2024年廣東省東莞市中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試第二次模擬測試卷

皿「、、九

數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.-3的相反數(shù)是（）

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】D

【解析】

【分析】相反數(shù)的定義是：如果兩個數(shù)只有符號不同，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，特別地,

0的相反數(shù)還是0.

【詳解】根據(jù)相反數(shù)的定義可得：一3的相反數(shù)是3,

故選D.

【點睛】本題考查相反數(shù)，題目簡單，熟記定義是關(guān)鍵.

2.如圖是由4個大小相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）

D干

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了幾何體的三種視圖和學(xué)生的空間想象能力，視圖中每一個閉合的線框都表示物體

上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上，根據(jù)左視圖的作法求解即可.

【詳解】解：這個幾何體的左視圖有2行，第一行有1個正方形，第二行有2個正方形，第1列有2個正方

形，第2列有1個正方形

故選：A.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點尸（-5,-2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.（-5,2）B.（-2,5）C.（2,-5）D.（5,-2）

【答案】D

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【解析】

【分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中對稱點的規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：

（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)

互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

【詳解】解：點尸（-5,-2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（5,-2）,

故選：D.

4.若一個凸多邊形的內(nèi)角和為720。，則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到（〃-2>180。=720。，然后解方程即可.

【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃，由多邊形的內(nèi)角和是720。，

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得（”一2）180°=720°.

解得n=6.

故選C.

【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵.

5.已知點P（m-2,2m-1）在第二象限，且m為整數(shù)，則m的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)第二象限內(nèi)的點的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0列不等式組可求出m的取值范圍，

根據(jù)m為整數(shù)即可確定m的值.

【詳解】：點P（m-2,2m-1）在第二象限，

m-2<0

2m-1>0；

解得：—<m<2,

2

：ni為整數(shù)，

m=l,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中各個象限的點的坐標(biāo)的符號特點.四個象限的符號特點分別

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是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限第四象限（+,-）.

6.如圖，O48C是等腰直角三角形，a//b.若Nl=125°,則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D,45°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是角的和差運算，平行線的性質(zhì)，先證明N1=NA3C+N2,從而可得答案.

【詳解】解：

Z1=ZABC+Z2,

VZ1=125°,ZABC=90°,

：.Z2=Z1-ZABC=35°,

故選B

7.某小組在一次“在線測試”中做對的題數(shù)分別是10,8,6,9,8,7,8,對于這組數(shù)據(jù)，下列判斷錯誤的是

（）

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.平均數(shù)是8D.方差是8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的定義求解判斷即可.

【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為6,7,8,8,8,9,10,處在最中間的數(shù)是8,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8,故B不符合題意；

???這組數(shù)據(jù)中8出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8,故A不符合題意；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10+8+6+9+8+7+8=8,故c不符合題意;

7

這組數(shù)據(jù)的方差為（6-8,+（7—8）2+8義（8-8（+（9-8）2+（10-8）2="彳&,故口符合題意；

77

故選D.

【點睛】本題主要考查了求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差，熟知平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的定義是解

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題的關(guān)鍵.

8.已知X=1是關(guān)于X的方程（l-k）x2+k2x-l=0的根,則常數(shù)k的值為（）

A.0B.1C.0或1D.0或-1

【答案】C

【解析】

【詳解】解：當(dāng)左=1時，方程（I-左）X2+--1=0為一元一次方程，解為41;

時1時，方程（1-左）x^+lcx-1=0為一元二次方程，把x=l代入方程（1-左）％2+/尤-1=0可得：

1-k+lc-1=0,即-k+lc=0,可得k（%-1）=0,即k=Q或1（舍去）；

故選C.

點睛：該題應(yīng)注意方程與一元二次方程的區(qū)別，此題1-4可為0,同時此題也考查了因式分解.

9.如圖，已知矩形460）的邊A3=百，BC=3,E為邊CD上一點.將口沿BE所在的直線翻

折，點。恰好落在邊上的點尸處，過點歹作垂足為點M,取AF的中點N,連接

MN,則MN的長為（）

A.3B.V2C.V6-1D.V3

【答案】D

【解析】

【分析】連接AC,FC,由折疊的性質(zhì)得出CELBE,由勾股定理求出AC,利用三角形的中位線定理

解決問題即可.

【詳解】解：如圖所示連接AC,FC.

由翻折的性質(zhì)可知，BE垂直平分線段CF,

CF1BE,

又；FM工BE,

:.F,M,C共線，

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FM=MC,

???四邊形ABC。是矩形,

:.ZABC=90°,

AC=siAB2+BC2=V3+9=2。，

,.,N是A/的中點，M是CE的中點，

.?.盛是44。尸的中位線，

MN=—AC=>/3.

2

故選：D.

【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.

10.如圖1,在中，點。為AC的中點，動點尸從點。出發(fā)，沿著。一>4->8的路徑以每秒1

個單位長度的速度運動到點B,在此過程中線段CP的長度y隨著運動時間尤的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則

的長為（）

3

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、解直角三角形、勾股定理，當(dāng)x=0時，點P在點。處，此時

y=PC=PA=3,則AC=6,當(dāng)x=3+26時，求出4尸=26，由勾股定理得出

77

CP=^,求出tanA=工9，再由5C=AC-tanA計算即可得解.

5

【詳解】解：當(dāng)x=0時，點尸在點。處，此時y=PC=P4=3,則AC=6,

當(dāng)尤=3+2君時，PCLAB,

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則4尸=%一4。=3+26一3=2君，

:.CP=7AC2-AP2=,_(2有j=4，

4CP42A/5

tanA=---=—產(chǎn)=-----

AP2755

5C=AC-tanA=6x—=

55

故選：C.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.國家統(tǒng)計局公布了2023年的人口數(shù)據(jù)：2023年末全國人口140967萬人，比上年末減少208萬人，其

中208萬用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】2.08xlO6

【解析】

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為oxiO"的形式，其中1。a|<10,”為整數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，

小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，〃是正整數(shù)，

當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，"是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案.

【詳解】解：：208萬=2080000,

208萬用科學(xué)記數(shù)法表示為2.08x106.

故答案為：2.08xlO6.

12.因式分解：3/—12=.

【答案】3（x+2）（x-2）

【解析】

【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運用，正確運用平方差公式是解題關(guān)鍵.首先提取公

因式3,再利用平方差公式分解因式即可.

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【詳解】解：原式=312-4)

=3(x+2)(x-2).

故答案為：3(x+2)(x-2).

13.如圖，將DABC放在每個小正方形邊長為1的網(wǎng)格中，點A,B,C均在格點上，則tanA的值是

【答案】-##0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，作3。，AC于點。，可以求得3D、的長，從而可以求出tanA的值.

【詳解】作BOLAC于點O,如圖所示：

■-BC=2,AC=A/32+32=3A/2>點A到BC的距離為3,

AB=A/32+12=屈，

ACxBDBCx3372xBD2x3

=,即—=,

2-----2------------2........2

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BD=C，

AD=y/AB2-BD-=^(V10)2-(V2)2=2日

.,tanA=^=4=i

AD2V22

故答案是：

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊

比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵.

14.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm,ZA=60°,弧2。是以點A為圓心，長為半徑的弧，弧CD是

以點B為圓心，BC長為半徑的弧，則陰影部分的面積為

【答案】4百cn?

【解析】

【分析】連接BD,判斷出AABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NABD=60。，再求出

ZCBD=60°,然后求出陰影部分的面積=SAABD,計算即可得解.

【詳解】解：如圖，連接BD,

,/四邊形ABCD是菱形,

AB二AD,

???ZA=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，

ZABD=60°,

又???菱形的對邊AD〃BC,

.,.ZABC=180°-60o=120°,

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???ZCBD=120°-60°=60°,

?',S陰影二S扇形BDC-（S扇形ABD-S^ABD）,

TAB=CD,NCBD=NA=60。，

??S扇形BDC-S扇形ABD，

故答案為4百cn?.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形的面積的計算，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)

鍵.

15.如圖，是半圓。的直徑，點C在半圓上，AB=5,AC=4,D是臥。上的一個動點，連接AD過點

C作CE_LAD于E,連接BE,則BE的最小值是.

【答案】V13-2

【解析】

【分析】取AC的中點O',^BO',BC,EO',先利用圓周角定理判斷出點E在以4c為直徑的一段弧

上運動，從而可得O'E=O'C=2,再利用圓周角定理、勾股定理可得。'3=屈，然后根據(jù)兩點之間線

段最短即可求得最小值.

【詳解】解：如圖，取AC的中點。'，連接5。,5。,石。，則O'C=2AC=2,

CE1AD,

:.ZAEC=90°,

，在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的一段弧上運動，即口。'上運動,

O'E=01=2,

A3是直徑，

ZACB=90°,

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在RtDABC中，?.?AC=4,AB=5,

BC=yjAB2-AC2=3>

在RtOBCO'中,o'B=^BC2+O'C2=J13>

由兩點之間線段最短可知，當(dāng)點O',E,5共線時，O'E+BE取得最小值，最小值為0'3=巫，

所以BE的最小值為（XB—0E=屈一2，

故答案為：V13-2.

【點睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、兩點之間線段最短等知識點，正確判斷出點E的運動軌跡是

解題關(guān)鍵.

三、解答題（一）（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

16.計算："―（石—3）°+\]-4sin30°

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)零指數(shù)募，負(fù)整數(shù)指數(shù)累和特殊的三角函數(shù)值計算即可.

【詳解】解：原式=2—1+4—4x^=3.

2

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在RtUABC中，=90°,為4c的平分線.

（1）尺規(guī)作圖：過點。作AC的垂線DE,交AC于點E.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若NC=30°,AB=3,則UACD的面積是.

【答案】（1）見解析（2）373

【解析】

【分析】本題考查了作垂線，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；

（1）根據(jù)題意，過點O,作AC的垂線。E,交AC于點E；

（2）根據(jù)題意得出ZBAC=60°,根據(jù)AD為ABAC的平分線，得出ABAD=30°,進(jìn)而勾股定理求得BD,

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即可得出。C,根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，OE即為所求;

【小問2詳解】

解：?.?在RtUABC中，ZB=90°,ZC=30°,

,**NBAC=60°,AB=—AC,則_gC=-JAC2—AB2=y/3AB=3y[3>

：為NB4c的平分線,

/BAD=30°,

BD=-AD,

2

?**AB=yjAD--BD-=43BD，

AB=3,

BD=5

???CD=BC-BD=363=25

.-.uACD的面積是』XCDXAB=!><2GX3=3K.

22

四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)

(2\x?—6x+9_

18.先化簡，再求值：1--------+—----------,其中x=6+3.

(x-1)X-X

【答案】1+V3

x—3

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化；先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的,同時將除法轉(zhuǎn)化為

乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解.

.(2)%2—6x+9

【詳解】解：1------7+——2--------

IX—1JX—X

%—1—2x(x—1)

x-l(x-3)2

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九一3x(x-1)

x-l(x-3)2

X

x-3

當(dāng)x=6+3時，原式=夕+3=1+百.

V3+3-3

19.如圖，用兩個邊長為JRcm的小正方形紙片沿中間對角線剪開，拼成一個大正方形.

(2)麗麗同學(xué)想用這塊大正方形紙片裁剪出一塊面積為12cm,且長和寬之比為3:2的長方形紙片，她能

裁出來嗎？請說明理由.

【答案】(1)4(2)不能裁出，理由見解析

【解析】

【分析】(1)已知兩個正方形的面積之和就是大正方形的面積，根據(jù)面積公式即可求出大正方形的邊長；

(2)先設(shè)長方形紙片的長為3x(nn),寬為：2x(cm),根據(jù)面積公式列方程，求出長方形的邊長，將長方

形的長與正方形邊長進(jìn)行比較即可判斷.

【小問1詳解】

解：兩個正方形的面積之和為：2義(次)=16??),

二拼成的大正方形的面積為：

.二大正方形的邊長為：4cm,

故答案為：4；

【小問2詳解】

解：設(shè)長方形紙片的長為3x(cm),寬為：2x(cm),

A3x-2x=12,解得％=血，

?*-3x=3亞>4，

，不能使裁下的長方形紙片的長寬之比為：3:2,且面積為12(cn?).

【點睛】本題考查算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，能根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵.

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20.為了解中考體育科目訓(xùn)練的效果，九年級學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了以此中考體育科目測試

(把測試結(jié)果分為四個等級，A等：優(yōu)秀；B等：良好；C等：及格；。等：不及格)，并將結(jié)果匯成了如

圖1、2所示兩幅不同統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：

慘■測試8■竄級學(xué)生人數(shù)*后統(tǒng)計用體育iiiC各書級學(xué)生人數(shù)條杉統(tǒng)計圖

(1)本次抽樣測試的學(xué)生人數(shù)是人；

(2)圖1扇形圖中。等所在的扇形的圓心角的度數(shù)是,并把圖2條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)已知得A等的同學(xué)有一位男生，體育老師想從4名同學(xué)中隨機選擇兩位同學(xué)向其他同學(xué)介紹經(jīng)驗，

請用列表法或畫樹狀圖的方法求出選中的兩人剛好是一男一女的概率.

【答案】(1)25(2)43.2°,條形圖見解析

⑶3

【解析】

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，求扇形統(tǒng)計圖圓心角，

畫條形統(tǒng)計圖.

(1)用B等級的人數(shù)除以它所占的百分比即可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

(2)用總?cè)藬?shù)分別減去A、B、C等級的人數(shù)得到。等級人數(shù)，然后用360。乘以D等級所占的百分比得。

等所在的扇形的圓心角的度數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖；

(3)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出選中的兩人剛好是一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率

公式求解.

【小問1詳解】

解：抽取B等成績的人數(shù)為10人，所占比例為40%,

???本次抽樣測試的學(xué)生人數(shù)是衛(wèi)=25(人)，

40%

故答案為：25；

【小問2詳解】

。等級的人數(shù)為25-4-10-8=3(人)，

所以。等所在的扇形的圓心角的度數(shù)上3x360。=43.2。,

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條形圖如下圖:

2

0

8

6【小問3詳解】

4

2

0

開始

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中的兩人剛好是一男一女的結(jié)果數(shù)為6,

所以選中的兩人剛好是一男一女的概率為2=1.

122

五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

21.某學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批足球和籃球，從體育商城了解到：足球單價比籃球單價少25元，用250元購買足

球與用375元購買籃球的數(shù)量相等.

（1）求足球和籃球的單價各是多少元；

（2）若該學(xué)校準(zhǔn)備同時購進(jìn)這兩種足球和籃球共80個，并且足球的數(shù)量不多于籃球數(shù)量的3倍，求本次

購買最少花費多少錢.

【答案】（1）足球的單價是50元，籃球的單價是75元

（2）本次購買最少花費4500元

【解析】

【分析】本題考查了分式方程以及一元一次不等式，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)

鍵.

250375

（1）先設(shè)足球的單價是X元，則籃球的單價是（X+25）元，根據(jù)題意列式上==」，進(jìn)行作答即可.

xx+25

（2）先列不等式得出根W60,再設(shè)總費用w,依題意得出w=50加+75（80-根），結(jié)合一剎那函數(shù)的性質(zhì)

進(jìn)行作答.

【小問1詳解】

第14頁/共26頁

解：設(shè)足球的單價是X元，則籃球的單價是（X+25）元，

根據(jù)題意得：上250=」3」75，

xx+25

解得：x=50,

經(jīng)檢驗x=50是所列方程的解，且符合題意，

二x+25=50+25=75（元）.

答：足球的單價是50元，籃球的單價是75元；

【小問2詳解】

設(shè)購買足球機個，則購買籃球（80-m）個，

根據(jù)題意得：相43（80-加），

解得：nzW60,

設(shè)學(xué)校購買足球和籃球的總費用為W元，則w=50根+75（80-加），

即w=-25m+6000,

,?-25<0,

；.卬隨相的增大而減小，

...當(dāng)加=60時，w取得最小值，為4500元

本次購買最少花費4500元.

22.獨輪車（圖1）俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，西漢時已在一些田間隘道上出現(xiàn).北宋時正式出

現(xiàn)獨輪車名稱，在北方，幾乎與毛驢起同樣的運輸作用.如圖2所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模

型.在口ABC中，AB=BC,以口ABC的邊AB為直徑作□。，交4C于點P,且尸垂足為

點D

（1）求證：PD是口。的切線；

（2）若tanC=」,3D=2,求口。的半徑.

2

【答案】（1）見詳解（2）5

【解析】

第15頁/共26頁

【分析】(1)連接OP,由等腰三角形的性質(zhì)可得OP〃3C,繼而可證明是口。的切線;

(2)連接PB,可證NC=ZBPD，則由tanNBPD=tanC=—可求PD,再運用勾股定理求得BP=2也

2

最后由即可求解.

【小問1詳解】

證明：連接OP,

邂

?e,AB=BC,

NA=NC,

OA=OP,

：.ZOPA=ZA,

：.ZOPA=ZC,

：.OP//BC

：.ZPDC=ZOPD,

又：PDLBC,

ZPDC=90°,

ZOPD=90°,

即PDLOP,

??.P。是□。的切線;

【小問2詳解】

解：連接尸3,如圖，

,/AB為直徑，

：.ZAPB=9Q°,

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ZC+ZPBC=90°,

又?:ZBPD+ZPBC=90°,

：.ZC=ZBPD,

在Rt△尸8。中,

tanNBPD=tanC=

PDPD2

PD=4,

BP=V22+42=275-

ZBDP=ZBPC,ZDBP=ZPBC,

ABDPs4BPC,

BPBD

BC—BP

2V52

解得：BC=10,

：.BA=BC=10,

...口。的半徑為5.

【點睛】本題考查了圓的切線的判定，等腰三角形性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，等角的三角函數(shù)值相等，正確添加輔助線，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，DAB。中，A（0,4）,3（—3,0）,AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)與重合，點C在x軸上，連接

（1）求直線4c和反比例函數(shù)y=—的解析式；

（2）把AACB沿直線AC翻折到口4。。，AO與反比例函數(shù)交于點尸，求□尸的面積.

【答案】（1）直線AC解析式為y=-2尤+4,反比例函數(shù)解析式為y=2

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(2)9

【解析】

【分析】（1）先利用勾股定理求出48=5,進(jìn)而利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到5C=A5=5,則C（2,0）,再利用

待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC的解析式和反比例函數(shù)解析式得到的一元二次方程只有

一個實數(shù)根，據(jù)此求解即可；

（2）先由折疊的性質(zhì)證明四邊形ABC。是菱形，得到AO〃3C,求出得到。/=|,則

19

-X-X4-9

SL/A\rFCDiJ~2—DF-OA22

【小問1詳解】

解：?；A(0,4),3(-3,0),

OA=4,OB=3,

?*-AB=7<9A2+OB2=5,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得5C=A5=5,

又：點C在x軸上，

OC=2,

AC(2,0),

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,

'2k+b=0

Z?=4

k=一2

[b=4

???直線AC解析式為y=—2x+4,

y=-2x+4

m

聯(lián)立<m得一=-2x+4,即2/一4x+加=0，

y=——x

、x

rrj

..?反比例函數(shù)y=—與直線AC僅有一個公共點E,

x

；?方程2/-4x+m=0只有一個實數(shù)根，

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A=（-4）2-8/W=0,

:.m=2,

反比例函數(shù)解析式為y=2；

x

【小問2詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可得A3=A￡>,CB=CD,

又：BC=AB=5,

：.AB=AD=CB=CD=5,

.??四邊形ABC。是菱形，

AD//BC,

21

在丁=一中，當(dāng)，=4時，x=一,

x2

9

DF=AD-AF=-,

2

119

5AFrn=—DF-OA=—x—x4=9.

△FCD222

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，菱形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾

股定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

六、解答題（四）（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

24.在邊長為1的正方形4BCD中，點E為線段上一動點，連接AE.

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（1）如圖①，過點B作8ELAE于點G,交直線CD于點以點歹為直角頂點在正方形ABC。的外

部作等腰RtZXCTH,連接AH,EH.求證：△AEH是等腰直角三角形；

（2）如圖②，在（1）的條件下，記AH、EH分別交CD于點尸、Q,連接PE.

①試探究PE、BE、DP之間的數(shù)量關(guān)系;

②設(shè)BE=m,中邊PE上的高為/?,請用含〃?的代數(shù)式表示〃.并求〃的最大值.

【答案】（1）見解析（2）①PE=3E+PD；②/?=—（加—工］+!，〃最大值為工

I2J44

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=BRBE=CF,進(jìn)而利用平行四

邊形的判定和性質(zhì)解答即可；

（2）①將△AD尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到口487，則C,B,T共線，利用全等三角形的性質(zhì)證明

PE=ET,即可得出結(jié)論；②利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

證明：???四邊形ABC。是正方形，

Z.AB=BC,/ABE=/BCF=90°,

"BF1AE,

：.ZAGB=90°,

ZBAE+ZABG=90°,

?：ZABG+ZCBF=90°,

：.ZBAE=ZCBF,

.-.□ABE^DBCF（ASA）,

AE=BF,BE=CF,

?：CF=FH,

BE=FH,

?：BC//FH,

第20頁/共26頁

.??四邊形BEHF為平行四邊形，

：.BF=EH,

：.AE=EH,

：.BF//EH,BFLAE,

，AELEH,

：.ZAEH=90°,

△AEH是等腰直角三角形；

【小問2詳解】

解：①結(jié)論：PE=BE+PD.

理由：如圖②中，將△AD尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到口437，則C,B,T共線.

圖②

?..四邊形A6CQ是正方形，

ZBAD=90°,

口E4H是等腰直角三角形，

ZEAH=45°,

NEAT=ZBAT+ZBAE=ZDAP+ZBAE=45°,

ZEAT=NEAP,

AE=AE,AT=AP,

.?iDEAT^D￡AP（SAS）,

PE=ET,

'：ET=BT+BE=PD+BE,

PE=BE+PD.

@'：HEAT^JEAP,

ZAET=ZAEP,

NAEH=90°,

第21頁/共26頁

ZAET+ZCEQ=90°,ZAEP+ZPEQ=90°,

ZCEQ=ZPEQ,

點Q到PE的距離的長=CQ=肌

-：ZAEB+ZBAE=90°,

：.ZBAE=ZCEQ,

：^BAE^OCEQ,

AB_BE

,由一

1m

??一,

1-mh

.,2(if1

??n=-m"+m=-\m—+—

I24

-1<O,

機=工時，〃的值最大，最大值為-.

24

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建

二次函數(shù)解決最值問題.

25.已知拋物線丁=/+法+。經(jīng)過點4-1,0)和點。(0,-3),與尤軸交于另一點乩

圖1

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為第四象限內(nèi)拋物線上的點，連接CP、AP.AC,如圖1,若△ACP的面積為1,求P點坐

標(biāo)；

(3)設(shè)點M為拋物線上的一點，若=時，求M點坐標(biāo).

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【答案】(1)y=x2-2x-3

(2)尸(1,一4)

9391557

(3)M的坐標(biāo)為-或

1416T'16

【解析】

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解;

(2)過點尸作PQ〃丁軸交直線AC于點。，先求出PQ=2,再求出直線A