河北省2023-2024學(xué)年高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(含答案)

鄭口中學(xué)2023?2024學(xué)年度高三第三次質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指

定位置。

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)

域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;

字體工整，筆跡清楚。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交。

5.本卷主要考查內(nèi)容：集合與常用邏輯用語，一元二次函數(shù)、方程和不等式，函數(shù)與基本初等函

數(shù)，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，數(shù)列，概率與統(tǒng)計(jì)，三角函數(shù)與解三角形，平面向量和復(fù)數(shù)，

立體幾何。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|2xN3—x},8==2必卜則'(A5)=()

-℃,2)D.(2,+<?)

7

2.復(fù)數(shù)z=—.—i(l—i)的模為(

B.y/2D.6

3.對(duì)于實(shí)數(shù)mb,c,下列說法正確的是(

22

A.若a〉■b,則一<一B.若則ac>be

ab

ab

C.若。>0>b,則D.若c>a>。，則---->-----

c-ac-b

4.己知是R上的奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)=/(x+l)—2的圖象恒過點(diǎn)(

A.(l,-2)B.(l,2)C.(-l,2)D.(-l,-2)

5,已知4(1,2,1),3(0,1,2),C(3,l,l),若平面ABC的一個(gè)法向量為”=(羽以1),則〃=()

1

6.如圖，在平行四邊形A3CD中，。為對(duì)角線的交點(diǎn),E為A￡）的中點(diǎn)，/為CO的中點(diǎn)，若ER=xOC+y。。，

貝ij九-2y=()

7.生活中的建筑模型多與立體幾何中的圖形有關(guān)聯(lián)，既呈現(xiàn)對(duì)稱美，也具有穩(wěn)定性.已知某涼亭的頂部可視為如

圖所示的正四棱錐S-ABCD，其所有棱長(zhǎng)都為6,且AC,BD交于點(diǎn)、O,點(diǎn)E在線段SC上，且CE=%。，

3

則△S4O的重心G到直線0E的距離為（）

27354^/35

D.-----

55

8.已知函數(shù)〃x）=sin8-1（0〉0）在0噂上單調(diào)遞增,在工嶗上單調(diào)遞減,將函數(shù)八》）的

圖象向左平移90<°<］個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，則°=（）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差為d,%=%—4,跖=154,則（）

A.d=—2B.a】=30

C.-320是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)D.Sn取得最大值時(shí)，〃=14

10.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若空間向量a,Z?滿足|。|=蚓，則a=b

2

B.空間任意兩個(gè)單位向量必相等

C.在正方體ABCD-中，必有BD=BR

D.向量a=（1,1,0）的模為J5

11.如圖，已知圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線長(zhǎng)為2,AB,CD分別為上、下底面的直徑，AC,

8。為圓臺(tái)的母線，E為弧的中點(diǎn)，則（）

A.圓臺(tái)的側(cè)面積為6兀

7T

B.直線AC與下底面所成的角的大小為-

3

C.圓臺(tái)的體積為百

JT

D.異面直線AC和DE所成的角的大小為一

4

12.已知函數(shù)/（x）=xlnx-at+l,則（）

A.當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/（X）的最小值為1—工

B.當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為尤=1

C.存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)/（%）在定義域上單調(diào)遞增

D.若0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=（1，—3）,/?=（m-2,l）-若卜+征卜?+囚，貝i]〃z=.

14.一組樣本數(shù)據(jù)為1,a,4,5,b,8,若a,6是方程,-3|=1的兩根，則這個(gè)樣本的方差是.

15.已知向量a=（3,—2,1）,b=（―1,3,—2）,c=（3,5,X）,若a,b,c三個(gè)向量2=共面，則2=.

16.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面A3CD為矩形，PC,平面A3CD,AB=4,PC=BC=3,E,

F,G分別為AO,AB,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)“在棱PC上，且5H〃平面跳G,則三棱錐H—A5D的外接球

的表面積為.

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

在ZSABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a-c)(a+c)sinC=c(b-c)sinB.

(1)求A；

(2)若△ABC的面積為6,sinBsinC=—,求a的值.

4

18.(本小題滿分12分)

在前”項(xiàng)和為S”的等比數(shù)列｛4｝中，4=2,S3=3%+2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記2=2log,an-l,將數(shù)列｛4｝和數(shù)列｛〃｝的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列｛c,J,

求數(shù)列｛%｝的前50項(xiàng)的和.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸-A5co中，平面A3CD,底面A3CD是平行四邊形，且△A5D是等邊三角形,

AB=2.

(1)求證：平面PAC；

(2)若△上鉆是等腰三角形，求異面直線PB與AC所成角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

某高中高一500名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)

生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),???,[80,90],并整理得到頻率分布直方圖如圖所

示.

4

(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；

(2)估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的第75%分位數(shù)；

(3)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生.從樣

本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，貝廣抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個(gè)事件是否

獨(dú)立?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

21.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC//AD,ABLBC,平面K45,平面ABCD,

PA=PB,AP±BP,BA=2,BC=1,AD=3,PE=2PD(0<2<1).

(1)若CE〃平面求;l的值；

(2)若2求平面ABE與平面PCD的夾角的余弦值.

2

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/"(X)=—x—oln(x+l).

(1)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，若機(jī)為函數(shù)的正零點(diǎn)，證明：m>2y/a+l.

鄭口中學(xué)2023?2024學(xué)年度高三第三次質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

5

1.A由A={%|xNl},5=1x|x>2|,有5=[l,+oo),可得々(A3)=(^o,l).

2.B由2=2i—i—1=—1+i,有忖=V5.

3.C若a=0或》=0,1或,顯然無意義.故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ab

若c=0,則ac2=be?.故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)閍>0>Z?,所以各項(xiàng)同時(shí)乘以。得/>。>次?.故C正確；

若c=0,則a=一1=b.故D錯(cuò)誤.故選C.

c-ac-b

4.D由〃0)=0,有g(shù)(—=1+1)—2=—2,可知函數(shù)g(x)的圖象恒過定點(diǎn)(-1,-2).

5.CAB=(-1,-1,1),AC=(2,-1,0),所以〃43=0,n-AC=Q,即—x—y+l=0,2=0,解

得x=，，y=—?所以〃二(，,2,i],故選c.

33(33J

6.B連接O石，

有所=O9—OE=工OC—工(04+。。)=工OC+工OC—J?！?gt;=OC—』0。，

22、'2222

有無=1,y=——,可得x—2y=2.

因?yàn)槔忾L(zhǎng)都為6,則。L=30,SO=36,

由題意知G(0,—2,J勾,網(wǎng)—2,2,⑹，

6

則G到直線0E距離d=joGj—」謂石=/6—［焉［=胃5.故選已

8.D由題意有石■力一,二2左兀+5(左￡Z),可得力=--—\~2(左￡Z),

又由丁二2衛(wèi)兀＞5衛(wèi)71，有0＜刃＜12匕，可得當(dāng)左=0時(shí)，S=2,

co65

可得/(x)=sin12x_；),g(x)=sin2(\兀sin12%+2夕一三

X+(P)~~

又由一百＜20一百〈女，有2夕一色=殳

33332

57T

解得9=3.

12

9.AC由2d=%—%——4,可得d=—2,

又由S7=7("+%)=7%=154,可得q=22,

可得=%—3d-22—3x(—2)=28,

有?！?28-2(〃-1)=30-2〃，

令30—2〃=—320,解得〃=175,

令可得〃＜15,故S〃中岳4，S15最大，故選AC.

10.CD兩個(gè)向量相等需要方向相同，模長(zhǎng)相等，所以忖=忖不能得到。=6,A錯(cuò)誤；

空間任意兩個(gè)單位向量的模長(zhǎng)均為1，但是方向不一定相同，故B錯(cuò)誤，

BD

正方體A3CD—4與。1。中，^的方向相同，長(zhǎng)度相等，故故C正確;

向量a=(1,1,0)的模為+仔+o=后,故D正確.故選CD.

1LABD過點(diǎn)C作CHJ_A3,取AB的中點(diǎn)。，

連接OE,OD,AH=1,

圓臺(tái)的高CH=j22—(2—I)?=#),

圓臺(tái)的側(cè)面積為兀x(l+2)x2=6兀，

圓臺(tái)的體積為:兀xGx(F+1x2+2?)=半兀，

7

「JT

又由tanNC4H=J=6,可得NC4H=烏，可得AC與下底面所成的角為色.

AH33

又由AC〃OD,平面A3DC,可得異面直線AC和￡史所成的角為NODE,

TT

在加△ODE中，OE=2,OD=2,可得NO￡>E=—,

4

TT

故異面直線AC和?！晁傻慕菫橐?故選ABD.

4

12.ADfr^x)=lnx+l—a.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=lnx+l,令/>'(x)>0有x〉：，可得函數(shù)/(x)的減區(qū)間為,增

1

區(qū)間為1,+°°，可得=/=1--,故A選項(xiàng)正確;

ee

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)a=l時(shí)，f'(x)=lnx,令/''(x)=0,可得x=l,可知x=l是〃尤)的極小值點(diǎn)，B選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由/''(x)eR,故不存在實(shí)數(shù)。使得函數(shù)了(%)單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，令/'(x)>0有x>e〃T,可得函數(shù)了(力的減區(qū)間為(0,e°T),增區(qū)間為(e-y),可得

ala11

f(x)mm=f(e)=(a-l)e^-ae^+1=1-e^,若/(無)N0恒成立，有l(wèi)—e"T?0,可得a<l,故D

選項(xiàng)正確.故選AD.

13.-10由a+Z?=(m—l,—2),2a+b=(m,-5),有-I)?+(-2)2=療+(-5)~,解得加=—10.

14.5|%-3|=1,解得x=2或4,不妨設(shè)a=2,b=4,則樣本平均數(shù)是4,根據(jù)方差公式得

(1—41+(2—4+(4—釬+(4-釬+(5—4)2+(8—釬

s2—-----------------------------------------------------二5.

6

15.-4因?yàn)椤?，b,c三向量共面，

所以可設(shè)。=加。+九匕，

即(3,5,2)=m(3,—2,1)+〃(一1,3,-2)=(3m—n,—2m+3n,m—2〃)，

8

3m-n=3,

所以<—2"z+3〃=5,解得=2,n=3,A=—4.

m-In=2,

16.26兀如圖，

延長(zhǎng)CB和昉相交于點(diǎn)N,

連接NG,過B作BH〃NG,

由AE=A?,可得BC=2NB,

又由BH〃NG,可得CH=2GH,

223

又由CP=3,可得C"=—CG=—x'=l.

332

取3。的中點(diǎn)。，記三棱錐H-A6D的外接球的球心為。，半徑為K,連接OQ,OH,

又由AB=4,BC=3,有BD=5,BQ=g有R2=oQ2+[g],

22

可得R2=QQ2+上，7?=(c>e-l)+—，解得0Q=_，R=—,

~4v7422

13

故三棱錐H-ABD的外接球的表面積為4兀尺29=4兀x—=26兀.

2

17.解：(1)由正弦定理，Wc(a-c)(6z+c)=Z?c(Z?-c),

可化為。=b+c-be,

b2+c2-a2b1+C1-[b1+c'2-be)_1

有cosA=----------=---------------9

2bc2bc2

TT

又由0vA<7i,可得A=—；

3

(2)由△至。的面積為g,有L/?csin

—=A/3,可得Z?c=4,

23

,bea.4a1

又由----------二—=，有丁=------；r，可得〃=2g.

sinBsinCsin2A￡(石、

4V

9

18.解：⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q,

由§3=3。2+2，有q—2a?+。3=2，有4(l—2q+/)=2,

又由6=2,有l(wèi)-2q+q2=l,解得q=2或q=0(舍去)，

可得q=2x2n-1=2",

故數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為an=2n；

(2)由(1)有么=21(^2"—1=2〃—1,

又由q=2,%=4，%=8,a4—16,a5—32,a6—64,%=128,

可得數(shù)列｛%｝的前50項(xiàng)和為

2X(1-26)44X(1+87)

q+1?2+%+'—Fg+4+%+,—I-。44=-------------1-----------------=2062.

1—22

19.(1)證明：因?yàn)榈酌鍭3CD是平行四邊形，且AA血是等邊三角形，

所以四邊形A3CD是菱形，則有3。，AC,

又K4_L平面ABCD,5￡>u平面ABCD,

所以9，班),

又R4AC=A,B4u平面PAC,ACu平面尸AC,

所以，平面PAC；

(2)解：設(shè)ACBD=O,

?.?△上45是等腰三角形，，/%=43=2,AO=OC=6,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線。3,0c分別為x軸，y軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

如圖，

則P(0,—6,2),A(0,-V3,0),3(1,0,0),C(0,73,0),

所以P3=(l,6,—2),AC=(0,273,0),

10

設(shè)？8與AC所成角為氏

\PB-AC\

所以cos8=y_n~j

|1XO+V3X2V3+(-2)XO|6_V6

^12+(73)2+(-2)2x^O2+(273)2+022A/2X2A/3-4

即—所成角的余弦值為當(dāng)

20.解：（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：（0.02+0.04+0.02）xl0=0.8,

則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為：1-0.8=02

故從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)為0.2；

（2）由頻率分布直方圖易得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為0.4,分?jǐn)?shù)小于80的頻率為0.8,

則測(cè)評(píng)成績(jī)的第75%分位數(shù)落在區(qū)間[70,80）上,

所以測(cè)評(píng)成績(jī)的第75%分位數(shù)為70+10、些=78.75；

0.4

（3）依題意，記事件A="抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”，事件5="抽到的學(xué)生是男生”,

3

P（B）=號(hào)，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；所以“抽到的學(xué)生是男生”的概率為P（B）=],

?

因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生，所以“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”的概率為P（A）=g,

因?yàn)槭录嗀B表示“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30且為男生”，滿足條件的只有1名男生，所以P（A8）=；,

因?yàn)镻（A）P（B）豐P（AB）,所以這兩個(gè)事件不相互獨(dú)立.

21.解：（1）如圖，過點(diǎn)E作的平行線，與AP相交于點(diǎn)尸，

?：EF//AD,BC//AD,：.EF//BC,

'：EF//BC,：.B,C,E,尸四點(diǎn)共面，

〃平面平面平面？46=5/，CEu平面BCEF,ACE//BF,

VCE//BF,所〃3C,.?.四邊形3CEF為平行四邊形，

:四邊形5CEF為平行四邊形，EF=3C=1,

PFFF

?：EF//BC,：.——二——，

PDAD

11

(2)如圖，取AB的中點(diǎn)O,CD的中點(diǎn)T,連接。P,OT,

VPA=PB,APA.BP,BA=2,：.OPLAB,OA=OB=OP=1,

?.?平面PLB,平面ABCD,平面ABCD平面ABCD=AB,OP上AB,0「匚平面2鉆，，0尸，平面

ABCD,

VOA=OB,CT=TD,BC//AD,：.OT//BC,

?：OT//BC,BCLAB,：.OTLAB,

由。8,OT,OP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量。8,OT,0P方向分別為尤，y,z軸的正方向建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

可得0(0,0,。)，3(1,0,0)，A(-l,0,0),c(l,l,o),0(—1,3,0),尸(0,0,1)，￡L

設(shè)平面PCD的法向量為7〃=(x,y,z),由CD=(—2,2,0),CP=(-1,-1,1),

CD-m=-2x+2y=0,

有《

CP?加=-x-y+2=0,

取x=l,y=l,z=2,可得初=(1,1,2),

由()

設(shè)平面ABE的法向量為〃=(a,b,c),AB=2,0,0,AE=j,

AB-n=2a=0,

13…13)

有《131取a=0,c---可得〃=|0,--,-,

AE,n——ciH—bH—c—0,2I22

222

5

半