∴又，即，又∵，故，故.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問(wèn)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)以及三角形中的求值問(wèn)題，求解三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要將三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合正余弦函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，屬于中等題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）-2。【解析】試題分析：（Ⅰ）5分（Ⅱ）10分考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)主要考察的是誘導(dǎo)公式，如等，本題難度不大，需要學(xué)生熟記公式21、（1）見解析（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，可得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可得平面；（2）連接交于，則為的中點(diǎn)，結(jié)合為的中點(diǎn)，得，可得（或其補(bǔ)角）為異面直線和所